在深度勾連中促進(jìn)理解　感悟數(shù)與運(yùn)算的一致性

摘要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》將數(shù)的認(rèn)識(shí)與數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行了整合，旨在使學(xué)生從整體上基于數(shù)與運(yùn)算，感悟數(shù)的概念和運(yùn)算的一致性。教師要理解數(shù)與運(yùn)算一致性的價(jià)值與內(nèi)涵，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)的概念及數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，深化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解，建立知識(shí)之間的聯(lián)系，形成結(jié)構(gòu)化的思維，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。關(guān)鍵詞：數(shù)的認(rèn)識(shí)；數(shù)的運(yùn)算；一致性；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下通稱“新課標(biāo)”）將數(shù)的認(rèn)識(shí)與數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行了整合，對(duì)數(shù)與運(yùn)算的教學(xué)提出了新的要求。這樣的整合，有助于學(xué)生從整體上理解數(shù)與運(yùn)算，感悟數(shù)的概念和運(yùn)算的一致性。教師要基于數(shù)與運(yùn)算一致性的價(jià)值與內(nèi)涵，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)的概念及數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，深化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解，建立知識(shí)之間的聯(lián)系，形成結(jié)構(gòu)化的思維，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。筆者以北師大版數(shù)學(xué)教材四年級(jí)下冊(cè)第一單元“小數(shù)的意義和加減法”中的“買菜”一課為例，談一談如何在深度勾連中促進(jìn)學(xué)生理解算理，感悟數(shù)與運(yùn)算的一致性。一、勾連數(shù)的認(rèn)識(shí)和運(yùn)算，凸顯核心概念核心概念是體現(xiàn)學(xué)科本質(zhì)、統(tǒng)領(lǐng)教學(xué)內(nèi)容的核心要素。教師要從整體視角審視教學(xué)對(duì)象，準(zhǔn)確提取單元主題的核心概念，以核心概念勾連零散的知識(shí)點(diǎn)，自上而下、由表及里地梳理單元內(nèi)部知識(shí)結(jié)構(gòu)，為達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，落實(shí)核心素養(yǎng)提供有力保障。那么，“小數(shù)的意義和加減法”這一單元的核心概念是什么？我們從新課標(biāo)、教材、學(xué)情等角度進(jìn)行深入分析。首先，我們從新課標(biāo)的內(nèi)容要求、學(xué)業(yè)要求及教學(xué)提示中找依據(jù)（見表1）?！靶?shù)的意義和加減法”主要包括：小數(shù)的意義、小數(shù)的大小比較及小數(shù)的加減運(yùn)算。小數(shù)的意義的教學(xué)是重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生理解0.1，0.01，0.001等計(jì)數(shù)單位的含義；小數(shù)的大小比較也是基于計(jì)數(shù)單位多少的比較，而小數(shù)加減法對(duì)算理的理解也要追溯到數(shù)的意義，本質(zhì)上就是小數(shù)計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的運(yùn)算。所以本單元的核心概念就是“小數(shù)的計(jì)數(shù)單位”。教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)以此為核心，立足數(shù)與運(yùn)算的一致性，構(gòu)建出本課的整體結(jié)構(gòu)?！窘虒W(xué)片段】師：數(shù)字寶寶要進(jìn)行一場(chǎng)足球比賽，你們看，它們邁著整齊的步伐上場(chǎng)了。數(shù)字寶寶們組成了一個(gè)什么數(shù)？（1.43）看到1.43，你能想到在生活中它可以表示什么嗎？生：可以表示1元4角3分。生：可以表示1米4分米3厘米。生：我們還可以用計(jì)數(shù)器、面積模型等來表示1.43?！舅伎肌吭谝陨系慕虒W(xué)導(dǎo)入中，教師從復(fù)習(xí)小數(shù)1.43的意義入手，引導(dǎo)學(xué)生“運(yùn)用不同方法表示小數(shù)”，結(jié)合具體的元、角、分、米、分米、厘米，拓展到使用計(jì)數(shù)器表示，再到抽象的面積模型，深入理解1.43中的1表示1個(gè)1、4表示4個(gè)0.1、3表示3個(gè)0.01，從而達(dá)到對(duì)小數(shù)意義概括性的理解水平。此教學(xué)環(huán)節(jié)不僅調(diào)動(dòng)了學(xué)生對(duì)小數(shù)的認(rèn)識(shí)、計(jì)數(shù)單位及其意義的原有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，還為后續(xù)探索小數(shù)加減法的計(jì)算方法做好了鋪墊。二、勾連直觀模型，從算法到算理算法是指在解決相同類型的計(jì)算或問題時(shí)，按照一定的計(jì)算方法和步驟得到結(jié)果的程序。算理則是指說明這種程序合理性的理論依據(jù)（比如小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊即相同計(jì)數(shù)單位相加減）。對(duì)學(xué)生來說，算法是學(xué)習(xí)的外顯性表現(xiàn)，而算理是內(nèi)顯性理解。解決問題時(shí)，學(xué)生通常從怎么算入手，在教師的引導(dǎo)下完成對(duì)于算理的理解，在此基礎(chǔ)上總結(jié)出算法，以此實(shí)現(xiàn)算理與算法的真正勾連。那么，如何引導(dǎo)學(xué)生真正理解算理、掌握算法呢？在本課教學(xué)中，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生的真實(shí)想法，鼓勵(lì)他們思考遷移已有的經(jīng)驗(yàn)，用多種直觀模型探索1.25+2.41和3.66-1.25的計(jì)算結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系數(shù)和運(yùn)算的意義，在擺、撥、畫等操作活動(dòng)中，感受計(jì)算小數(shù)加減法中相同數(shù)位對(duì)齊的道理，在探索算法中自覺地邁出感悟算理的第一步?！窘虒W(xué)片段】笑笑去買菜，付錢時(shí)售貨員叔叔的算法是：一把油菜1.25元，一把芹菜2.41元，應(yīng)該付3.66元。師：售貨員叔叔算得對(duì)嗎？我們應(yīng)該如何來驗(yàn)證？生：可以求笑笑買菜一共花了多少元。用加法計(jì)算，列式為1.25+2.41=。師：這是一個(gè)兩個(gè)加數(shù)都是小數(shù)的加法算式，該如何計(jì)算呢？生：我是用擺人民幣的方式計(jì)算的，先擺一個(gè)1元，2個(gè)1角，5個(gè)1分，表示1.25元。再擺兩個(gè)1元，4個(gè)1角，1個(gè)1分，表示2.41元。把它們合起來是3元6角6分，也就是3.66元。生：我是借助計(jì)數(shù)器，把珠子畫在了不同的數(shù)位上，來表示大小不同的數(shù)字。生：我是用面積模型來表達(dá)計(jì)算過程的。師：你能用列豎式的方法計(jì)算一下嗎？生：先用第一個(gè)加數(shù)1.25與另外一個(gè)加數(shù)2.41相加。注意要把相同數(shù)位對(duì)齊。先用百分位的5與百分位的1相加等于6，寫在百分位上。再用十分位的2與十分位的4相加等于6，寫在十分位上。最后，用個(gè)位的1與個(gè)位的2相加等于3，寫在個(gè)位上，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)等于3.66。在小數(shù)減法的教學(xué)中，為了保證一致性，教師也可以引導(dǎo)學(xué)生利用以上的四種方法進(jìn)行計(jì)算?！窘虒W(xué)片段】師：剛才同學(xué)們運(yùn)用加法驗(yàn)證了售貨員收3.66元是對(duì)的。聰明的你想想看，還有其他方法嗎？生：老師，我想到還能用減法來解決。求3.66元減去1把油菜的價(jià)錢還剩多少元，如果等于一把芹菜的價(jià)錢，那就說明是對(duì)的。列式為3.66-1.25。生：可以用擺人民幣的方法計(jì)算，可以借助計(jì)算器計(jì)算，可以借助面積模型計(jì)算。師：這道題通過列豎式該如何計(jì)算呢？【思考】本環(huán)節(jié)中，教師引導(dǎo)學(xué)生利用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)選擇合適的方法，通過擺人民幣、撥珠子、涂面積模型等多種方法進(jìn)行計(jì)算。學(xué)生在求和、求差的過程中，直觀感受到相同數(shù)位上的數(shù)字相加減的過程，初步理解“只有相同計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)才能直接相加減”的道理。三、勾連整數(shù)小數(shù)，感悟運(yùn)算一致性新課標(biāo)中明確指出：“通過小數(shù)加減運(yùn)算與整數(shù)運(yùn)算進(jìn)行比較，引導(dǎo)學(xué)生初步了解運(yùn)算的一致性。培養(yǎng)運(yùn)算能力?！痹诩訙p法運(yùn)算中，無論是整數(shù)的數(shù)位對(duì)齊，還是小數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，都是為了相同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)相加減。因此在教學(xué)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注加減法運(yùn)算背后的道理，用核心概念“計(jì)數(shù)單位”打通整數(shù)、小數(shù)之間的聯(lián)系。教師通過核心概念建構(gòu)脈絡(luò)清晰、條理分明、相互聯(lián)系的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)不同數(shù)學(xué)知識(shí)、學(xué)習(xí)方法之間的一致性和可遷移性，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。這一部分我們?cè)O(shè)計(jì)了兩個(gè)層次完成。一是在“用豎式計(jì)算，總結(jié)算法”這一環(huán)節(jié)中辨析錯(cuò)例，感悟整數(shù)、小數(shù)運(yùn)算的一致性?！窘虒W(xué)片段】師：這里有兩個(gè)算式，你能用豎式計(jì)算一下嗎？并試著說一說怎樣計(jì)算小數(shù)的加減法。生：整數(shù)加減法末位對(duì)齊就是相同數(shù)位對(duì)齊，小數(shù)的末位可能不同，計(jì)算小數(shù)加減法時(shí)，當(dāng)小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊的時(shí)候才是相同數(shù)位對(duì)齊。生：數(shù)位不同，不能相減。我們之前學(xué)過小數(shù)末尾添上0或去掉0，小數(shù)的大小不變，添上個(gè)0就不容易弄錯(cuò)了。師：在計(jì)算小數(shù)加減法時(shí)，要把相同數(shù)位上的數(shù)相加減。只要小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，相同數(shù)位就對(duì)齊了，其他就與整數(shù)加減法一樣了?！舅伎肌繉?duì)于學(xué)生豎式計(jì)算時(shí)得到的不合理結(jié)果，教師并沒有武斷地加以評(píng)判，而是引導(dǎo)學(xué)生通過觀察和分析，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤原因，并基于“計(jì)數(shù)單位”這一核心概念，將小數(shù)加減法與整數(shù)加減法統(tǒng)整，引導(dǎo)學(xué)生在探究小數(shù)加減法的過程中始終抓住小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊（相同數(shù)位上的數(shù)對(duì)齊）來進(jìn)行計(jì)算。學(xué)生通過與整數(shù)加減計(jì)算方法的對(duì)比，體會(huì)計(jì)算方法中相同數(shù)位上的數(shù)相加減的道理，感悟小數(shù)加減法與整數(shù)加減法在本質(zhì)上的一致性，從而總結(jié)出小數(shù)加減法的計(jì)算方法。二是在總結(jié)過程中進(jìn)一步深化。學(xué)生從一年級(jí)開始就學(xué)習(xí)了整數(shù)加減法，現(xiàn)在又學(xué)習(xí)了小數(shù)加減法，教師可以引導(dǎo)學(xué)生探尋它們的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，進(jìn)一步深化認(rèn)知：末位對(duì)齊和小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，看似不同，其實(shí)都是保證相同數(shù)位對(duì)齊，也就是能進(jìn)行相同計(jì)數(shù)單位的累加或減少。因此，整數(shù)加減法和小數(shù)加減法的計(jì)算本質(zhì)是相同的，實(shí)質(zhì)上算的都是相同計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。教師引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、比較整數(shù)加減法和小數(shù)加減法的異同，總結(jié)它們之間的規(guī)律，加深學(xué)生對(duì)小數(shù)加減法與整數(shù)加減法運(yùn)算的一致性的理解，為后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)加減法運(yùn)算打下基礎(chǔ)，形成對(duì)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減法的整體認(rèn)