4.2 單位圓與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)課件-高一下學期數(shù)學北師大版（2019）必修第二冊

單位圓與正弦函數(shù)余弦函數(shù)的基本性質(zhì)單位圓與任意角的正弦函數(shù)余弦函數(shù)的基本性質(zhì)銳角的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)任意角的正弦函數(shù)與弦函數(shù)溫故知新學習目標1.通過單位圓研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì).（重點）2.掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)(定義域、最大(小)值，值域、周期性、單調(diào)性).（難點）3.掌握正弦函數(shù)值域余弦函數(shù)值的符號.（重點）課文精講觀察圖，設(shè)任意角α的終邊與單位圓交于點P(u，v)，當自變量α變化時，點P的橫坐標、縱坐標也在變化.因此.根據(jù)正弦函數(shù)v=sinα和余弦函數(shù)u=cosα的定義.不難看出它們具有以下基本性質(zhì).導(dǎo)入課文精講正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域均是R.定義域最大(小)值、值域當自變量α∈R時，0≤|sinα|≤1，0≤|cosα|≤1.當α=2kπ+，k∈Z時，正弦函數(shù)v=sinα取得最大值1；當α=2kπ-，k∈Z時，正弦函數(shù)取得最小值-1.當α=2kπ，k∈Z時，余弦函數(shù)u=cosα取得最大值1；當α=(2k+1)π，k∈Z時，余弦函數(shù)取得最小值-1.課文精講因為函數(shù)v=sinα，u=cosα均能取到-1和1之間的任意值，所以它們的值域均為[-1，1].最大(小)值、值域課文精講根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義(如圖).有終邊相同的角的正弦函數(shù)值相等，即對任意k∈Z，sin(α+2kπ)=sinα，α∈R；終邊相同的角的余弦函數(shù)值相等，即對任意k∈Z，cos(α+2kπ)=cosα，α∈R.周期性課文精講上述兩個等式說明：對于任意一個角α，每增加2π的整數(shù)倍，其正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值均不變，所以正弦函數(shù)v=sinα和余弦函數(shù)u=cosα均是周期函數(shù).對任何k∈Z且k≠0，2kπ均是它們的周期，最小正周期為2π.周期性是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)最重要的性質(zhì).周期性課文精講單調(diào)性圖①根據(jù)正弦函數(shù)的定義，在單位圓中，如圖①，當角α由增加到時，sinα的值由-1增加到1；課文精講單調(diào)性圖②如圖②，當角α由sinα的值由1減小到-1.因此正弦函數(shù)在區(qū)間[，]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[，]上單調(diào)遞減.課文精講單調(diào)性由正弦函數(shù)的周期性可知，對任意的k∈Z，正弦函數(shù)在區(qū)間[2kπ-，2kπ+]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[2kπ+，2kπ+]上單調(diào)遞減.由余弦函數(shù)的周期性可知，對任意的k∈Z，余弦函數(shù)在區(qū)間[2kπ-π，2kπ]上單調(diào)遞增，其值從-1增大到1；在區(qū)間[2kπ，2kπ+π]上單調(diào)遞減，其值從1減到-1.課文精講正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值的符號根據(jù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義，如圖，在平面直角坐標系中，當點P(u，v)在上半平面時，正弦函數(shù)(v=sinα)值為正，即點P在第一、第二象限或y軸的正半軸時，正弦函數(shù)值為正；課文精講正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值的符號

當點P在x軸上時，正弦函數(shù)值為零；當點P在平面直角坐標系的下半平面時，正弦函數(shù)值為負，即點P在第三、第四象限或y軸的負半軸時，正弦函數(shù)值為負.課文精講正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值的符號同理，當點P在平面直角坐標系的右半平面時，余弦函數(shù)值為正，即點P在第一、第四象限或x軸的正半軸時，余弦函數(shù)值為正；當點P在y軸上時，余弦函數(shù)值為零；當點P在左半平面時，余弦函數(shù)值為負，即點P在第二、第三象限或x軸的負半軸時，余弦函數(shù)值為負.課文精講正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值的符號xyO(-)(-)(+)(+)sinαxyO(+)(-)(-)(+)cosα正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值在各象限的符號如圖所示：典型例題例1：借助單位圓，討論函數(shù)v=sinα在給定區(qū)間上的單調(diào)性.典型例題例2：求函數(shù)v=cosα在區(qū)間上的最大值和最小值，并寫出取得最大值和最小值時自變量α的值.已知角α的終邊與單位圓的交點的坐標為(a，b)，若，則cosα的值為()綜合練習B綜合練習

不等式sinx＜0，的解集為__________________.本課小結(jié)單位加圓與正弦函數(shù)的基本性質(zhì)定義域最大(小)值，值域周期性單調(diào)性正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值的符號4.2單位圓與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)核心知識目標核心素養(yǎng)目標1.掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域、值域、周期性、單調(diào)性.2.掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的符號.通過單位圓中正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義探索正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)的過程,提高直觀想象、數(shù)學抽象等核心素養(yǎng).探究點一定義域、值域、周期性知識點1:定義域、值域、周期性(1)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域:正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域均是R.(3)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性正弦函數(shù)、余弦函數(shù)均為周期函數(shù),其周期為2kπ(k∈Z,k≠0),最小正周期為2π.[例1](1)求下列函數(shù)的定義域:[例1](1)求下列函數(shù)的定義域:[例1](1)求下列函數(shù)的定義域:方法總結(jié)在單位圓中,把角α的終邊的范圍標出,根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義即可得出其定義域、最值和值域.探究點二單調(diào)性知識點2:正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性[思考]能否說角α為第一象限角時,正弦函數(shù)單調(diào)遞增?(2)求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.①y=2sinx,x∈[-π,π];變式訓(xùn)練2-1:求下列函數(shù)的單調(diào)性、最大值和最小值以及取得最大值和最小值時自變量x的值.變式訓(xùn)練2-1:求下列函數(shù)的單調(diào)性、最大值和最小值以及取得最大值和最小值時自變量x的值.方法總結(jié)利用單位圓、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義,即可得出在某個指定的區(qū)間上正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.探究點三正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值的符號知識點3:正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值的符號(1)當角α的終邊在第一象限、y軸正半軸、第二象限時sinα>0;角α的終邊在第三象限、y軸負半軸、第四象限時sinα<0.(2)當角α的終邊在第四象限、x軸正半軸、第一象限時cosα>0;角α的終邊在第二象限、x軸負半軸、第三象限時cosα<0.[例3](1)設(shè)θ是第二象限角,則點P(sin(cosθ),cos(sinθ))在()(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限(2)若角α的終邊經(jīng)過點P(3,a)(a≠0),則()(A)sinα>0 (B)sinα<0(C)cosα>0 (D)cosα<0變式訓(xùn)練3-1:“α為第