專(zhuān)題12立體幾何初步專(zhuān)題訓(xùn)練

專(zhuān)題12立體幾何初步專(zhuān)題訓(xùn)練一：?jiǎn)雾?xiàng)選擇題（共8小題，每題3分，共24分）1．水平放置的平面四邊形ABCD的斜二測(cè)直觀圖為一個(gè)上底為1，下底為2，高為10的梯形，則四邊形ABCD的實(shí)際面積為（

）A．15 B． C．30 D．【答案】D【分析】由已知，先計(jì)算出該圖形斜二測(cè)直觀圖的面積，然后再根據(jù)原圖形面積S與直觀圖面積S′之間的關(guān)系S′＝S換算關(guān)系，可直接求解出四邊形ABCD的實(shí)際面積.【解析】由題意得，梯形的面積為，由斜二測(cè)畫(huà)法得，四邊形ABCD的實(shí)際面積為.故選：D.2．在直角三角形ABC中，已知，，，以AC為旋轉(zhuǎn)軸將旋轉(zhuǎn)一周，AB、BC邊形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是一個(gè)圓錐，則經(jīng)過(guò)該圓錐任意兩條母線的截面三角形的面積的最大值為(

)A． B．4 C． D．8【答案】D【分析】設(shè)兩條母線為AB、AD，則截面面積為，由AB=AD為定值可知當(dāng)sin∠BAD最大時(shí)，截面面積最大，結(jié)合圖形求出∠BAD的范圍即可求解．【解析】如圖，圓錐任意兩條母線為AB和AD，則截面為等腰三角形ABD，∴截面面積為：，由圖可知，當(dāng)截面為圓錐軸截面時(shí)，∠BAD最大，最大為120°，∴∠BAD∈(0°，120°]，∴sin∠BAD最大值為1，∵AB=AD=為定值，故當(dāng)sin∠BAD最大時(shí)截面面積最大，故截面面積最大為．故選：D．3．如圖，正四棱錐，M，N為棱PA，PC的中點(diǎn)，平面BMN與棱PD交于點(diǎn)Q，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．四邊形MBNQ是菱形B．四邊形MBNQ對(duì)角線MN中點(diǎn)也是四棱錐高線的中點(diǎn)C．D．【答案】B【分析】如圖連接，、，設(shè)，連接，設(shè)，即可得到，從而判斷B正確，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、，即可判斷為上靠近的三等分點(diǎn)，從而得到A、C錯(cuò)誤，因?yàn)閭?cè)棱與底面邊長(zhǎng)關(guān)系無(wú)法確定，從而無(wú)法判斷；【解析】解：如圖連接，、，設(shè)，連接，設(shè)，因?yàn)镸，N為棱PA，PC的中點(diǎn)，所以，則為的中點(diǎn)，根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)可知即為四棱錐的高，故B正確；延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、，則，因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，所以，即，所以為上靠近的三等分點(diǎn)，顯然，但是，故四邊形不是菱形，且與不相似，故A、C錯(cuò)誤；因?yàn)檎睦忮F的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)關(guān)系無(wú)法得知，故無(wú)法確定，故D錯(cuò)誤；故選：B4．設(shè)，，是空間的三條直線，給出以下五個(gè)命題，其中正確的命題的個(gè)數(shù)是（

）①若，，則；②若、是異面直線，、是異面直線，則、也是異面直線；③若和相交，和相交，則和也相交；④若和共面，和共面，則和也共面；⑤若，，則；A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】由線線的位置關(guān)系定義可否定命題①②③④；由平行公理可以得到命題⑤為真命題．【解析】①垂直于同一直線的兩條直線相交、平行、異面皆有可能，故命題不正確；②與同一直線異面的兩直線可能是相交、平行、異面皆有可能，故命題不正確；③與同一直線相交的兩直線可能是相交、平行、異面皆有可能，故命題不正確；④若，則和共面；若與相交，則和共面.此時(shí)，可以是異面關(guān)系也可以是共面關(guān)系，故命題不正確；⑤若，，則，是正確命題；綜上，僅有⑤正確．故選：B．5．已知正方體棱長(zhǎng)為2，M，N，P分別是棱、、的中點(diǎn)，則平面截正方體所得的多邊形的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平面基本性質(zhì)作出正方體中的截面圖，再由正方體的特征判斷截面的性質(zhì)，即可求周長(zhǎng).【解析】過(guò)直線與射線分別交于，作射線交于，連接交于，如下圖示：所以六邊形即為面截正方體所得的多邊形，又M，N，P分別是棱、、的中點(diǎn)，易知：均為中點(diǎn)，所以截面為正六邊形，故周長(zhǎng)為.故選：C6．如圖，在直三棱柱中，，，P為的中點(diǎn)，則直線與所成的角余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取中點(diǎn)，連接，，推導(dǎo)出是直線與所成的角，利用余弦定理求出即可．【解析】解：取中點(diǎn)，連接，，直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，，，四邊形是平行四邊形，，是直線與所成的角（或所成角的補(bǔ)角），令，則，且，，，，，直線與所成的角的余弦值為．故選：B．7．已知圓臺(tái)上、下兩底面與側(cè)面都與球相切，它的側(cè)面積為16π，則該圓臺(tái)上、下兩個(gè)底面圓的周長(zhǎng)之和為（

）A．4π B．6π C．8π D．10π【答案】C【分析】畫(huà)出圓臺(tái)、球的軸截面，根據(jù)內(nèi)切球可求母線長(zhǎng)與上下底面的半徑的關(guān)系，從而可求兩個(gè)底面的周長(zhǎng)之和.【解析】設(shè)圓臺(tái)的上、下底面的圓心分別為，圓臺(tái)、球的軸截面如圖所示，其中內(nèi)切圓與等腰梯形的腰相切于，則，故，因?yàn)閳A臺(tái)的側(cè)面積為16π，故，故即，所以圓臺(tái)上、下兩個(gè)底面圓的周長(zhǎng)之和為，故選：C8．已知圓錐軸截面是等腰直角三角形，一個(gè)正方體有四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐的底面上，另外的四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐的側(cè)面上（如圖），則圓錐與正方體的表面積之比為（

）A． B． C． D．以上答案都不對(duì)【答案】B【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，正方體的邊長(zhǎng)為，求出，再求出圓錐和正方體的表面積化簡(jiǎn)即得解.【解析】解：設(shè)圓錐的底面半徑為，正方體的邊長(zhǎng)為，由軸截面得，因?yàn)椋?，所以圓錐的表面積，正方體的表面積所以.故選：B二：多項(xiàng)選擇題（共4小題，每小題3分，共12分）9．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意獨(dú)特的幾何體，“等腰四面體”就是其中之一，所謂等腰四面體，就是指三組對(duì)棱分別相等的四面體.關(guān)于“等腰四面體”，以下結(jié)論正確的是（

）A．長(zhǎng)方體中含有兩個(gè)相同的等腰四面體B．“等腰四面體”各面的面積相等，且為全等的銳角三角形C．“等腰四面體”可由銳角三角形沿著它的三條中位線折疊得到D．三組對(duì)棱長(zhǎng)度分別為，，的“等腰四面體”的外接球直徑為【答案】ABC【分析】作出長(zhǎng)方體，根據(jù)等腰四面體的定義得出圖形，根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)判斷各選項(xiàng)．【解析】如圖，長(zhǎng)方體有兩個(gè)相同的等腰四面體：和，A正確；如等腰四面體中，每個(gè)面可能看作是從長(zhǎng)方體截一個(gè)角得出的，如圖，設(shè)的長(zhǎng)分別為，不妨設(shè)，則，，，最大，其所對(duì)角的余弦值為，最大角為銳角，三角形為銳角三角形，同理其它三個(gè)面都是銳角三角形，各個(gè)面的三條邊分別相等，為全等三角形，面積相等，B正確；把一個(gè)等腰四面體沿一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱剪開(kāi)攤平，則得一個(gè)銳角三角形，還有三條棱是這個(gè)三角形的三條中位線，如等腰四面體，沿剪開(kāi)攤平，共線，同理可得共線，共線，為銳角三角形（與等腰四面體的面相似），且是這個(gè)三角形的中位線，因此C正確；如上等腰四面體中三條棱長(zhǎng)分別是長(zhǎng)方體的三條面對(duì)角線長(zhǎng)，由長(zhǎng)方體性質(zhì)知長(zhǎng)方體對(duì)角線是其外接球直徑，因此直徑長(zhǎng)為，D錯(cuò)。故選：ABC．10．如圖，在長(zhǎng)方體中，，BC＝2，M、N分別為棱，的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．A，D，，四點(diǎn)共面 B．AM與BN是異面直線C．平面平面ABCD D．平面ADM【答案】ABCD【分析】由得共面，即可判斷A選項(xiàng)；取中點(diǎn)，由，平面即可判斷B選項(xiàng)；由平面ABCD，平面ABCD即可判斷C選項(xiàng)；由即可判斷D選項(xiàng).【解析】由，知共面，即A，D，，四點(diǎn)共面，A正確；取中點(diǎn)，連接，易得，則四邊形為平行四邊形，，又平面，故AM與BN是異面直線，B正確；取中點(diǎn)，連接，易得，則四邊形為平行四邊形，，又平面ABCD，平面ABCD，則平面ABCD，又，同理可得平面ABCD，又平面，，則平面平面ABCD，C正確；由，又平面，平面，則平面，D正確.故選：ABCD.11．在等腰梯形ABCD中，，，，以CD所在的直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個(gè)幾何體，則（

）．A．等腰梯形ABCD的高為1 B．該幾何體為圓柱C．該幾何體的表面積為 D．該幾何體的體積為【答案】AC【分析】根據(jù)該幾何體的結(jié)構(gòu)特征為一個(gè)圓柱挖去上下兩個(gè)圓錐逐項(xiàng)求解判斷.【解析】因?yàn)樵诘妊菪蜛BCD中，，，，所以等腰梯形ABCD的高為1，該幾何體的結(jié)構(gòu)特征為一個(gè)圓柱挖去上下兩個(gè)圓錐，A正確，B錯(cuò)誤．該幾何體的表面積，體積，C正確，D錯(cuò)誤．故選：AC12．正方體的棱長(zhǎng)為4，動(dòng)點(diǎn)，在棱上，，動(dòng)點(diǎn)在棱上，則三棱錐的體積（

）A．與點(diǎn)的位置有關(guān) B．與點(diǎn)，的位置有關(guān)C．與點(diǎn)，，的位置均無(wú)關(guān) D．三棱錐的體積恒為【答案】CD【分析】由等體積法結(jié)合體積公式判斷即可.【解析】解：，的面積為定值，點(diǎn)到所在平面的距離為定值4，故三棱錐的體積與點(diǎn)，，位置均無(wú)關(guān)，是定值．故選：CD．三：填空題（共4小題，每小題3分，共12分）13．水平桌面上放置了三個(gè)半徑為6的球，這三個(gè)球兩兩相切，在三個(gè)球共同的下方再放置一個(gè)小球，小球與原來(lái)的三個(gè)球以及桌面都相切，則小球的半徑為_(kāi)_________．【答案】2【分析】先判斷出三個(gè)球的球心與桌面的三個(gè)切點(diǎn)構(gòu)成了正三棱柱，作出小球球心在上下底面的投影，通過(guò)相切求出及，再通過(guò)勾股定理解出半徑即可.【解析】設(shè)三個(gè)半徑為6的球球心分別為，與桌面的三個(gè)切點(diǎn)分別為，則三棱柱是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為12，高為6的正三棱柱，小球球心在平面上的投影必為的中心，在平面上的投影必為的中心，連接并延長(zhǎng)交于，則為中點(diǎn)，設(shè)小球半徑為，在中，由小球與原來(lái)的三個(gè)球以及桌面都相切可得，，則，，則，即，解得.故答案為：2.14．已知圓錐的母線與底面半徑之比為3，若一只螞蟻從該圓錐底部上的一點(diǎn)A繞圓錐側(cè)面爬行一周再回到A點(diǎn)的最短距離為9，則該圓錐的軸截面面積為_(kāi)________.【答案】【分析】將圓錐側(cè)面沿過(guò)A的母線展開(kāi)，設(shè)所得扇形的圓弧一端為A，另外一端為B，則弦AB=9，根據(jù)圓錐的母線與底面半徑之比為3可求展開(kāi)扇形的圓心角，從而可求出母線和圓錐底面半徑，根據(jù)幾何關(guān)系即可求出圓錐軸截面的面積．【解析】圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，如圖所示，設(shè)母線長(zhǎng)為l，即OA=OB=l，圓錐底面半徑為r，即的長(zhǎng)度為2πr，設(shè)側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角∠AOB=θ，則，由已知得，聯(lián)立解得，從該圓錐底部上的一點(diǎn)A繞圓錐側(cè)面爬行一周再回到A點(diǎn)的最短距離為AB，則，則在等腰△OAB中，易得，則，圓錐軸截面為以母線l為腰，2r為底邊的等腰三角形，其底邊上高為，∴軸截面面積為﹒故答案為：．15．如圖，在三棱錐中，，且，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，則和所成的角等于______________．【答案】【分析】先由異面直線夾角的定義確定和所成的角，再通過(guò)解三角形求夾角的大小.【解析】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，所以，,，,又，且，所以，,因?yàn)?，所以為異面直線和的夾角，在中，，所以，故和所成的角等于，故答案為：.16．已知正四棱臺(tái)的上、下底面的頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為2的球面上，上、下底面正方形的外接圓半徑分別為1和2，則此正四棱臺(tái)的體積為_(kāi)_____．（參考公式：，其中，是棱臺(tái)上、下底面的面積，h是棱臺(tái)的高）【答案】【分析】先根據(jù)已知判斷外接球的球心位置，然后可得正四棱臺(tái)的高，然后可得.【解析】由題可知，下底面的外接圓圓心即為外接球的球心如圖，記正四棱臺(tái)上底面的外接圓圓心為，下底面外接圓圓心為O由題知，，易知，所以記上、下底面面積分別為，則所以正四棱臺(tái)的體積故答案為：四：解答題（共6小題，52分）17.（8分）如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為1，過(guò)頂點(diǎn)B、D、截下一個(gè)三棱錐．(1)求剩余部分的體積V；(2)求異面直線與所成角的余弦值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）求出正方體的體積和截下的三棱錐的體積即可計(jì)算作答.（2）根據(jù)給定條件，確定異面直線與所成的角，再在直角三角形中計(jì)算作答.【解析】(1)依題意，正方體的體積：，截去的三棱錐體積為：，所以剩余部分的體積是.(2)連，如圖，，或其補(bǔ)角為異面直線與所成角，在中，，，，則，所以異面直線與所成角的余弦值．18.（8分）如圖所示棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是長(zhǎng)方形，底面周長(zhǎng)為8，PD＝3，且PD是四棱錐的高．設(shè)AB＝x．(1)當(dāng)x＝3時(shí)，求三棱錐A﹣PBC的體積；(2)四棱錐外接球的表面積的最小值．【答案】(1)；(2)17π.【分析】（1）應(yīng)用棱錐的體積公式，求A﹣PBC的體積．（2）將四棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，根據(jù)它們的外接球相同，由長(zhǎng)方體外接球的特征求出球體半徑，利用二次函數(shù)的性質(zhì)及球的表面積公式求表面積的最小值．【解析】(1)當(dāng)x＝3時(shí)，AB＝3，BC＝1，則△ABC的面積為S△ABC，∴三棱錐A﹣PBC的體積為：VA﹣PBC＝VP﹣ABC．(2)將四棱錐P﹣ABCD補(bǔ)成長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1P，如下圖，則四棱錐P﹣ABCD外接球和長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1P的外接球相同，設(shè)AB＝x，則BC＝4﹣x，則四棱錐P﹣ABCD外接球半徑：R，當(dāng)x＝2時(shí)，R取得最小值為，此時(shí)外接球的表面積的最小值Smin＝4π×()2＝17π．19.（8分）已知在四棱錐中，，，，為的中點(diǎn)，若正視圖方向與向量的方向相同時(shí)，四棱錐的正視圖為三角形．(1)證明：平面；(2)若三角形為直角三角形，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）由已知可得出平面，利用線面垂直的定義可得出，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得出，再利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）推導(dǎo)出平面，分析可知，結(jié)合錐體的體積公式可求得結(jié)果.【解析】(1)證明：因?yàn)檎晥D方向與向量的方向相同時(shí)，四棱錐的正視圖為三角形，則平面，平面，，因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，，，平面.(2)解：因?yàn)榍胰切螢橹苯侨切危瑒t，又因?yàn)椋?，平面，因?yàn)?，，，所以，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則.20.（8分）如圖，已知在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求異面直線與所成角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】(1)如圖，根據(jù)中位線的性質(zhì)可得，由線面平行的判定定理即可證明；(2)由(1)可知為異面直線與所成角的平面角，利用勾股定理分別求出的值，結(jié)合余弦定理計(jì)算即可.【解析】(1)連接AC，交BD于點(diǎn)O，則O為AC的中點(diǎn)，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，連接，則，∵平面EBD，平面EBD，平面EBD；(2)由(1)知，，所以為異面直線與所成角的平面角，在中，，，由余弦定理，得，故異面直線與所成角的余弦值為.21.（10分）如圖，圓柱的軸截面ABCD為正方形，，EF是圓柱上異于AD，BC的母線，P，Q分別為線段BF，ED上的點(diǎn)．(1)若P，Q分別為BF，ED的中點(diǎn)，證明：平面CDF；(2)若，求圖中所示多面體FDQPC的體積V的最大值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)最大值．【分析】（1）連接，根據(jù)圓柱的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形，即可得到為的中點(diǎn)，從而得到，即可得證；（2）設(shè)，，即可得到，，再根據(jù)比例關(guān)系，表示出，，表示出三棱錐與三棱錐的高，根據(jù)錐體的體積公式得到，令，則，再令，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出最大值；【解析】(1)證明：如圖連接，根據(jù)圓柱的性質(zhì)可得且，所以四邊形為平行四邊形，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?2)解：中，設(shè)，，則，，所以