專題39直線直線與圓及圓與圓位置關(guān)系（原卷版）

2023高考一輪復習講與練專題39直線、直線與圓及圓與圓位置關(guān)系直線、直線與圓及圓與圓位置關(guān)系直線、直線與圓及圓與圓位置關(guān)系直線與直線位置關(guān)系兩直線平行兩直線垂直點線距離直線與圓位置關(guān)系圓與圓位置關(guān)系圓與圓相切直線與圓位置關(guān)系圓與圓位置關(guān)系圓與圓相切圓與圓相離圓與圓相交直線與圓相切直線與圓相離直線與圓相交直線與圓相切直線與圓相離直線與圓相交練高考明方向1.（2022·北京卷T3）若直線是圓的一條對稱軸，則（）A. B. C.1 D.2.（2022·全國甲（文）T14）設(shè)點M在直線上，點和均在上，則的方程為______________．3.（2022·全國乙（文、理）T15）過四點中的三點的一個圓的方程為____________．4.（2022·新高考Ⅰ卷T14）寫出與圓和都相切的一條直線的方程_______．5.（2022·新高考Ⅱ卷T15）已知點，若直線關(guān)于的對稱直線與圓存在公共點，則實數(shù)a的取值范圍為________．6.（2022·浙江卷T17）設(shè)點P在單位圓的內(nèi)接正八邊形的邊上，則的取值范圍是_______．7．(2021·新高考Ⅰ卷)(多選)已知點P在圓(x－5)2＋(y－5)2＝16上，點A(4,0)，B(0,2)，則()A．點P到直線AB的距離小于10B．點P到直線AB的距離大于2C．當∠PBA最小時，|PB|＝3eq\r(2)D．當∠PBA最大時，|PB|＝3eq\r(2)8．(2021·新高考Ⅱ卷)(多選)已知直線l：ax＋by－r2＝0與圓C：x2＋y2＝r2，點A(a，b)，則下列說法正確的是()A．若點A在圓C上，則直線l與圓C相切B．若點A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C．若點A在圓C外，則直線l與圓C相離D．若點A在直線l上，則直線l與圓C相切9．(2021年高考全國甲卷理科)拋物線C的頂點為坐標原點O．焦點在x軸上，直線l：交C于P，Q兩點，且．已知點，且與l相切．(1)求C，的方程；(2)設(shè)是C上的三個點，直線，均與相切．判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由．10．(2020年高考數(shù)學課標Ⅰ卷理科)已知⊙M：，直線：，為上的動點，過點作⊙M的切線，切點為，當最小時，直線的方程為A． B． C． D．11．(2020年高考數(shù)學課標Ⅱ卷理科)若過點(2，1)的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線的距離為 ()A． B． C． D．12．(2018年高考數(shù)學課標Ⅲ卷（理）)直線分別與軸，軸交于兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是 ()A． B． C． D．13．(2016高考數(shù)學課標Ⅱ卷理科)圓的圓心到直線的距離為1，則 ()A． B． C． D．14．(2015高考數(shù)學新課標2理科)過三點，，的圓交軸于兩點，則()A． B．8 C． D．1015．(2016高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科)已知直線:與圓交于兩點,過分別作的垂線與軸交于兩點,若,則________________.16．(2014高考數(shù)學課標2理科)設(shè)點M(,1)，若在圓O:上存在點N，使得∠OMN=45°，則的取值范圍是________．17．(2013高考數(shù)學新課標1理科)已知圓:,圓:,動圓與外切并且與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線C．(Ⅰ)求C的方程；(Ⅱ)是與圓,圓都相切的一條直線，與曲線C交于A，B兩點，當圓P的半徑最長時，求|AB|．講典例備高考類型一、直線的方程基礎(chǔ)知識：直線方程的5種形式名稱方程適用條件點斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)與x軸不垂直的直線斜截式y(tǒng)＝kx＋b與x軸不垂直的直線兩點式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)與兩坐標軸均不垂直的直線截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不過原點且與兩坐標軸均不垂直的直線一般式Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0平面內(nèi)所有直線基本題型：1．過點的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為（）A． B．C．或 D．或2．已知的頂點，、邊中線方程分別為、，則直線的方程為（）A．B．C． D．3．已知的頂點，高所在的直線方程分別為和，則所在直線的方程是_______．4．在平面直角坐標系中，已知點和．（）若，是正方形一條邊上的兩個頂點，求這個正方形過頂點的兩條邊所在直線的方程；（）若，是正方形一條對角線上的兩個頂點，求這個正方形另外一條對角線所在直線的方程及其端點的坐標．基本方法：求直線方程的方法（1）直接法：根據(jù)已知條件，選擇恰當形式的直線方程，求出方程中的系數(shù)，寫出直線方程（2）待定系數(shù)法：先根據(jù)已知條件恰當設(shè)出直線的方程，再根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于待定系數(shù)的方程(組)解得系數(shù)，最后代入設(shè)出的直線方程注：(1)選擇直線方程時，應注意分類討論思想的應用，選用點斜式或斜截式時，先分類討論直線的斜率是否存在；選用截距式時，先分類討論在兩坐標軸上的截距是否存在或是否為0.(2)求直線方程時，如果沒有特別要求，求出的直線方程應化為一般式Ax＋By＋C＝0，且A≥0.類型二、兩直線位置關(guān)系基礎(chǔ)知識：兩條直線的位置關(guān)系：斜截式一般式方程y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)，A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)相交k1≠k2A1B2－A2B1≠0垂直k1k2＝－1A1A2＋B1B2＝0平行k1＝k2且b1≠b2eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1≠0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,A1C2－A2C1≠0))重合k1＝k2且b1＝b2A1B2－A2B1＝B1C2－B2C1＝A1C2－A2C1＝0基本題型：1．(兩直線垂直）過點A(2,3)且垂直于直線2x＋y－5＝0的直線方程為()A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝02．（兩直線平行）已知直線l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0與l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，則k的值是()A．1或3 B．1或5C．3或5 D．1或23．（兩直線相交）直線，和直線不能構(gòu)成三角形，則的個數(shù)是（）．A． B． C． D．4．在平面直角坐標系中，某菱形的一組對邊所在的直線方程分別為x＋2y＋1＝0和x＋2y＋3＝0，另一組對邊所在的直線方程分別為3x－4y＋c1＝0和3x－4y＋c2＝0，則|c1－c2|＝()A．2eq\r(3) B．2eq\r(5)C．2 D．45、（線點對稱）直線ax＋y＋3a－1＝0恒過定點M，則直線2x＋3y－6＝0關(guān)于M點對稱的直線方程為()A．2x＋3y－12＝0 B．2x－3y－12＝0C．2x－3y＋12＝0 D．2x＋3y＋12＝0基本方法：1、兩平行線間的距離的求法(1)利用“轉(zhuǎn)化法”將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點到另一條直線的距離；(2)利用兩平行線間的距離公式求解，利用公式前需把兩平行線方程化為一般式，且x，y的系數(shù)對應相等，即一定要化成l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0的形式．2、點關(guān)于直線的對稱若兩點P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對稱，由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A×\f(x1＋x2,2)＋B×\f(y1＋y2,2)＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，))可得到點P1關(guān)于l對稱的點P2的坐標(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．類型三、直線與圓位置關(guān)系基礎(chǔ)知識：1、直線與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O的半徑為r(r＞0)，圓心到直線l的距離為d，則直線與圓的位置關(guān)系可用下表表示：位置關(guān)系相離相切相交圖形量化方程觀點Δ＜0Δ＝0Δ＞0幾何觀點d＞rd＝rd＜r2、切線方程(1)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.3．切線長公式(1)從圓外一點P(x0，y0)引圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切線，則點P到切點的切線長d＝eq\r(x0－a2＋y0－b2－r2).(2)從圓外一點P(x0，y0)引圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)的切線，則點P到切點的切線長d＝eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).基本題型：1．（線圓位置關(guān)系的判斷）已知定點在單位圓內(nèi)部，則直線與圓的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定2．（線圓相交）圓C的半徑為5，圓心在x軸的負半軸上，且被直線截得的弦長為6，則圓C的方程為（）A． B．C． D．3．（線圓相切）已知P（x，y）是直線kx+y+3=0（k>0）上一動點，PA，PB是圓C：+2y=0的兩條切線，.A、B是切點，若四邊形PACB的最小面積是，則k的值為（）A． B． C． D．4．（多選題）已知直線過點且與圓相切，直線與軸交于點，點是圓上的動點，則下列結(jié)論中正確的有（）A．點的坐標為B．面積的最大值為C．當直線與直線垂直時，D．的最大值為5、（切線方程及切線長）已知點P(eq\r(2)＋1,2－eq\r(2))，點M(3,1)，圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求過點P的圓C的切線方程；(2)求過點M的圓C的切線方程，并求出切線長．6．在平面直角坐標系中，直線x+y+3＝0與圓C相切，圓心C的坐標為(1,1)．（1）求圓C的方程；（2）設(shè)直線y＝kx+2與圓C沒有公共點，求k的取值范圍；（3）設(shè)直線y＝x+m與圓C交于M，N兩點，且OM⊥ON，求m的值．基本方法：1、判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的兩種方法(1)代數(shù)法：eq\o(→,\s\up7(判別式),\s\do5(Δ＝b2－4ac))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(>0?相交，,＝0?相切，,<0?相離.))(2)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系：d<r?相交，d＝r?相切，d>r?相離．2、求直線被圓截得的弦長的常用方法（1）幾何法：直線被圓截得的半弦長、弦心距d和圓的半徑r構(gòu)成直角三角形，且r2＝2＋d2（2）代數(shù)法：聯(lián)立直線方程和圓的方程，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系即可求得弦長|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(y1＋y22－4y1y2)(k≠0)3、圓的切線方程的求法（1）幾何法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，利用點到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d＝r，進而求出k。（2）代數(shù)法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個一元二次方程，然后令判別式Δ＝0，進而求出k。類型四、圓與圓位置關(guān)系基礎(chǔ)知識：1、圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1，O2的半徑分別為R，r(R＞r)，兩圓圓心間的距離為d，則兩圓的位置關(guān)系可用下表表示：位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖形數(shù)量的關(guān)系d＞R＋rd＝R＋rR－r＜d＜R＋rd＝R－rd＜R－r公切線條數(shù)432102．兩圓相交時公共弦的性質(zhì)圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交時：(1)將兩圓方程直接作差，得到兩圓公共弦所在直線方程；(2)兩圓圓心的連線垂直平分公共弦；(3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0表示過兩圓交點的圓系方程(不包括C2)．基本題型：1．（兩圓位置關(guān)系的判斷）已知圓截直線所得線段的長度是，則圓與圓的位置關(guān)系是（）A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離2．（兩圓的公共弦長）若圓O1：x2＋y2＝5與圓O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B兩點，且兩圓在點A處的切線互相垂直，則線段AB的長度是()A．3 B．4C．2eq\r(3) D．83．（有關(guān)圓圓的最值）已知圓，圓，分別為圓上的點，為軸上的動點，則的最小值為()A． B． C． D．4．已知圓：和圓：相交于、兩點，下列說法不正確的是（）A．兩圓有兩條公切線B．直線的方程為C．線段的長為D．所有過點、的圓系的方程可以記為5．（圓線對稱問題）若圓：與圓：關(guān)于直線對稱，則______.6．（圓圓位置關(guān)系的應用）若圓與圓相交，則的取值范圍是________.7．在平面直角坐標系中，過點且互相垂直的兩條直線分別與圓：交于點，，與圓：交于點，．（1）若，求的長；（2）若中點為，求面積的取值范圍．基本方法：1．判斷兩圓位置關(guān)系的方法常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差的絕對值的關(guān)系，一般不用代數(shù)法．2．兩圓公共弦長的求法先求出公共弦所在直線的方程，在其中一圓中，由弦心距d，半弦長eq\f(l,2)，半徑r構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解．新預測破高考1．已知直線在兩坐標軸上的截距相等，則實數(shù)A．1 B． C．或1 D．2或12．已知圓的標準方程是，直線，若直線被圓所截得的弦長為，則直線與直線的關(guān)系為（）A．平行 B．垂直 C．平行或相交 D．相交3．過點P（1，3）且在x軸上的截距和在y軸上的截距相等的直線方程為()A．x+y–4=0 B．3xy=0C．x+y–4=0或3x+y=0 D．x+y–4=0或3xy=04．點到直線：的距離最大時，與的值依次為()A．3，－3 B．5，2C．5，1 D．7，15．已知圓的圓心到直線的距離為，則圓與圓的位置關(guān)系是（）A．相交 B．內(nèi)切 C．外切 D．相離6．已知直線l過點，且與x，y軸的正半軸分別交于A，B兩點.若的面積為12（O為坐標原點），則直線l的方程為（）A．B．C． D．7．若圓與直線相切，則（）A． B． C． D．8．中，，高，所在的直線方程分別為，，則所在直線的方程是（）．A． B．C． D．9．在平面直角坐標系xOy中，若圓上存在點M，且點M關(guān)于直線的對稱點N在圓上，則r的取值范圍是（）A． B．C． D．10．已知圓：，點為直線上一動點，過點向圓作切線，，，為切點，則直線經(jīng)過定點（）A． B． C． D．11．(多選)已知圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝4與直線x＋my－m－2＝0，下列選項正確的是()A．直線與圓必相交B．直線與圓不一定相交C．直線與圓相交且所截最短弦長為2eq\r(3)D．直線與圓可以相切12．(多選)已知△ABC的三個頂點為A(－