備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點(diǎn)突破和專題檢測(cè)專題37空間距離5題型分類(原卷版+解析)

專題37空間距離5題型分類1．點(diǎn)到直線的距離如圖，已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點(diǎn)，P是直線l外一點(diǎn)，設(shè)eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，則向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝eq\r(|\o(AP,\s\up6(→))|2－|\o(AQ,\s\up6(→))|2)＝eq\r(a2－a·u2).2．點(diǎn)到平面的距離如圖，已知平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面α外一點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)P作平面α的垂線l，交平面α于點(diǎn)Q，則n是直線l的方向向量，且點(diǎn)P到平面α的距離就是eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量eq\o(QP,\s\up6(→))的長(zhǎng)度，因此PQ＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AP,\s\up6(→))·\f(n,|n|)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AP,\s\up6(→))·n,|n|)))＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).（一）空間距離(1)點(diǎn)到直線的距離．①設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線l的單位方向向量為n，A為直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)A到直線l的距離d＝eq\r(\o(\s\up7(),\s\do5())|\o(PA,\s\up6(→))|2－\o(PA,\s\up6(→))·n2)；②若能求出點(diǎn)在直線上的射影坐標(biāo)，可以直接利用兩點(diǎn)間距離公式求距離．(2)求點(diǎn)面距一般有以下三種方法．①作點(diǎn)到面的垂線，求點(diǎn)到垂足的距離；②等體積法；③向量法.題型1：求點(diǎn)到直線的距離1-1．（2024高三下·廣東茂名·階段練習(xí)）菱形的邊長(zhǎng)為4，，E為AB的中點(diǎn)（如圖1），將沿直線DE翻折至處（如圖2），連接，，若四棱錐的體積為，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，則F到直線BC的距離為（

）

A． B． C． D．1-2．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在等腰梯形中，，沿將折成，如圖2所示，連接，得到四棱錐.(1)若平面平面，求證：；(2)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍.1-3．（2024高二上·山東·階段練習(xí)）已知直四棱柱，底面為矩形，，，且，若點(diǎn)到平面的距離為，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．題型2：求點(diǎn)到面的距離2-1．（2024高二上·浙江溫州·期中）如圖，是棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)P在正方體的內(nèi)部且滿足，則P到面的距離為（

）

A． B． C． D．2-2．（2024高三上·山東青島·期中）如圖，四棱錐中，底面ABCD為正方形，為等邊三角形，面底面ABCD，E為AD的中點(diǎn).

(1)求證：；(2)在線段BD上存在一點(diǎn)F，使直線AP與平面PEF所成角的正弦值為.①確定點(diǎn)F的位置；②求點(diǎn)C到平面PEF的距離.2-3．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面是邊長(zhǎng)為的正三角形，平面平面，．

(1)求證：平行四邊形為矩形；(2)若為側(cè)棱的中點(diǎn)，且平面與平面所成角的余弦值為，求點(diǎn)到平面的距離．2-4．（2024·廣東）已知正四棱柱，E為中點(diǎn)，F(xiàn)為中點(diǎn)．(1)證明：為與的公垂線；(2)求點(diǎn)到面的距離．2-5．（2024高二上·貴州·期中）埃及金字塔是世界古代建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，若金字塔的高為3，，點(diǎn)E滿足，則點(diǎn)D到平面的距離為（

）

A． B． C． D．題型3：求直線到平面的距離3-1．（2024高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)．(1)求直線\到直線的距離；(2)求直線到平面的距離．3-2．（2024高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）在棱長(zhǎng)為的正方體中，、分別是、的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求直線到平面的距離.3-3．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，底面，，、、分別是、、的中點(diǎn)．求：(1)直線與平面的距離；(2)平面與平面的距離．題型4：求面到面的距離4-1．（2024高二·全國(guó)·單元測(cè)試）已知正方體的棱長(zhǎng)為a，則平面與平面的距離為（

）A． B． C． D．4-2．（2024高二上·河北滄州·階段練習(xí)）兩平行平面分別經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)，且兩平面的一個(gè)法向量，則兩平面間的距離是（

）A． B． C． D．4-3．（2024高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）直四棱柱中，底面為正方形，邊長(zhǎng)為，側(cè)棱，分別為的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面的距離．題型5：求異面直線間的距離5-1．（2024高二上·貴州·開學(xué)考試）定義：與兩條異面直線都垂直相交的直線叫做這兩條異面直線的公垂線，公垂線被這兩條異面直線截取的線段，叫做這兩條異面直線的公垂線段，兩條異面直線的公垂線段的長(zhǎng)度，叫做這兩條異面直線的距離，公垂線段的長(zhǎng)度可以看作是：分別連接兩異面直線上兩點(diǎn)，所得連線的向量在公垂線的方向向量上的投影向量的長(zhǎng)度.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為是異面直線與的公垂線段，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．5-2．（2024高二上·山西運(yùn)城·期中）如圖，在三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，，頂點(diǎn)在底面的射影為底面正三角形的中心，P，Q分別是異面直線上的動(dòng)點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)間距離的最小值是（

）A． B．2 C． D．5-3．（2024高二上·浙江杭州·期末）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形.，E，F(xiàn)分別為AC和的中點(diǎn)，.(1)求四棱錐的體積；(2)是否存在點(diǎn)D在直線上，使得異面直線BF，DE的距離為1?若存在，求出此時(shí)線段DE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.5-4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形中，，，，分別為直線上的動(dòng)點(diǎn)，記兩點(diǎn)之間的最小距離為，將沿折疊，直到三棱錐的體積最大時(shí)，不再繼續(xù)折疊.在折疊過(guò)程中，的最小值為.一、單選題1．（2024高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖所示，在長(zhǎng)方體中，，則直線到平面的距離是（

）A．5 B．8 C． D．2．（2024高二上·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則直線到平面的距離為（

）

A． B． C． D．3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，，，，若點(diǎn)到直線的距離不小于，則的范圍為（

）A． B．C． D．4．（2024·浙江溫州·三模）四面體滿足，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)為的重心，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．5．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的多面體是由底面為的長(zhǎng)方體被截面所截得到的，其中，，，，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．6．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，已知是側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均等于的直三棱柱，是側(cè)棱的中點(diǎn).則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．7．（2024高二上·浙江紹興·期末）空間直角坐標(biāo)系中、、）、，其中，，，，已知平面平面，則平面與平面間的距離為（

）A． B． C． D．8．（2024高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為的正方體中，則平面與平面之間的距離為A． B．C． D．9．（2024高二上·湖南邵陽(yáng)·階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別是的中點(diǎn)，則直線到平面的距離為（）A． B． C． D．10．（2024高二上·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，，，，則異面直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．11．（2024·北京石景山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)P為線段BC1上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線AC的距離的最小值為（）

A．1 B． C． D．二、多選題12．（2024高二上·吉林長(zhǎng)春·期中）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，為線段中點(diǎn)，為線段中點(diǎn)，則（

）

A．點(diǎn)到直線的距離為 B．直線到直線的距離為2C．點(diǎn)到平面的距離為 D．直線到平面的距離為13．（2024·遼寧朝陽(yáng)·一模）如圖，在棱長(zhǎng)為1正方體中，為的中點(diǎn)，為與的交點(diǎn)，為與的交點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．與垂直B．是異面直線與的公垂線段，C．異面直線與所成的角為D．異面直線與間的距離為三、填空題14．（2024高二上·北京·期中）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為．15．（2024高二上·上海虹口·階段練習(xí)）已知是棱長(zhǎng)為1的正方體，則平面與平面的距離為．16．（2024高二上·黑龍江齊齊哈爾·期中）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，??分別是??的中點(diǎn)，則直線到平面的距離為.17．（2024·福建·一模）已知空間中三點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線的距離為．18．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，則線段上的動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離的最小值為19．（2024高二上·重慶沙坪壩·期中）已知直線過(guò)點(diǎn)，它的一個(gè)方向向量為，則點(diǎn)到直線AB的距離為.20．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，M，N，E，F(xiàn)分別為A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點(diǎn)，則平面AMN與平面EFBD的距離為.21．（2024高二上·貴州遵義·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，，，，若點(diǎn)到直線的距離不小于，寫出一個(gè)滿足條件的的值：.22．（2024高二上·廣東佛山·期中）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)，則直線到平面的距離為.

23．（2024高二下·全國(guó)·單元測(cè)試）在直三棱柱中，，，D是AC的中點(diǎn)，則直線到平面的距離為．24．（2024高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）在如圖所示的實(shí)驗(yàn)裝置中，正方形框架的邊長(zhǎng)都是，且平面平面，活動(dòng)彈子分別在正方形對(duì)角線上移動(dòng)，若，則長(zhǎng)度的最小值為．25．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，且，為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則的中點(diǎn)到直線的距離是．26．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在四棱錐中，，底面為菱形，邊長(zhǎng)為2，，平面，異面直線與所成的角為60°，若為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為．27．（2024高三上·福建莆田·期中）已知空間中三點(diǎn)，，，則點(diǎn)C到直線AB的距離為．28．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，多面體是由長(zhǎng)方體一分為二得到的，，，，點(diǎn)D是中點(diǎn)，則異面直線與的距離是．29．（2024高二·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，在正方體中，AB＝1，M，N分別是棱AB，的中點(diǎn)，E是BD的中點(diǎn)，則異面直線，EN間的距離為.30．（2024高三·寧夏銀川·階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線距離的最小值為31．（2024高三下·山西太原·階段練習(xí)）在如圖所示實(shí)驗(yàn)裝置中，正方形框架的邊長(zhǎng)都是1，且平面平面，活動(dòng)彈子分別在正方形對(duì)角線，上移動(dòng)，則長(zhǎng)度的最小值是．32．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知點(diǎn)，，，，則過(guò)點(diǎn)P平行于平面ABC的平面與平面ABC的距離為．33．（2024高二上·四川綿陽(yáng)·階段練習(xí)）已知正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則到平面的最大距離為.34．（2024·廣東廣州·一模）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn).且平面，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為.點(diǎn)到直線的距離的最小值為.35．（2024高二上·浙江寧波·期末）如圖，正四棱錐的棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)．若點(diǎn)M，N分別為直線AB，CE上的動(dòng)點(diǎn)，則MN的最小值為．四、解答題36．（2024高二上·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).

(1)求點(diǎn)到直線的距離；(2)求直線到直線的距離；(3)求直線到平面的距離.37．（2024高二·湖南·課后作業(yè)）已知正方體的棱長(zhǎng)為4，設(shè)M、N、E、F分別是，的中點(diǎn)，求平面AMN與平面EFBD的距離．38．（2024高二上·重慶·期中）如圖正方體的棱長(zhǎng)為2，E是棱的中點(diǎn)，過(guò)的平面與棱相交于點(diǎn)F.

(1)求證：F是的中點(diǎn)；(2)求點(diǎn)D到平面的距離.39．（2024高二上·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖，P、O分別是正四棱柱上、下底面的中心，E是AB的中點(diǎn)，．如圖建立空間直角坐標(biāo)系．

(1)求平面PBC的法向量；(2)求點(diǎn)O到平面PBC的距離．40．（2024高二·陜西寶雞·期末）如圖，已知菱形和矩形所在的平面互相垂直，，.

(1)求直線與平面的夾角；(2)求點(diǎn)到平面的距離.41．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在四棱錐中，側(cè)面是正三角形，且與底面垂直，平面，，是棱上的動(dòng)點(diǎn).

(1)當(dāng)是棱的中點(diǎn)時(shí)，求證：平面；(2)若，，求點(diǎn)到平面距離的范圍.42．（2024高二上·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段AB的中點(diǎn)．(1)求平面的法向量；(2)求直線FC到平面的距離．43．（2024·貴州貴陽(yáng)·一模）底面為菱形的直棱柱中，分別為棱的中點(diǎn).(1)在圖中作一個(gè)平面，使得，且平面.（不必給出證明過(guò)程，只要求作出與直棱柱的截面）；(2)若，求平面與平面的距離.44．（2024高二·湖南·課后作業(yè)）在棱長(zhǎng)為的正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，求平面與平面之間的距離．45．（2024高二上·河南·期中）在（圖1）中，為邊上的高，且滿足，現(xiàn)將沿翻折得到三棱錐（圖2），使得二面角為.

(1)證明：平面；(2)在三棱錐中，為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且，若點(diǎn)到平面的距離為，求的值.46．（2024·江蘇南京·二模）在梯形中，，，，，如圖1．現(xiàn)將沿對(duì)角線折成直二面角，如圖2，點(diǎn)在線段上．(1)求證：；(2)若點(diǎn)到直線的距離為，求的值．47．（2024高二上·河北石家莊·期中）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)M是的中點(diǎn).

(1)求到平面的距離；(2)求證：平面平面.48．（2024高二上·山東臨沂·期中）如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；(2)設(shè)，求點(diǎn)到平面的距離．49．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為線段A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段AB的中點(diǎn)．(1)求點(diǎn)B到直線AC1的距離；(2)求直線FC到平面AEC1的距離．50．（2024高三上·山東青島·期中）如圖，已知長(zhǎng)方體的體積為4，點(diǎn)A到平面的距離為．(1)求的面積；(2)若，動(dòng)點(diǎn)E在線段上移動(dòng)，求面積的取值范圍．51．（2024高二·江蘇·課后作業(yè)）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)，G分別為AB，BC，的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面EFG；(2)求平面與平面EFG間的距離．52．（2024高三上·上海浦東新·期中）瀑布（圖1）是埃舍爾為人所知的作品.畫面兩座高塔各有一個(gè)幾何體，左塔上方是著名的“三立方體合體”（圖2）.在棱長(zhǎng)為2的正方體中建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系（原點(diǎn)O為該正方體的中心，x，y，軸均垂直該正方體的面），將該正方體分別繞著x軸，y軸，軸旋轉(zhuǎn)45°，得到三個(gè)正方體，（圖4，5，6）結(jié)合在一起便可得到一個(gè)高度對(duì)稱的“三立方體合體”（圖7）.(1)設(shè)，求，.(2)求點(diǎn)到平面的距離成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjshuxue加入百度網(wǎng)盤群1.5T一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動(dòng)更新永不過(guò)期專題37空間距離5題型分類1．點(diǎn)到直線的距離如圖，已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點(diǎn)，P是直線l外一點(diǎn)，設(shè)eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，則向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝eq\r(|\o(AP,\s\up6(→))|2－|\o(AQ,\s\up6(→))|2)＝eq\r(a2－a·u2).2．點(diǎn)到平面的距離如圖，已知平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面α外一點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)P作平面α的垂線l，交平面α于點(diǎn)Q，則n是直線l的方向向量，且點(diǎn)P到平面α的距離就是eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量eq\o(QP,\s\up6(→))的長(zhǎng)度，因此PQ＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AP,\s\up6(→))·\f(n,|n|)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AP,\s\up6(→))·n,|n|)))＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).（一）空間距離(1)點(diǎn)到直線的距離．①設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線l的單位方向向量為n，A為直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)A到直線l的距離d＝eq\r(\o(\s\up7(),\s\do5())|\o(PA,\s\up6(→))|2－\o(PA,\s\up6(→))·n2)；②若能求出點(diǎn)在直線上的射影坐標(biāo)，可以直接利用兩點(diǎn)間距離公式求距離．(2)求點(diǎn)面距一般有以下三種方法．①作點(diǎn)到面的垂線，求點(diǎn)到垂足的距離；②等體積法；③向量法.題型1：求點(diǎn)到直線的距離1-1．（2024高三下·廣東茂名·階段練習(xí)）菱形的邊長(zhǎng)為4，，E為AB的中點(diǎn)（如圖1），將沿直線DE翻折至處（如圖2），連接，，若四棱錐的體積為，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，則F到直線BC的距離為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知可證得平面，平面，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【詳解】連接，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，且，所以為等邊三角形，因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)榱庑蔚倪呴L(zhǎng)為4，所以，所以直角梯形的面積為，設(shè)四棱錐的高為，則，得，所以，所以平面，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以所以，所以F到直線BC的距離為，故選：A

1-2．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在等腰梯形中，，沿將折成，如圖2所示，連接，得到四棱錐.(1)若平面平面，求證：；(2)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意得到四邊形是平行四邊形，證得，進(jìn)而證得平面，結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理，即可證得.（2）取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，過(guò)作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求得和向量，得到，且，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離，即可求解.【詳解】（1）證明：在梯形中，因?yàn)榍?，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫移矫嫫矫?，所?（2）解：取中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑冗吶切危傻靡詾樵c(diǎn)，所在直線為軸，軸，過(guò)作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，則，所以，，，且，則點(diǎn)到直線的距離因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是.1-3．（2024高二上·山東·階段練習(xí)）已知直四棱柱，底面為矩形，，，且，若點(diǎn)到平面的距離為，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間距離的向量求法求解即得.【詳解】直四棱柱，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由底面為矩形，，，且，得，令，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，而，由點(diǎn)到平面的距離為，得，解得，于是，，而，向量在向量方向上的投影長(zhǎng)為，所以點(diǎn)到直線的距離為.故選：D題型2：求點(diǎn)到面的距離2-1．（2024高二上·浙江溫州·期中）如圖，是棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)P在正方體的內(nèi)部且滿足，則P到面的距離為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】建立合適的坐標(biāo)系，利用空間向量求點(diǎn)面距離即可.【詳解】如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則，

，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量，所以，令，即，故P到面的距離.故選：A2-2．（2024高三上·山東青島·期中）如圖，四棱錐中，底面ABCD為正方形，為等邊三角形，面底面ABCD，E為AD的中點(diǎn).

(1)求證：；(2)在線段BD上存在一點(diǎn)F，使直線AP與平面PEF所成角的正弦值為.①確定點(diǎn)F的位置；②求點(diǎn)C到平面PEF的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)①點(diǎn)的位置是線段上靠近的三等分點(diǎn)；②【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理，即可證明線線垂直；（2）①根據(jù)（1）的證明過(guò)程，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，以線面角的向量公式求點(diǎn)的位置；②根據(jù)①的結(jié)果，結(jié)合點(diǎn)到平面的距離的向量公式，計(jì)算結(jié)果.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，,為等邊三角形,,面底面，面底面，面，面，，，，又，面，面，，

（2）①如圖以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立空間

直角坐標(biāo)系.設(shè)，，，，,,，，，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量則有，令解得：因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為即解得，所以點(diǎn)的位置是線段上靠近的三等分點(diǎn)，②，，，點(diǎn)到平面的距離.2-3．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面是邊長(zhǎng)為的正三角形，平面平面，．

(1)求證：平行四邊形為矩形；(2)若為側(cè)棱的中點(diǎn)，且平面與平面所成角的余弦值為，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，由正三角形、面面垂直的性質(zhì)易得面，再由線面垂直的性質(zhì)及判定證，即可得結(jié)論；（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，設(shè)并求面、面的法向量，結(jié)合面面角的余弦值求參數(shù)，應(yīng)用向量法求點(diǎn)面距.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，為正三角形，則，面面，面面，面，則面，

面，故，又，面，，所以面，面，故，則平行四邊形為矩形.（2）如下圖，以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，所以，，

設(shè)面的法向量為，則，令，則，設(shè)面的法向量為，則，令，則，由，解得，則面的法向量為，，點(diǎn)到平面的距離.2-4．（2024·廣東）已知正四棱柱，E為中點(diǎn)，F(xiàn)為中點(diǎn)．(1)證明：為與的公垂線；(2)求點(diǎn)到面的距離．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明，即可得證；（2）利用向量法求出直線與平面所成角的正弦值，從而可得出答案.【詳解】（1）證明：如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，因?yàn)?，所以，即為與的公垂線；（2）解：，設(shè)平面的法向量，則有，可取，則，所以直線與平面所成角的正弦值為，所以點(diǎn)到面的距離為.2-5．（2024高二上·貴州·期中）埃及金字塔是世界古代建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，若金字塔的高為3，，點(diǎn)E滿足，則點(diǎn)D到平面的距離為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，把各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求出來(lái)，然后求出平面AEC的法向量為以及，結(jié)合即可求解.【詳解】如圖，

連接，設(shè)與相交于點(diǎn)O，連接，因?yàn)榻鹱炙梢暈橐粋€(gè)正四棱錐，故以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，又由題意可得，，所以，所以，，，，，，不妨設(shè)，又因?yàn)?，所以，即，解得，即，，，，設(shè)平面AEC的法向量為，則，，即，取，得，所以點(diǎn)D到平面AEC的距離．故選：A.題型3：求直線到平面的距離3-1．（2024高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)．(1)求直線\到直線的距離；(2)求直線到平面的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線到直線的距離；（2）轉(zhuǎn)化為到平面的距離,利用點(diǎn)到平面的距離向量法可得答案.【詳解】（1）建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，因?yàn)?，所以，即，所以點(diǎn)到直線的距離即為直線到直線的距離，，，，，所以直線到直線的距離為；（2）因?yàn)?，平面，平面，所以平面，所以直線到平面的距離等于到平面的距離，,，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，可得，所以到平面的距離為，所以直線到平面的距離為.3-2．（2024高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）在棱長(zhǎng)為的正方體中，、分別是、的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求直線到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)a【分析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，證明出，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）利用空間向量法可求得直線到平面的距離.【詳解】（1）證明：如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、，

所以，，所以，又因?yàn)椤⒉还簿€，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以，平?（2）解：由（1）得、，所以，.設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以點(diǎn)到平面的法向量為.所以直線到平面的距離是.3-3．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，底面，，、、分別是、、的中點(diǎn)．求：(1)直線與平面的距離；(2)平面與平面的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）證明出平面平面，可得出平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得直線與平面的距離；（2）利用空間向量法可求得平面與平面的距離．【詳解】（1）解：因?yàn)槠矫?，四邊形為正方形，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則，平面，平面，平面，因?yàn)榍?，、分別為、的中點(diǎn)，則且，所以，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面，，、平面，平面平面，平面，平面，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，，所以，直線與平面的距離為.（2）解：因?yàn)槠矫嫫矫?，則平面與平面的距離為.題型4：求面到面的距離4-1．（2024高二·全國(guó)·單元測(cè)試）已知正方體的棱長(zhǎng)為a，則平面與平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量求解【詳解】由正方體的性質(zhì)，∥,∥，，，易得平面平面，則兩平面間的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B到平面的距離．以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，．連接，由，，且，可知平面，得平面的一個(gè)法向量為，則兩平面間的距離．故選：D4-2．（2024高二上·河北滄州·階段練習(xí)）兩平行平面分別經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)，且兩平面的一個(gè)法向量，則兩平面間的距離是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由空間向量求解【詳解】∵兩平行平面分別經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)，且兩平面的一個(gè)法向量，∴兩平面間的距離．故選：A4-3．（2024高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）直四棱柱中，底面為正方形，邊長(zhǎng)為，側(cè)棱，分別為的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）法一：由面面平行的判定定理即可證明；法二：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)證明，再由面面平行的判定定理即可證明.（2）法一:平面與平面的距離到平面的距離,再由等體積法即可求出答案.法二:求出平面的法向量,，平面與平面的距離等于到平面的距離，由點(diǎn)到平面的距離公式即可求出答案.【詳解】（1）法一:證明：連接分別為的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，，平面，平面，平面，平行且等于，是平行四邊形，，平面，平面，平面，，平面平面；法二:如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，平面，平面，平面，平面，平面，平面，又，平面平面，（2）法一:平面與平面的距離到平面的距離．中，，，，由等體積可得，．法二:設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，則可取，，平面與平面的距離為題型5：求異面直線間的距離5-1．（2024高二上·貴州·開學(xué)考試）定義：與兩條異面直線都垂直相交的直線叫做這兩條異面直線的公垂線，公垂線被這兩條異面直線截取的線段，叫做這兩條異面直線的公垂線段，兩條異面直線的公垂線段的長(zhǎng)度，叫做這兩條異面直線的距離，公垂線段的長(zhǎng)度可以看作是：分別連接兩異面直線上兩點(diǎn)，所得連線的向量在公垂線的方向向量上的投影向量的長(zhǎng)度.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為是異面直線與的公垂線段，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求得異面直線與的公垂線的方向向量，根據(jù)即可求解.【詳解】

如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.由題意得，則.設(shè)異面直線與的公垂線的方向向量，則，即，令，得，，所以異面直線與之間的距離.故選：C.5-2．（2024高二上·山西運(yùn)城·期中）如圖，在三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，，頂點(diǎn)在底面的射影為底面正三角形的中心，P，Q分別是異面直線上的動(dòng)點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)間距離的最小值是（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】設(shè)是底面正的中心，平面，，以直線為軸，為軸，過(guò)平行于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，P，Q兩點(diǎn)間距離的最小值即為異面直線與間的距離用空間向量法求異面直線的距離．【詳解】如圖，是底面正的中心，平面，平面，則，，則，又，，，直線交于點(diǎn)，，以直線為軸，為軸，過(guò)平行于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，，，，設(shè)與和都垂直，則，取，則，，P，Q兩點(diǎn)間距離的最小值即為異面直線與間的距離等于．故選：D．5-3．（2024高二上·浙江杭州·期末）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形.，E，F(xiàn)分別為AC和的中點(diǎn)，.(1)求四棱錐的體積；(2)是否存在點(diǎn)D在直線上，使得異面直線BF，DE的距離為1?若存在，求出此時(shí)線段DE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)1(2)存在，或【分析】（1）找到四棱錐的高，利用四棱錐體積公式求出體積；（2）根據(jù)題目中的條件建立空間直角坐標(biāo)系，表達(dá)出與，均垂直的向量，進(jìn)而利用異面直線BF，DE的距離為1建立等式求出a.【詳解】（1）∵側(cè)面為正方形，∴，又，且，面，∴平面，又，∴平面，取BC中點(diǎn)G，則，∴平面.∴.（2）以為原點(diǎn)，分別以BA，BC，所在直線建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，設(shè)，則，，.設(shè)與，均垂直的向量為，則，即，取，∴異面直線BF，DE的距離，解得或.∴或.故存在點(diǎn)D在直線上，使得異面直線BF，DE的距離為1，且此時(shí)或.5-4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形中，，，，分別為直線上的動(dòng)點(diǎn)，記兩點(diǎn)之間的最小距離為，將沿折疊，直到三棱錐的體積最大時(shí)，不再繼續(xù)折疊.在折疊過(guò)程中，的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)平行四邊形的邊長(zhǎng)即角度可得，再由兩點(diǎn)的位置關(guān)系以及的幾何意義，確定出沿折疊過(guò)程中三棱錐的體積最大時(shí)平面，建立空間直角坐標(biāo)系利用兩異面直線間的距離公式即可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可知，如下圖所示；

由，，利用余弦定理可得，解得，所以滿足，即，則又分別為直線上的動(dòng)點(diǎn)，記兩點(diǎn)之間的最小距離為，則表示兩直線之間的距離，在沿折疊過(guò)程中，直線由兩平行線變成兩異面直線，且兩直線間的距離越來(lái)越近；當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，此時(shí)平面；即此時(shí)兩點(diǎn)之間的距離最小，即為兩異面直線之間的距離；以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，軸，以過(guò)點(diǎn)且與平行的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：

則，即，設(shè)與垂直的一個(gè)向量為，則，令，則，可得不妨取，由兩異面直線間的距離公式可得的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于把“兩點(diǎn)之間的最小距離為”理解成異面直線之間的距離，再利用折疊過(guò)程中的位置關(guān)系，代入兩異面直線距離公式求解即可.一、單選題1．（2024高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖所示，在長(zhǎng)方體中，，則直線到平面的距離是（

）A．5 B．8 C． D．【答案】C【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可》【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則．設(shè)．設(shè)平面的法向量為，由，得，∴可?。?，∴點(diǎn)到平面的距離為,∥，平面，平面，∴∥平面，到平面的距離為．故選：C2．（2024高二上·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則直線到平面的距離為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，把直線到平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，根據(jù)空間中點(diǎn)到平面的距離公式即可求解.【詳解】由題意易知直線面，所以到面的距離即為直線到平面的距離.建立如圖所示坐標(biāo)系，則：

，，，，,所以設(shè)面的法向量，則：，即取，則，所以所以到面的距離.故選：D3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，，，，若點(diǎn)到直線的距離不小于，則的范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)到線的距離公式，列不等式求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以，化簡(jiǎn)得解得.故選：A4．（2024·浙江溫州·三模）四面體滿足，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)為的重心，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，再利用向量求出點(diǎn)到直線的距離作答.【詳解】四面體滿足，即兩兩垂直，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，以射線的正方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，因?yàn)?，，則，于是，，所以點(diǎn)到直線的距離.故選：A5．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的多面體是由底面為的長(zhǎng)方體被截面所截得到的，其中，，，，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面AEC1F的法向量，利用點(diǎn)到面距離的向量公式即得解【詳解】以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DF所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則，∴，.設(shè)為平面的法向量，，由，得，令z=1，∴，所以.又，∴點(diǎn)C到平面AEC1F的距離d=.故選：C.6．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，已知是側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均等于的直三棱柱，是側(cè)棱的中點(diǎn).則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】取的中點(diǎn)，連接，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得點(diǎn)到平面的距離.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈冗吶切危瑸榈闹悬c(diǎn)，則，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，，所以，點(diǎn)到平面的距離為.故選：A.7．（2024高二上·浙江紹興·期末）空間直角坐標(biāo)系中、、）、，其中，，，，已知平面平面，則平面與平面間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知得，，，設(shè)向量與向量、都垂直，由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可求得，再由平面平行和距離公式計(jì)算可得選項(xiàng).【詳解】解：由已知得，，，設(shè)向量與向量、都垂直，則，即，取，，又平面平面，則平面與平面間的距離為，故選：A.8．（2024高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為的正方體中，則平面與平面之間的距離為A． B．C． D．【答案】B【分析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求得和平面的一個(gè)法向量，利用向量的距離公式，即可求解．【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即，解得，故，顯然平面平面，所以平面與平面之間的距離．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量在求解距離中的應(yīng)用，對(duì)于利用空間向量求解點(diǎn)到平面的距離的步驟通常為：①求平面的法向量；②求斜線段對(duì)應(yīng)的向量在法向量上的投影的絕對(duì)值，即為點(diǎn)到平面的距離．空間中其他距離問(wèn)題一般都可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離求解．著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9．（2024高二上·湖南邵陽(yáng)·階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別是的中點(diǎn)，則直線到平面的距離為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，所以,設(shè)平面的法向量為，則，令，則，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，所以直線到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，所以直線到平面的距離為.故選：D.

10．（2024高二上·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，，，，則異面直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求解直線與的公垂線的方向向量，利用異面直線距離的向量公式，即得解【詳解】

如圖所示，以為原點(diǎn)，所在直線為軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系則設(shè)直線與的公垂線的方向向量為則不妨令又則異面直線與之間的距離故選：D11．（2024·北京石景山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)P為線段BC1上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線AC的距離的最小值為（）

A．1 B． C． D．【答案】C【分析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求異面直線距離可得.【詳解】解：正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)P為線段BC1上的動(dòng)點(diǎn)，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），設(shè)P（2﹣t，2，t），（0≤t≤2），，設(shè)異面直線的公共法向量為，則，取x＝1，得，∴點(diǎn)P到直線AC的距離為：，點(diǎn)P到直線AC的距離的最小值為.故選：C.

二、多選題12．（2024高二上·吉林長(zhǎng)春·期中）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，為線段中點(diǎn)，為線段中點(diǎn)，則（

）

A．點(diǎn)到直線的距離為 B．直線到直線的距離為2C．點(diǎn)到平面的距離為 D．直線到平面的距離為【答案】AD【分析】建立坐標(biāo)系，求出向量在單位向量上的投影，結(jié)合勾股定理可得點(diǎn)到直線的距離，判斷A；先證明，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離求解，判斷B；求解平面的法向量，利用點(diǎn)到平面的距離公式進(jìn)行求解，判斷C；把直線到平面的距離轉(zhuǎn)化為到平面的距離，利用法向量進(jìn)行求解，判斷D.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，因?yàn)?，所?所以點(diǎn)到直線的距離為，故A正確；因?yàn)?，所以，即所以點(diǎn)到直線的距離即為直線到直線的距離，，，所以直線到直線的距離為，故B錯(cuò)誤；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，.由，令，則，即.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，即點(diǎn)到平面的距離為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，所以直線到平面的距離等于到平面的距離.，由C得平面的一個(gè)法向量為，所以到平面的距離為，所以直線到平面的距離為，故D正確.故選：AD.13．（2024·遼寧朝陽(yáng)·一模）如圖，在棱長(zhǎng)為1正方體中，為的中點(diǎn)，為與的交點(diǎn)，為與的交點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．與垂直B．是異面直線與的公垂線段，C．異面直線與所成的角為D．異面直線與間的距離為【答案】ABD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量逐項(xiàng)分析.【詳解】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，為z軸，建立如下圖所示坐標(biāo)系：則：，，設(shè)，則有：，又，解得，，，，同理可得；對(duì)于A，，，，正確；對(duì)于B，，，即，又,故是異面直線與的公垂線段，正確；對(duì)于C，設(shè)與所成的角為，則，，，錯(cuò)誤；對(duì)于D，由B知是與的公垂線段，，正確；故選：ABD.三、填空題14．（2024高二上·北京·期中）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為．【答案】【分析】以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即得．【詳解】以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以所以點(diǎn)到直線的距離為：，即點(diǎn)到直線的距離為．故答案為：．15．（2024高二上·上海虹口·階段練習(xí)）已知是棱長(zhǎng)為1的正方體，則平面與平面的距離為．【答案】/【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，可證得平面平面，從而平面與平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離．求得平面的法向量和，結(jié)合點(diǎn)到平面的距離的向量公式，即可得解．【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，可得，因?yàn)椋瑒t，所以，因?yàn)槠矫?，平面，平面，平面，所以平面，平面，又，平面，所以平面平面，所以平面與平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，又因?yàn)?，所以．所以平面與平面的距離為．故答案為：．16．（2024高二上·黑龍江齊齊哈爾·期中）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，??分別是??的中點(diǎn)，則直線到平面的距離為.【答案】【分析】以D為原點(diǎn)，DC，DA，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，得到A，C，E，F(xiàn)，H各點(diǎn)坐標(biāo)，由向量可判定平面，則將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)E到平面的距離，先求得平面的法向量，再根據(jù)距離求解即可.【詳解】以D為原點(diǎn)，DC，DA，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，由題，則，，因?yàn)??分別是??的中點(diǎn)，所以，，，則，所以，所以平面，所以點(diǎn)E到平面的距離即為直線到平面的距離，設(shè)平面的法向量為，則，因?yàn)椋?，取，則，，所以是平面的一個(gè)法向量，又向量，所以點(diǎn)E到平面的距離為，即直線到平面的距離為.故答案為：17．（2024·福建·一模）已知空間中三點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線的距離為．【答案】【分析】利用向量的模公式及向量的夾角公式，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及銳角三角函數(shù)的定義即可求解.【詳解】，,，，設(shè)點(diǎn)A到直線的距離為，則.故答案為：.18．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，則線段上的動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離的最小值為【答案】【分析】首先以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用點(diǎn)到直線距離的坐標(biāo)公式，列式，化簡(jiǎn)后求函數(shù)的最小值.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，∴動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離為，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即線段上的動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離的最小值為.故答案為：19．（2024高二上·重慶沙坪壩·期中）已知直線過(guò)點(diǎn)，它的一個(gè)方向向量為，則點(diǎn)到直線AB的距離為.【答案】2【分析】利用空間中點(diǎn)到直線的距離公式求解即可【詳解】因?yàn)椋?，點(diǎn)到直線AB方向上的投影為，所以點(diǎn)到直線AB的距離為，故答案為：220．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，M，N，E，F(xiàn)分別為A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點(diǎn)，則平面AMN與平面EFBD的距離為.【答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面AMN的一個(gè)法向量，然后使用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，面面距轉(zhuǎn)為點(diǎn)面距，最后計(jì)算即可.【詳解】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(xiàn)(2，4，4)，N(4，2，4).∴=(2，2，0)，=(2，2，0)，=(2，0，4)，=(2，0，4)，∴，∴EF∥MN，BF∥AM，EF∩BF=F，MN∩AM=M.∴平面AMN∥平面EFBD.設(shè)=(x，y，z)是平面AMN的一個(gè)法向量，則解得取z=1，則x=2，y=-2，得=(2，2，1).平面AMN到平面EFBD的距離就是點(diǎn)B到平面EFBD的距離.∵=(0，4，0)，∴平面AMN與平面EFBD間的距離d=.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查面面距，使用數(shù)形結(jié)合，形象直觀，并采用向量的方法，將幾何問(wèn)題代數(shù)化，便于計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.21．（2024高二上·貴州遵義·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，，，，若點(diǎn)到直線的距離不小于，寫出一個(gè)滿足條件的的值：.【答案】1（答案不唯一，只要即可）【分析】計(jì)算，，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得到，解得答案.【詳解】因?yàn)?，，所以點(diǎn)到直線的距離，解得.故答案為：1（答案不唯一，只要即可）22．（2024高二上·廣東佛山·期中）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)，則直線到平面的距離為.

【答案】【分析】用向量法求直線到平面的距離，先建系，再求出平面的法向量，再利用公式求距離.【詳解】，平面，平面，，所以直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，如圖

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面的法向量則另，則，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，故答案為：23．（2024高二下·全國(guó)·單元測(cè)試）在直三棱柱中，，，D是AC的中點(diǎn)，則直線到平面的距離為．【答案】【分析】以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，過(guò)平行于的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)面距的向量公式可求出結(jié)果.【詳解】連與交于，則為的中點(diǎn)，連，因?yàn)镈是AC的中點(diǎn)，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，所以直線到平面的距離就等于點(diǎn)B1到平面的距離．因?yàn)?，D是AC的中點(diǎn)，所以，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，過(guò)平行于的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，則，令，得，則，所以所求距離為.

故答案為：.24．（2024高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）在如圖所示的實(shí)驗(yàn)裝置中，正方形框架的邊長(zhǎng)都是，且平面平面，活動(dòng)彈子分別在正方形對(duì)角線上移動(dòng)，若，則長(zhǎng)度的最小值為．【答案】【分析】的最小值即為兩條異面直線間的距離，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)異面直線的公垂向量為，由距離公式可求得答案.【詳解】分別是異面直線上的點(diǎn)，的最小值即為兩條異面直線間的距離，平面平面，，平面平面，平面，又，兩兩垂直．以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)異面直線的公垂向量為，則,令，則，，，即的最小值為．故答案為：25．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，且，為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則的中點(diǎn)到直線的距離是．【答案】/【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出、，進(jìn)而可計(jì)算得出點(diǎn)到直線的距離為.【詳解】因?yàn)槠矫?，底面為正方形，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)、、，，，，所以，，所以，的中點(diǎn)到直線的距離.故答案為：.26．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在四棱錐中，，底面為菱形，邊長(zhǎng)為2，，平面，異面直線與所成的角為60°，若為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為．【答案】/1.5【分析】連接．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，的方向分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.借助題設(shè)條件找出，，三點(diǎn)的坐標(biāo)，最后利用點(diǎn)到直線距離的向量求法進(jìn)行求解即可.【詳解】連接．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，的方向分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，，為異面直線與所成角，即.在菱形中，，，，．設(shè)，則，．在中，由，，可得，，，，，，點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：.27．（2024高三上·福建莆田·期中）已知空間中三點(diǎn)，，，則點(diǎn)C到直線AB的距離為．【答案】【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線距離的向量坐標(biāo)公式計(jì)算即可求解．【詳解】依題意得，，則點(diǎn)C到直線AB的距離為.故答案為：.28．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，多面體是由長(zhǎng)方體一分為二得到的，，，，點(diǎn)D是中點(diǎn)，則異面直線與的距離是．【答案】#【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，直接利用異面直線之間的距離公式求解即可.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，,為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,,,,∴,,設(shè)是，的公垂線方向上的單位向量，則，即①，，即②，易知③，聯(lián)立解得，，或，，；不妨取，又∵,則異面直線與的距離，故答案為：.29．（2024高二·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，在正方體中，AB＝1，M，N分別是棱AB，的中點(diǎn)，E是BD的中點(diǎn)，則異面直線，EN間的距離為.【答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，表示出，求出同時(shí)垂直于的，再通過(guò)公式求距離即可.【詳解】以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S建立空間直角坐標(biāo)系，易知，，設(shè)同時(shí)垂直于，由，令，得，又，則異面直線，EN間的距離為.故答案為：.30．（2024高三·寧夏銀川·階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線距離的最小值為【答案】【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出與兩異面直線和都垂直的向量，再由在方向上的投影，即為點(diǎn)到直線距離的最小值.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：，，，，，，點(diǎn)點(diǎn)到直線距離的最小值為兩異面直線和間的距離，設(shè)他們的公垂線所在的向量為，由，令，則，，所以，，則兩異面直線和間的距離為：故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：點(diǎn)到直線距離的最小值即為兩條異面直線和間的距離，也即是他們的公垂線段的長(zhǎng)在方向上的投影.31．（2024高三下·山西太原·階段練習(xí)）在如圖所示實(shí)驗(yàn)裝置中，正方形框架的邊長(zhǎng)都是1，且平面平面，活動(dòng)彈子分別在正方形對(duì)角線，上移動(dòng)，則長(zhǎng)度的最小值是．【答案】【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為異面直線與之間距離的求解問(wèn)題，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)異面直線間距離的空間向量求法可求得結(jié)果.【詳解】是異面直線，上兩點(diǎn)，的最小值即為兩條異面直線間距離.平面平面，，平面平面，平面，又，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)異面直線，的公垂向量，則，令，則，，，，即的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查空間向量法求解異面直線間距離的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠?qū)僧惷嬷本€上點(diǎn)的連線的最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為異面直線間距離的求解問(wèn)題.32．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知點(diǎn)，，，，則過(guò)點(diǎn)P平行于平面ABC的平面與平面ABC的距離為．【答案】【分析】求得平面ABC的一個(gè)法向量，由求解【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)，，，，所以，設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，則，所以過(guò)點(diǎn)P平行于平面ABC的平面與平面ABC的距離為，故答案為：33．（2024高二上·四川綿陽(yáng)·階段練習(xí)）已知正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則到平面的最大距離為.【答案】【分析】取的中點(diǎn)，連接，以為原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量求解即可.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槿庵鶠檎庵?，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以以為原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎庵乃欣忾L(zhǎng)均為2，所以，設(shè)，則，所以,當(dāng)時(shí)，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)到平面的距離為，則，當(dāng)時(shí)，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)到平面的距離為，則，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，因?yàn)椋缘狡矫娴淖畲缶嚯x為，故答案為：34．（2024·廣東廣州·一模）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn).且平面，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為.點(diǎn)到直線的距離的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，作出平面截正方體所得截面，再確定點(diǎn)的軌跡，計(jì)算長(zhǎng)度即可；再建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出點(diǎn)到直線的距離作答.【詳解】在正方體中，連接，如圖，對(duì)角面為矩形，因?yàn)辄c(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，則，而，即平面截正方體所得截面為梯形，顯然過(guò)點(diǎn)與平面平行的平面交平面、平面分別于，因此，連，平面、平面與平面分別交于，，因此，而，即四邊形為平行四邊形，于是，即點(diǎn)M為的中點(diǎn)，同理為中點(diǎn)，，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)始終滿足平面，于是平面，又在側(cè)面上，所以點(diǎn)的軌跡是線段，軌跡長(zhǎng)為；以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，令，則有，，于是點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以點(diǎn)到直線的距離的最小值為.故答案為：；【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點(diǎn)在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾何體的兩個(gè)平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個(gè)面平行；延長(zhǎng)交線得交點(diǎn)，截面上的點(diǎn)中至少有兩個(gè)點(diǎn)在幾何體的同一平面上.35．（2024高二上·浙江寧波·期末）如圖，正四棱錐的棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)．若點(diǎn)M，N分別為直線AB，CE上的動(dòng)點(diǎn)，則MN的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)題意，先建立空間直角坐標(biāo)系，然后寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，再寫出相關(guān)的向量，然后根據(jù)點(diǎn)分別為直線上寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，這樣就得到，然后根據(jù)的取值范圍而確定【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有：，，，，，可得：設(shè)，且則有：，可得：則有：故則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，故答案為：四、解答題36．（2024高二上·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).

(1)求點(diǎn)到直線的距離；(2)求直線到直線的距離；(3)求直線到平面的距離.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）（2）（3）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間法可求得結(jié)果.【詳解】（1）解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則、、、、、、、、、，，，所以，點(diǎn)到平面的距離為.（2）解：，，則，因?yàn)?、、、不共線，則，，所以，直線到直線的距離為.（3）解：因?yàn)?，平面，平面，則平面，則直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，設(shè)平面的法向量為，則，所以，，取，可得，，則直線到平面的距離為.37．（2024高二·湖南·課后作業(yè)）已知正方體的棱長(zhǎng)為4，設(shè)M、N、E、F分別是，的中點(diǎn)，求平面AMN與平面EFBD的距離．【答案】【分析】建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，求出平面EFBD的法向量，并證明平面平面EFBD.于是兩平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離．利用向量距離公式求出即可.【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為x軸，y軸，z軸．則，.設(shè)是平面EFBD的一個(gè)法向量，則，即，解得，所以．又因?yàn)?，所以，從而，所以平面，所以平面平面EFBD，所以兩平面的距離即是點(diǎn)A到平面BDEF的距離．從而兩平面間距離為．38．（2024高二上·重慶·期中）如圖正方體的棱長(zhǎng)為2，E是棱的中點(diǎn)，過(guò)的平面與棱相交于點(diǎn)F.

(1)求證：F是的中點(diǎn)；(2)求點(diǎn)D到平面的距離.【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析(2)【分析】（1）作出輔助線，由面面平行的性質(zhì)得到線線平行，進(jìn)而得到，結(jié)合E是棱的中點(diǎn)，得到結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，根據(jù)空間向量求解出點(diǎn)到平面的距離.【詳解】（1）連接，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以，又，所以四邊形為平行四邊形，故，故，又E是棱的中點(diǎn)，所以F是的中點(diǎn).

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，故，

點(diǎn)D到平面的距離為.39．（2024高二上·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖，P、O分別是正四棱柱上、下底面的中心，E是AB的中點(diǎn)，．如圖建立空間直角坐標(biāo)系．

(1)求平面PBC的法向量；(2)求點(diǎn)O到平面PBC的距離．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)平面法向量計(jì)算法求解即可；（2）利用（1）的結(jié)論，結(jié)合距離公式計(jì)算即可．【詳解】（1）因?yàn)镻、O分別是正四棱柱上、下底面的中心，所以O(shè)A、OB、OP兩兩互相垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?，所以，，所以，，，所以，，設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為，則，取，則，，所以，所以平面PBC的一個(gè)法向量為；（2）由（1）有平面PBC的一個(gè)法向量為，又，所以O(shè)到平面PBC的距離，所以O(shè)到平面PBC的距離為．40．（2024高二·陜西寶雞·期末）如圖，已知菱形和矩形所在的平面互相垂直，，.

(1)求直線與平面的夾角；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，分別寫出，點(diǎn)的坐標(biāo)和平面的法向量，利用空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，即可求得直線與平面的夾角.（2）根據(jù)空間直角坐標(biāo)系寫出，的坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用空間向量求解點(diǎn)到平面的距離公式即可求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)榱庑魏途匦嗡诘钠矫婊ハ啻怪?，所以易得平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，所在直線為軸，過(guò)點(diǎn)且平行于的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

由已知得，，因?yàn)檩S垂直于平面，因此可令平面的一個(gè)法向量為，又，設(shè)直線與平面的夾角為，則有，即，所以直線與平面的夾角為.（2）由（1）空間直角坐標(biāo)系，得，，所以，，可設(shè)平面的法向量為，則，得，令，得，，即，又因?yàn)椋渣c(diǎn)到平面的距離為.41．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在四棱錐中，側(cè)面是正三角形，且與底面垂直，平面，，是棱上的動(dòng)點(diǎn).

(1)當(dāng)是棱的中點(diǎn)時(shí)，求證：平面；(2)若，，求點(diǎn)到平面距離的范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用線面平行的性質(zhì)推導(dǎo)出，取的中點(diǎn)，連接、，證明出四邊形為平行四邊形，可得出，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）取的中點(diǎn)，連接，證明出平面，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，利用空間向量法可求得點(diǎn)到平面距離的范圍.【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫妫矫?，且平面平面，所?取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，所以，且，因?yàn)榍?，所以，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?（2）解：取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)槭钦切?，所?又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫?，所以，平面，因?yàn)?，，為的中點(diǎn)，所以，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)?，則，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則、、、，所以，設(shè)，其中，則，設(shè)平面的法向量，所以，令，得，設(shè)點(diǎn)到平面距離為，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.綜上，點(diǎn)到平面距離的取值范圍是.42．（2024高二上·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段AB的中點(diǎn)．(1)求平面的法向量；(2)求直線FC到平面的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)法向量的計(jì)算方法計(jì)算即可；（2）將直線到平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，然后利用空間向量的方法求距離即可.【詳解】（1）如圖，以為原點(diǎn)，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以，所以平面的法向量為.（2），，，，，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以∥平面，所以直線到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，所以直線到平面的距離為.43．（2024·貴州貴陽(yáng)·一模）底面為菱形的直棱柱中，分別為棱的中點(diǎn).(1)在圖中作一個(gè)平面，使得，且平面.（不必給出證明過(guò)程，只要求作出與直棱柱的截面）；(2)若，求平面與平面的距離.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，則平面即為所求平面.（2）連接,交于，則，分別以所在的直線為軸，為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出平面與平面的距離.【詳解】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，則平面即為所求平面.證明：由,平面，平面，可得平面.由，平面，平面，可得平面.,平面，平面,故可得平面平面，即平面.（2）如圖，連接,交于，在直棱柱中，底面為菱形，，分別以所在的直線為軸，為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，又所有棱長(zhǎng)為2，，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，即令得，，點(diǎn)到平面的距離，平面與平面的距離.44．（2024高二·湖南·課后作業(yè)）在棱長(zhǎng)為的正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，求平面與平面之間的距離．【答案】【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，證明出平面平面，然后利用空間向量法求出點(diǎn)到平面的距離，即為所求.【詳解】解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，，，則，因?yàn)?、不在同一條直線上，則，平面，平面，則平面，同理可證平面，，故平面平面，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，又因