【1987-2017】歷年考研數(shù)學一真題(答案+解析)

歷年考研數(shù)學一真題1987-2017(A)a=—=2,c=—1(B)a=3,6=2,c=-1

(C)a=-3,6=2,c=1(D)a=3,A=2,c=l

(答案+解析)

【詳解】線性微分方程的特征方程為/+劭+6=0,由特解可知外=2一定

(經典珍藏版)最近三年+回顧過去

是特征方程的一個實根.如果弓=1不是特征方程的實根，則對應于

最近三年篇(2015-2017)/(x)=c/的特解的形式應該為。(x)e)其中。(幻應該是一個零次多項式,

即常數(shù)，與條件不符，所以弓=1也是特征方程的另外一個實根，這樣由韋達

2015年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試

定理可得。=一(2+1)=-3,。=2*1=2,同時y*=xe*是原來方程的一個

數(shù)學(一)試卷

解，代入可得c=-l應該選(A)

一、選擇題1一8小題.每小題4分，共32分.8

3.若級數(shù)X?！皸l件收斂，則x=Ji,x=3依次為級數(shù)

1,設函數(shù)/(X)在(-8,+8)上連續(xù)，其二階導數(shù)/"(X)的圖形如

71=1

右圖所示，則曲線y=/(x)在(-8,+8)的拐點個數(shù)為

(A)0(B)1(C)2(D)3

(A)收斂點，收斂點(B)收斂點，發(fā)散點

(C)發(fā)散點，收斂點(D)發(fā)散點，發(fā)散點

【詳解】對于連續(xù)函數(shù)的曲線而言，拐點處的二階導數(shù)等于零或者不存在.從【詳解】注意條件級數(shù)E%條件收斂等價于基級數(shù)在*=i處條件

圖上可以看出有兩個二階導數(shù)等于零的點，以及一個二階導數(shù)不存在的點〃=1W=1

x=0.但對于這三個點，左邊的二階導數(shù)等于零的點的兩側二階導數(shù)都是正

的，所以對應的點不是拐點.而另外兩個點的兩側二階導數(shù)是異號的，對應的收斂，也就是這個哥級數(shù)的收斂為1,即lim-辿=1,所以的

fa；n=l

點才是拐點，所以應該選(C)

2.設j=是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程收斂半徑R=lim=1,絕對收斂域為(0,2),顯然》=6,*=3依

“T8（〃+l）%+i

次為收斂點、發(fā)散點，應該選(B)

y"+ay'+by=ce"的-一個特解，則

4.設D是第一象限中由曲線2盯=1,4孫=1與直線y=x,y=y/3x所圍成q1

5.設矩陣A=12若集合Q={1,2},則線性方程組

的平面區(qū)域，函數(shù)/(x,y)在D上連續(xù)，則=()

J4

D

KJ_Ax=b有無窮多解的充分必要條件是

(A)dO[^ef(rcosOyrsin0)rdr(B)

(A)a￡任C(B)aiC,deC

42sin2g

(C)aeQ,d金Q(D)aeGC

jjJ4yf(rcos仇rsin0)rdr

4J2sin2-【詳解】對線性方程組的增廣矩陣進行初等行變換:

nI

(C),dejs].cos0^rsin0)dr(D)

42sin2J

&J

J?d。]J呼s/(rcos^,rsin0)dr

4j2sin2J

【詳解】積分區(qū)域如圖所示，化成極坐標方程：

,11

2xy=1=>2廣sin6cos0=l=>r~9=-----=r=./

sin2。Vsin2^

11

4xy=1=4r9sincos6=1=廠9=-------=r=/?

2sin2^42shi20q111)(111

B=(A,b)=12ad-》01a-\

九八乳4a-d-)(0

—<0<—J0(a-1)("2：

43

也就是D：ri]

，2sin26Jsin26方程組無窮解的充分必要條件是r(A)=r(A,6)<3,也就是

n]

所以U/(x,y)dxdy=J；/(rcos6,rsin6)rdr,所以應該選(B).(a-l)(a-2)=0,(d-l)(d-2)=0同時成立，當然應該選(D).

D4J2或112。

6.設二次型/(x,,x2,x3)在正交變換x=Py下的標準形為2y2+y；-y；,

其中P=(e”e2，e3),若0=(?],-63,62)，則/(?，々，七)在工=0下的標

準形為擇(C).

(A)2y；-+(B)2y；+￡-y；8.設隨機變量X,y不相關，且EX=2,Ey=l,OX=3,則

(C)2j,2-y；-yl(D)2y；+y；+y；E(X(X+y-2))=()

’10°1(100、(A)-3(B)3(C)-5(D)5

【詳解】

【詳解】0=(el,-e3,e2)=(el,e2,e3)001=P001

oj1。T22

、。-10>E(X(X+Y-2))=E(X)+E(XY)-2EX=DX+(EX)+EXEY-2EX=5

'100、

故應該選擇(D).

QT=00-1PT

二、填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上)

、010,

c!?_In(cosx)_

,2

XTOx2

f=x1Ax=y1PAPy=y11

ln(cosx)■?-tanx1

【詳解】hm-------------=lim-----------=——.

10x~XT02X2

所以

’100)(100](\00Y2Yio0、2sinx

QTAQ=00-1PTAP001=00-110011+COSX

1。人

、0110T0J10-Ulo-J0,

【詳解】只要注意smx為奇函數(shù),在對稱區(qū)間上積分為零,

1+cosX

故選擇(A).

7.若A,5為任意兩個隨機事件，則()所以國sinxXdx￡

1+cosX4

(A)P(AB)<P(A)P(B)(B)P(AB)>P(A)P(B)

II.若函數(shù)z=z(x,y)是由方程ez+xyz+x+cosx=2確定，則

(C)P(A5)?P(A)；P(5)P(A5)””P⑸

(D)

【詳解】設F(x,y,z)=e'+xyz+x+cosx-2,則

【詳解】P(A)NP(A5),尸(B)NP(45),所以故選

F/(x,j,z)=jz+1-sinx,F/(x,j,z)=xz,F"(x,y,z)=ez+xyp{xy-y<o}=.

【詳解】由于相關系數(shù)等于零，所以X,Y都服從正態(tài)分布，

且當x=0,j=1時z=0所以

X??N(0,l),且相互獨立.

iw)=F；(0,1,0)一凱產一<(0,1,0)_

B--；=0，則X-1?N(0,l).

Fz(0,1,0)Fz(0,1,0)

也就得到dz|(oj)=-dx.

p{xy-y<o}=p{y(x-i)<o}=p{y<o,x-i>o}+p{y>o,x-i<o}

12.設Q是由平面x+y+z=l和三個坐標面圍成的空間區(qū)域，則

JJJ(x+2j+3z)dxdydz=.三、解答題

c

15.(本題滿分10分)設函數(shù)/(x)=x+aln(l+x)+)xsinx,g(x)=kx3

【詳解】注意在積分區(qū)域內，三個變量占具有輪換對稱性，也就是

JJJxdxdydz=|JJydxdydz=jjjzdxdydz在XT0時為等價無窮小，求常數(shù)”，加A的取值.

JU(x+2j+3z)dxdydz=6||Jzdxdydz=6^zdzJJdxdy=3fz(一)%=；【詳解】當XT0時，把函數(shù)/(*)=工+。111(1+切+加6E》展開到三階的

na24馬克勞林公式，得

IX31

2002/(x)=x+a(x------1-----Fo(x'))+Z>x(x—x'+o(x3))

236

-1202

=(1+(i)x+(----卜b)x~+(-)x3+o(x’)

13.〃階行列式23

0022

00-12

1+a=0

【詳解】按照第一行展開,得向〃有

Dn=2D,-+(-1)2(-1)7=2O,i+2,由于當x-?0時，/(x),g(x)是等價無窮小，則有，一^+方二。，

+2=2(。"2)

-=k

13

由于。?=2,。？=6,得?！?2"-|(〃+2)-2=2田一2.

解得，a=-\,b=--,k=——.

14.設二維隨機變量(x,y)服從正態(tài)分布N(I,O；I,I；O),則23

16.(本題滿分10分)/(x,y)=x+y+盯在(x,y)處的梯度gradf=祟察卜。十第+“)

設函數(shù)y=/(x)在定義域/上的導數(shù)大于零，若對任意的曲線

在(x,y)處的最大方向導數(shù)的方向就是梯度方向，最大值為梯度的模

y=f(x)在點(x0,/(x0))處的切線與直線x=/及工軸所圍成區(qū)域的面積

\gradf\=7(1+J)2+0+x)2

恒為4,且/(0)=2,求/(x)的表達式.

所以此題轉化為求函數(shù)F(X,J)=(1+X)2+(1+j)2在條件

【詳解】y=f(x)在點(*0，/(/))處的切線方程為

C:x2+y2+xy=3下的條件極值.用拉格朗日乘子法求解如下：

y=f\x0)(x-x0)+f(x0)

令L(x,y,4)=(1+x)2+(1+y)2+2(x2+j2+xj-3)

令y=0,得x=x°_

/(X。)F/=2(l+x)+2x2+j2=0

解方程組■F；=2(1+J)+2J2+X2=0,得幾個可能的極值點

曲線y=/(x)在點(項),/(%))處的切線與直線X=X。及x軸所圍成區(qū)域的

x2+j2+XJ=3

面積為

(1,1),(-1,-1),(2,-1),(-1,2),

S=；/(x0)(x0-(x0-，))=4

2f(x0)

進行比較，可得，在點x=2,y=-l或x=-l,y=2處，方向導數(shù)取到最大,

整理，得_/=’/,解方程，得J_=c—‘X,由于/(0)=2,得C=L

8y82為囪=3.

Q18.(本題滿分10分)

所求曲線方程為？=——.

4-x(1)設函數(shù)?(x),v(x)都可導，利用導數(shù)定義證明

17.(本題滿分10分)

(w(x)v(x))/=H\X)V(X)+w(x)v/(x);

設函數(shù)/(x,y)=x+y+xy,曲線。：/+/+孫=3,求/(x,y)在曲線

(2)設函數(shù)整］(x),〃2(x)，…,%(X)都可導，/(%)=〃1(工)“2(%)…%(X)，

C上的最大方向導數(shù).

【詳解】顯然g=l+y,g=l+x.寫出了(X)的求導公式.

Oxdy

2222

【詳解】⑴證明:設打="(%?(%)[(y+z)dx+(z-x+y)dy+(x+y)dz

=2(V2sint+cos￡)d(cosr)+(V2cost)d(42cosZ)+(2-cos2t)dcost

Ay=u(x+zlx)v(x+zlx)-M(X)心)

2

=?(x+Ax)v(x+Ax)-w(x)v(x+Ax)+w(x)v(x+Ax)-w(x)v(x)&/9

=2A/21Jsin2tdt=—^兀.

=Auv(x+Ax')+W(JC)ZIV

20.(本題滿分11分)

zlyAu.....Au設向量組名,％區(qū)為向量空間R3的一組基，

—二—v(x+zlx)+〃(x)—

AxAxAx

P\=2a]+2k%,Bi=2%,夕3=%+(A+l)a3.

由導數(shù)的定義和可導與連續(xù)的關系

(1)證明：向量組4,4,夕3為向量空間W的一組基；

AvAwAw

y'=lim——=lim[——v(x+Ax)+w(x)——1=wf(x)v(x)+w(x)vf(x)

AXTOAXAX-^OZAX

(2)當上為何值時，存在非零向量？，使得s在基6,區(qū),名和基△，夕2,以下

(2)/(x)=?(x)w(x)-w?(x)

12的坐標相同，并求出所有的非零向量

f\x)=W：(X)〃|(X)“2(X＞一〃“(X)+"[(X)&(X＞一%(X)H---Fu(x)u(x)-u(x)

}2n‘201、

【詳解】⑴(4&&)=(%%%)020

19.(本題滿分10分)3k0k+\j

已知曲線L的方程為卜=△一X一"，起點為4(0,&；0),終點為

201

21

[z=X因為020=2=4。0,且a,必顯然線性無關，所以

2kk+\

B(0,-V2,0),計算曲線積分[(y+z)dx+(z2-x2+y)dy+(x2+y2)dz.2k0k+\

X=cost片,夕2,43是線性無關的，當然是向量空間W的一組基.

【詳解】曲線L的參數(shù)方程為■j=V2sin/,

(2)設非零向量4在兩組基下的坐標都是($,々，￡)，則由條件

z=cost

*烏+x2a2+x3a,=+x2fl2+x3/33

起點A(0,V2?0)對應，=￡,終點為B(0,-V2,0)對應f=一方.

可整理得：M(a+2AaJ+x2a2+±(《+女/)=0,所以條件轉化為線性方

程組

【詳解】（1）因為兩個矩陣相似,所以有|A|=|叫.

（%+24名，％苗+4區(qū)）》=。存在非零解?

a=4

從而系數(shù)行列式應該等于零，也就是也就是，

b=5

'101、101

A—120

（%,生,火）010=|(a,,a2,a,|010=0

3k0k.2k0k(2)由口E_,=02-50=(4-1)2(4-5)=0,得A,B的特

0-34—1

101

由于q,％顯然線性無關，所以010=0,也就是A=0.征值都為4=4=1,4=5

2k0k

解方程組（E-A）*=0,得矩陣A的屬于特征值4=4=1的線性無關的特

此時方程組化為x2=(x,+x3)a]+x2a2=0,

由于以，生線性無關，所以，通解為其中。為解方程組（5E—A）x=0得矩陣A的屬于特征值4=5的線性無關的特征向

'一「

任意常數(shù).

量為$=1

'C、

所以滿足條件的0其中。為任意不為零的常數(shù).

-A(1o0、

令尸=(46263)=11,貝i」pTAP=010

21.（本題滿分11分）I。J100"

'02'1-20、

設矩陣A=-13相似于矩陣5=0b02~xIn2,x>0

22.（本題滿分11分）設隨機變量X的概率密度為/（x）=/

J-2、°3b0,x<0

對X進行獨立重復的觀測，直到第2個大于3的觀測值出現(xiàn)時停止，記y為次

（1）求a,8的值;

數(shù).

求y的分布函數(shù)；

（2）求可逆矩陣尸，使P^AP為對角矩陣.

（1）求y的概率分布；

（2）求數(shù)學期望EF.（2）似然函數(shù)為

【詳解】（1）X進行獨立重復的觀測，得到觀測值大于3的概率為1

7，e<芭，々,…，4<1

P(X>3)=￡°°2-Xln2Jx=1〃王，巧,?，*“；6）=〈。-6）

0,其他

顯然Y的可能取值為2,3,4,…顯然L（e）是關于。的單調遞增函數(shù)，為了使似然函數(shù)達到最大，只要使。盡

可能大就可以，所以

且"=a)=卜。；白E)=*(1)圖，4=2,3,4,…

oo。4)參數(shù)e的最大似然估計量為e=min（匹,x2,-,xn）.

(2)設

OOOOfooA/2、?*\

s(x)=E〃(〃-i)x"2=￡(/‘)"=￡/=--=--^,用<1

n-2n-2\n-2/一天“(1—X)

OOOO1(12

E(Y)=^kP(Y=k)=^-k(k-l)\-

A=2M=2

23.（本題滿分11分）

設總體X的概率密度為

—,^<X<1

/(x；e)=\-e

o,其他

其中e為未知參數(shù)，X1,Xz，…，x”是來自總體的簡單樣本.

（1）求參數(shù)。的矩估計量；

（2）求參數(shù)e的最大似然估計量.

【詳解】（1）總體的數(shù)學期望為

E（X）=J）匕血=$1+夕）

令E（X）=M,解得參數(shù)夕的矩估計量：e=ix-\.

年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試(x-l)2,x<1

2016D.F(x)=<

x(lnx-l)+l,x>1

數(shù)學（一）試卷

【答案】D

一、選擇題：1~8小題，每小題4分，共32分，下列每題給出的四個選項中,【解析】對函數(shù)f（x）做不定積分可得原函數(shù)，

只有一個選項符合題目要求的，請將所選前的字母填在答題紙指定位置上。

JInxdx=xInx-=xlnx-x+C,因此選擇D.

（1）若反常積分「“而上子辦:收斂，則（）。

(3)若y=(l+x2)2-Vl+x2,y=(l+x2)2+Vl+x2是微分方程

A.且b>l

B.a>1且/?>1y'+p(x)y=g(x)的兩個解,則q(%)=()。

C.a<1且Q+/?>1

D.且Q+A.3x(14-x2)

【答案】C

B.-3x(1+%2)

【解析”:方七產產+廣百%.而已辦當

l

時收斂，而此時（1+幻"不影響r—一產廠一--dX,

X“(l+x)"Ji產“1+%

X

【答案】A

當。+方>1時收斂，此時（l+'y不影響，因此選擇C.

X【解析】將羽=(1+尤2)2-加+尤2代入微分方程可得:

2(x-l),x<1

（2）已知函數(shù)/（%）=<，則/（x）的一個原函數(shù)是（）。4x(1+x2)一一/=^=+p(x)[(l+X2)2-Jl+4]=q(尤)

Inx,x>1

yjl+x2

(x-l)2,x<l

A.尸。）=而將>=(1+%2)2+6壽代入微分方程可得：

x(lnx-l),x>1

(x-l)2,x<l4x(1+x2)+/+/?(%)[(1+尤2f+Vl+x2]=q(x)

B.F(x)=<Vl+x2

x(lnx+l)-l,x>1

將這兩個式子相加可得：8x(1+%2)+2/?(%)(1+x2)2=2(7(X)

(x-l)2,x<l

C.F(x)=

x(lnx+l)+l,x>1

2xi

兩個式子相減可得：,+2〃(X)J1+X2=0B.AT與3一1相似

Vl+x2

C.A+A7"與8+B7■相似

因此可得

Y

a(x)=4x(1+d)+(----T-)(1+X2)2=4x(1+x2)-x(l+x2)-3x(1+x2)D.A+4-i與5+相似