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彈性力學(xué)平面問(wèn)題教學(xué)課件CHAPTER01引言課程背景介紹彈性力學(xué)是研究物體在彈性范圍內(nèi)的應(yīng)力、應(yīng)變和位移關(guān)系的學(xué)科。彈性力學(xué)平面問(wèn)題是經(jīng)典彈性力學(xué)問(wèn)題的一種,主要研究二維平面上應(yīng)力和位移的變化。課程旨在幫助學(xué)生掌握彈性力學(xué)平面問(wèn)題的基本理論和方法,為后續(xù)的學(xué)習(xí)和實(shí)踐打下基礎(chǔ)。彈性力學(xué)基本概念01020304彈性力學(xué)的基本概念包括應(yīng)力和應(yīng)變。應(yīng)力是指物體內(nèi)部單位面積上所承受的力,通常用符號(hào)“σ”表示。應(yīng)變是指物體在受力作用下的變形量,通常用符號(hào)“ε”表示。應(yīng)變與應(yīng)力之間的關(guān)系可以通過(guò)材料的彈性常數(shù)來(lái)描述。平面問(wèn)題的定義與分類平面問(wèn)題是指只在二維平面上存在的彈性力學(xué)問(wèn)題。平面問(wèn)題可以分為兩大類:無(wú)限平面問(wèn)題和有限平面問(wèn)題。無(wú)限平面問(wèn)題是指物體邊界無(wú)限擴(kuò)展,有限平面問(wèn)題是指物體的邊界是有限的,受到邊界條件的影響。只在內(nèi)部存在受力的情況。CHAPTER02彈性力學(xué)基礎(chǔ)理論應(yīng)變與位移關(guān)系010203應(yīng)變位移應(yīng)變與位移的關(guān)系物體受力后,其形狀和大小會(huì)發(fā)生變化,這種變化稱為應(yīng)變。物體受力后,其位置會(huì)發(fā)生移動(dòng),這種移動(dòng)稱為位移。物體的應(yīng)變和位移是相互關(guān)聯(lián)的,可以通過(guò)幾何方程來(lái)描述。應(yīng)力與外力關(guān)系應(yīng)力外力應(yīng)力與外力的關(guān)系物體內(nèi)部單位面積上所受的力稱為應(yīng)力。作用在物體外部的力稱為物體的應(yīng)力與外力是相互關(guān)聯(lián)的,可以通過(guò)物理方程來(lái)描述。外力。彈性力學(xué)基本方程幾何方程描述物體的應(yīng)變和位移之間的關(guān)系,可以求解物體的形狀和大小變化。平衡方程描述物體在受力平衡時(shí)的狀態(tài),可以求解物體內(nèi)部的應(yīng)力分布。物理方程描述物體的應(yīng)力與外力之間的關(guān)系,可以求解物體受到外部作用時(shí)的響應(yīng)。CHAPTER03平面問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型直角坐標(biāo)系下的基本方程平衡方程01在直角坐標(biāo)系下,彈性體的平衡方程為
$\nabla\cdot\sigma=0$
,其中
$\sigma$為應(yīng)力向量。幾何方程02描述應(yīng)變與位移的關(guān)系,用
Green和
Rivlin的形式表示為$\varepsilon=\frac{1}{2}(\nablau+\nablau^T)$
,其中$\varepsilon$
為應(yīng)變張量,$u$為位移向量。物理方程03描述應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系,根據(jù)
Hooke定律,我們有
$\sigma=\lambda\text{tr}(\varepsilon)I+2\mu\varepsilon$
,其中$\lambda$和
$\mu$是拉梅常數(shù)。極坐標(biāo)系下的基本方程平衡方程在極坐標(biāo)系下,彈性體的平衡方程為
$\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partialr}(r\sigma_{rr})+\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial\theta}(\sigma_{\thetar}-\sigma_{rr})=0$
。幾何方程在極坐標(biāo)系下,應(yīng)變與位移的關(guān)系仍然可以用
Green和Rivlin的形式表示為
$\varepsilon=\frac{1}{2}(\frac{\partialu}{\partialr}+\frac{\partialu^T}{\partialr})$
。物理方程在極坐標(biāo)系下,應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系仍然滿足
Hooke定律,即
$\sigma=\lambda\text{tr}(\varepsilon)I+2\mu\varepsilon$
。邊界條件與初始條件邊界條件通常給定在邊界上的位移、應(yīng)力或力。例如,在某個(gè)邊界上給定$u
=
g(x,y)$
,而在另一個(gè)邊界上給定
$\sigma_{nn}=f(x,y)$
。初始條件描述系統(tǒng)在初始時(shí)刻的狀態(tài)。例如,在某個(gè)初始時(shí)刻
$t
=
0$
,給定$u(x,y,0)$和$\frac{\partialu}{\partialt}(x,y,0)$。CHAPTER04彈性力學(xué)問(wèn)題的求解方法解析法定義變量和方程解初值和邊界條件分析解的性質(zhì)根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì),定義適當(dāng)?shù)淖兞浚⒔⒚枋鰡?wèn)題的微分方程。根據(jù)問(wèn)題的初值和邊界條件,解對(duì)解進(jìn)行進(jìn)一步的分析,如分析解的穩(wěn)定性、收斂性和誤差等。出微分方程的解。有限元法01020304劃分網(wǎng)格建立方程解方程分析結(jié)果將問(wèn)題所涉及的區(qū)域劃分為由有限個(gè)單元組成的網(wǎng)格。根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì),建立每個(gè)單元的方程,并將其組合成總體方程。解總體方程,得到每個(gè)節(jié)點(diǎn)的數(shù)值解。對(duì)結(jié)果進(jìn)行后處理,如分析應(yīng)力、應(yīng)變等物理量在單元之間的變化情況。數(shù)值解法離散化解方程將連續(xù)的問(wèn)題離散化為由有限個(gè)離散點(diǎn)組成的集合。采用適當(dāng)?shù)臄?shù)值方法解總體方程,得到每個(gè)離散點(diǎn)的數(shù)值解。建立方程分析結(jié)果根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì),建立每個(gè)離對(duì)結(jié)果進(jìn)行后處理,如繪制應(yīng)力、應(yīng)變等物理量的分布圖。散點(diǎn)的方程,并將其組合成總體方程。CHAPTER05平面問(wèn)題的實(shí)例分析受均布荷載的簡(jiǎn)支梁定義模型建立受均布荷載的簡(jiǎn)支梁是指一端固定,利用彈性力學(xué)基本方程,包括平衡方程、幾何方程和物理方程,建立該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。另一端簡(jiǎn)支,且在整個(gè)梁上受到均布荷載作用的梁。解析解法結(jié)果展示通過(guò)解析方法求解該問(wèn)題的應(yīng)力、應(yīng)變和位移分布。將解析結(jié)果以圖表或數(shù)值的形式展示,便于學(xué)生直觀理解。受集中荷載的懸臂梁01020304定義模型建立解析解法結(jié)果展示受集中荷載的懸臂梁是指一端固定,另一端自由,且在自由端受到集中荷載作用的梁。根據(jù)集中荷載的位置和大小,建立該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。通過(guò)解析方法求解該問(wèn)題的應(yīng)力、應(yīng)變和位移分布。將解析結(jié)果以圖表或數(shù)值的形式展示,便于學(xué)生直觀理解。圓筒形容器的應(yīng)力分析定義模型建立圓筒形容器是指由圓筒形材料構(gòu)成的容器,根據(jù)圓筒形容器的形狀和所承受的壓力,建立該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。常用于盛裝液體或氣體。解析解法結(jié)果展示通過(guò)解析方法求解該問(wèn)題的應(yīng)力分布。將解析結(jié)果以圖表或數(shù)值的形式展示,便于學(xué)生直觀理解。CHAPTER06總結(jié)與展望課程總結(jié)回顧重點(diǎn)概念回顧平面問(wèn)題的基本概念,如應(yīng)力和應(yīng)變、彈性模量和泊松比等。重點(diǎn)方程復(fù)習(xí)平面問(wèn)題的基本方程,如平衡方程、幾何方程和物理方程等。重點(diǎn)解法總結(jié)各種求解平面問(wèn)題的解法,如解析法、有限元法和邊界元法等。彈
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