備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學一輪專題復習全套考點突破和專題檢測專題31空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積與體積6題型分類(原卷版+解析)

專題31空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積與體積6題型分類1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側(cè)棱平行且相等相交于一點但不一定相等延長線交于一點側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點延長線交于一點軸截面矩形等腰三角形等腰梯形圓側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)2.直觀圖(1)畫法：常用斜二測畫法．(2)規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中x′軸、y′軸的夾角為45°或135°，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標軸，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄?．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺側(cè)＝π(r1＋r2)l4．柱、錐、臺、球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體S表＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體S表＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺體S表＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S表＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3常用結(jié)論1．與體積有關(guān)的幾個結(jié)論(1)一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差．(2)底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等(祖暅原理)．2．直觀圖與原平面圖形面積間的關(guān)系：S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形，S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖．（一）1.空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的判斷技巧(1)說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可．(2)在斜二測畫法中，平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半．(3)在解決空間折線(段)最短問題時一般考慮其展開圖，采用化曲為直的策略，將空間問題平面化．2.多面體表面展開圖可以有不同的形狀，應多實踐，觀察并大膽想象立體圖形與表面展開圖的關(guān)系，一定先觀察立體圖形的每一個面的形狀．3.最大路徑問題：大膽展開，把問題變?yōu)槠矫鎯牲c間線段最短問題．題型1：基本立體圖形結(jié)構(gòu)特征1-1．（2024·新疆·模擬預測）下列命題中正確的是（

）A．有兩個平面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.B．各個面都是三角形的幾何體是三棱錐.C．夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉(zhuǎn)體.D．圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線都是母線.1-2．（2024高一·全國·課后作業(yè)）下列命題：①有兩個面平行，其他各面都是平行四邊形的幾何體叫做棱柱；②有兩側(cè)面與底面垂直的棱柱是直棱柱；③過斜棱柱的側(cè)棱作棱柱的截面，所得圖形不可能是矩形；④所有側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．其中正確命題的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．31-3．（2024高一下·山西呂梁·期末）下列說法正確的是（

）A．三角形的直觀圖是三角形 B．直四棱柱是長方體C．平行六面體不是棱柱D．兩個平面平行，其余各面是梯形的多面體是棱臺1-4．（2024高三·全國·專題練習）給出下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；③棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等.其中正確命題的個數(shù)是（

）A． B． C． D．題型2：直觀圖2-1．（2024高一下·浙江寧波·期中）用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖所示，邊與平行于軸.已知四邊形的面積為，則原平面圖形的面積為.2-2．（2024高一下·上海奉賢·期末）如圖，是用斜二測畫法得到的△AOB的直觀圖，其中則AB的長度為．2-3．（2024高一上·山東濟寧·階段練習）有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形（如圖所示）.，則這塊菜地的面積為2-4．（2024高二上·寧夏石嘴山·階段練習）如圖，用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為一個正方形，則原來圖形的面積是．題型3：展開圖3-1．（2024·山東青島·三模）已知圓錐的底面半徑為1，側(cè)面展開圖為半圓，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的表面積為．3-2．（2024高二下·云南紅河·階段練習）如圖，在直三棱柱的側(cè)面展開圖中，B，C是線段AD的三等分點，且．若該三棱柱的外接球O的表面積為12π，則．3-3．（2024·安徽黃山·一模）如圖，在四棱錐P-ABCD的平面展開圖中，正方形ABCD的邊長為4，是以AD為斜邊的等腰直角三角形，，則該四棱錐外接球被平面PBC所截的圓面的面積為.題型4：最短路徑問題4-1．（2024高三·全國·專題練習）如圖，一豎立在地面上的圓錐形物體的母線長為4，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點P出發(fā)，繞圓錐爬行一周后回到點P處，若該小蟲爬行的最短路程為，則這個圓錐的體積為（）.

A． B． C． D．4-2．（2024高一下·河南開封·期中）如圖，已知正四棱錐的側(cè)棱長為，側(cè)面等腰三角形的頂角為，則從A點出發(fā)環(huán)繞側(cè)面一周后回到A點的最短路程為（

）

A． B． C． D．64-3．（2024·遼寧·三模）盲盒是一種深受大眾喜愛的玩具，某盲盒生產(chǎn)廠商要為棱長為的正四面體魔方設計一款正方體的包裝盒，需要保證該魔方可以在包裝盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則包裝盒的棱長最短為（

）A． B． C． D．4-4．（2024高一下·湖北武漢·期中）如圖，一個矩形邊長為1和4，繞它的長為的邊旋轉(zhuǎn)二周后所得如圖的一開口容器（下表面密封），是中點，現(xiàn)有一只媽蟻位于外壁處，內(nèi)壁處有一米粒，若這只螞蟻要先爬到上口邊沿再爬到點處取得米粒，則它所需經(jīng)過的最短路程為（

）A． B． C． D．4-5．（2024高一·全國·課后作業(yè)）如圖所示，在正三棱柱中，，，由頂點沿棱柱側(cè)面(經(jīng)過棱)到達頂點，與的交點記為，則從點經(jīng)點到的最短路線長為（

）A． B． C．4 D．（二）基本立體圖形的表面積的體積1.（1）多面體的表面積是各個面的面積之和．（2）旋轉(zhuǎn)體的表面積是將其展開后，展開圖的面積與底面面積之和．（3）組合體的表面積求解時注意對銜接部分的處理．2.空間幾何體的體積的常用方法公式法規(guī)則幾何體的體積，直接利用公式割補法把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體等體積法通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積題型5：基本立體圖形的表面積5-1．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知某圓錐的母線長、底面圓的直徑都等于球的半徑，則球與圓錐的表面積之比為（

）A．8 B． C． D．5-2．（2024·河南鄭州·模擬預測）在一個正六棱柱中挖去一個圓柱后，剩余部分幾何體如圖所示．已知正六棱柱的底面正六邊形邊長為3cm，高為4cm，內(nèi)孔半徑為1cm，則此幾何體的表面積是（

）．

A． B．C． D．5-3．（2024·安徽安慶·三模）陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時代遺址.如圖所示的是一個陀螺立體結(jié)構(gòu)圖.已知，底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個陀螺的表面積（單位：）是（

）

A． B．C． D．5-4．（2024·河北·模擬預測）《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學名著.其“商功”中記載：“正四面形棱臺（即正四棱臺）建筑物為方亭.”現(xiàn)有如圖所示的烽火臺，其主體部分為一方亭，將它的主體部分抽象成的正四棱臺（如圖所示），其中上底面與下底面的面積之比為，方亭的高為棱臺上底面邊長的倍.已知方亭的體積為，則該方亭的表面積約為（

）（，，）A． B． C． D．5-5．（2024高三下·海南?？凇て谥校┤鐖D是一個圓臺形的水杯，圓臺的母線長為12，上?下底面的半徑分別為4和2.為了防燙和防滑，該水杯配有一個皮革杯套，包裹住水杯高度以下的外壁和杯底，水杯和杯套的厚度忽略不計，則此杯套使用的皮革的面積為（

）

A． B． C． D．題型6：基本立體圖形的體積6-1．（2024高三上·重慶沙坪壩·階段練習）若某圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為2的半圓面，其內(nèi)接正四棱柱的高為，則此正四棱柱的體積是（

）A． B． C． D．6-2．（2024高三上·山東青島·期中）已知正四棱錐的各頂點都在同一個球面上，球的體積為，則該正四棱錐的體積最大值為（

）A．18 B． C． D．276-3．（2024高三上·湖北武漢·開學考試）攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為最尖，清代稱攢尖，通常有圓形攢尖?三角攢尖?四角攢尖?八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑?園林建筑.下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐.已知正四棱錐的底面邊長為米，側(cè)棱長為5米，則其體積為（

）立方米.

A． B．24 C． D．726-4．（2024·浙江·模擬預測）如圖是我國古代量糧食的器具“升”，其形狀是正四棱臺，上、下底面邊長分別為20cm和10cm，側(cè)棱長為cm．“升”裝滿后用手指或筷子沿升口刮平，這叫“平升”．則該“升”的“平升”約可裝（

）

A．1.5L B．1.7L C．2.3L D．2.7L6-5．（2024高三上·廣西·階段練習）在棱長為2的正方體內(nèi)，放入一個以為鈾線的圓柱，且圓柱的底面所在平面截正方體所得的截面為三角形，則該圓柱體積的最大值為．一、單選題1．（2024高三下·安徽·階段練習）已知幾何體，“有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形”是“幾何體為棱柱”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2024高三·全國·對口高考）設有三個命題；甲：底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；乙：底面是矩形的平行六面體是長方體；丙：直四棱柱是平行六面體．以上命題中真命題的個數(shù)為（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個3．（2024高二上·安徽合肥·階段練習）如圖所示，觀察四個幾何體，其中判斷正確的是（

）A．是棱臺 B．是圓臺C．不是棱柱 D．是棱錐4．（2024·西藏拉薩·一模）位于徐州園博園中心位置的國際館（一云落雨），使用現(xiàn)代科技霧化“造云”，打造溫室客廳，如圖，這個國際館中3個展館的頂部均采用正四棱錐這種經(jīng)典幾何形式，表達了理性主義與浪漫主義的對立與統(tǒng)一.其中最大的是3號展館，其頂部所對應的正四棱錐底面邊長為19.2m，高為9m，則該正四棱錐的側(cè)面面積與底面面積之比約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．2 B．1.71 C．1.37 D．15．（2024高三下·湖南長沙·階段練習）為了給熱愛朗讀的師生提供一個安靜獨立的環(huán)境，某學校修建了若干“朗讀亭”.如圖所示，該朗讀亭的外形是一個正六棱柱和正六棱錐的組合體，正六棱柱兩條相對側(cè)棱所在的軸截面為正方形，若正六棱錐的高與底面邊長的比為，則正六棱錐與正六棱柱的側(cè)面積的比值為（

）A． B． C． D．6．（2024·甘肅張掖·模擬預測）仿鈞玫瑰紫釉盤是收藏于北京故宮博物院的一件明代宣德年間產(chǎn)的瓷器．該盤盤口微撇，弧腹，圈足．足底切削整齊．通體施玫瑰紫釉，釉面棕眼密集，美不勝收．仿鈞玫瑰紫釉盤的形狀可近似看成是圓臺和圓柱的組合體，其口徑為15.5cm，足徑為9.2cm，頂部到底部的高為4.1cm，底部圓柱高為0.7cm，則該仿鈞玫瑰紫釉盤圓臺部分的側(cè)面積約為（

）（參考數(shù)據(jù)：π的值取3，）

A． B． C． D．7．（2024·廣東梅州·三模）在馬致遠的《漢宮秋》楔子中寫道：“氈帳秋風迷宿草，穹廬夜月聽悲笳.”氈帳是古代北方游牧民族以為居室、氈制帷幔.如圖所示，某氈帳可視作一個圓錐與圓柱的組合體，圓錐的高為4，側(cè)面積為，圓柱的側(cè)面積為，則該氈帳的體積為（

）

A． B． C． D．8．（2024高三上·廣東河源·開學考試）最早的測雨器記載見于南宋數(shù)學家秦九韶所著的《數(shù)書九章》（1247年）.該書第二章為“天時類”，收錄了有關(guān)降水量計算的四個例子，分別是“天池測雨”、“圓罌測雨”、“峻積驗雪”和“竹器驗雪”.如圖“竹器驗雪”法是下雪時用一個圓臺形的器皿收集雪量（平地降雪厚度器皿中積雪體積除以器皿口面積），已知數(shù)據(jù)如圖（注意：單位），則平地降雪厚度的近似值為（

）

A． B． C． D．9．（2024高一下·陜西寶雞·期末）盲盒是一種深受大眾喜愛的玩具，某盲盒生產(chǎn)廠商要為棱長為的正四面體魔方設計一款正方體的包裝盒，需要保證該魔方可以在包裝盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則包裝盒的棱長最短為（

）A． B． C． D．10．（2024高二下·安徽·階段練習）我們知道立體圖形上的最短路徑問題通常是把立體圖形展開成平面圖形，連接兩點，根據(jù)兩點之間線段最短確定最短路線.請根據(jù)此方法求函數(shù)的最小值（

）A． B． C． D．11．（2024·全國）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．12．（2024·全國）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔時，相應水面的面積為；水位為海拔時，相應水面的面積為，將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔上升到時，增加的水量約為（）（

）A． B． C． D．13．（2024高一·全國·課后作業(yè)）若一個正方體的體對角線長為a，則這個正方體的全面積為（

）A． B． C． D．14．（2004·重慶）如圖，棱長為5的正方體無論從哪一個面看，都有兩個直通的邊長為1的正方形孔，則這個有孔正方體的表面積（含孔內(nèi)各面）是（

）A．258 B．234 C．222 D．21015．（2024高一下·貴州黔西·期末）端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習俗.地區(qū)不同，制作的粽子形狀也不同，黔西南州最出名的就是鮮肉的灰色粽子，其形狀接近于正三棱錐（如圖）.若正三棱錐的底面邊長為2，高為1，則該三棱錐的側(cè)面積為（

）

A． B． C． D．16．（2024·河南·模擬預測）在正四棱錐中，，若正四棱錐的體積是8，則該四棱錐的側(cè)面積是（

）A． B． C．4 D．17．（2024高三上·遼寧·期末）已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為和的正方形，側(cè)面均為腰長為的等腰梯形，則該四棱臺的表面積為（

）A． B．C． D．18．（2024高三上·廣東·階段練習）“李白斗酒詩百篇，長安市上酒家眠”，本詩句中的“斗”的本義是指盛酒的器具，后又作為計量糧食的工具，某數(shù)學興趣小組利用相關(guān)材料制作了一個如圖所示的正四棱臺來模擬“斗”，用它研究“斗”的相關(guān)幾何性質(zhì)，已知該四棱臺的上、下底的邊長分別是2、4，高為1，則該四棱臺的表面積為（

）A． B．32 C． D．19．（2024高三上·湖北·開學考試）已知正四棱臺上底面邊長為2，下底面邊長4，高為3，則其表面積為（

）A．36 B．C． D．4820．（2024高一下·全國·課后作業(yè)）已知一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，則這個圓柱的全面積與側(cè)面積的比是（

）A． B． C． D．21．（2024·廣東湛江·二模）如圖，將一個圓柱等分切割，再將其重新組合成一個與圓柱等底等高的幾何體，越大，重新組合成的幾何體就越接近一個“長方體”．若新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加了10，則圓柱的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．22．（2024·福建）以邊長為的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于A． B． C． D．23．（2024高三上·全國·階段練習）已知圓錐的底面半徑為2，高為，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．24．（2024·四川成都·二模）若圓錐的表面積為，底面圓的半徑為，則該圓錐的高為（

）A． B． C． D．25．（2024高三上·河南·階段練習）佛蘭德現(xiàn)代藝術(shù)中心是比利時洛默爾市的地標性建筑，該建筑是一座全玻璃建筑，整體成圓錐形，它利用現(xiàn)代設計手法令空間與其展示的藝術(shù)品無縫交融，形成一個統(tǒng)一的整體，氣勢恢宏，美輪美英．佛蘭德現(xiàn)代藝術(shù)中心的底面直徑為，側(cè)面積為，則該建筑的高為（

）

A． B． C． D．26．（2024高三上·河南·開學考試）圓臺軸截面面積為，上下底面半徑之比為，母線與底面所成角為，則圓臺側(cè)面積為（

）A． B．C． D．27．（2024高二上·江蘇鎮(zhèn)江·開學考試）已知圓臺的上下底面半徑分別為2和5，且母線與下底面所成為角的正切值為，則該圓臺的表面積為（

）A． B． C． D．28．（2024·甘肅蘭州·模擬預測）攢尖是中國古建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，常見的有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、六角攢尖等，多見于亭閣式建筑，蘭州市著名景點三臺閣的屋頂部分也是典型的攢尖結(jié)構(gòu)．如圖所示是某研究性學習小組制作的三臺閣仿真模型的屋頂部分，它可以看作是不含下底面的正四棱臺和正三棱柱的組合體，已知正四棱臺上底、下底、側(cè)棱的長度（單位：dm）分別為2，6，4，正三棱柱各棱長均相等，則該結(jié)構(gòu)表面積為（

）A． B． C． D．29．（2024高三上·黑龍江哈爾濱·期中）正三棱柱側(cè)面的一條對角線長為2，且與底面成角，則此三棱柱的體積為（

）A． B． C． D．30．（2008·四川）若三棱柱的一個側(cè)面是邊長為2的正方形，另外兩個側(cè)面都是有一個內(nèi)角為的菱形，則該棱柱的體積等于A． B． C． D．31．（2024高三上·河南焦作·開學考試）把過棱錐的頂點且與底面垂直的直線稱為棱錐的軸，過棱錐的軸的截面稱為棱錐的軸截面．現(xiàn)有一個正三棱錐、一個正四棱錐、一個正六棱錐，它們的高相等，軸截面面積的最大值也相等，則此正三棱錐、正四棱錐、正六棱錐的體積之比為（

）A． B．C． D．32．（2024·廣東深圳·二模）設表面積相等的正方體、正四面體和球的體積分別為、和，則（

）A． B． C． D．33．（2024·河南鄭州·模擬預測）《九章算術(shù)·商功》：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，其一為鱉臑”.意思是一個長方體沿對角面斜解（圖1），得到一模一樣的兩個塹堵（圖2），再沿一個塹堵的一個頂點和相對的棱斜解（圖2），得一個四棱錐稱為陽馬（圖3），一個三棱錐稱為鱉臑（圖4）.若長方體的體積為，由該長方體斜解所得到的塹堵、陽馬和鱉臑的體積分別為，，，則下列等式錯誤的是（

）

A． B．C． D．34．（2024高三下·浙江杭州·階段練習）已知矩形中，，，是的中點，沿直線將△翻折成△，則三棱錐的體積的最大值為（

）A． B． C． D．35．（2024·全國）正四棱臺的上?下底面的邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，則其體積為（

）A． B． C． D．36．（2024高一下·江蘇連云港·階段練習）在《九章算術(shù)商功》中將正四面形棱臺體棱臺的上、下底面均為正方形稱為方亭．在方亭中，，四個側(cè)面均為全等的等腰梯形且面積之和為，則該方亭的體積為（

）A． B． C． D．37．（2024高三上·山西運城·期中）已知一個正四棱臺的上下底面邊長為、，側(cè)棱長為，則棱臺的體積為（

）A． B． C． D．38．（2024·河南·模擬預測）光岳樓，又稱“余木樓”“鼓樓”“東昌樓”，位于山東省聊城市，在《中國名樓》站臺票紀念冊中，光岳樓與鸛雀樓、黃鶴樓、岳陽樓、太白樓、滕王閣、蓬萊閣、鎮(zhèn)海樓、甲秀樓、大觀樓共同組成中國十大名樓.其墩臺為磚石砌成的正四棱臺，如圖所示，光岳樓的墩臺上底面正方形的邊長約為32m，下底面正方形的邊長約為34.5m，高的4倍比上底面的邊長長4m，則光岳樓墩臺的體積約為（

）

A． B． C． D．39．（四川省仁壽第一中學校（北校區(qū)）2023-2024學年高三上學期9月月考文科數(shù)學試題）已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為（

）A． B． C． D．40．（2024高三上·江蘇蘇州·開學考試）若某圓柱體的底面半徑與某球體的半徑相等，圓柱體與球體的體積之比和它們的表面積之比的比值相等，則該圓柱體的高與球體的半徑的比值為（

）A． B． C． D．241．（2024·河南·模擬預測）圓錐的高為2，其側(cè)面展開圖的圓心角為，則該圓錐的體積為（

）.A． B． C． D．42．（2024高三上·福建廈門·階段練習）已知母線長為5的圓錐的側(cè)面積為，則這個圓錐的體積為（

）A． B． C． D．43．（2024高三下·河南開封·階段練習）木桶作為一種容器，在我國使用的歷史已經(jīng)達到了幾千年，其形狀可視為一個圓臺．若某圓臺形木桶上、下底面的半徑分別為，母線長為，木板厚度忽略不計，則該木桶的容積為（

）A． B． C． D．44．（2024高三上·福建廈門·階段練習）用一個平行于圓錐底面的平面截該圓錐得到一個圓臺，若圓臺上底面和下底面半徑之比為，則該圓臺與圓錐的體積之比為（

）A． B． C． D．二、多選題45．（2024·全國）如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（

）A． B．C． D．46．（2024·福建·模擬預測）等腰梯形的上下底邊之比為，若繞該梯形的對稱軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積為，則該梯形的周長可能為（

）A． B．8 C． D．1647．（2024·河南·模擬預測）如圖，正三棱柱的底面邊長為1，高為3，為棱的中點，分別在棱上，且滿足取得最小值．記四棱錐、三棱錐的體積分別為，則（

）

A． B． C． D．48．（2024高三上·湖南·階段練習）若某正方體的棱長為，則（

）A．該正方體的體積為5 B．該正方體的內(nèi)切球的體積為C．該正方體的表面積為30 D．該正方體的外接球的表面積為三、填空題49．（2024·遼寧錦州·模擬預測）已知用斜二測畫法畫梯形OABC的直觀圖如圖所示，，，，軸，，為的三等分點，則四邊形OABC繞y軸旋轉(zhuǎn)一周形成的空間幾何體的體積為．

50．（2024高三·全國·對口高考）若正用斜二測畫法畫出的水平放置圖形的直觀圖為，當?shù)拿娣e為時，的面積為．51．（2024高三下·上海寶山·開學考試）我們知道一條線段在“斜二測”畫法中它的長度可能會發(fā)生變化的，現(xiàn)直角坐標系平面上一條長為4cm線段AB按“斜二測”畫法在水平放置的平面上畫出為，則最短長度為cm（結(jié)果用精確值表示）52．（2024高三·全國·階段練習）如圖，梯形ABCD是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中，，，則原圖形的面積為．53．（2024高三上·上海普陀·期中）2022年4月16日，神舟十三號載人飛船返回艙在東風著陸場預定區(qū)域成果著陸．如圖，在返回過程中使用的主降落傘外表面積達到1200平方米，若主降落傘完全展開后可以近似看著一個半球，則完全展開后傘口的直徑約為米（精確到整數(shù)）54．（2024高一下·四川成都·階段練習）已知圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的體積為．55．（2024·安徽·模擬預測）如圖，在三棱錐P-ABC的平面展開圖中，，，，，，則三棱錐外接球表面積為．56．（2024·安徽馬鞍山·模擬預測）已知三棱錐P－ABC的底面ABC為等邊三角形．如圖，在三棱錐P－ABC的平面展開圖中，P，F(xiàn)，E三點共線，B，C，E三點共線，，，則PB＝．57．（2024高三上·山西大同·階段練習）如圖，在三棱錐的平面展開圖中，，，，，，則三棱錐的外接球的表面積為．

58．（2024高三·河北·專題練習）如圖，正方體的棱長為，點為的中點，在對角面上取一點，使最小，其最小值為59．（2024高三上·四川成都·開學考試）如圖一個正六棱柱的茶葉盒，底面邊長為，高為，則這個茶葉盒的表面積為.60．（2024高二上·上海黃浦·階段練習）若長方體的對角線的長為，其長、寬、高的和是，則長方體的全面積是．61．（2024·全國·模擬預測）正四棱錐P-ABCD的各條棱長均為2，則該四棱錐的表面積為．62．（2024高三·全國·專題練習）一個正三棱臺的上、下底面邊長分別是3cm和6cm，高是cm．則三棱臺的斜高為；三棱臺的側(cè)面積為；表面積為．63．（2024高三·全國·專題練習）若矩形的周長為36，矩形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)形成一個圓柱，求圓柱側(cè)面積的最大值為．64．（2024高二上·北京海淀·期中）若一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個圓錐的側(cè)面積是．65．（2024高三上·全國·專題練習）某地球儀上北緯緯線的長度為，該地球儀的半徑是cm，表面積是cm2．66．（2024·全國）已知圓和圓是球的大圓和小圓，其公共弦長等于球的半徑，，且圓與圓所在的平面所成的一個二面角為則球的表面積等于.67．（2009年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學（全國卷Ⅱ））設OA是球O的半徑,M是OA的中點,過M且與OA成角的平面截球O的表面得到圓C．若圓C的面積等于,則球O的表面積等于68．（2024·全國）用平面截半徑為的球，如果球心到截面的距離為，那么截得小圓的面積與球的表面積的比值為．69．（2024高三上·廣東廣州·階段練習）陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一，也稱陀羅，圖l是一種木陀螺，可近似地看作是一個圓錐和一個圓柱的組合體，其直觀圖如圖2所示，其中A是圓錐的頂點，B，C分別是圓柱的上?下底面圓的圓心，且，，底面圓的半徑為1，則該陀螺的表面積是.

70．（2024高三·全國·專題練習）如圖，八面體的每一個面都是正三角形，并且4個頂點A，B，C，D在同一個平面內(nèi)．如果四邊形ABCD是邊長為30cm的正方形，那么這個八面體的表面積是.

71．（2024高三上·天津北辰·階段練習）已知一個圓柱的高是底面半徑的2倍，且其上、下底面的圓周均在球面上，若球的體積為，則圓柱的體積為．72．（2024高三上·云南昆明·階段練習）已知某圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為的半圓?則該圓錐的體積為.73．（2024·浙江嘉興·模擬預測）已知圓錐的底面半徑為1，側(cè)面積為，則此圓錐的體積是．74．（2024高三上·廣東廣州·階段練習）已知圓錐的底面半徑為2，側(cè)面展開圖是一個圓心角為120°的扇形.把該圓錐截成圓臺，已知圓臺的下底面與該圓錐的底面重合，圓臺的上底面半徑為1，則圓臺的體積為成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjshuxue加入百度網(wǎng)盤群1.5T一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動更新永不過期專題31空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積與體積6題型分類1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側(cè)棱平行且相等相交于一點但不一定相等延長線交于一點側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點延長線交于一點軸截面矩形等腰三角形等腰梯形圓側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)2.直觀圖(1)畫法：常用斜二測畫法．(2)規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中x′軸、y′軸的夾角為45°或135°，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標軸，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄?．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺側(cè)＝π(r1＋r2)l4．柱、錐、臺、球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體S表＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體S表＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺體S表＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S表＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3常用結(jié)論1．與體積有關(guān)的幾個結(jié)論(1)一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差．(2)底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等(祖暅原理)．2．直觀圖與原平面圖形面積間的關(guān)系：S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形，S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖．（一）1.空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的判斷技巧(1)說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可．(2)在斜二測畫法中，平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半．(3)在解決空間折線(段)最短問題時一般考慮其展開圖，采用化曲為直的策略，將空間問題平面化．2.多面體表面展開圖可以有不同的形狀，應多實踐，觀察并大膽想象立體圖形與表面展開圖的關(guān)系，一定先觀察立體圖形的每一個面的形狀．3.最大路徑問題：大膽展開，把問題變?yōu)槠矫鎯牲c間線段最短問題．題型1：基本立體圖形結(jié)構(gòu)特征1-1．（2024·新疆·模擬預測）下列命題中正確的是（

）A．有兩個平面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.B．各個面都是三角形的幾何體是三棱錐.C．夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉(zhuǎn)體.D．圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線都是母線.【答案】D【分析】根據(jù)空間幾何體的定義判斷．【詳解】如圖所示的幾何體滿足兩個平面平行，其余各面都是平行四邊形，但它不是棱柱，A錯；正八面體的各面都是三角形，不是三棱錐，B錯；如果兩個平行截面與圓柱的底面平行，則是旋轉(zhuǎn)體，如果這兩個平行截面與圓柱的底面不平行，則不是旋轉(zhuǎn)體．C錯；根據(jù)圓錐的定義，D正確．故選：D．1-2．（2024高一·全國·課后作業(yè)）下列命題：①有兩個面平行，其他各面都是平行四邊形的幾何體叫做棱柱；②有兩側(cè)面與底面垂直的棱柱是直棱柱；③過斜棱柱的側(cè)棱作棱柱的截面，所得圖形不可能是矩形；④所有側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．其中正確命題的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】①②③④均可舉出反例.【詳解】①如圖1，滿足有兩個面平行，其他各面都是平行四邊形，顯然不是棱柱，故①錯誤；②如圖2，滿足兩側(cè)面與底面垂直，但不是直棱柱，②錯誤；③如圖3，四邊形為矩形，即過斜棱柱的側(cè)棱作棱柱的截面，所得圖形可能是矩形，③錯誤；④所有側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因為兩底面不一定是正方形，④錯誤．故選：A1-3．（2024高一下·山西呂梁·期末）下列說法正確的是（

）A．三角形的直觀圖是三角形 B．直四棱柱是長方體C．平行六面體不是棱柱D．兩個平面平行，其余各面是梯形的多面體是棱臺【答案】A【分析】對A，根據(jù)直觀圖的定義判斷；對B，直四棱柱可能底面不是矩形，結(jié)合長方體定義即可判斷；對C，結(jié)合棱柱定義，平行六面體是四棱柱，即可判斷；對D，結(jié)合棱臺側(cè)棱延長后需要交于一點，即可判斷【詳解】對A，根據(jù)直觀圖的定義，三角形的直觀圖是三角形，故A對；對B，底面是長方形的直四棱柱是長方體，故B錯；對C，平行六面體一定是棱柱，故C錯；兩個平面平行，其余各面是梯形的多面體，當側(cè)棱延長后不交于同一點時，不是棱臺，故D錯；故選：A1-4．（2024高三·全國·專題練習）給出下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；③棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等.其中正確命題的個數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓柱母線的定義可判斷命題①的正誤；根據(jù)圓錐的形成可判斷命題②的正誤；根據(jù)棱臺的定義可判斷命題③的正誤.【詳解】①不一定，只有當這兩點的連線平行于軸時才是母線；②不一定，當以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個同底圓錐組成的幾何體；③錯誤，棱臺的上、下底面相似且是對應邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于一點，但是側(cè)棱長不一定相等.故選：A.【點睛】本題考查幾何體結(jié)構(gòu)特征的判斷，屬于基礎(chǔ)題.題型2：直觀圖2-1．（2024高一下·浙江寧波·期中）用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖所示，邊與平行于軸.已知四邊形的面積為，則原平面圖形的面積為.【答案】【分析】作出原圖形，根據(jù)原圖形與直觀面積之間的關(guān)系求解．【詳解】根據(jù)題意得，原四邊形為一個直角梯形，且，，，，則，所以，.故答案為：.2-2．（2024高一下·上海奉賢·期末）如圖，是用斜二測畫法得到的△AOB的直觀圖，其中則AB的長度為．【答案】【分析】把直觀圖還原為原平面圖形，根據(jù)直觀圖畫法規(guī)則，利用勾股定理求出AB的長度即可．【詳解】把直觀圖還原為,如圖所示：根據(jù)直觀圖畫法規(guī)則知,,所以的長度為.故答案為：.2-3．（2024高一上·山東濟寧·階段練習）有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形（如圖所示）.，則這塊菜地的面積為【答案】【分析】利用直觀圖中的信息，求出的長度，從而得到原平面圖形中的長度，利用梯形的面積公式求解即可.【詳解】過作于，在直觀圖中，，，，所以，，故原平面圖形的上底為，下底，高為，所以這塊菜地的面積為，故答案為：.2-4．（2024高二上·寧夏石嘴山·階段練習）如圖，用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為一個正方形，則原來圖形的面積是．【答案】【分析】根據(jù)斜二測畫法的過程把給出的直觀圖還原回原圖形，再利用斜二測畫法的特點及平行四邊形的面積公式即可求解.【詳解】由直觀圖可知，在直觀圖中,正方形的對角線長為，由斜二測畫法的特點，知該平面圖形的直觀圖的原圖形如圖所示所以原圖圖形為平行四邊形，底面邊長為，位于軸的對角線長為，所以原來圖形的面積為.故答案為：.題型3：展開圖3-1．（2024·山東青島·三模）已知圓錐的底面半徑為1，側(cè)面展開圖為半圓，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的表面積為．【答案】/【分析】由圓錐側(cè)面展開圖求得圓錐母線長，圓錐內(nèi)半徑最大的球與圓錐相切，作出圓錐的軸截面，截球得大圓為圓錐軸截面三角形的內(nèi)切圓，由此圖形計算出球的半徑后可得表面積．【詳解】設圓錐母線長為，由題意，，圓錐內(nèi)半徑最大的球與圓錐相切，作出圓錐的軸截面，截球得大圓為圓錐軸截面三角形的內(nèi)切圓，是切點，如圖，易知是圓錐的高，在上，由得，因此，所以，，所以圓錐內(nèi)半徑最大的球的表面積為，故答案為：．3-2．（2024高二下·云南紅河·階段練習）如圖，在直三棱柱的側(cè)面展開圖中，B，C是線段AD的三等分點，且．若該三棱柱的外接球O的表面積為12π，則．【答案】【分析】根據(jù)正三棱柱得性質(zhì)，確定外接球的球心，利用球的表面積公式以及勾股定理，可得答案.【詳解】由該三棱柱的外接球O的表面積為12π，設外接球得半徑為，則，解得，由題意，取上下底面三角形得中心，分別為，得中點即為外接圓圓心，作圖如下：則，平面，，平面，，在等邊中，，在中，，.故答案為：.3-3．（2024·安徽黃山·一模）如圖，在四棱錐P-ABCD的平面展開圖中，正方形ABCD的邊長為4，是以AD為斜邊的等腰直角三角形，，則該四棱錐外接球被平面PBC所截的圓面的面積為.【答案】【分析】先由線面垂直判定定理證明平面，進而建立空間直角坐標系，根據(jù)球心的性質(zhì)列出方程得出球心坐標，再求出平面的法向量，最后由向量法得出四棱錐外接球的球心到面的距離，再計算出半徑即可求解.【詳解】該幾何體的直觀圖如下圖所示分別取的中點，連接又，所以由線面垂直的判定定理得出平面以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，設四棱錐外接球的球心，，解得設平面的法向量為，取，則四棱錐外接球的球心到面的距離為又，所以平面PBC所截的圓的半徑所以平面PBC所截的圓面的面積為.故答案為：題型4：最短路徑問題4-1．（2024高三·全國·專題練習）如圖，一豎立在地面上的圓錐形物體的母線長為4，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點P出發(fā)，繞圓錐爬行一周后回到點P處，若該小蟲爬行的最短路程為，則這個圓錐的體積為（）.

A． B． C． D．【答案】C【分析】作出該圓錐的側(cè)面展開圖，該小蟲爬行的最短路程為，由余弦定理求出．求出底面圓的半徑r，從而求出這個圓錐的高，由此能求出這個圓錐的體積．【詳解】作出該圓錐的側(cè)面展開圖，如圖所示：

該小蟲爬行的最短路程為，由余弦定理可得，．設底面圓的半徑為r，則有，解得．∴這個圓錐的高為，這個圓錐的體積為．故選：C．4-2．（2024高一下·河南開封·期中）如圖，已知正四棱錐的側(cè)棱長為，側(cè)面等腰三角形的頂角為，則從A點出發(fā)環(huán)繞側(cè)面一周后回到A點的最短路程為（

）

A． B． C． D．6【答案】D【分析】把正四棱錐的側(cè)面沿著SA剪開，得到它的側(cè)面展開圖，得到一個由四個全等的頂角為的等腰三角形組成的圖象，所求的路徑即為，求解即可.【詳解】把正四棱錐的側(cè)面沿著SA剪開，得到它的側(cè)面展開圖(如圖).要使路程最短，必須沿著線段前行.在中，，，則.作于H，則，，.故選：D.

4-3．（2024·遼寧·三模）盲盒是一種深受大眾喜愛的玩具，某盲盒生產(chǎn)廠商要為棱長為的正四面體魔方設計一款正方體的包裝盒，需要保證該魔方可以在包裝盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則包裝盒的棱長最短為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依題意，若要使正四面體能自由轉(zhuǎn)動，則正方體必須能裝下正四面體的外接球，即正方體的最短棱長就是外接球的直徑.【詳解】如圖是棱長為的正四面體，由題意，，設的中點為，底面的重心為，為外接球的球心，則有底面，，

，，是外接球半徑，在中，，在中，，，，解得，即正方體的最短棱長為.故選：B.4-4．（2024高一下·湖北武漢·期中）如圖，一個矩形邊長為1和4，繞它的長為的邊旋轉(zhuǎn)二周后所得如圖的一開口容器（下表面密封），是中點，現(xiàn)有一只媽蟻位于外壁處，內(nèi)壁處有一米粒，若這只螞蟻要先爬到上口邊沿再爬到點處取得米粒，則它所需經(jīng)過的最短路程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】畫出圓柱的側(cè)面展開圖，根據(jù)對稱性，求出的最小值就是的長，求解即可．【詳解】解：依題意可得圓柱的底面半徑，高將圓柱的側(cè)面（一半）展開后得矩形，其中，，問題轉(zhuǎn)化為在上找一點，使最短，作關(guān)于的對稱點，連接，令與交于點，則得的最小值就是為．故選：A4-5．（2024高一·全國·課后作業(yè)）如圖所示，在正三棱柱中，，，由頂點沿棱柱側(cè)面(經(jīng)過棱)到達頂點，與的交點記為，則從點經(jīng)點到的最短路線長為（

）A． B． C．4 D．【答案】B【分析】沿側(cè)棱將正三棱柱的側(cè)面展開，根據(jù)展開圖，即可得出最小路徑.【詳解】如圖，沿側(cè)棱將正三棱柱的側(cè)面展開由側(cè)面展開圖可知，當，，三點共線時，從點經(jīng)點到的路線最短．所以最短路線長為.故選：B.（二）基本立體圖形的表面積的體積1.（1）多面體的表面積是各個面的面積之和．（2）旋轉(zhuǎn)體的表面積是將其展開后，展開圖的面積與底面面積之和．（3）組合體的表面積求解時注意對銜接部分的處理．2.空間幾何體的體積的常用方法公式法規(guī)則幾何體的體積，直接利用公式割補法把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體等體積法通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積題型5：基本立體圖形的表面積5-1．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知某圓錐的母線長、底面圓的直徑都等于球的半徑，則球與圓錐的表面積之比為（

）A．8 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)球與圓錐的表面積計算公式，建立方程，可得答案.【詳解】設圓錐的母線長為，底面圓的半徑為，球的半徑為，則，即，，球的表面積，圓錐的表面積，則.故選：B.5-2．（2024·河南鄭州·模擬預測）在一個正六棱柱中挖去一個圓柱后，剩余部分幾何體如圖所示．已知正六棱柱的底面正六邊形邊長為3cm，高為4cm，內(nèi)孔半徑為1cm，則此幾何體的表面積是（

）．

A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)棱柱與圓柱的側(cè)面積公式求解.【詳解】所求幾何體的側(cè)面積為，上下底面面積為，挖去圓柱的側(cè)面積為，則所求幾何體的表面積為．故選：C．5-3．（2024·安徽安慶·三模）陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時代遺址.如圖所示的是一個陀螺立體結(jié)構(gòu)圖.已知，底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個陀螺的表面積（單位：）是（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓柱與圓錐的表面積公式求解.【詳解】由題意可得圓錐體的母線長為，所以圓錐體的側(cè)面積為，圓柱體的側(cè)面積為，圓柱的底面面積為，所以此陀螺的表面積為，故選：C.5-4．（2024·河北·模擬預測）《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學名著.其“商功”中記載：“正四面形棱臺（即正四棱臺）建筑物為方亭.”現(xiàn)有如圖所示的烽火臺，其主體部分為一方亭，將它的主體部分抽象成的正四棱臺（如圖所示），其中上底面與下底面的面積之比為，方亭的高為棱臺上底面邊長的倍.已知方亭的體積為，則該方亭的表面積約為（

）（，，）A． B． C． D．【答案】C【分析】設方亭相應的正四棱臺的上底面邊長，則，棱臺的高，根據(jù)棱臺的體積求出，再根據(jù)棱臺的表面積公式計算可得.【詳解】設方亭相應的正四棱臺的上底面邊長，則，棱臺的高，所以，解得，所以正四棱臺的上底面邊長為，下底面邊長為，棱臺的高為，所以方亭的斜高為，由于各側(cè)面均為相等的等腰梯形，所以，所以方亭的表面積.故選：C5-5．（2024高三下·海南?？凇て谥校┤鐖D是一個圓臺形的水杯，圓臺的母線長為12，上?下底面的半徑分別為4和2.為了防燙和防滑，該水杯配有一個皮革杯套，包裹住水杯高度以下的外壁和杯底，水杯和杯套的厚度忽略不計，則此杯套使用的皮革的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】求出杯套部分圓臺的較大底面的半徑，根據(jù)圓臺的側(cè)面積公式以及底面圓的面積，即可求得答案.【詳解】由題意可知杯套部分依然是圓臺，則此杯套使用的皮革的面積即為對應圓臺的側(cè)面積加上較小底面面積；如圖，作出水杯的軸截面，作于G，設為杯套部分對應的軸截面，AG交EF與H，

則，，則由∽可得，故，故此杯套使用的皮革的面積為，故選：C題型6：基本立體圖形的體積6-1．（2024高三上·重慶沙坪壩·階段練習）若某圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為2的半圓面，其內(nèi)接正四棱柱的高為，則此正四棱柱的體積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出圓錐的底面半徑與高，設棱柱的底面對角線長的一半為，高為h，根據(jù)比例式得出，h的關(guān)系，可求的值，根據(jù)柱體的體積公式可得答案．【詳解】設圓錐底面半徑為，因為母線長為,則半圓弧長底面周長，所以，圓錐的高為如圖，設，則，設，則，因為，∴，所以，∴，，故選：C．

6-2．（2024高三上·山東青島·期中）已知正四棱錐的各頂點都在同一個球面上，球的體積為，則該正四棱錐的體積最大值為（

）A．18 B． C． D．27【答案】B【分析】先求出外接球的半徑，再根據(jù)正四棱錐的幾何特征可知外接球的球心在其高上，利用勾股定理可得，進而由體積公式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，利用導數(shù)可求出函數(shù)的最值.【詳解】如圖，設正四棱錐的底面邊長，高，外接球的球心為，則，因為球的體積為，所以球的半徑為，在中，，即，所以正四棱錐的體積為整理得，則，當時，，當時，，所以在上遞增，在上遞減，所以當時，函數(shù)取得最大值，故選：B

6-3．（2024高三上·湖北武漢·開學考試）攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為最尖，清代稱攢尖，通常有圓形攢尖?三角攢尖?四角攢尖?八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑?園林建筑.下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐.已知正四棱錐的底面邊長為米，側(cè)棱長為5米，則其體積為（

）立方米.

A． B．24 C． D．72【答案】B【分析】作圖，根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)求解高即可得體積.【詳解】如圖所示，在正四棱錐中，連接于，則為正方形的中心，連接，則底面邊長，對角線，.又，故高.故該正四棱錐體積為.

故選：B6-4．（2024·浙江·模擬預測）如圖是我國古代量糧食的器具“升”，其形狀是正四棱臺，上、下底面邊長分別為20cm和10cm，側(cè)棱長為cm．“升”裝滿后用手指或筷子沿升口刮平，這叫“平升”．則該“升”的“平升”約可裝（

）

A．1.5L B．1.7L C．2.3L D．2.7L【答案】C【分析】根據(jù)棱臺的體積公式求解即可.【詳解】根據(jù)題意畫出正四棱臺的直觀圖，其中底面是邊長為20的正方形，底面是邊長為10的正方形，側(cè)棱，記底面和底面的中心分別為和，則是正四棱臺的高.

過作平面的垂線，垂足為，則且，，所以，，故，所以棱臺的高，由棱臺的體積公式得．故選：C.6-5．（2024高三上·廣西·階段練習）在棱長為2的正方體內(nèi)，放入一個以為鈾線的圓柱，且圓柱的底面所在平面截正方體所得的截面為三角形，則該圓柱體積的最大值為．【答案】【分析】易得圓柱的底面所在平面截正方體所得的截面為正三角形，該正三角形的內(nèi)切圓即為圓柱的底面，根據(jù)為鈾線，求出圓柱的高，表示出圓柱的體積，利用導數(shù)求出最大值.【詳解】如圖，連接，，，，因為平面，平面，則，又，平面，平面，,平面，故，同理可得，平面，平面，，平面，設圓柱的一個底面所在平面截正方體所得的截面為，則為正三角形，由圓柱可知軸線平面，又平面，所以平面平面，設（），則，所以內(nèi)切圓的半徑，點到平面的距離．

因為，所以圓柱的高，圓柱的體積，，則在上單調(diào)遞增，所以．故答案為：一、單選題1．（2024高三下·安徽·階段練習）已知幾何體，“有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形”是“幾何體為棱柱”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用充分條件和必要條件，結(jié)合棱柱的定義判斷.【詳解】由棱柱定義知棱柱有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形，故滿足必要性；但有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體不一定是棱柱，例如兩個底面全等的斜棱柱拼接的幾何體不是棱柱，如圖所示：

，故不滿足充分性，故選：B2．（2024高三·全國·對口高考）設有三個命題；甲：底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；乙：底面是矩形的平行六面體是長方體；丙：直四棱柱是平行六面體．以上命題中真命題的個數(shù)為（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【分析】根據(jù)平行六面體，長方體，直棱柱的定義判斷三個命題即可.【詳解】由平行六面體的定義可得底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；命題甲正確；底面是矩形的平行六面體的側(cè)棱不一定垂直于底面，故該幾何體不一定為長方體，命題乙錯誤；直四棱柱的底面不一定為平行四邊形，故直四棱柱不一定是平行六面體，命題丙錯誤；正確的命題只有一個.故選：B3．（2024高二上·安徽合肥·階段練習）如圖所示，觀察四個幾何體，其中判斷正確的是（

）A．是棱臺 B．是圓臺C．不是棱柱 D．是棱錐【答案】D【分析】根據(jù)棱臺，圓臺，棱柱，棱錐的概念即可判斷．【詳解】對A，側(cè)棱延長線不交于一點，不符合棱臺的定義，所以A錯誤；對B，上下兩個面不平行，不符合圓臺的定義，所以B錯誤；對C，將幾何體豎直起來看，符合棱柱的定義，所以C錯誤；對D，符合棱錐的定義，正確．故選：D．【點睛】本題主要考查棱臺，圓臺，棱柱，棱錐的概念的理解，屬于基礎(chǔ)題．4．（2024·西藏拉薩·一模）位于徐州園博園中心位置的國際館（一云落雨），使用現(xiàn)代科技霧化“造云”，打造溫室客廳，如圖，這個國際館中3個展館的頂部均采用正四棱錐這種經(jīng)典幾何形式，表達了理性主義與浪漫主義的對立與統(tǒng)一.其中最大的是3號展館，其頂部所對應的正四棱錐底面邊長為19.2m，高為9m，則該正四棱錐的側(cè)面面積與底面面積之比約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．2 B．1.71 C．1.37 D．1【答案】C【分析】根據(jù)圖形,作出直觀圖,利用正四棱錐的相關(guān)性質(zhì)即可求解.【詳解】如圖，設H為底面正方形ABCD的中心，G為BC的中點，連接PH，HG，PG，則，，所以，則，故選：C.5．（2024高三下·湖南長沙·階段練習）為了給熱愛朗讀的師生提供一個安靜獨立的環(huán)境，某學校修建了若干“朗讀亭”.如圖所示，該朗讀亭的外形是一個正六棱柱和正六棱錐的組合體，正六棱柱兩條相對側(cè)棱所在的軸截面為正方形，若正六棱錐的高與底面邊長的比為，則正六棱錐與正六棱柱的側(cè)面積的比值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設出相關(guān)棱長，利用面積公式求出正六棱錐與正六棱柱的側(cè)面積，然后可得答案.【詳解】設正六邊形的邊長為，由題意正六棱柱的高為，因為正六棱錐的高與底面邊長的比為，所以正六棱錐的高為，正六棱錐的母線長為，正六棱錐的側(cè)面積；正六棱柱的側(cè)面積，所以.故選：B.6．（2024·甘肅張掖·模擬預測）仿鈞玫瑰紫釉盤是收藏于北京故宮博物院的一件明代宣德年間產(chǎn)的瓷器．該盤盤口微撇，弧腹，圈足．足底切削整齊．通體施玫瑰紫釉，釉面棕眼密集，美不勝收．仿鈞玫瑰紫釉盤的形狀可近似看成是圓臺和圓柱的組合體，其口徑為15.5cm，足徑為9.2cm，頂部到底部的高為4.1cm，底部圓柱高為0.7cm，則該仿鈞玫瑰紫釉盤圓臺部分的側(cè)面積約為（

）（參考數(shù)據(jù)：π的值取3，）

A． B． C． D．【答案】D【分析】方法1，根據(jù)圓臺上下底面圓的半徑和高，求母線長，再代入圓臺側(cè)面積公式，即可求解；方法2，采用估算的方法，先估算底面直徑為15.5cm，高為3.4cm的圓柱的側(cè)面積，再比較選項，即可判斷.【詳解】方法1：設該圓臺的母線長為l，高為h，兩底面圓的半徑分別為R，r（其中），則，，，所以，故圓臺部分的側(cè)面積為．

故選：D方法2（估算法）：若按底面直徑為15.5cm，高為3.4cm的圓柱估算圓臺部分的側(cè)面積得，易知圓臺的側(cè)面積應大于所估算的圓柱的側(cè)面積，故此仿鈞玫瑰紫釉盤圓臺部分的側(cè)面積大于，對照各選項可知只有D符合．故選：D7．（2024·廣東梅州·三模）在馬致遠的《漢宮秋》楔子中寫道：“氈帳秋風迷宿草，穹廬夜月聽悲笳.”氈帳是古代北方游牧民族以為居室、氈制帷幔.如圖所示，某氈帳可視作一個圓錐與圓柱的組合體，圓錐的高為4，側(cè)面積為，圓柱的側(cè)面積為，則該氈帳的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用圓錐側(cè)面積公式以及母線、底面半徑和高的關(guān)系得到方程組即可解出圓錐底面半徑，再利用圓柱側(cè)面積公式即可求圓柱的高，最后再根據(jù)相關(guān)體積公式即可得到答案.【詳解】設圓柱的底面半徑為，高為，圓錐的母線長為，因為圓錐的側(cè)面積為，所以，即.因為，所以聯(lián)立解得（負舍）.因為圓柱的側(cè)面積為，所以，即，解得，所以該氈帳的體積為.故選：A.8．（2024高三上·廣東河源·開學考試）最早的測雨器記載見于南宋數(shù)學家秦九韶所著的《數(shù)書九章》（1247年）.該書第二章為“天時類”，收錄了有關(guān)降水量計算的四個例子，分別是“天池測雨”、“圓罌測雨”、“峻積驗雪”和“竹器驗雪”.如圖“竹器驗雪”法是下雪時用一個圓臺形的器皿收集雪量（平地降雪厚度器皿中積雪體積除以器皿口面積），已知數(shù)據(jù)如圖（注意：單位），則平地降雪厚度的近似值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)梯形中位線定理，結(jié)合圓臺體積公式進行求解即可.【詳解】如圖所示，可求得器皿中雪表面的半徑為，所以平地降雪厚度的近似值為.故選：C9．（2024高一下·陜西寶雞·期末）盲盒是一種深受大眾喜愛的玩具，某盲盒生產(chǎn)廠商要為棱長為的正四面體魔方設計一款正方體的包裝盒，需要保證該魔方可以在包裝盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則包裝盒的棱長最短為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，要使得正四面體能自由轉(zhuǎn)動，則正方體必須能裝下正四面體的外接球，即正方體的最短棱長為正四面體的外接球的直徑，根據(jù)求得正四面體的外接球的半徑，即可求解.【詳解】如圖所示，根據(jù)題意可得，設的中點為，底面的重心為，為外接球的球心，則有底面，，，且，其中為外接球的半徑，在直角中，可得，在直角中，，且，所以，解得，所以正方體的最短棱長為.故選：A.

10．（2024高二下·安徽·階段練習）我們知道立體圖形上的最短路徑問題通常是把立體圖形展開成平面圖形，連接兩點，根據(jù)兩點之間線段最短確定最短路線.請根據(jù)此方法求函數(shù)的最小值（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造合適的三棱錐模型，其中，，利用余弦定理證明即為底面周長，最后將其展開即可得到最小值.【詳解】根據(jù)函數(shù)的表達式可知，構(gòu)造三棱錐，其中，且，由余弦定理可得，，，的最小值即為的最小值，將三棱錐按照展開可得展開圖，且，故的最小值為.故選：A.

11．（2024·全國）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用三角形面積公式求出圓錐的母線長，進而求出圓錐的高，求出體積作答.【詳解】在中，，而，取中點，連接，有，如圖，，，由的面積為，得，解得，于是，所以圓錐的體積.故選：B12．（2024·全國）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔時，相應水面的面積為；水位為海拔時，相應水面的面積為，將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔上升到時，增加的水量約為（）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意只要求出棱臺的高，即可利用棱臺的體積公式求出．【詳解】依題意可知棱臺的高為(m)，所以增加的水量即為棱臺的體積．棱臺上底面積，下底面積，∴．故選：C．13．（2024高一·全國·課后作業(yè)）若一個正方體的體對角線長為a，則這個正方體的全面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設正方體的棱長為x，求出正方體的棱長即得解.【詳解】解：設正方體的棱長為x，則，即，所以正方體的全面積為．故選：A14．（2004·重慶）如圖，棱長為5的正方體無論從哪一個面看，都有兩個直通的邊長為1的正方形孔，則這個有孔正方體的表面積（含孔內(nèi)各面）是（

）A．258 B．234 C．222 D．210【答案】B【分析】先明確題目的含義：正方體共有6個直通小孔，有6個交匯處，計算即可【詳解】正方體無論從哪一個面看，都有兩個直通的邊長為1的正方形孔，正方體共有6個直通小孔，有6個交匯處，表面積等于正方體的表面積減去12個表面上的小正方形面積，加上6個棱柱的側(cè)面積，減去6個通道的24個小正方形的面積．則故選：B．15．（2024高一下·貴州黔西·期末）端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習俗.地區(qū)不同，制作的粽子形狀也不同，黔西南州最出名的就是鮮肉的灰色粽子，其形狀接近于正三棱錐（如圖）.若正三棱錐的底面邊長為2，高為1，則該三棱錐的側(cè)面積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】求出正三棱錐側(cè)面三角形的高即可求解.【詳解】如圖，

正三棱錐中，底面，則為正三角形的中心，連接并延長交于，則為的中點，且，依題意，，正三角形的邊長為2，所以，，，，所以該三棱錐的側(cè)面積為.故選：B16．（2024·河南·模擬預測）在正四棱錐中，，若正四棱錐的體積是8，則該四棱錐的側(cè)面積是（

）A． B． C．4 D．【答案】C【分析】根據(jù)棱錐的體積公式，可解得四棱錐的高，然后在直角三角形,由勾股定理可得,進而可得側(cè)面積.【詳解】如圖，連接AC，BD，記，連接OP，所以平面ABCD.取BC的中點E，連接.因為正四棱錐的體積是8，所以，解得.因為，所以在直角三角形中,，則的面積為，故該四棱錐的側(cè)面積是.故選：C17．（2024高三上·遼寧·期末）已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為和的正方形，側(cè)面均為腰長為的等腰梯形，則該四棱臺的表面積為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】計算出四棱臺側(cè)面的高，再利用梯形和正方形的面積公式可求得該四棱臺的表面積.【詳解】設在正四棱臺中，取側(cè)面，則，，，如下圖所示：分別過點、在側(cè)面內(nèi)作，，垂足分別為、，因為，，，所以，，，因為，，，故四邊形為矩形，故，所以，，，因此，該四棱臺的表面積為.故選：C.18．（2024高三上·廣東·階段練習）“李白斗酒詩百篇，長安市上酒家眠”，本詩句中的“斗”的本義是指盛酒的器具，后又作為計量糧食的工具，某數(shù)學興趣小組利用相關(guān)材料制作了一個如圖所示的正四棱臺來模擬“斗”，用它研究“斗”的相關(guān)幾何性質(zhì)，已知該四棱臺的上、下底的邊長分別是2、4，高為1，則該四棱臺的表面積為（

）A． B．32 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可知：該四棱臺的側(cè)面都是上底邊長為2，下底邊長為4的等腰梯形，求出側(cè)面的斜高為，然后利用梯形的面積公式即可求出側(cè)面積，進而求解表面積.【詳解】根據(jù)題意可知：該四棱臺的側(cè)面都是上底邊長為2，下底邊長為4的等腰梯形，所以側(cè)面的斜高為，則，上下底底面面積分別為，所以該四棱臺的表面積為，故選：.19．（2024高三上·湖北·開學考試）已知正四棱臺上底面邊長為2，下底面邊長4，高為3，則其表面積為（

）A．36 B．C． D．48【答案】B【分析】先求出側(cè)面上的斜高，再求出正四棱臺的上、下底面的面積和側(cè)面積，由表面積公式即可得出答案.【詳解】設正四棱臺上、下底面的中心為，為側(cè)面上的斜高，過作交邊于點，所以，所以，所以正四棱臺的上、下底面的面積為：，正四棱臺的側(cè)面積為：，則其表面積為：.故選：B.20．（2024高一下·全國·課后作業(yè)）已知一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，則這個圓柱的全面積與側(cè)面積的比是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設側(cè)面展開圖正方形邊長為，用表示出圓柱底面半徑，然后求出全面積與側(cè)面積，再計算比值．【詳解】設正方形邊長為，圓柱底面半徑為，易知圓柱高為，，，全面積為，而側(cè)面積為，所以全面積與側(cè)面積之比這．故選：A．21．（2024·廣東湛江·二模）如圖，將一個圓柱等分切割，再將其重新組合成一個與圓柱等底等高的幾何體，越大，重新組合成的幾何體就越接近一個“長方體”．若新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加了10，則圓柱的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】新幾何體的表面積比原幾何體的表面積多了原幾何體的軸截面面積，列出方程求解即可.【詳解】顯然新幾何體的表面積比原幾何體的表面積多了原幾何體的軸截面面積，設圓柱的底面半徑為，高為，則，所以圓柱的側(cè)面積為．故選：A.22．（2024·福建）以邊長為的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：邊長為的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，得到的幾何體的圓柱，則所得幾何體的側(cè)面積為，故選A．考點：旋轉(zhuǎn)體的概念及側(cè)面積的計算．23．（2024高三上·全國·階段練習）已知圓錐的底面半徑為2，高為，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由圓錐的側(cè)面展開圖扇形基本量與圓錐基本量間的關(guān)系可得.【詳解】已知圓錐的底面半徑，高，則母線長，圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，且扇形的弧長為圓錐底面圓周長，扇形的半徑為圓錐的母線長，則圓錐側(cè)面積.故選：B.

24．（2024·四川成都·二模）若圓錐的表面積為，底面圓的半徑為，則該圓錐的高為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用圓錐的表面積公式可求得圓錐的母線長，再利用勾股定理可求得該圓錐的高.【詳解】設圓錐的母線長為，高為，則該圓錐的表面積為，解得，因此，該圓錐的高為.故選：B.25．（2024高三上·河南·階段練習）佛蘭德現(xiàn)代藝術(shù)中心是比利時洛默爾市的地標性建筑，該建筑是一座全玻璃建筑，整體成圓錐形，它利用現(xiàn)代設計手法令空間與其展示的藝術(shù)品無縫交融，形成一個統(tǒng)一的整體，氣勢恢宏，美輪美英．佛蘭德現(xiàn)代藝術(shù)中心的底面直徑為，側(cè)面積為，則該建筑的高為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】已知底面半徑和側(cè)面積，可求圓錐母線長，利用勾股定理求圓錐的高.【詳解】設該建筑的母線長為，高為，則由其側(cè)面積為，可得，解得，所以．故選：C．26．（2024高三上·河南·開學考試）圓臺軸截面面積為，上下底面半徑之比為，母線與底面所成角為，則圓臺側(cè)面積為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】作出軸截面，利用等腰梯形面積公式求出上下底面半徑和母線長，再利用圓臺側(cè)面積公式即可得到答案.【詳解】作出軸截面，則四邊形為等腰梯形，，過點作，設上底面半徑長為，則下底面半徑長為，則上底面直徑，下底面直徑，則，則，則，解得，則上底面半徑，下底面半徑，母線，則圓臺側(cè)面積.故選：C.

27．（2024高二上·江蘇鎮(zhèn)江·開學考試）已知圓臺的上下底面半徑分別為2和5，且母線與下底面所成為角的正切值為，則該圓臺的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓臺的軸截面，結(jié)合正切函數(shù)的定義、圓臺表面積公式進行求解即可.【詳解】如圖所示圓臺的軸截面，

過點作，因此有，因為母線與下底面所成為角的正切值為，所以，該圓臺的表面積為，故選：D28．（2024·甘肅蘭州·模擬預測）攢尖是中國古建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，常見的有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、六角攢尖等，多見于亭閣式建筑，蘭州市著名景點三臺閣的屋頂部分也是典型的攢尖結(jié)構(gòu)．如圖所示是某研究性學習小組制作的三臺閣仿真模型的屋頂部分，它可以看作是不含下底面的正四棱臺和正三棱柱的組合體，已知正四棱臺上底、下底、側(cè)棱的長度（單位：dm）分別為2，6，4，正三棱柱各棱長均相等，則該結(jié)構(gòu)表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三棱柱和棱臺表面積公式計算即可.【詳解】由題可得正三棱柱的底面積為：，正三棱柱的外露表面積為：，四棱臺側(cè)面梯形的高為：，四棱臺外露表面積為：，該結(jié)構(gòu)表面積為：.故選：A29．（2024高三上·黑龍江哈爾濱·期中）正三棱柱側(cè)面的一條對角線長為2，且與底面成角，則此三棱柱的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，得到底面，得到為與底面所成的角，進而求得三棱柱的底面邊長和側(cè)棱長，結(jié)合體積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，設正三棱柱的底面邊長為，側(cè)棱長為，由正三棱柱中，底面，所以為與底面所成的角，所以，因為，所以，即正三棱柱的底面邊長為，側(cè)棱長為，所以三棱柱的體積為.故選：D.

30．（2008·四川）若三棱柱的一個側(cè)面是邊長為2的正方形，另外兩個側(cè)面都是有一個內(nèi)角為的菱形，則該棱柱的體積等于A． B． C． D．【答案】B【詳解】

如圖在三棱柱中，設，由條件有，作AO⊥面于點，則∴∴∴故選B【點評】：此題重點考察立體幾何中的最小角定理和柱體體積公式，同時考察空間想象能力；【突破】：具有較強的空間想象能力，準確地畫出圖形是解決此題的前提，熟悉最小角定理并能準確應用是解決此題的關(guān)鍵；31．（2024高三上·河南焦作·開學考試）把過棱錐的頂點且與底面垂直的直線稱為棱錐的軸，過棱錐的軸的截面稱為棱錐的軸截面．現(xiàn)有一個正三棱錐、一個正四棱錐、一個正六棱錐，它們的高相等，軸截面面積的最大值也相等，則此正三棱錐、正四棱錐、正六棱錐的體積之比為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正三棱錐、正四棱錐、正六棱錐的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合空間直觀想象找到底面邊長與高、最大軸截面的等量關(guān)系，都用表示邊長，進而代入分別求解體積，得到體積之比.【詳解】設3個正棱錐的高均為h，軸截面面積的最大值均為S．（1）正三棱錐當軸截面與底面的一條棱垂直時，軸截面面積最大，如圖，設正三棱錐的底面邊長為a，取底邊的中點，則，平面VAD，故平面，即為面積最大的軸截面圖形.所以，即，可得正三棱錐的體積為．

（2）正四棱錐當軸截面經(jīng)過底面的一條對角線時，軸截面面積最大，如圖，設正四棱錐的底面邊長為b，連接，即