2020-2024五年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編專題03導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 （解析版）

2020-2024年五年高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題03導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用考點(diǎn)五年考情（2020-2024）命題趨勢考點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)切線方程（5年5考）2024天津卷：求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(含參)；2023天津卷：求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題；2022天津卷：求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)；2021天津卷：求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率)利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題函數(shù)極值點(diǎn)的辨析；2020天津卷：利用導(dǎo)數(shù)求切線的方程、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式；1.利用導(dǎo)數(shù)求切線方程是高考中的重點(diǎn)內(nèi)容，需要掌握基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式、切點(diǎn)的性質(zhì)。2.不等式恒成立的考查內(nèi)容比較綜合，一般結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值問題等3.不等式的證明問題難度系數(shù)比較綜合，通常需要結(jié)合求導(dǎo)、不等式放縮、同構(gòu)等方法進(jìn)行考察考點(diǎn)2不等式恒成立求參數(shù)（5年2考）2024天津卷：求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(含參)；2021天津卷：求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率)利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題函數(shù)極值點(diǎn)的辨析；考點(diǎn)3不等式證明（5年4考）2024天津卷：求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(含參)；2023天津卷：求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題；2022天津卷：求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)；2020天津卷：利用導(dǎo)數(shù)求切線的方程、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式；考點(diǎn)01導(dǎo)數(shù)切線方程1．（2024·天津·高考真題）設(shè)函數(shù)fx(1)求fx圖象上點(diǎn)1,(2)若fx≥ax-(3)若x1,x【答案】(1)y(2)2(3)證明過程見解析〖祥解〗（1）直接使用導(dǎo)數(shù)的幾何意義；（2）先由題設(shè)條件得到a=2，再證明a（3）先確定fx的單調(diào)性，再對x1【詳析】（1）由于fx=x所以f1=0，f'1=1，所以所求的切線經(jīng)過1,0（2）設(shè)ht=t-1-lnt，則h't所以ht在0,1上遞減，在1,+∞上遞增，這就說明ht≥h1設(shè)gtfx當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，1x的取值范圍是0,+∞一方面，若對任意t∈0,+∞，都有g(shù)0≤g取t=2，得0≤a-再取t=2a，得0≤另一方面，若a=2，則對任意t∈0,+∞綜合以上兩個(gè)方面，知a的值是2.（3）先證明一個(gè)結(jié)論：對0<a<b證明：前面已經(jīng)證明不等式t-1≥ln且bln所以lna+1<b由f'x=lnx+1，可知當(dāng)0<x所以fx在0,1e上遞減，在不妨設(shè)x1≤情況一：當(dāng)1e≤x情況二：當(dāng)0<x1≤對任意的c∈0,1e，設(shè)由于φ'φ'且當(dāng)x≥c-14φ'所以φ'x在0,c上存在零點(diǎn)x0，再結(jié)合φ'x單調(diào)遞增，即知0<x故φx在0,x0上遞減，在①當(dāng)x0≤x②當(dāng)0<x<x0時(shí)，由于從而當(dāng)0<x<cφx再根據(jù)φx在0,x0上遞減，即知對0<綜合①②可知對任意0<x≤c，都有φ根據(jù)c∈0,1e和0<x≤c所以fx情況三：當(dāng)0<x1≤1e而根據(jù)fx的單調(diào)性，知fx1故一定有fx1綜上，結(jié)論成立.【『點(diǎn)石成金』】關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：本題的關(guān)鍵在于第3小問中，需要結(jié)合fx的單調(diào)性進(jìn)行分類討論考點(diǎn)02不等式恒成立求參數(shù)2．（2021·天津·高考真題）已知a>0，函數(shù)f（I）求曲線y=f(（II）證明f(（III）若存在a，使得f(x)≤a+【答案】（I）y=(a-1)x,(〖祥解〗（I）求出fx在x=0處的導(dǎo)數(shù)，即切線斜率，求出（II）令f'x=0，可得a=(x+1)e（III）令h(x)=x2-x-1e【詳析】（I）f'(x又f(0)=0，則切線方程為y（II）令f'(x令g(x)=(當(dāng)x∈(-∞,-2)時(shí)，g'(x)<0，gx單調(diào)遞減；當(dāng)當(dāng)x→-∞時(shí)，gx<0，g-1=0，當(dāng)所以當(dāng)a>0時(shí)，y=a與y=gx僅有一個(gè)交點(diǎn)，令當(dāng)x∈(-∞,m)時(shí)，a>g當(dāng)x∈m,+∞時(shí)，a<gx=m為fx（III）由（II）知f(x)所以{f令h(若存在a，使得f(x)≤a+b對任意x∈h'(x當(dāng)x∈(-1,1)時(shí)，h'(x)<0，hx單調(diào)遞減，當(dāng)所以h(x)所以實(shí)數(shù)b的取值范圍-e【『點(diǎn)石成金』】關(guān)鍵『點(diǎn)石成金』：第二問解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明y=a與y=gx僅有一個(gè)交點(diǎn)；第三問解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為存在x考點(diǎn)03不等式證明3．（2023·天津·高考真題）已知函數(shù)fx(1)求曲線y=fx(2)求證：當(dāng)x>0時(shí)，f(3)證明：56【答案】(1)1(2)證明見解析(3)證明見解析〖祥解〗（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求斜率；（2）問題化為x>0時(shí)lnx+1（3）構(gòu)造h(n)=lnn!-n+12lnn+n，【詳析】（1）f(x)=所以f'(2)=13-（2）要證x>0時(shí)fx=令g(x)=lnx所以g(x)在(0,+∞)所以x>0時(shí)f（3）設(shè)h(n)=則h(由（2）知：x=1n∈(0,1]所以h(n+1)-h(n)<0，故下證ln(令φ(x)=lnx當(dāng)0<x<1時(shí)φ'(x)>0，φ(所以φ(x)≤φ(1)=0則h(所以h(2)-h(3)<112(1-1累加得：h(2)-h(n)<因?yàn)?9>3則-h(所以h(1)-h(n綜上，56<h(n【『點(diǎn)石成金』】關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：第三問，作差法研究h(n)=lnn!-n+14．（2022·天津·高考真題）已知a，b(1)求函數(shù)y=fx(2)若y=fx（i）當(dāng)a=0時(shí)，求b的（ii）求證：a2【答案】(1)y(2)（i）b∈[2e〖祥解〗（1）求出f'（2）（i）當(dāng)a=0時(shí)，曲線y=f(x)和y=（ii）曲線y=f(x)和y=g(【詳析】（1）f'(x)=e曲線f(x)在點(diǎn)(0,f(0))（2）（i）當(dāng)a=0時(shí)，因?yàn)榍€y=f(x)設(shè)t=x，故x=t2設(shè)s(t)=et而s'若b=0，則s(t)=e若b<0，則s'(t)>0在(0,+而s(0)=1>0，s(t)≥s故b>0設(shè)u(t)=2故u(t)而u(0)=-b<0故u(t)在(0,+且0<t<t0時(shí)，u(故0<t<t0時(shí)，s'所以s(t)在(0,故s(因?yàn)閟(t)在[0,+∞)而2t0et0設(shè)v(t)=2故v(t)而b=2t0（ii）因?yàn)榍€y=f(所以ex-asinx若x0=0，則1-a故asinx0a2+b2表示原點(diǎn)與直線故a2+b下證：對任意x>0，總有|證明：當(dāng)x≥π2時(shí)，有|sin當(dāng)0<x<π設(shè)p(x)=故p(x)=sinx-x在綜上，|sinx下證：當(dāng)x>0時(shí)，eq(x)=故q(x)在(0,+∞)上為增函數(shù)，故下證：e2xsin2x即證：2x-1+1≥而x>|sinx|≥故ex0sin2【『點(diǎn)石成金』】思路『點(diǎn)石成金』：導(dǎo)數(shù)背景下零點(diǎn)問題，注意利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在定理來處理，而多變量的不等式的成立問題，注意從幾何意義取構(gòu)建不等式關(guān)系，再利用分析法來證明目標(biāo)不等式.5．（2020·天津·高考真題）已知函數(shù)f(x)=x3（Ⅰ）當(dāng)k=6（i）求曲線y=f(（ii）求函數(shù)g(（Ⅱ）當(dāng)k?-3時(shí)，求證：對任意的x1,【答案】（Ⅰ）（i）y=9x-8；（ii）g(x)〖祥解〗(Ⅰ)(i)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線方程即可；(ii)首先求得g'（Ⅱ）首先確定導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后令x1x2=【詳析】(Ⅰ)(i)當(dāng)k=6時(shí)，f(x)=x3+6lnx所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,(ii)依題意，g(從而可得g'(整理可得：g'令g'(x)=0當(dāng)x變化時(shí)，g'(x(0,1)x(1,+∞)g-0+g單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，+∞)；g(x)的極小值為g(1)=1，無極大值.（Ⅱ）證明：由f(x)=對任意的x1,?x2(=(==x令h(當(dāng)x>1時(shí)，h'由此可得h(x)在[1,+∞)單調(diào)遞增，所以當(dāng)t>1時(shí)，h因?yàn)閤2≥1，t3所以x=t由(Ⅰ)(ii)可知，當(dāng)t>1時(shí)，g(t故t3由①②③可得(x所以，當(dāng)k≥-3時(shí)，任意的x1,f'【『點(diǎn)石成金』】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點(diǎn)，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．6．（2024·天津南開·二模）已知函數(shù)fx=sin(1)求曲線y=fx(2)證明：對?x∈0,+∞，f'(3)設(shè)an=n2n，證明：【答案】(1)y(2)證明見解析(3)證明見解析〖祥解〗（1）由x=0處的導(dǎo)數(shù)得到切線的斜率，由x（2）構(gòu)造新函數(shù)hx=f'x-gx=（3）利用sinx1-sinx2x1【詳析】（1）f'x=cosx所以曲線y=fx在點(diǎn)x（2）令hx=f'x-g令φx=h'x，則φ'x其中h'0=0，故h'x≥0在故hx≥h0（3）設(shè)0<x1<令qx=x因?yàn)閝'x=cosx所以qx>qx2由于0<i所以ki由（2）知，cosx>1-x22設(shè)Tn=123+①－②得34Tn所以Tn【『點(diǎn)石成金』】方法『點(diǎn)石成金』：利用放縮法證明不等式放縮法就是針對不等式的結(jié)構(gòu)特征，運(yùn)用不等式的性質(zhì)，將不等式的一邊或兩邊進(jìn)行放大或縮小，也就是對代數(shù)式進(jìn)行恰到好處的變形，使問題便于解決．放縮法大致分為以下幾類．（1）將代數(shù)式中的分母和分子同時(shí)擴(kuò)大和縮?。?）利用均值不等式或其他的不等式放縮數(shù)式．（3）不等式兩邊同時(shí)加上或減去某一項(xiàng)．（4）把代數(shù)式中的一些項(xiàng)進(jìn)行分解再重新組合，這樣就可以消去一些項(xiàng)便于求解，這也是我們常用的裂項(xiàng)法．7．（2024·天津河北·二模）已知a>0，函數(shù)f(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(2)當(dāng)0<a<1（?。┣骹x（ⅱ）設(shè)fx的極大值為ga，求(3)設(shè)n∈N+，且n【答案】(1)y=(2)（i）fx的單調(diào)遞增區(qū)間是0,a1-a極大值aln（ii）-ln(3)證明見解析.〖祥解〗（1）求導(dǎo)數(shù)得f'（2）求導(dǎo)數(shù)得單調(diào)區(qū)間，可求得最值，再對g(（3）利用分析法和放縮法，可求出結(jié)果.【詳析】（1）a=1時(shí)，∴y+ln∴曲線y=fx在點(diǎn)1,（2）（?。ゝxf'令f'x∵0<a∵x當(dāng)x變化時(shí)，f'x0,aa1-a1-f'+0-fx↗極大值↘∴函數(shù)y=fx單調(diào)遞增區(qū)間是∴ffx的極大值（ⅱ）設(shè)gag'令g'a=0∵0<a當(dāng)a變化時(shí)，g'a0,11212g'-0+ga↘極小值↗而g∴ga的最小值為（3）當(dāng)n≥2時(shí)，要證兩邊同時(shí)取對數(shù)，即證ln1即證n-1k即證2n而2n由（2）可知ga令a=knkn∴n∴1【『點(diǎn)石成金』】求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟:(1)確定fx的定義域(2)計(jì)算導(dǎo)數(shù)f'(3)求出f'x4)用f'x=0考查這若干個(gè)區(qū)間內(nèi)f'x的符號，進(jìn)而確定f'x>0f'x<0，則如果導(dǎo)函數(shù)含有參數(shù)，則需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，分類討論要做到不重不漏.8．（2024·天津北辰·三模）已知fx=ex-x2(1)當(dāng)x0=0時(shí)，求直線(2)證明：l與曲線y=fx有一個(gè)異于點(diǎn)P的交點(diǎn)x(3)在（2）的條件下，令x0x1=【答案】(1)x(2)證明見解析(3)-〖祥解〗（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；（2）設(shè)gx=f'x0x（3）設(shè)x1=-kx0k>0，則計(jì)算可得0=Fx1=e-【詳析】（1）當(dāng)x0=0時(shí)，P0,1，而f所以l的方程是y=1?x-（2）由于f'(x)=ex-設(shè)gx=ex0令Fx設(shè)hx=1-12x2+x-1記u=u=由于F0且F=1-u故一定存在x1∈u,0，使得而x1<0<x0，故x1,f（3）對k>0，設(shè)φ則φ'φ″φ'''由于當(dāng)t>0時(shí)，φ'''t故φ'''t在0,+若0<k≤2，則所以對t>0有φ'''t>φ所以對t>0有φ″t>φ所以對t>0有φ't>φ所以對t>0有φt>φ0=0若k>2，則φ由于對t>0有φ故φ'''從而存在v∈0,ln結(jié)合φ'''t在0,+∞上單調(diào)遞增，知對0<t<v有所以對0<t<v有φ″t所以對0<t<v有φ't所以φv<φ0<h故對t>1有et2φ>t結(jié)合φv<φ0=0，就知道φt在0,綜上，對k>0，函數(shù)φt=e-最后，一方面我們?nèi)=-0=F所以φt在0,+∞上存在零點(diǎn)x0，故-另一方面，對任意-12<t<0，取k=-記該零點(diǎn)為x0，取x0==e所以這樣的x0,x綜上，t的取值范圍是-1【『點(diǎn)石成金』】關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：本題的關(guān)鍵在于，將取值范圍問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)存在性問題，然后即可使用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)的存在性.9．（2024·天津·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(1)求曲線y=fx(2)求證：ex(3)函數(shù)hx=f【答案】(1)y=(2)證明見詳析；(3)0,1〖祥解〗（1）利用導(dǎo)數(shù)求斜率，利用解析式求切點(diǎn)縱坐標(biāo)，然后可得切線方程；（2）構(gòu)造函數(shù)gx（3）構(gòu)造函數(shù)mx=lnx+2x+2,【詳析】（1）因?yàn)閒'所以曲線y=fx在x又f-1=（2）記gx=e當(dāng)x<0時(shí)，g'x<0，函數(shù)當(dāng)x>0時(shí)，g'x>0，函數(shù)g所以當(dāng)x=0時(shí)，gx取得最小值所以gx=e（3）hx由題知，lnx即lnx令mx=ln當(dāng)-2<x<e-2時(shí)，當(dāng)x>e-2時(shí)，m'x當(dāng)x趨近于-2時(shí)，mx趨近于-∞，當(dāng)x趨近于+∞時(shí)，又fe-2由圖可知，當(dāng)0<a<1e時(shí)，函數(shù)所以，a的取值范圍為0,1【『點(diǎn)石成金』】思路『點(diǎn)石成金』：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，一般采取參變分離，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，然后利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)變化趨勢、極值等作出函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)圖象即可得解.10．（2024·天津河西·三模）已知函數(shù)fx=-2alnx(1)若f'2=0(2)當(dāng)a>0時(shí)，求函數(shù)g(3)若存在x∈1e,e【答案】(1)1(2)答案見解析(3)-〖祥解〗（1）求導(dǎo)可得f'x，由（2）求導(dǎo)可得g'x=（3）根據(jù)題意，由fx≤gx【詳析】（1）因?yàn)閒x=-2a由f'2=0可得-（2）函數(shù)gx=ax且g'當(dāng)a>0時(shí)，令g'x=0，可得①當(dāng)1a=2，即對任意的x>0，g'x>0，②當(dāng)0<1a<2g'x>0，得0<x<1agx的單調(diào)遞增區(qū)間為0,1a和③當(dāng)1a>2，即g'x>0，得0<x<2或1gx的單調(diào)遞增區(qū)間為0,2和1a,+綜上所述，a=12時(shí)，函數(shù)ga>12時(shí)，函數(shù)gx的單調(diào)增區(qū)間為0,10<a<12時(shí)，函數(shù)gx的單調(diào)增區(qū)間為（3）由fx≤gx，可得ax-令hx=ln若存在x∈1e,e2，不等式h'x=1-lnx當(dāng)1e≤x<e時(shí)，h'所以函數(shù)hx在1e,所以函數(shù)hx在端點(diǎn)x=1因?yàn)閔1e=-e，所以hxmin=h因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是-e11．（2024·天津武清·模擬預(yù)測）已知fx=ax-xa（(1)當(dāng)a=2時(shí)，求fx在(2)當(dāng)a=e時(shí)，求證：fx(3)設(shè)a>e，已知?x∈e2【答案】(1)y(2)證明見解析(3)e,e〖祥解〗（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線斜率，由點(diǎn)斜式求切線方程；（2）f(x)在(e,+∞（3）不等式f(x)≥0恒成立，即lnx【詳析】（1）當(dāng)a=2時(shí)，fx=所以k=f'所以切線方程為y-1=ln（2）當(dāng)a=e時(shí)，則f'要證明fx在e只需證明f'(x則只需證ex-1設(shè)g(x因?yàn)間'x=1-e-所以x∈(e,+∞)時(shí)g所以f'(x)>0，所以f（3）f(x)≥0，即ax設(shè)h(x)=lnx當(dāng)x>e時(shí)，h'(又因?yàn)閍>e，所以x≥e2由lnxx≤lnaa，則上式等價(jià)于lnaa≥由h(x)在(即實(shí)數(shù)a的取值范圍為e,e2【『點(diǎn)石成金』】方法『點(diǎn)石成金』：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}，注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．證明不等式，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.12．（2024·天津·二模）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f(2)若對?x∈-1,0時(shí)，(3)若函數(shù)gx=fx+e【答案】(1)y(2)1(3)1個(gè)實(shí)數(shù)根，理由見解析〖祥解〗（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解即可；（2）兩次求導(dǎo)后，分0<a≤1和a>1兩種情況，結(jié)合隱零點(diǎn)問題，分析f(x)的單調(diào)性，確定使得（3）先結(jié)合隱零點(diǎn)問題的處理方法，求得m的取值范圍，再將原問題轉(zhuǎn)化為求方程e1+x-emln【詳析】（1）當(dāng)a=2時(shí)，fx=2所以f(0)=0，f則曲線y=fx在（2）由題意知，f'(x所以h'因?yàn)閤∈-1,0，所以sin所以h'(x所以函數(shù)f'(x)=h(x①當(dāng)0<a≤1時(shí)，f'所以函數(shù)f(x)在-②當(dāng)a>1時(shí)，f'(0)=由零點(diǎn)存在定理知，?x0∈所以函數(shù)f(x)在(-1,則當(dāng)x∈(x0綜上，正實(shí)數(shù)a的最大值為1（3）方程e1+gx=f所以g'x=則G'x=所以g'x=因?yàn)間'(0)=e所以?x1∈(-12兩邊同時(shí)取對數(shù)得，1+x而g(x)在-所以m=令t=1+x1所以m=1t+因?yàn)閑1+x-所以方程e1+x-設(shè)H(x)=e1+令t(x)=e1+所以H'(x又H'(0)=e所以?x2∈(0,m-兩邊取對數(shù)得，1+x2=又1+x1=所以m=設(shè)m(x)=x+所以函數(shù)m(x)所以1+x2=因?yàn)楹瘮?shù)H(x)在(-1,所以H(即函數(shù)H(x)故方程e1+x2-【『點(diǎn)石成金』】關(guān)鍵『點(diǎn)石成金』：第二問的關(guān)鍵是兩次求導(dǎo)得當(dāng)f'(x第三問的關(guān)鍵是將方程e1+x-m-ln13．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=1時(shí)，討論函數(shù)f(2)若fx有兩個(gè)極值點(diǎn)x①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②求證：x1【答案】(1)fx在0,+(2)①0,12e〖祥解〗（1）求得f'x=2x-2lnxx，設(shè)gx=2x-（2）①求得f'x=2ax-2lnxx，令f'x②由函數(shù)f'x有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2，得到2ax12=lnx12,2ax【詳析】（1）解：當(dāng)a=1時(shí)，可得fx=x2設(shè)gx=2x令hx=x所以hx為0,+∞上的增函數(shù)，且所以gx在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，所以所以f'(x)min=2>0，所以（2）解：①因?yàn)楹瘮?shù)fx=a令f'x=0設(shè)px=ln因?yàn)閒x有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2當(dāng)x∈0,e時(shí)，p'x所以px在0,e上單調(diào)遞增，在e,+又當(dāng)x>1時(shí)，px>0結(jié)合圖象可得，0<a<12e②由函數(shù)f'x有兩個(gè)零點(diǎn)x1令t1=x12,t只需證明t1不妨令t1>t2，由要證t1t2即證lnt即證lnt1-令m=t1t