《揀選15份合集》天一聯(lián)考數(shù)學(xué)海南2021屆高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)卷含解析

天一聯(lián)考數(shù)學(xué)海南2021屆高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡

清楚。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答

題無(wú)效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間（0,+?）上單調(diào)遞增的是（）

A.y=GB./（x）=xsinxC./（x）=f+WD.y=

【答案】C

【解析】

【分析】

結(jié)合基本初等函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，結(jié)合各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

A：y=?為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；

B：/（同=心由為在（（）,+8）上不單調(diào)，不符合題意；

c：y=為偶函數(shù)，且在（0,+向上單調(diào)遞增，符合題意；

D：y=|x+l|為非奇非偶函數(shù)，不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.

2.“幻方”最早記載于我國(guó)公元前500年的春秋時(shí)期《大戴禮》中.“〃階幻方（〃23,〃€^}*,是由前〃2

個(gè)正整數(shù)組成的一個(gè)〃階方陣，其各行各列及兩條對(duì)角線所含的〃個(gè)數(shù)之和（簡(jiǎn)稱幻和）相等，例如“3階

幻方”的幻和為15（如圖所示）.則“5階幻方”的幻和為（）

A.75B.65C.55D.45

【答案】B

【解析】

【分析】

計(jì)算1+2++25的和，然后除以5,得到“5階幻方”的幻和.

【詳解】

1+25

依題意“5階幻方”的幻和為1+2++25心會(huì)，故選B.

-----------------------=-------------------=OJ

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查合情推理與演繹推理，考查等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.

3.已知角2的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與X軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有一點(diǎn)R-3,4),貝IJsin2a=().

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)角終邊上的點(diǎn)坐標(biāo)，求得sina,cosa,代入二倍角公式即可求得sin2a的值.

【詳解】

324

/.sinla=2sinccosa=2x—x

25

故選：B

【點(diǎn)睛】

此題考查二倍角公式，熟練記憶公式即可解決，屬于簡(jiǎn)單題目.

4.復(fù)數(shù)4在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(2,3)*2=-2+7,則五=()

18.18.

—+—1----z

5555

【答案】B

【解析】

【分析】

Z.

求得復(fù)數(shù)4,結(jié)合復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，求得」的值.

【詳解】

z._2+3,_(2+3/)(-2-/)_(2+30(-2-0-l-8z18.

易知4=2+3"則——:~~；~—=---------------------------------------1

z,—2+i(-2+?)(-2—z)5555

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查復(fù)數(shù)及其坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)，考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為（)

A,"2513

C.—D.—

342

【答案】A

【解析】

【分析】

19

模擬執(zhí)行程序框圖,依次寫出每次循環(huán)得到的的值，當(dāng)x=3,M=—>4,退出循環(huán)，輸出結(jié)果.

【詳解】

程序運(yùn)行過程如下:

22

x=3M=0；X——,M--\x=,M=—

93326

一,吟上M百

636

1in1Q70

x=~9；x=3,M=y>4,退出循環(huán)，輸出結(jié)果為三,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)程序框圖的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有判斷程序框圖輸出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題目.

6.正三棱錐底面邊長(zhǎng)為3,側(cè)棱與底面成60。角，則正三棱錐的外接球的體積為（）

16萬(wàn)32%

A.47rB.167rC.------D.——

33

【答案】D

【解析】

【分析】

由側(cè)棱與底面所成角及底面邊長(zhǎng)求得正棱錐的高，再利用勾股定理求得球半徑后可得球體積.

【詳解】

如圖，正三棱錐A-5CO中，”是底面ABC。的中心，則AM是正棱錐的高，是側(cè)棱與底面所

成的角，即NABV=60。，由底面邊長(zhǎng)為3得8〃=2x述=6，

32

二AM=BMtan60°=GxG=3.

正三棱錐A-BCD外接球球心。必在AM上，設(shè)球半徑為R,

則由BO?=0加2+3加2得火2=(3-《)2+(6)2,解得R=2,

,,4八34萬(wàn)32萬(wàn)

V=-7rR3=——x2=——.

333

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查球體積，考查正三棱錐與外接球的關(guān)系.掌握正棱錐性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

7.AABC中，AB=3,BC=屈，AC=4,則△ABC的面積是()

R3百

A.班D.---------C.3

2

【答案】A

【解析】

【分析】

由余弦定理求出角A,再由三角形面積公式計(jì)算即可.

【詳解】

AB24-AC2-BC2

由余弦定理得:cosA=

2-AB-AC2

又4?0,萬(wàn))，所以得A=?,

故AABC的面積SAC-sinA=36.

2

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，三角形的面積公式，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.

8.一個(gè)空間幾何體的正視圖是長(zhǎng)為4,寬為6的長(zhǎng)方形，側(cè)視圖是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，俯視圖如圖

所示，則該幾何體的體積為（）

俯視圖

A.迪B.4A/3C.型D.2#）

33

【答案】B

【解析】

【分析】

由三視圖確定原幾何體是正三棱柱，由此可求得體積.

【詳解】

由題意原幾何體是正三棱柱，V=ix2xV3x4=4x/3.

2

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查三視圖，考查棱柱的體積.解題關(guān)鍵是由三視圖不愿出原幾何體.

9.如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額》（單位：億元）的折線圖.則下列結(jié)論中表述

不正確的是（）

A.從2000年至2016年，該地區(qū)環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額逐年增加；

B.2011年該地區(qū)環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施的投資額比2000年至2004年的投資總額還多；

C.2012年該地區(qū)基礎(chǔ)設(shè)施的投資額比2004年的投資額翻了兩番；

D.為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2019年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次

為1，2,…，7）建立了投資額y與時(shí)間變量t的線性回歸模型3=99+170,根據(jù)該模型預(yù)測(cè)該地區(qū)2019

的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額為256.5億元.

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)圖像所給的數(shù)據(jù)，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析排除，由此得到表述不正確的選項(xiàng).

【詳解】

對(duì)于A選項(xiàng)，由圖像可知，投資額逐年增加是正確的.對(duì)于3選項(xiàng)，2000-2004投資總額為

11+19+25+35+37=127億元，小于2012年的148億元，故描述正確.2004年的投資額為37億，翻

兩翻得到37x4=148,故描述正確.對(duì)于。選項(xiàng)，令f=10代入回歸直線方程得99+17.5x10=274億元,

故D選項(xiàng)描述不正確.所以本題選D.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查圖表分析能力，考查利用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測(cè)的方法，屬于基礎(chǔ)題.

10.在A4BC中，點(diǎn)D是線段BC上任意一點(diǎn)，2AM=AO，BM^AAB+^iAC，貝!|義+〃=（）

11

A.——B.-2C.-D.2

22

【答案】A

【解析】

【分析】

設(shè)BD=kBC，用AB,AC表示出8M，求出的值即可得出答案.

【詳解】

設(shè)BD=kBC=kAC-kAB

1%

2-

〃

-一=

2-2-2-

1

A-

+〃=

_2■

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量加法、減法以及數(shù)乘運(yùn)算，需掌握向量加法的三角形法則以及向量減法的幾何意義，屬于

基礎(chǔ)題.

I'x，+1x>0

11.已知函數(shù)/(x)=,c是奇函數(shù)，則g(/(—D)的值為()

［g(x),x<0

A.-10B.-9C.—7D.1

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)分段函數(shù)表達(dá)式，先求得了(-1)的值，然后結(jié)合了(X)的奇偶性，求得g(7(-1))的值.

【詳解】

尤3+X無(wú)〉()

因?yàn)楹瘮?shù)，(無(wú))='一是奇函數(shù)，所以/(—1)=-/(l)=-2,

g(x),x<0

g(/(-l))=g(-2)=/(-2)=-/(2)=-10.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查分段函數(shù)的解析式、分段函數(shù)求函數(shù)值,考查數(shù)形結(jié)合思想.意在考查學(xué)生的運(yùn)算能力，分

析問題、解決問題的能力.

12.函數(shù)y=亍怎二在［-6,6］的圖像大致為

A.JLBX

c.JL

|^4xnr

【答案】B

【解析】

【分析】

由分子、分母的奇偶性，易于確定函數(shù)為奇函數(shù)，由/(4)的近似值即可得出結(jié)果.

【詳解】

設(shè)丁=f(x)=_^_,則/(r)=..2(Z￡)3__一_"二=_/(為，所以/(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)

2'+2T2r+2A2X+2r

33

成中心對(duì)稱，排除選項(xiàng)C.又/(4)=2X4>°，排除選項(xiàng)D；/(6)=音9X，6。7,排除選項(xiàng)A,故

選B.

【點(diǎn)睛】

本題通過判斷函數(shù)的奇偶性，縮小考察范圍，通過計(jì)算特殊函數(shù)值，最后做出選擇.本題較易，注重了基

礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共2()分。

13.記等差數(shù)列｛4｝和也｝的前〃項(xiàng)和分別為S,和T“，若廣=1與，則小=.

【答案】y

【解析】

【分析】

13sl+q)

結(jié)合等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，可得了=—1=詈，求解即可?

U13413佃+%)%

2

【詳解】

由題意，兀/3(4+劭3)=13%,\=地匈=13%

22

S.3〃+5、%_13%_%_3x13+5_11

因?yàn)閚+7，所以百一而一亢一]3+7一]

故答案為:弓.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列的前"項(xiàng)和公式及等差中項(xiàng)的應(yīng)用，考查了學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.

14.已知｛可｝是等比數(shù)歹!J,若。=(4,2),人=(仆,3),且〃〃/,,則竟/=,

a3+〃5

【答案】I

【解析】

若。=(/,2),/?=(%,3),且a〃八則3%=2%,由｛4｝是等比數(shù)列，可知公比為4=：=9.

%+。4_1_2

%+%q3*

2

故答案為

15.在區(qū)間[-6,2]內(nèi)任意取一個(gè)數(shù)%,則.%恰好為非負(fù)數(shù)的概率是.

【答案】7

4

【解析】

【分析】

先分析非負(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的區(qū)間長(zhǎng)度，然后根據(jù)幾何概型中的長(zhǎng)度模型，即可求解出“％恰好為非負(fù)數(shù)”的概率.

【詳解】

當(dāng)凝是非負(fù)數(shù)時(shí)，/€[0,2],區(qū)間長(zhǎng)度是2-0=2,

又因?yàn)閇-6,2]對(duì)應(yīng)的區(qū)間長(zhǎng)度是2-(-6)=8,

所以“X。恰好為非負(fù)數(shù)”的概率是p\=；.

故答案為：—.

4

【點(diǎn)睛】

本題考查幾何概型中的長(zhǎng)度模型，難度較易.解答問題的關(guān)鍵是能判斷出目標(biāo)事件對(duì)應(yīng)的區(qū)間長(zhǎng)度.

16.若奇函數(shù)“X)滿足/(x+2)=-/(%),g(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)xeR都有

g[g(x)-2*+2]=1,當(dāng)%且0,1]時(shí)，/(x)=g(x),則〃電12)=,

【答案】—

【解析】

【分析】

根據(jù)/(x+2)=-可得，函數(shù)/(%)是以4為周期的函數(shù)，令g(x)—2*+2=3可求g(x)=2'-l,

從而可得/(X)=g(%)=2'-1,/(log212)=-/(2-log23)代入解析式即可求解.

【詳解】

令g(x)-2、+2=后，貝！]g(x)=A+2'-2,

由g[g(x)-2，+2]=1,則g(A)=l,

所以g(@=Z+2*—2=l,解得&=1,

所以g(x)=2'—l,

由xe［O,l］時(shí)，〃x)=g(x),

所以xw［O,l］時(shí)，〃力=2'-1；

由/(%+2)=-/(力，所以/(x+4)=—/(x+2)=/(x),

所以函數(shù)/(x)是以4為周期的函數(shù)，

/(log212)=/(log23+log24)=/(log23+2)=/(log23-2),

又函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，

所以〃1。歷12)=—"2—1嗝3)=-p-M_1]=.

故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了換元法求函數(shù)解析式、函數(shù)的奇偶性、周期性的應(yīng)用，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知圓。的極坐標(biāo)方程是〃=4cos9,以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半

V2

x=—t+m

2

軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線/的參數(shù)方程是一(7是參數(shù))，若直線/與圓。相切，求實(shí)數(shù)相

y=與

2

的值.

【答案】m=2±2A/2

【解析】

【分析】

將圓。的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，直線的參數(shù)方程化為普通方程，再根據(jù)直線/與圓。相切，利用

圓心到直線的距離等于半徑，即可求實(shí)數(shù)機(jī)的值.

【詳解】

由。=4cos6,得夕2.40cos6,

..x:-r=4x,即圓C的方程為［x-29-j；=4,

|X=W澗，

又由匚消r,得x-j-刑=0,

直線，與圓。相切，，匕M=2

m=2-2>j2?

點(diǎn)

【點(diǎn)睛】

本題重點(diǎn)考查方程的互化，考查直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用圓心到直線的距離等于半徑，研

究直線與圓相切.

18.(12分)在三棱柱ABC—4月￡中，48=2,BC=BB1=4,AC==26，且NBCg=60°.

(1)求證：平面4?G，平面Bee4；

(2)設(shè)二面角C—AG-B的大小為。，求sin。的值.

【答案】(1)證明見解析；(2)叵,

4

【解析】

【分析】

(1)要證明平面，平面3CC4,只需證明43,平面BCG4即可;

(2)取CG的中點(diǎn)D,連接BD,以B為原點(diǎn)，以8。，BB、,84的方向分別為x,y，z軸的正方向，

建立空間直角坐標(biāo)系，分別計(jì)算平面ACG4的法向量為〃與平面A8G的法向量為4。，利用夾角公式

cos(",B?=有絳計(jì)算即可.

【詳解】

(1)在ABC中，AB2+BC2^20=AC2，

所以/ABC=90,即AB，8c.

因?yàn)锽C=BB],AC=ABt,AB=AB,

所以

ABC^ABBt.

所以NA8B1=ZABC=90,即

又BC84=8,所以平面BCC圈.

又A6i平面ABC；,所以平面A^G_L平面BCG4.

（2）由題意知，四邊形8CG4為菱形，且N8CG=60,

則BC&為正三角形,

取CG的中點(diǎn)D,連接BD,則

以B為原點(diǎn)，以80，BBX,BA的方向分別為x,y,z軸的正方向，

建立空間直角坐標(biāo)系B-孫z,則

8（0,0,0）,4（0,4,0）,A（0,0,2）,C（2后-2,0）,￡（26,2,01

設(shè)平面ACCI4的法向量為n=（尤,y,Z）,

且AC=（26,—2,—2）,CC,=（0,4,0）.

由產(chǎn).…得[23一2y-2z=0,取〃=僅回

CC,?=0,=0,1

由四邊形BCC｝B,為菱形，得BC｝±B。；

又AB_L平面3CG4,所以AB_LB|C；

又ABcBC^B,所以耳C,平面ABC；,

所以平面ABG的法向量為耳C=（26，-6,0）.

/正\n-BC2\/31

所以cosd4。=眄]=際=不

故sin6="^.

4

【點(diǎn)睛】

本題考查面面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角正弦值的問題，在利用向量法時(shí)，關(guān)鍵是點(diǎn)的坐標(biāo)

要寫準(zhǔn)確，本題是一道中檔題.

19.（12分）已知數(shù)列｛/｝滿足‘工+&=2（"22）,且%=』，4,%，%成等比數(shù)列.

%+i"“-I5

1）

（1）求證：數(shù)列｛（一｝是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

(2)記數(shù)列｛'｝的前n項(xiàng)和為S?,bn=????+1S?-l,求數(shù)列他,｝的前n項(xiàng)和T?.

冊(cè)4

/H

【答案】(1)見解析；(2)T=-~-

n8〃+4

【解析】

【分析】

【詳解】

(1)因?yàn)椤?&=2(〃*2),所以所以——+——=—,

a,，man+｝an_｝an

所以數(shù)列｛'｝是等差數(shù)列,

,1.

設(shè)數(shù)歹U｛一｝的公差為d，由可得dxo,

因?yàn)橹?yáng)，4成等比數(shù)列，所以4|。5=域，所以;;=3，所以(；24)(；+24)=(；-</『,

a\"5%”3”3”3

因?yàn)榈?g，所以(5-%)(5+24)=(5-4)2,

解得d=O(舍去)或d=2,所以，=,+(〃-3)4=2〃-1,所以.=丁二.

a?為2/7-1

,.1,(1+2〃-1)2

(2)由(1x)知凡---S〃=c---------------------n,

2n-l2

?…"2111,11、

所以2「二=~——=-(----T--7),

4(2〃—1)(2〃+1)44(2〃-1)(2〃+1)82n—\2〃+1

7

所以>3吟+d+H-----------)=-x(1------)=----

2n-\2/7+182n+\8/1+4

20.(12分)已知數(shù)列｛q｝滿足4=5,a,+]+2=2a”.

(1)求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式;

(2)若包=n(2為一4),求數(shù)列也｝的前“項(xiàng)和S”.

【答案】(1)a,=2+3x2”\(2)S?=3(n-l)x2n+,+6

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)遞推公式，用配湊法構(gòu)造等比數(shù)列｛%-2｝,求其通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出｛對(duì)｝的通項(xiàng)公式;

(2)求出數(shù)列也』的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和Sn.

【詳解】

解：(1)a“+2=2a,i，

.■.4-2=2(4_]-2),4—2=3

.?.{4-2}是首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)歹!).

所以4-2=3x2"T,二a”=2+3x2'-'.

(2)仇=(4+3x2"-4)〃=3"x2"

S?=3X(1X2'+2X22+3X23++〃X2")

25?=3X(1X22+2X23+3X24++nx2"+'

-S?=3X(2'+22+23++2"-〃X2"M一3〃X2"M

.?.S?=3(n-l)x2n+1+6.

【點(diǎn)睛】

本題考查了由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和的問題，屬于中檔題.

21.(12分)為了檢測(cè)某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一批零件，根據(jù)其尺寸的

數(shù)據(jù)得到如圖所示的頻率分布直方圖，若尺寸落在區(qū)間(亍-2sR+2s)之外，則認(rèn)為該零件屬“不合格”

.v?15(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)

(1)求樣本平均數(shù)的大小;

(2)若一個(gè)零件的尺寸是100cm,試判斷該零件是否屬于“不合格”的零件.

【答案】(1)66.5(2)屬于

【解析】

【分析】

(1)利用頻率分布直方圖的平均數(shù)公式求解；(2)求出叵-2s,5+2$),即可判斷得解.

【詳解】

(1)x=35x10x0.005+45x10x0.010+55x10x0.015+65x10x0.030

+75x1Ox0.020+85x0.015+95x10x0.005=66.5

(2)元+2s=66.5+30=96.5,x—2s=66.5—30=36.5,100>96.5

所以該零件屬于“不合格”的零件

【點(diǎn)睛】

本題主要考查頻率分布圖中平均數(shù)的計(jì)算和應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

22.(10分)古人云：“腹有詩(shī)書氣自華.”為響應(yīng)全民閱讀，建設(shè)書香中國(guó)，校園讀書活動(dòng)的熱潮正在興起.

某校為統(tǒng)計(jì)學(xué)生一周課外讀書的時(shí)間，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取〃名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，統(tǒng)計(jì)了他們一周課

外讀書時(shí)間(單位：h)的數(shù)據(jù)如下：

一周課外

合

讀書時(shí)間(。，2](24](46](6,8](8,10](10,12](12,14](14,16](16,18]

計(jì)

/h

頻數(shù)4610121424a4634n

頻率0.020.030.050.060.070.120.25P0.171

(1)根據(jù)表格中提供的數(shù)據(jù)，求P,，的值并估算一周課外讀書時(shí)間的中位數(shù).

(2)如果讀書時(shí)間按(0,6],(6,12],(12,18]分組，用分層抽樣的方法從〃名學(xué)生中抽取20人.

①求每層應(yīng)抽取的人數(shù)；

②若從(0,6],(6,12]中抽出的學(xué)生中再隨機(jī)選取2人，求這2人不在同一層的概率.

【答案】(1)”=20(),a=50,。=0.23,中位數(shù)13.2h；(2)①三層中抽取的人數(shù)分別為2,5,13；

^10

②一

21

【解析】

【分析】

4

(D根據(jù)頻率分布直方表的性質(zhì)，即可求得〃=萬(wàn)方=200,得到。=50,p=0.23,再結(jié)合中位數(shù)的

計(jì)算方法，即可求解.

(2)①由題意知用分層抽樣的方法從樣本中抽取20人，根據(jù)抽樣比，求得在三層中抽取的人數(shù)；

②由①知，設(shè)(0,6]內(nèi)被抽取的學(xué)生分別為亂孔(6,12]內(nèi)被抽取的學(xué)生分別為。力,。,4。利用列舉法

得到基本事件的總數(shù)，利用古典概型的概率計(jì)算公式，即可求解.

【詳解】

446

(1)由題意，可得〃=——=200,所以a=0.25x200=50,p=——=0.23.

0.02200

設(shè)一周課外讀書時(shí)間的中位數(shù)為x小時(shí)，

則0.17+0.23+(14-幻*0.125=0.5,解得x=13.2,

即一周課外讀書時(shí)間的中位數(shù)約為13.2小時(shí).

（2）①由題意知用分層抽樣的方法從樣本中抽取20人，抽樣比為白，

又因?yàn)椋?,6］,（6,12］,（12,18］的頻數(shù)分別為20,50,130,

所以從（0,6］,（6,12］,（12,18］三層中抽取的人數(shù)分別為2,5,13.

②由①知，在（0,可，（6,12］兩層中共抽取7人，設(shè)（0,6］內(nèi)被抽取的學(xué)生分別為羽九（6/2］內(nèi)被抽取

的學(xué)生分別為a,》,c,d,e,

若從這7人中隨機(jī)抽取2人，則所有情況為盯，xa,xb,xc,xd,xe,ya,yh,

yc,yd,ye,ab,ac,ad,訛，be,bd,be,cd,ce,de,共有21種，

其中2人不在同一層的情況為xb,xc,xd,xe,ya,yb,yc,yd,ye,共有io種.

設(shè)事件M為“這2人不在同一層”，

由古典概型的概率計(jì)算公式，可得概率為P（M）=￡.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了頻率分布直方表的性質(zhì)，中位數(shù)的求解，以及古典概型的概率計(jì)算等知識(shí)的綜合應(yīng)用，著

重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

天一聯(lián)考數(shù)學(xué)海南2021屆高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)卷

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二

部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.若+的二項(xiàng)式展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的和為32,則正整數(shù)〃的值為（）

2.已知集合A={x|/og2X<l},集合B={y|y=，則AB

A.(-oo,2)C.(0,2)

3.已知角a的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，若點(diǎn)尸（2,-1）在角a的終邊上，則

4

5

4.正三棱錐底面邊長(zhǎng)為3,側(cè)棱與底面成60。角，則正三棱錐的外接球的體積為（）

16乃32萬(wàn)

A.4萬(wàn)B.16萬(wàn)C.------D.-----

33

5.已知拋物線），2=2px（〃>0）,F為拋物線的焦點(diǎn)且MN為過焦點(diǎn)的弦，若|OE|=1,|MN|=8,則

OMN的面積為（）

A.2痣B.3亞C.472D.逑

2

6.已知平面向量a/滿足|〃目"，旦（叵a-b）工b,則。力所夾的銳角為（）

717t7T

A.-B.—C.—D.0

643

_3

7.已知a,b,c分別為AABC內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊，a=l,4csinA=3cosC,A4BC的面積為一,

2

則c=（）

A.2A/2B.4C.5D.3亞

V

8.已知正四面體的內(nèi)切球體積為v,外接球的體積為V,則一=（）

A.4B.8C.9D.27

9.山東煙臺(tái)蘋果因“果形端正、色澤艷麗、果肉甜脆、香氣濃郁”享譽(yù)國(guó)內(nèi)外.據(jù)統(tǒng)計(jì)，煙臺(tái)蘋果（把蘋果

近似看成球體）的直徑（單位：，的）服從正態(tài)分布N（80,5?）,則直徑在（75,90］內(nèi)的概率為（）

附：若X?,則尸（〃一b〈X,,〃+b）=0.6826,「（以一坊vX,,〃+2b）=0.9544.

A.0.6826B.0.8413C.0.8185D.0.9544

x2

10.已知雙曲線工+y2=l的一條漸近線傾斜角為T，則。=（）

a6

A.3B.-V3

11.已知正項(xiàng)數(shù)列｛《,｝,｛々｝滿足：<：_J，設(shè)c.=k，當(dāng)。3+。4最小時(shí)，G的值為（）

14今

A.2B.—C.3D.4

5

12.雙曲線eV—2）2=1的漸近線方程為（）

A.%±a>=0B.x±2y=0

C.\f2x±y-0D.2x±y=0

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

22

13.已知橢圓C：王?+二=1的左、右焦點(diǎn)分別為月，鳥，如圖A8是過耳且垂直于長(zhǎng)軸的弦，則AA8K

62

的內(nèi)切圓方程是.

14.將函數(shù)f（x）=sin2x的圖像向右平移;個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）的圖像，則函數(shù)y=/（x）-g（x）在

O

n

區(qū)間0,y上的值域?yàn)?/p>

15.已知數(shù)列｛a“｝滿足％+2a2+3a3+...+nan=2",則an=.

16.某班有學(xué)生52人，現(xiàn)將所有學(xué)生隨機(jī)編號(hào)，用系統(tǒng)抽樣方法，抽取一個(gè)容量為4的樣本，已知5號(hào)、31號(hào)、

44號(hào)學(xué)生在樣本中，則樣本中還有一個(gè)學(xué)生的編號(hào)是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知(x+1)"=%+。］(x—l)+4(x—1)~+q(x—I)3++a“(x—1)",(其中〃eN*)

Sn—￡Z|+￡Z->+++a“.

⑴求Sn；

2

（2）求證：當(dāng)〃24時(shí),Sn>（n-2）2"+2n.

18.（12分）如圖，三棱錐P—ABC中，點(diǎn)。，E分別為A8,BC的中點(diǎn)，且平面POE_L平面ABC.

（1）求證：AC//平面POE；

⑵若PD=AC=2,PE=也,求證：平面PBC_L平面ABC.

19.（12分）己知。>0,Z?>0,c>0.

（1）求證：.一皆+應(yīng).叫4+"）；

a2+b2

（2）若abc=1,求證：a3+Z?3+c3..ah-vhc+ac.

x=2+2coscc

20.（12分）在直角坐標(biāo)系xQy中，曲線G的參數(shù)方程為,°為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為

y=4+2sin?

極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程為夕=4sin。.

（1）把（；的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程：

⑵求G與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)（220,0W9<2萬(wàn)）.

21.（12分）下表是某公司2018年5~12月份研發(fā)費(fèi)用（百萬(wàn)元）和產(chǎn)品銷量（萬(wàn)臺(tái)）的具體數(shù)據(jù):

月份56789101112

研發(fā)費(fèi)用（百萬(wàn)元）2361021131518

產(chǎn)品銷量（萬(wàn)臺(tái)）1122.563.53.54.5

（I）根據(jù)數(shù)據(jù)可知）'與x之間存在線性相關(guān)關(guān)系，求出）'與x的線性回歸方程（系數(shù)精確到（）.01）；

(II)該公司制定了如下獎(jiǎng)勵(lì)制度：以Z(單位：萬(wàn)臺(tái))表示日銷售，當(dāng)Ze[0,0.13)時(shí)，不設(shè)獎(jiǎng)；當(dāng)

Ze[0.13,0.15)時(shí)，每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)200元；當(dāng)Ze[0.15,0.16)時(shí)，每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)30()元；當(dāng)

Ze[0.16,”)時(shí)，每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)400元.現(xiàn)已知該公司某月份日銷售Z(萬(wàn)臺(tái))服從正態(tài)分布

N(.0.0001)(其中〃是2018年5-12月產(chǎn)品銷售平均數(shù)的二十分之一)，請(qǐng)你估計(jì)每位員工該月(按

30天計(jì)算)獲得獎(jiǎng)勵(lì)金額總數(shù)大約多少元.

參考數(shù)據(jù)：￡蒼凹=347,力片=1308,才y=93,參]40々84.50,

/=]i=li=l

__n

X_nxyt-nxy

參考公式：相關(guān)系數(shù).二八7、,,,,其回歸直線，=去+g中的人=三-------.

Vki=t八，=i)<='

若隨機(jī)變量工服從正態(tài)分布則。("一b<xW〃+cr)=0.6826,

P(/z—2cr<x<4+2(T)=0.9544.

22.(10分)已知函數(shù)/(x)=一奴+(4-1)1rL*,g(x)=/?—xlnx的最大值為1.

(1)求實(shí)數(shù)b的值；

⑵當(dāng)a>1時(shí)，討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(3)當(dāng)a=0時(shí),令尸(x)=2f(x)+g(x)+21nx+2,是否存在區(qū)間上〃，“仁(1,+℃),使得函數(shù)尸(%)

在區(qū)間上上的值域?yàn)閇%(〃?+2)?(〃+2)]?若存在，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1、C

【解析】

【分析】

由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)，(。+與”的展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)和為2"計(jì)算.

【詳解】

2x+?J的二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為2"，2"=32,，〃=5.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，掌握二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

2、D

【解析】

【分析】

可求出集合A,B,然后進(jìn)行并集的運(yùn)算即可.

【詳解】

解：A={x[0<x<2},B={y|j>0）；

故選￡>.

【點(diǎn)睛】

考查描述法、區(qū)間的定義，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及并集的運(yùn)算.

3、D

【解析】

【分析】

由題知cosa=2y5,又sin（三一2a]=cos2c=2cos,代入計(jì)算可得.

5U）

【詳解】

Oo213

由題知cosa—,又sin|——2a=cos2a=2cosa-\=-.

5125

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式，二倍角公式的應(yīng)用求值.

4、D

【解析】

【分析】

由側(cè)棱與底面所成角及底面邊長(zhǎng)求得正棱錐的高，再利用勾股定理求得球半徑后可得球體積.

【詳解】

如圖，正三棱錐A-6C。中，M是底面ABC。的中心，則AM是正棱錐的高，N