22人教版高中數(shù)學(xué)新教材選擇性必修第一冊(cè)-3.3.1-拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程課標(biāo)解讀課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.掌握拋物線的定義及焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的概念.2.掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過程.3.理解p的幾何意義，并能解決簡(jiǎn)單的求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程問題.1.邏輯推理—能夠推導(dǎo)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.數(shù)學(xué)運(yùn)算—會(huì)根據(jù)條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.自主學(xué)習(xí)·必備知識(shí)教材研習(xí)教材原句1.拋物線的定義：把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l（l不經(jīng)過點(diǎn)F）的距離①相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的②準(zhǔn)線.2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y2③F(p2,0)④x=?p2y2⑤F(?p2,0)x=px2⑥F(0,p2)⑦y=?p2x2⑧F(0,?p2)y=p自主思考1.平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F(1,0)和定直線l:x=1的距離相等的點(diǎn)的軌跡是什么？提示由已知l經(jīng)過點(diǎn)F，所以軌跡是過點(diǎn)F，且垂直于l的直線.2.已知拋物線y2提示由已知得2p=8，所以p=4，根據(jù)p的幾何意義，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4.3.在左側(cè)四個(gè)拋物線中，哪些可以看作是二次函數(shù)的圖象？提示第三個(gè)和第四個(gè).名師點(diǎn)睛1.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)需注意的兩個(gè)問題（1）把握開口方向與方程間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.根據(jù)拋物線的方程中一次式±2px，±2py來確定焦點(diǎn)位置，“x，y”表示焦點(diǎn)在x軸或y軸上，系數(shù)“±2p”的正負(fù)確定焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸的正半軸或負(fù)半軸上.（2）當(dāng)拋物線的類型沒有確定時(shí)，可設(shè)方程為y2=mx(m≠0)或2.與拋物線定義有關(guān)的常用結(jié)論（1）拋物線y2=2px(p＞0)上一點(diǎn)P(x0,y0)到焦點(diǎn)F(p互動(dòng)探究·關(guān)鍵能力探究點(diǎn)一拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程精講精練例求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（1）過點(diǎn)(?3,2)；（2）焦點(diǎn)在直線x?2y?4=0上答案：（1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=?2px或x2=2py(p＞0)，將點(diǎn)(?3,2)代入方程得2p=43或2p=9（2）當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，令x=0，由方程x?2y?4=0得y=?2，∴拋物線的焦點(diǎn)為F(0,?2)，設(shè)拋物線方程為x2=?2py(p＞0)，則由p2=2得2p=8，∴所求拋物線方程為x2綜上所述，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=?8y或解題感悟求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種方法：（1）當(dāng)焦點(diǎn)位置確定時(shí)，可利用待定系數(shù)法，設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，由已知條件建立關(guān)于p的方程，求出p的值，進(jìn)而寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，可設(shè)拋物線的方程為y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0))，利用已知條件求出遷移應(yīng)用根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（1）焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是6；（2）準(zhǔn)線方程為y=?2答案：（1）由已知得p=6，因?yàn)榻裹c(diǎn)位置不確定，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=12x，y2=?12x，（2）因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線交y軸于負(fù)半軸，且p2=23，所以探究點(diǎn)二拋物線的定義及應(yīng)用精講精練類型1求拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離例1已知F是拋物線y2（1）若A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|+|BF|=3，求線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離；（2）若A(x0,y0答案：（1）由題意知拋物線的準(zhǔn)線方程為x=?1|AF|，|BF|分別為A，B到準(zhǔn)線l的距離d1，d則線段AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離d=d∴線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為32（2）因?yàn)閨AF|=54x解得x0解題感悟根據(jù)拋物線的定義，拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距與點(diǎn)線距的相互轉(zhuǎn)化，從而簡(jiǎn)化某些問題.類型2求最值例2（2021四川江油一中高二期中）已知直線l為拋物線y2=8x的準(zhǔn)線，拋物線上的點(diǎn)M到l的距離為d，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,4)，則A.17B.4C.2D.1+17思路分析設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，則F(2,0)，利用拋物線的定義可得|AM|+d=|AM|+|MF|，當(dāng)A，M，F(xiàn)共線時(shí)，|AM|+d取得最小值，由此求得答案.答案：A解析：設(shè)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F，則F(2,0)，準(zhǔn)線方程為x=?2，連接FM，由拋物線的定義知|MF|=d，∴|AM|+d=|AM|+|MF|≥|AF|=(1?2)2+(4?0)2=17，當(dāng)且僅當(dāng)A，解題感悟在拋物線中求解與焦點(diǎn)有關(guān)的兩點(diǎn)間的距離和的最小值問題時(shí)，往往用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化折線為直線解決最值問題.遷移應(yīng)用1.（2021北京房山高二期末）設(shè)拋物線x2=8y的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M(x0,3)在拋物線上，則拋物線的準(zhǔn)線方程為答案：y=?2;5解析：因?yàn)閽佄锞€的方程為x2=8y，所以準(zhǔn)線方程為y=?p2.已知拋物線y2=2x的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A(3,2)，則|PA|+|PF|的最小值為，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為答案：72解析：如圖，作PN⊥l于N（l為準(zhǔn)線），作AB⊥l于B，則|PA|+|PF|=|PA|+|PN|≥|AB|，當(dāng)且僅當(dāng)P為AB與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，取等號(hào)，∴(|PA|+|PF|)此時(shí)yp=2，代入拋物線方程得∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,2).探究點(diǎn)三拋物線的實(shí)際應(yīng)用精講精練例如圖所示，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由長(zhǎng)方形的三條邊和拋物線的一段構(gòu)成，為保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少要有0.5米.（1）以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)O，其對(duì)稱軸所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若行車道總寬度AB為7米，請(qǐng)計(jì)算通過隧道的車輛限制高度為多少米.答案：（1）根據(jù)題意可設(shè)該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2結(jié)合圖象，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5,?5)，又點(diǎn)C(5,?5)在拋物線上，所以52=?2p×(?5)，解得所以該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）設(shè)車輛高為?米，則|DB|=?+0.5，故D(3.5,??6.5)，將D點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程x2=?5y，得所以通過隧道的車輛限制高度為4.05米.解題感悟求拋物線實(shí)際應(yīng)用的五個(gè)步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系;（2）設(shè)出合適的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;（3）通過計(jì)算求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;（4）求出需要的量;（5）還原到實(shí)際問題中，從而解決實(shí)際問題.遷移應(yīng)用1.（2020廣東深圳高二期末）如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂高于水面2?m，水面寬為4?m，當(dāng)水面寬為A.5?mB.C.1?mD.1答案：D解析：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拱橋所在拋物線的方程為x2=ay(a＜0)，由點(diǎn)(2,-2)在拋物線上，得a=?2，所以拋物線方程為x2=?2y，當(dāng)水面寬為由點(diǎn)(5,??)在拋物線上，得?=52.如圖為一個(gè)拋物線形拱橋，當(dāng)水面經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)時(shí)，水面的寬度為36?m，則此時(shí)欲經(jīng)過橋洞的一艘寬12?A.6?mB.6.5?C.7.5?mD.8?答案：D解析：根據(jù)題意，畫出拋物線如圖所示：設(shè)寬度為36?m時(shí)，與拋物線的交點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)寬度為12?m時(shí)，與拋物線的交點(diǎn)為C，D，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為由題意可知2p=36，則拋物線的方程為x2=?36y，故A(18,?9).當(dāng)寬度為12?m時(shí)，設(shè)C(6,a)，代入拋物線的方程可得6所以直線AB與直線CD的距離?=(?1)?(?9)=8m，即船體兩側(cè)的貨物距離水面的最大高度應(yīng)不超過8?m評(píng)價(jià)檢測(cè)·素養(yǎng)提升1.拋物線x2A.(0,2)B.(0,-2)C.(4,0)D.(-4,0)答案：A解析：由拋物線的方程x2=8y知，拋物線的焦點(diǎn)在y軸的正半軸上，所以2p=8，2.已知拋物線y2=2px(p＞0)，若點(diǎn)A(2,?4)在拋物線上，則點(diǎn)A到焦點(diǎn)的距離為答案：4解析：把點(diǎn)(2,-4)代入y2=2px，得16=4p，即3.若拋物線y2=?2px(p＞0)上有一點(diǎn)M，其橫坐標(biāo)為-9，它到焦點(diǎn)的距離為10，求點(diǎn)答案：由拋物線的方程y2=?2px(p＞0)，得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(?p2,0)，準(zhǔn)線方程為x=p2.設(shè)點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為d故拋物線的方程為y2=?4x.由點(diǎn)M(?9,y故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-9,6)或(-9,-6).課時(shí)評(píng)價(jià)作業(yè)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.（2021江蘇連云港高二期中）焦點(diǎn)為(0，2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.x2=8yC.y2=4xD.答案：A2.（2021北京延慶高二期中）設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是拋物線上的一點(diǎn)，過P作PQ⊥x軸于Q，若|PF|=3，則線段A.2B.2C.22D.3答案：C3.（2021江西南昌十中高二期中）若拋物線y2=2px(p＞0)上的點(diǎn)A(x0,42)到其焦點(diǎn)的距離是點(diǎn)AA.2B.4C.6D.8答案：D4.（多選題）已知拋物線y2A.焦點(diǎn)在y軸上B.焦點(diǎn)在x軸上C.拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6D.由原點(diǎn)向過焦點(diǎn)的某直線作垂線，垂足坐標(biāo)為(2,1)答案：B;D5.（2021北京人大附中高二期中）已知拋物線y2=?12x的焦點(diǎn)與雙曲線x2A.5B.13C.5D.25答案：C6.（2021山東泰安高二期中）已知拋物線E：y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OF為菱形OBFC的一條對(duì)角線，另一條對(duì)角線BC的長(zhǎng)為2，且點(diǎn)B，C在拋物線E上，則A.1B.2C.2D.22答案：B7.（2021北京豐臺(tái)高二期末）已知拋物線C:y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)M在拋物線C上，點(diǎn)N在準(zhǔn)線l上，且MN⊥l.若|MF|=8，∠MFN=A.8B.4C.2D.1答案：B8.（2021安徽淮南一中高二期中）已知拋物線C:y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，且l過點(diǎn)(-3,2)，M在拋物線C上，若點(diǎn)N(2,4)A.2B.3C.4D.5答案：D9.根據(jù)下列條件分別求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（1）拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線16x（2）拋物線的焦點(diǎn)F在x軸上，直線y=?3與拋物線交于點(diǎn)A，|AF|=5.答案：（1）將雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，可得其左頂點(diǎn)為(-3,0)，故可知拋物線的焦點(diǎn)為(-3,0)，由此設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=?2px(p＞0)，則?p2=?3（2）由題意設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2nx(n≠0)，因?yàn)锳(m,?3)在拋物線上，所以(?3)2=2?nm，由|AF|=5，得m+n素養(yǎng)提升練10.（2021湖南長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)高二期中）蘇州市的“東方之門”是由兩棟超高層建筑組成的雙塔連體建筑，“門”的造型是“東方之門”的立意基礎(chǔ)，“門”的內(nèi)側(cè)曲線呈拋物線型，如圖1，兩棟建筑第八層由一條長(zhǎng)60?m的連橋連接，在該拋物線兩側(cè)距連橋150?m處各有一窗戶，兩窗戶的水平距離為30?m，如圖2，則此拋物線的頂端OA.180?mB.200?mC.220?m答案：B解析：根據(jù)題意建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2由題意設(shè)D(15,?)，B(30,??150)，則15解得?=?50，p=2.25，所以此拋物線的頂端O到連橋AB的距離為50+150=200m.11.（多選題）已知拋物線E:x2=4y的焦點(diǎn)為F，圓C:x2+(y?1)2=16與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為劣弧AB上不同于A，B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)PA.點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍是(23B.|PN|+|NF|等于點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離C.圓C的圓心到拋物線準(zhǔn)線的距離為2D.△PFN周長(zhǎng)的取值范圍是(8,10)答案：B;C;D解析：圓C:x2+(y?1)2=16的圓心為拋物線E:x2=4y的焦點(diǎn)為F(0,1)聯(lián)立圓的方程和拋物線的方程可得A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)均為3，所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)yP由拋物線的定義可得|PN|+|NF|等于點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離，故B中命題正確；圓C的圓心到拋物線準(zhǔn)線的距離為2，故C中命題正確；△PFN的周長(zhǎng)為|PF|+|PN|+|NF|=r+y12.（2021江西南昌江西師大附中高二期中）設(shè)F為拋物線x2=24y的焦點(diǎn)，A、B、C為該拋物線上三點(diǎn)，若F是三角形ABC的重心，則|FA|+|FB|+|FC|=答案：36解析：拋物線x2=24y的焦點(diǎn)為F(0,6)，準(zhǔn)線方程為設(shè)A(x1,y1由F是三角形ABC的重心得y1所以y1由拋物線的定義可知，|FA|+|FB|+|FC|=(y創(chuàng)新拓展練13.某拋物線型拱橋水面的寬度20?m，拱頂離水面4?m，現(xiàn)有一船寬9?