專題06解三角形范圍與最值問題

專題06解三角形范圍與最值問題【考點(diǎn)預(yù)測】1、在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問題，一直都是這部分內(nèi)容的重點(diǎn)、難點(diǎn)．解決這類問題，通常有下列五種解題技巧：（1）利用基本不等式求范圍或最值；（2）利用三角函數(shù)求范圍或最值；（3）利用三角形中的不等關(guān)系求范圍或最值；（4）根據(jù)三角形解的個數(shù)求范圍或最值；（5）利用二次函數(shù)求范圍或最值．要建立所求量（式子）與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量（式子）的值作為函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題．這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍（也就是函數(shù)的定義域）找完善，避免結(jié)果的范圍過大．2、解三角形中的范圍與最值問題常見題型：（1）求角的最值；（2）求邊和周長的最值及范圍；（3）求面積的最值和范圍．【典型例題】例1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在銳角中，角，，所對應(yīng)的邊分別為，，，若，則_________；若，則的最小值_________.【答案】

【解析】因?yàn)?，故，而為三角形?nèi)角，故.若，則，故，因?yàn)闉殇J角三角形內(nèi)角，故，所以，而，因?yàn)闉殇J角三角形內(nèi)角，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，而此時為等腰直角三角形，與題設(shè)矛盾，故，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ实淖钚≈禐?，故答案為：.例2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在△中，角所對的邊分別為，已知，.則的值為__________；若，則△周長的最大值為__________.【答案】

；

.【解析】因?yàn)?，，故，則，即，也即，又，則；若，由余弦定理可得，則，即，即，解得，即的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，故三角形周長的最大值為.故答案為：；.例3．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．(1)求角B的大??；(2)若，且△ABC的面積，求△ABC周長的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)?，所以由正弦定理，得，即，所以，因?yàn)锽∈（0，），所以．（2）由（1）知，由題意得，故，即，由余弦定理可得，故，所以，故，即△ABC周長的取值范圍為（4，）．例4．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）已知的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，的面積．(1)求A；(2)求周長的取值范圍．【解析】（1）由題意得：，由正弦定理得：，根據(jù)余弦定理可知，又所以，得，因?yàn)?，所以；?）法一：，因?yàn)?，即，即，解得：，?dāng)時等號成立，又，所以，所以，綜上，周長的取值范圍．方法二：=由正弦定理．∴又．∴∵，∴∴，∴，∴．綜上，周長的取值范圍．例5．（2023春·江蘇南通·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求角C；(2)求的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)椋?，，因?yàn)?，所以，所以，上式整理得，即，所以，所?因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，即，解?（2）因?yàn)?，所以令，因?yàn)?，所以所以，則.則，所以，令，因?yàn)榈膶ΨQ軸為，且開口向上，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以的取值范圍為，所以的取值范圍為.例6．（2023春·重慶北碚·高一西南大學(xué)附中校考階段練習(xí)）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.(1)求；(2)若，求周長的取值范圍.【解析】（1），由倍角公式得，由余弦定理，，化簡得，則，由，得.（2）由正弦定理得︰，∴，，，，由，，∴，即（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），從而周長的取值范圍是例7．（2023春·寧夏·高一六盤山高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量，且函數(shù)．(1)求函數(shù)的解析式，并化成的形式．(2)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．(3)若中，分別為角對的邊，，求的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)橄蛄浚液瘮?shù)所以（2）令，解得，所以，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為．（3）因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所?所以，所以；所以，的取值范圍為.例8．（2023春·浙江·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在下列3個條件中任選一個，補(bǔ)充到下面問題，并給出問題的解答．①；②；③；已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，D為邊上的一點(diǎn)，______．(1)求角C；(2)若為角平分線，且，求最小值．【解析】（1）選①，因?yàn)?，所以，則有，∵，∴，即.選②：因?yàn)椋瑒t，所以，則有，∵∴，即選③：，∵，∴（2）由余弦定理得：，由角平分線定理得：，得則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.例9．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）的內(nèi)角的對邊分別為的面積邊上的中線長為.(1)求；(2)求外接圓面積的最小值.【解析】（1）的面積，又，于是得，而，即，因此，令邊的中點(diǎn)為，則線段是的中線，有，因此，即有，解得，由余弦定理得，即，解得，所以.（2）設(shè)外接圓半徑為，由正弦定理得，即有，由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，而，于是得，有，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以外接圓面積最小值為.例10．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）已知向量，定義函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)在中，若，且是的邊上的高，求長度的最大值.【解析】（1）=的最小正周期為（2），，.又AB，.由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時，“=”成立，=.例11．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求A的大??；(2)若，求面積的最大值.【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理角化邊得，即，又?）由（1）知，，得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，面積，面積的最大值為.例12．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）已知的內(nèi)角滿足.(1)求角；(2)若，設(shè)是中邊上的高，求的最大值.【解析】（1）由正弦定理得，由余弦定理得，（2）在中，由得，①當(dāng)角為銳角時，當(dāng)，即時，.②當(dāng)角為直角時，，③當(dāng)角為鈍角時，，當(dāng)，即時，綜上：當(dāng)時，.例13．（2023春·福建龍巖·高一福建省永定第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c、滿足．(1)求角B的大?。?2)若，求的面積的最大值．【解析】（1）因?yàn)?，由余弦定理得，又，所?（2）因?yàn)椋桑?）得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，面積所以三角形面積的最大值為．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶一中?？茧A段練習(xí)）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，若角A的內(nèi)角平分線AD的長為3，則的最小值為（

）A．12 B．24 C．27 D．36【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，即，所以，又因，所以，由，得，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以的最小值為.故選：A.2．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）在中，，，為中點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】設(shè)，，，則，，在中，由余弦定理可得，，所以，即，①在中，由余弦定理可得，，所以，②所以①②相減，可得，，所以，故，因?yàn)?，，所以，①②相加可得，，所以，所以，又，所以，令，則，，所以當(dāng)，即時，取最大值，最大值為，又，所以的最大值為，故選：A.3．（2023春·重慶北碚·高一西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）在銳角三角形中，，則邊上的高的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得:,所以，又因?yàn)?，所以，所以，，又因?yàn)槿切螢殇J角三角形，所以，所以，在中，由正弦定理可得：，即，故有，因?yàn)?，所以，所以，所以，又因?yàn)檫吷系母?，所?故選：D.4．（2023春·云南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由以及正弦定理得，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），所以，即.故選：A5．（2023春·陜西榆林·高一?？茧A段練習(xí)）在中，，若解三角形時有兩解，則x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意作圖，如下圖所示當(dāng)x的值確定以后，以C為圓心，2為半徑的圓與c邊的交點(diǎn)即為頂點(diǎn)A的位置，由圖可知，兩種臨界條件分別為：（1）圓與c邊所在直線相切，此時，三角形只有一個解，此時根據(jù)正弦定理，，可得；（2）圓過B時，，三角形只有一個解，此時；所以當(dāng)時，三角形有兩個解，所以x的取值范圍為.故選：C.二、多選題6．（2023春·河北邯鄲·高一?？茧A段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若，則該三角形周長的最大值為6C．若的面積為2，a，b，c邊上的高分別為，且，則的最大值為D．設(shè)，且，則的最小值為【答案】BCD【解析】A選項(xiàng)，，由正弦定理可得：，而，故，因?yàn)榍椅挥诜帜肝恢茫?，所以，又，所以，故A錯誤；B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)知：，由余弦定理得：，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時，所以周長的最大值為6，故B正確；C選項(xiàng)，結(jié)合三角形面積公式得，，，則，又因?yàn)?，所以，結(jié)合余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，所以，所以的最大值為，故C正確；對于D選項(xiàng)，因?yàn)?，即，，兩邊平方并化簡得，即，，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為，故D正確．故選：BCD．7．（2023春·陜西西安·高一西安市第六中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，角所對的邊分別為，已知，則下列判斷中正確的是（

）A．若，則 B．若，則該三角形有兩解C．周長有最大值12 D．面積有最小值【答案】ABC【解析】對于A，，，由正弦定理得所以，故A正確；對于B，由正弦定理得得，所以，因?yàn)橛袃蓚€解，所以該三角形有兩解，故B正確；對于C，由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時三角形周長最大為等邊三角形，周長為12，故C對；對于D，由得,故由于，無最小值，所以面積無最小值，有最大值為，故D錯誤.故選：ABC8．（2023·全國·高一專題練習(xí)）三角形的三邊所對的角為，，則下列說法正確的是（

）A． B．若面積為，則周長的最小值為12C．當(dāng)，時， D．若，，則面積為【答案】ABD【解析】因?yàn)?，由題意可得，整理得，由正弦定理邊角互化得，又由余弦定理得，所以，A正確；當(dāng)時，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，即，所以，B正確；由當(dāng)，時，，解得，C錯誤；由，得，由正弦定理得解得，又因?yàn)?，所以，D正確；故選：ABD.9．（2023·高一單元測試）中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，點(diǎn)是邊上的動點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．B．C．若，則D．若，則的最小值為【答案】ACD【解析】設(shè)，則，三式聯(lián)立解得，對于A，，A正確；對于B，，則，B錯誤；對于C，若，則，則，即，即，則，，C正確；對于D，若，則，取中點(diǎn)，連接，則，顯然當(dāng)時，最小，此時，則，則的最小值為，D正確.故選：ACD.10．（2023·高一單元測試）如圖所示，設(shè)在中，角、、所對的邊分別為、、，，且．若點(diǎn)是外一點(diǎn)，、，下列說法中，錯誤的命題是（

）A．四邊形周長的最小值為B．四邊形周長的最大值為C．四邊形面積的最小值為D．四邊形面積的最大值為【答案】ABC【解析】在中，，由正弦定理得：，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴為正三角形，∵、，∴∵的周長的取值范圍為，∴四邊形周長的取值范圍為，所以AB錯誤，四邊形面積，∵，∴四邊形面積的取值范圍為，所以C錯誤，D正確，故選：ABC．三、填空題11．（2023春·江蘇無錫·高一江蘇省太湖高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，若對任意的實(shí)數(shù)恒成立，則面積的最小值是__________．【答案】【解析】如圖，設(shè)，則若對任意的實(shí)數(shù)恒成立，即恒成立，則，當(dāng)時，面積取最小值為.故答案為：.12．（2023·全國·高一專題練習(xí)）定義：.已知分別為的三個內(nèi)角所對的邊，若，且，則的最小值為______.【答案】【解析】由題可知，化簡得，C為三角形內(nèi)角，解得.所以，所以.故答案為：.13．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，若S為的面積，則的最小值為______.【答案】【解析】由題設(shè)及正弦定理邊角關(guān)系，，即，而，故，又，則，故，而，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最小值為.故答案為：14．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，若角A的內(nèi)角平分線AD的長為2，則△ABC面積的最小值為______．【答案】【解析】本題考查解三角形的應(yīng)用，考查邏輯推理的核心素養(yǎng)．因?yàn)?，所以．由余弦定理易得，又所以．因?yàn)锳D平分角A，所以∠BAD＝∠CAD＝60°．由，得，即，得，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時，等號成立，所以△ABC面積的最小值為．故答案為：．15．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別是a，b，c，a＝4，，點(diǎn)D在線段BC上，，過點(diǎn)D作，，垂足分別是E，F(xiàn)，則面積的最大值是______.【答案】【解析】因?yàn)?，所以由正弦定理得，則，因?yàn)?，所以，所以，則，由余弦定理可得，即，因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，連結(jié)，因?yàn)?，所以，所以，則，，則．故答案為：..16．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，則當(dāng)取最大值時，________．【答案】【解析】設(shè)，令．∴，．∴，解得．∴t的最大值為，即取得最大值，此時，則上述方程的解．故答案為：.17．（2023·全國·高一專題練習(xí)）銳角三角形的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，且，則的取值范圍為___________.【答案】【解析】因?yàn)?，且，所以由正弦定理得：，所以又銳角三角形中，，則，即所以，由于銳角三角形，所以，解得所以由于，則在上遞減，在上遞增所以在上遞減，于是有，即的取值范圍為.故答案為：.18．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在中，，，若有一個解，則的取值范圍是________.【答案】【解析】如圖，若有一個解，則.故答案為：.19．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足．若的外接圓的面積為，則三角形面積的取值范圍是____________．【答案】【解析】由∴得，所以，因?yàn)樗?，所以，而，所以．又由的外接圓的面積為，所以外接圓直徑，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，的面積取值范圍為．故答案為：.20．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）平面四邊形ABCD中，，AB=2，則AD長度的取值范圍________.【答案】【解析】如圖所示，延長，交于E，平行移動CD，當(dāng)C與D重合于E點(diǎn)時，最長，在中，，，AB=2，由正弦定理可得，即，解得；平行移動CD，到圖中AF位置，即當(dāng)A與D重合時，最短，為0.綜上可得，AD長度的取值范圍為故答案為：.四、解答題21．（2023春·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，某小區(qū)有一塊空地，其中AB=50，AC=50，∠BAC=90°，小區(qū)物業(yè)擬在中間挖一個小池塘，E，F(xiàn)在邊BC上（E，F(xiàn)不與B，C重合，且E在B，F(xiàn)之間），且.(1)若，求EF的值；(2)為節(jié)省投入資金，小池塘的面積需要盡可能的小.設(shè)，試確定的值，使得的面積取得最小值，并求出面積的最小值.【解析】（1）由題意可得，設(shè)，則，在中，由余弦定理，則，即，由正弦定理，可得，即，可得，在中，，，由正弦定理，可得，故.故EF的值.（2）設(shè)，則，由正弦定理，可得，在中，由正弦定理，可得，故的面積，∵，∴，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故面積的最小值.22．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）的內(nèi)角的對邊分別為,已知,(1)若為邊上一點(diǎn),,且,求;(2)若為平面上一點(diǎn),,其中,求的最小值.【解析】（1）由可得,即,,,,.,即,則,,,在中,由正弦定理可得,即,解得.（2）,即,則,,(*),根據(jù)已知條件,,代入(*)式得:,當(dāng)時,取得最小值為.23．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）已知銳角三角形的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別記作a，b，c，滿足，且．(1)求；(2)若點(diǎn)，分別在邊和上，且將分成面積相等的兩部分，求的最小值．【解析】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，又，且為銳角，所以，所以．因?yàn)椋裕裕?）設(shè)，，根據(jù)題設(shè)有，所以，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．所以的最小值為．24．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，邊長為1的等邊的中心是G，直線經(jīng)過G點(diǎn)與分別交于M、N點(diǎn)，已知，(1)設(shè)分別是、的面積，試用表示、；(2)當(dāng)線段繞G點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時，求的最大值和最小值．【解析】（1）因?yàn)镚是邊長為1的正三角形ABC的中心，所以，，由正弦定理，得，則，同理可求得．（2）當(dāng)時，因?yàn)?，所以?dāng)或時，取得最大值當(dāng)時，取得最小值25．（2023·全國·高一專題練習(xí)）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知＝．(1)若，求B；(2)若，求符合條件的k的最小值．【解析】（1），即，，，兩邊平方得，即，,,，;（2）由（1）可得，，則,則，,，由得，設(shè)，則當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立即符合條件的k的最小值為26．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）在△中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.(1)求角A的大??；(2)若D為邊中點(diǎn)，且，求a的最小值.【解析】（1）∵，∴，即.由正弦定理得.∵，∴.∵，∴，又∵,

∴，∴；（2）∵D為邊中點(diǎn)，∴，即,∵，∴，∴,∴，即,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,∵，∴，即.故a的最小值為.27．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）已知在中，三個內(nèi)角所對的邊分別為，且.(1)求角的大小；(2)若角為鈍角，且角的角平分線與邊相交于點(diǎn)，滿足，求的面積的最小值.【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理得?因?yàn)?所以,所以.

因?yàn)?，所以?（2）當(dāng)時，，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），解得：（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.即的面積的最小值為.28．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）在中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且，.(1)已知的面積S滿足，求角A；(2)若邊BC上的中線為AD，求AD長的最小值.【解析】（1）由，可得，∴.∵，故.又，∴.（2）在和中，分別由余弦定理可得，，∴，整理得，∴2，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即AD長的最小值為.29．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知.若D在線段BC上，且，.(1)求A；(2)求面積的最大值.【解析】（1）因?yàn)?，因?yàn)椋?（2）由得，，所以.所以.所以.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.所以.所以.故面積的最大值.30．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）在①，②兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答該問題.在中，內(nèi)角所對的邊分別是，且__________.(1)求角；(2)若點(diǎn)滿足，且線段，求的最大值.【解析】（1）選①，由及正弦定理可得:,所以，，因?yàn)椋?，則,所以故；選②，由及正弦定理可得，所以，，∵，所以，則.（2）如圖：點(diǎn)滿足，則,故，又