《應用舉例》知識清單

《應用舉例》知識清單北京版九年級上冊數學第十八章相似形之相似三角形18.7應用舉例知識清單一、相似三角形應用的基本原理1、相似三角形的性質相似三角形對應邊成比例，對應角相等。這是我們解決相似三角形應用問題的關鍵依據。比如說，如果有兩個相似三角形$＼triangleABC$和$＼triangleA'B'C'＄，那么$＼frac{AB}｛A'B'｝＝＼frac{BC}｛B'C'｝＝＼frac{AC}｛A'C'｝＄，并且$＼angleA=＼angleA'＄，＄＼angleB＝＼angleB'＄，＄＼angleC=＼angleC'＄。2、利用相似三角形解決實際問題的一般步驟確定相似關系：首先要在實際問題的圖形中找出相似三角形。這可能需要我們根據已知條件，比如平行關系（平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似）或者角相等的關系來判斷。例如在測量旗桿高度的問題中，如果有一個人和旗桿都垂直于地面，并且在同一時刻，太陽光照射下，人和旗桿的影子以及人和旗桿分別構成相似三角形。列出比例關系：一旦確定了相似三角形，就根據相似三角形對應邊成比例的性質列出比例式。比如在上面測量旗桿高度的例子中，如果人的身高是$h_1$，人的影子長是$l_1$，旗桿影子長是$l_2$，設旗桿高度為$h_2$，那么就可以列出比例式$＼frac{h_1}｛h_2}＝＼frac{l_1}｛l_2}＄。求解未知量：通過已知的數值代入比例式，就可以求解出未知量了。在這個例子中，＄h_2=＼frac{h_1\timesl_2}｛l_1}＄。二、常見的相似三角形應用題型1、測量高度利用影子測量：像前面提到的測量旗桿高度的例子，就是利用在同一時刻，物體的高度和影子長度成比例的原理。只要知道一個物體的高度和它的影子長度，以及另一個物體的影子長度，就可以求出另一個物體的高度。利用鏡子反射測量：例如，要測量一個建筑物的高度$AB$，在建筑物前面放一面鏡子$C$，人站在鏡子前一定位置$D$，使得能從鏡子里看到建筑物的頂端$A$。此時，＄＼triangleABC$和$＼triangleDEC$相似（因為入射角等于反射角，所以$＼angleACB=＼angleDCE$，又因為人和建筑物都垂直于地面，所以$＼angleB=＼angleE＝90^｛＼circ}＄）。如果人的身高$DE＝h$，人到鏡子的距離$CD＝l_1$，鏡子到建筑物的距離$BC＝l_2$，根據相似三角形對應邊成比例$＼frac{AB}｛DE}＝＼frac{BC}｛CD}＄，就可以求出建筑物的高度$AB=＼frac{h\timesl_2}｛l_1}＄。2、測量距離間接測量不可到達的兩點間的距離：比如要測量河對岸兩點$A$、＄B$之間的距離。我們可以在河這邊找一個點$C$，再找一個點$D$，使得$＼triangleABC$和$＼triangleEDC$相似（可以通過測量角度使角相等來保證相似）。如果測量出$CD$的長度、＄DE$的長度以及$BC$的長度，根據相似三角形對應邊成比例$＼frac{AB}｛DE}＝＼frac{BC}｛CD}＄，就可以求出$AB$的長度。三、相似三角形應用中的注意事項1、準確判斷相似關系在實際問題中，要仔細分析圖形中的幾何關系，不能誤判相似三角形。比如在一些復雜的圖形中，可能存在多個三角形，要根據已知條件準確找出與所求量相關的相似三角形。2、單位統一在列出比例式時，要保證各個量的單位是統一的。如果長度單位不統一，計算出來的結果就會是錯誤的。四、習題1、小明身高1.6米，他在陽光下的影子長為2米，同時，一棵樹的影子長為5米，這棵樹有多高？2、為了測量池塘兩端$A$、＄B$的距離，在池塘外選一點$C$，連接$AC$、＄BC$并分別延長，使$CD=＼frac{1}｛3}AC$，＄CE=＼frac{1}｛3}BC$，連接$DE$，如果測量出$DE＝20$米，那么$AB$的距離是多少？習題答案1、設樹高為$x$米，根據相似三角形對應邊成比例可得$＼frac{1.6}｛x}＝＼frac{2}｛5}＄，解得$x＝4$米。2、因為$＼frac{CD}｛AC}＝＼frac{CE}｛BC}＝＼frac{1}｛3}＄，且$＼angleACB=＼angleDCE