重難點(diǎn)02不等式-2023年高考數(shù)學(xué)專練（原卷版）

重難點(diǎn)02不等式一、不等式及其解法以理解不等式的性質(zhì)和解一元二次不等式為主，在高考中主要以客觀題形式考查不等式的性質(zhì)和一元二次不等式的解法；以主觀題形式考查不等式與其他知識的綜合.1.不等式的性質(zhì)．2．比較大?。?．一元二次不等式的解法.快審題1.看到有關(guān)不等式的命題或結(jié)論的判定，想到不等式的性質(zhì)．2．看到解不等式，想到求解不等式的方法步驟準(zhǔn)解題1.明確解不等式的策略(1)一元二次不等式：先化為一般形式ax2＋bx＋c>0(a>0)，再結(jié)合相應(yīng)二次方程的根及二次函數(shù)圖象確定一元二次不等式的解集．(2)含指數(shù)、對數(shù)的不等式：利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將其轉(zhuǎn)化為整式不等式求解．2．掌握不等式恒成立問題的解題方法(1)f(x)>a對一切x∈I恒成立?f(x)min>a；f(x)<a對一切x∈I恒成立?f(x)max<a.(2)f(x)>g(x)對一切x∈I恒成立?f(x)的圖象在g(x)的圖象的上方．(3)解決恒成立問題還可以利用分離參數(shù)法，一定要搞清誰是自變量，誰是參數(shù)．一般地，知道誰的范圍，誰就是變量，求誰的范圍，誰就是參數(shù)．利用分離參數(shù)法時，常用到函數(shù)單調(diào)性、基本不等式等避誤區(qū)解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>0時，易忽視系數(shù)a的討論導(dǎo)致漏解或錯解，要注意分a>0，a<0進(jìn)行討論一、填空題1．（2022·上海黃浦·模擬預(yù)測）不等式的解集為___________.2．（2021·上海青浦·一模）不等式的解集是__________.3．（2021·上?！つM預(yù)測）已知集合，，則__________.4．（2017·上海中學(xué)模擬預(yù)測）若關(guān)于的不等式的解是,試求的最小值為_____.5．（2016·上海青浦·一模）設(shè)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．6．（2017·上海浦東新·一模）若關(guān)于的不等式在區(qū)間內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為____．7．（2020·上?！?fù)旦附中模擬預(yù)測）若命題：“存在整數(shù)使不等式成立”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.8．（2010·上?！ざ＃ㄎ模┤舨坏仁綄τ谝磺泻愠闪?，則實(shí)數(shù)的最大值為___．9．（2021·上海市青浦高級中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)f(x)=x,對任意x恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________10．（2021·上海市青浦高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若對于任意的都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.11．（2021·上海上?！ひ荒＃┮阎矫嫦蛄繚M足，向量()，且對任意，總有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.12．（2016·上海長寧·一模）定義：關(guān)于的兩個不等式和的解集分別為和，則稱這兩個不等式為對偶不等式．如果不等式與不等式為對偶不等式，且，則______．二、單選題13．（2017·上海中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)x，y為正實(shí)數(shù)，且xy－(x＋y)＝1，則（

）A．x＋y≥2(＋1) B．xy≤＋1C．x＋y≤(＋1)2 D．xy≥2(＋1)14．（2019·上?！とA師大二附中三模）若集合，，則“”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又不必要條件15．（2018·上海楊浦·二模）設(shè)A、B是非空集合，定義：且．已知，，則等于（

）A． B． C． D．16．（2017·上海浦東新·二模）已知等比數(shù)列滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．17．（2020·上海·復(fù)旦附中模擬預(yù)測）設(shè)集合，，，，其中，下列說法正確的是A．對任意，是的子集，對任意，不是的子集B．對任意，是的子集，存在，使得是的子集C．對任意，使得不是的子集，對任意，不是的子集D．對任意，使得不是的子集，存在，使得不是的子集簡單線性規(guī)劃以畫二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域、目標(biāo)函數(shù)最值的求法為主，兼顧由最優(yōu)解(可行域)情況確定參數(shù)的范圍，以及簡單線性規(guī)劃問題的實(shí)際應(yīng)用，加強(qiáng)直觀想象素養(yǎng)．本節(jié)內(nèi)容在高考中以選擇、填空題的形式進(jìn)行考查，難度為中、低檔.1.求目標(biāo)函數(shù)的最值(截距型、斜率型、距離型)．2.求參數(shù)的值(參數(shù)在約束條件中、參數(shù)在目標(biāo)函數(shù)中)．3.線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用.快審題1.看到最優(yōu)解求參數(shù)，想到由最值列方程(組)求解．2．看到形如z＝(x－a)2＋(y－b)2和形如z＝eq\f(y－b,x－a)，想到其幾何意義．3．看到最優(yōu)解型的實(shí)際應(yīng)用題，想到線性規(guī)劃問題，想到確定實(shí)際意義準(zhǔn)解題記牢三種常見的目標(biāo)函數(shù)及其求法(1)截距型：形如z＝ax＋by，求這類目標(biāo)函數(shù)的最值常將函數(shù)z＝ax＋by轉(zhuǎn)化為y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)，通過求直線的截距eq\f(z,b)的最值從而求出z的最值．(2)距離型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，設(shè)動點(diǎn)P(x，y)，定點(diǎn)M(a，b)，則z＝|PM|2.(3)斜率型：形如z＝eq\f(y－b,x－a)，設(shè)動點(diǎn)P(x，y)，定點(diǎn)M(a，b)，則z＝kPM避誤區(qū)1.忽視目標(biāo)函數(shù)中y的系數(shù)的正負(fù)，而由直線截距的最值確定目標(biāo)函數(shù)的最值．2．求解含參數(shù)的線性規(guī)劃問題，首先要注意對參數(shù)取值的討論，將各種情況下的可行域畫出來，以確定是否符合題意，然后在符合題意的可行域里，尋求最優(yōu)解，從而確定參數(shù)的值一、填空題1．（2022·上?！とA師大二附中模擬預(yù)測）若實(shí)數(shù)滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是__________.2．（2022·上海奉賢·二模）滿足線性約束條件的目標(biāo)函數(shù)的最大值是________.3．（2022·上海·復(fù)旦附中模擬預(yù)測）當(dāng)、滿足時，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．4．（2019·上海市大同中學(xué)三模）設(shè)實(shí)數(shù)、滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的最大值為，則的值為________5．（2021·上海普陀·模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)m>1，實(shí)數(shù)x?y滿足不等式組，若目標(biāo)函數(shù)z=x+my的最大值等于10，則m=___________.6．（2020·上海閔行·二模）若x、y滿足，且，則的最大值為__________．7．（2022·上海市七寶中學(xué)模擬預(yù)測）已知為圓的一條直徑，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足不等式組，則的取值范圍是___________.8．（2020·上海長寧·三模）已知點(diǎn)為不等式所表示的可行域內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為________9．（2019·上?！つM預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，是坐標(biāo)原點(diǎn)，兩定點(diǎn)滿足，由點(diǎn)集所表示的區(qū)域的面積是__________．10．（2021·上海徐匯·二模）已知實(shí)數(shù)a、b使得不等式|ax2+bx+a|≤x對任意x∈[1，2]都成立，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（a，b）形成的區(qū)域記為Ω．若圓x2+y2＝r2上的任一點(diǎn)都在Ω中，則r的最大值為_____．二、單選題11．（2021·上?！つM預(yù)測）實(shí)數(shù)x、y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)最大值是(

)A．1 B．2 C．3 D．412．（2019·上海楊浦·二模）若、滿足，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．413．（2016·上海黃浦·一模（理））已知Р為直線上一動點(diǎn)，若點(diǎn)P與原點(diǎn)均在直線的同側(cè)，則k、b滿足的條件分別為（

）A．， B．，C．， D．，14．（2020·上海·一模）下列結(jié)論中錯誤的是（

）A．存在實(shí)數(shù)x，y滿足，并使得成立B．存在實(shí)數(shù)x，y滿足，并使得成立C．滿足，且使得成立的實(shí)數(shù)x，y不存在D．滿足，且使得成立的實(shí)數(shù)x，y不存在1.利用基本不等式求最值（注意基本不等式成立的條件）．2.基本不等式的應(yīng)用快審題看到最值問題，想到“積定和最小”，“和定積最大”準(zhǔn)解題掌握基本不等式求最值的3種解題技巧(1)湊項(xiàng)：通過調(diào)整項(xiàng)的符號，配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積或和為定值．(2)湊系數(shù)：若無法直接運(yùn)用基本不等式求解，通過湊系數(shù)后可得到和或積為定值，從而可利用基本不等式求最值．(3)換元：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開，即化為y＝m＋eq\f(A,gx)＋Bg(x)(A>0，B>0)，g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用基本不等式來求最值避誤區(qū)運(yùn)用基本不等式時，一定要注意應(yīng)用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所謂“一正”是指“正數(shù)”；“二定”指應(yīng)用基本不等式求最值時，和或積為定值；“三相等”是指滿足等號成立的條件．若連續(xù)兩次使用基本不等式求最值，必須使兩次等號成立的條件一致，否則最值取不到一、填空題1．（2016·上?！じ呖颊骖}（文））設(shè)a＞0,b＞0．若關(guān)于x,y的方程組無解，則的取值范圍是．2．（2014·上?！じ呖颊骖}（文））若實(shí)數(shù)x,y滿足xy=1,則+的最小值為______________.3．（2021·上海嘉定·一模）已知實(shí)數(shù)x、y滿足，則的最小值為____________.4．（2021·上海青浦·三模）若正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為__________.5．（2021·上海金山·二模）函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，其中、，則的最小值為____________.6．（2022·上海·二模）已知對，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是_________.7．（2022·上?！の挥袑W(xué)模擬預(yù)測）已知，且，則的最小值為_____.8．（2020·上海上?！ひ荒＃τ谌我獾恼龑?shí)數(shù)，，則的取值范圍為___________.9．（2021·上海普陀·模擬預(yù)測）已知向量的夾角為銳角，且滿足?，若對任意的，都有|x+y|≤1成立，則的最小值為___________.10．（2022·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測）對任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為________．11．（2014·上海虹口·二模（理））設(shè)是半徑為的球面上的四個不同點(diǎn),且滿足,,,用分別表示△?△?△的面積,則的最大值是___________12．（2017·上海閔行·一模）已知兩個不相等的非零向量和，向量組和均由個和個排列而成.記，那么的所有可能取值中的最小值是_______．（用向量表示）二、單選題13．（2011·上?！じ呖颊骖}（理））若，且，則下列不等式中，恒成立的是A． B． C． D．14．（2017·上海中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)x，y為正實(shí)數(shù)，且xy－(x＋y)＝1，則（

）A．x＋y≥2(＋1) B．xy≤＋1C．x＋y≤(＋1)2 D．xy≥2(＋1)15．（2016·上海靜安·二模（理））下列不等式一定成立的是（

）A．lg(x2＋)>lgx(x>0) B．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)C． D．>1(x∈R)16．（2021·上海松江·二模）已知實(shí)數(shù)?滿足，有結(jié)論：①若，，則有最大值；②若，，則有最小值；正確的判斷是（

）A．①成立，②成立 B．①不成立，②不成立C．①成立，②不成立 D．①不成立，②成立17．（2021·上海閔行·一模）已知實(shí)數(shù)滿足，則三個數(shù)中，大于1的個數(shù)最多是（

）A．0 B．1 C．2 D．3三、解答題18．（2020·上海青浦·二模）地鐵給市民出行帶來很多便利．已知某條線路通車后，地鐵的發(fā)車時間間隔t（單位：分鐘）滿足，．經(jīng)測算，地鐵載客量與發(fā)車時間間隔t相關(guān)，當(dāng)時地鐵為滿載狀態(tài)，載客量為1200人，當(dāng)時，載客量會減少，減少的人數(shù)與的平方成正比，且發(fā)車時間間隔為2分鐘時的載客量為560人，記地鐵載客量為．（1）求的表達(dá)式，并求當(dāng)發(fā)車時間間隔為6分鐘時，地鐵的載客量（2）若該線路每分鐘的凈收益為（元），問當(dāng)發(fā)車時間隔為多少時，該線路每分鐘的凈收益最大？19．（2019·上海松江·一模）汽車智能輔助駕駛已得到廣泛應(yīng)用，其自動剎車的工作原理是用雷達(dá)測出車輛與前方障礙物之間的距離（并結(jié)合車速轉(zhuǎn)化為所需時間），當(dāng)此距離等于報警距離時就開始報警提醒，等于危險距離時就自動剎車，某種算法（如下圖所示）將報警時間劃分為4段，分別為準(zhǔn)備時間、人的反應(yīng)時間、系統(tǒng)反應(yīng)時間、制動時間，相應(yīng)的距離分別為、、、，當(dāng)車速為（米/秒），且時，通過大數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析得到下表（其中系數(shù)隨地面濕滑成都等路面情況而變化，）.階段0、準(zhǔn)備1、人的反應(yīng)2、系統(tǒng)反應(yīng)3、制動時間秒秒距離米米（1）請寫出報警距離（米）與車速（米/秒）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求時，若汽車達(dá)到報警距離時人和系統(tǒng)均不采取任何制動措施，仍以此速度行駛，則汽車撞上固定障礙物的最短時間（精確到0.1秒）；（2）若要求汽車不論在何種路面情況下行駛，報警距離均小于80米，則汽車的行駛速度應(yīng)限制在多少米/秒以下？合多少千米/小時？20．（2013·上海浦東新·二模（理））已知直角的三邊長，滿足（1）在之間插入2011個數(shù)，使這2013個數(shù)構(gòu)成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，且它們的和為，求的最小值；（2）已知均為正整數(shù)，且成等差數(shù)列，將滿足條件的三角形的面積從小到大排成一列，且，求滿足不等式的所有的值；（3）已知成等比數(shù)列，若數(shù)列滿足，證明：數(shù)列中的任意連續(xù)三項(xiàng)為邊長均可以構(gòu)成直角三角形，且是正整數(shù).重難點(diǎn)題型必刷一、填空題1．已知，則__________．（填“＞”“＜”或“＝”）2．已知，，則的取值范圍是__________3．已知不等式的解集為（2，3），則不等式的解集為____.4．函數(shù)的定義域是，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．5．若，則的取值范圍是_____________．6．不等式的解集是___________.7．已知，，且，則的最小值為______.8．已知當(dāng)時，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____.9．已知p：，q：.若p是q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.10．已知a＞b，關(guān)于x的不等式對于一切實(shí)數(shù)x恒成立，又存在實(shí)數(shù)，使得成立，則最小值為_________．11．研究問題：“已知關(guān)于x的不等式ax2－bx＋c＞0的解集為(1，2)，解關(guān)于x的不等式cx2－bx＋a＞0”，有如下解法：由ax2－bx＋c＞0?a－b＋c＞0.令y＝，則y∈，所以不等式cx2－bx＋a＞0的解集為.類比上述解法，已知關(guān)于x的不等式＋＜0的解集為(－2，－1)∪(2，3)，則關(guān)于x的不等式＋＜0的解集為________．12．已知m,n,t均為實(shí)數(shù),表示不超過實(shí)數(shù)u的最大整數(shù),若對任意實(shí)數(shù)x恒成立,且(),則實(shí)數(shù)P的最大值為______.二、單選題13．若、均為非零實(shí)數(shù)，則不等式成立的一個充要條件為（

）．A． B． C． D．14．不等式的解集為,則函數(shù)的圖像大致為（

）A． B．C． D．15．?dāng)?shù)學(xué)里有一種證明方法叫做Proofswithoutwords，也稱之為無字證明，一般是指僅用圖象語言而無需文字解釋就能不證自明的數(shù)學(xué)命題，由于這種證明方法的特殊性，無字證明被認(rèn)為比嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明更為優(yōu)雅.現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為斜邊上異于頂點(diǎn)的一個動點(diǎn)，設(shè)，，則該圖形可以完成的無字證明為（

）A． B．C． D．16．已知，，若，則對此不等式描述正確的是A．若，則至少存在一個以為邊長的等邊三角形B．若，則對任意滿足不等式的都存在以為邊長的三角形C．若，則對任意滿足不等式的都存在以為邊長的三角形D．若，則對滿足不等式的不存在以為邊長的直角三角形三、解答題17．某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本萬元與年產(chǎn)量噸之間的函數(shù)關(guān)系可以近似地表示為，已知此生產(chǎn)線的年產(chǎn)量最小為60噸，最大為110噸.（1）年產(chǎn)量為多少噸時，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低?并求最低平均成本;