41等差數(shù)列（精講）（基礎(chǔ)版）（原卷版）

4.1等差數(shù)列（精講）（基礎(chǔ)版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一等差數(shù)列基本量的計(jì)算【例1】（2022·福建三明）已知等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且，，則＝（

）A．6 B．10 C．12 D．201.1.方程思想：等差數(shù)列的基本量為首項(xiàng)a1和公差d，通常利用已知條件及通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式列方程(組)求解，等差數(shù)列中包含a1，d，n，an，Sn五個(gè)量，可“知三求二”．2.整體思想：當(dāng)所給條件只有一個(gè)時(shí)，可將已知和所求都用a1，d表示，尋求兩者間的聯(lián)系，整體代換即可求解．3.利用性質(zhì)：運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)可以化繁為簡、優(yōu)化解題過程．溫馨提示【一隅三反】1．（2022·陜西漢中）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則等差數(shù)列的公差是（

）A． B． C． D．2．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特）已知在等差數(shù)列中，，則（

）A．30 B．39 C．42 D．783．（2022·陜西·西安工業(yè)大學(xué)附中）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A．20 B．23 C．24 D．28考點(diǎn)二等差中項(xiàng)【例21】（2022·北京通州·一模）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A．60 B．70 C．120 D．140【例22】（2022·浙江杭州·二模）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）A．12 B．15 C．18 D．21【例23】（2022·安徽滁州）已知是公差不為零的等差數(shù)列，若，則（

）A．7 B．8 C．9 D．10【一隅三反】1．（2022·河北石家莊·二模）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和記為，若，則（

）A．3033 B．4044 C．6066 D．80882．（2022·河南平頂山）已知為正項(xiàng)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（

）A．22 B．20 C．16 D．113．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足且，則（

）A．3 B．3 C． D．考點(diǎn)三前n項(xiàng)和的性質(zhì)【例31】（2022·北京石景山）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（

）A．36 B．45 C．63 D．75【例32】（1）（2022·江西·臨川一中）已知數(shù)列和都是等差數(shù)列，且其前n項(xiàng)和分別為和，若，則（

）A． B． C． D．（2）（2022·四川師范大學(xué)附屬中學(xué)二模（理））設(shè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，，若，則（

）A．B．C．D．3【例33】（2022·全國·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若且，則(

)A． B．C． D．【例34】（1）（2022·內(nèi)蒙古赤峰）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則取最大值時(shí)正整數(shù)n的值為（

）A．9 B．10 C．11 D．12（2）（2022·重慶·二模）（多選）設(shè)等差數(shù)列前項(xiàng)和為，公差，若，則下列結(jié)論中正確的有（

）A． B．當(dāng)時(shí)，取得最小值C． D．當(dāng)時(shí)，的最小值為291.1.等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最值的兩種方法(1)函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式Sn＝an2＋bn，通過配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解．(2)鄰項(xiàng)變號(hào)法：①當(dāng)a1>0，d<0時(shí)，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am≥0，,am＋1≤0))的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm；②當(dāng)a1<0，d>0時(shí)，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am≤0，,am＋1≥0))的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm.2.在等差數(shù)列中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等差數(shù)列；eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也成等差數(shù)列溫馨提示【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則等于（

）A．3 B．12 C．21 D．302．（2022·全國·高三）若等差數(shù)列和的前n項(xiàng)的和分別是和，且，則（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為，，若對(duì)任意自然數(shù)n都有，則的值為（

）A． B． C． D．4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在等差數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為，若，則等于（

）A． B． C． D．5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）（多選）等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，若a1>0，S10＝S20，則（

）A．d<0B．a(chǎn)16<0C．Sn≤S15D．當(dāng)且僅當(dāng)n≥32時(shí)，Sn<06．（2022·浙江省浦江中學(xué)高三期末）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，其前n項(xiàng)和為，且，，則使得的正整數(shù)n的最小值為（

）A．16 B．17 C．18 D．19考點(diǎn)四等差數(shù)列定義及其運(yùn)用【例41】（2022·全國·高三專題練習(xí)）（多選）下列數(shù)列是等差數(shù)列的是（

）A．0，0，0，0，0，… B．1，l，111，111l，…C．－5，－3，－1，1，3，… D．1，2，3，5，8，…【例42】（2022·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，有,證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式.【例43】（2022·四川·瀘縣五中模擬預(yù)測(cè)（理））下列選項(xiàng)中，為“數(shù)列是等差數(shù)列”的一個(gè)充分不必要條件的是（

）A． B．C．通項(xiàng)公式 D．【例44】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知不全相等的實(shí)數(shù)，，成等比數(shù)列，則一定不可能是等差數(shù)列的為（

）A．，， B．，， C．，， D．，，等差數(shù)列的判定與證明的方法等差數(shù)列的判定與證明的方法方法解讀適合題型定義法若an－an－1(n≥2，n∈N*)為同一常數(shù)?{an}是等差數(shù)列解答題中證明問題等差中項(xiàng)法2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N*)成立?{an}是等差數(shù)列通項(xiàng)公式法an＝pn＋q(p，q為常數(shù))對(duì)任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列選擇、填空題中的判定問題前n項(xiàng)和公式驗(yàn)證Sn＝An2＋Bn(A，B是常數(shù))對(duì)任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列溫馨提示【一隅三反】1．（2022·全國·課時(shí)練習(xí)）（多選）若是等差數(shù)列，則下列數(shù)列為等差數(shù)列的有（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）在數(shù)列中，，且對(duì)任意大于的正整數(shù)，點(diǎn)在直線上，則（

）A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為D．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為3．（2022·全國·課時(shí)練習(xí)）（多選）下列數(shù)列中是等差數(shù)列的是（

）A．，a，B．2，4，6，8，…，，C．，，，D．4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，當(dāng)n≥2時(shí)，.求證:數(shù)列是等差數(shù)列.考點(diǎn)五等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用【例5】（2022·海南·文昌中學(xué)高三階段練習(xí)）《周髀算經(jīng)》是中國古代天文學(xué)與數(shù)學(xué)著作，其中有關(guān)于24節(jié)氣的描述，將一年分為24個(gè)節(jié)氣，如圖所示，已知晷長指太陽照射物體影子的長度，相鄰兩個(gè)節(jié)氣的晷長變化量相同（即每兩個(gè)相鄰節(jié)氣晷長增加或減小量相同，其中冬至晷長最長，夏至晷長最短，從夏至到冬至晷長逐漸變大，從冬至到夏至晷長逐漸變小.周而復(fù)始，已知冬至晷長為13.5尺，芒種晷長為2.5尺，則一年中秋分這個(gè)節(jié)氣的晷長為（

）A．6.5尺 B．7.5尺 C．8.5尺 D．95尺【一隅三反】1.（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）《張邱建算經(jīng)》曾有類似記載：“今有女子善織布，逐日織布同數(shù)遞增（即每天增加的數(shù)量相同）".若該女子第一天織布兩尺，前二十日共織布六十尺，則該女子第二十日織布（

）A．三尺 B．四尺 C．五尺 D．六尺2．（2022·天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)高三階段練習(xí)）北京天壇圜丘壇的地面由石板鋪成，最中間的是圓形的天心石，圍繞天心石的是9圈扇環(huán)形的石板，從內(nèi)到外各圈的石板數(shù)依次為，，，…，，設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為，且，，則（

）A．189 B．252C．324 D．4053．（2022·黑龍江·哈九中三模（理））南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前