2024-2025學年高考數學一輪復習專題1.1集合知識點講解含解析

專題1.1集合【考綱解讀與核心素養(yǎng)】1.了解集合的含義，體會元素與集合的屬于關系；能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的詳細問題；2.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；在詳細情境中了解全集與空集的含義；3.理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡潔集合的并集與交集；理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集；能運用韋恩(Venn)圖表達集合間的基本關系及集合的基本運算.4.培育學生數學抽象、邏輯推理、數學運算、直觀想象實力.【學問清單】1.元素與集合（1）集合元素的特性：確定性、互異性、無序性．（2）集合與元素的關系：若a屬于集合A，記作；若b不屬于集合A，記作．（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、圖示法．（4）常見數集及其符號表示數集自然數集正整數集整數集有理數集實數集符號NN*或N＋ZQR2.集合間的基本關系(1)子集：若對隨意x∈A，都有x∈B，則A?B或B?A.(2)真子集：若A?B，且集合B中至少有一個元素不屬于集合A，則AB或BA.(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B.(4)空集的性質：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本運算集合的并集集合的交集集合的補集符號表示A∪BA∩B若全集為U，則集合A的補集為CUA圖形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x?A}4.集合的運算性質(1)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(CUA)＝?，A∪(CUA)＝U，CU(CUA)＝A.特殊提示:1.若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n－1個.2.子集的傳遞性：A?B，B?C?A?C.3.A?B?A∩B＝A?A∪B＝B?CUA?CUB.4.CU(A∩B)＝(CUA)∪(CUB)，CU(A∪B)＝(CUA)∩(CUB).【典例剖析】高頻考點一集合的基本概念例1.(2024課標II理2)已知集合，則中元素的個數為 （）A．9 B．8 C．5 D．4【答案】A方法二：依據集合A的元素特征及圓的方程在坐標系中作出圖形，如圖，易知在圓x2＋y2＝3中有9個整點，即為集合A的元素個數，故選A.【規(guī)律方法】與集合中的元素有關的問題的三種求解策略(1)探討一個用描述法表示的集合時，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制條件.(2)依據元素與集合的關系求參數時要留意檢驗集合中的元素是否滿意互異性.(3)集合中的元素與方程有關時留意一次方程和一元二次方程的區(qū)分.【變式探究】(2024豫南九校聯考一)已知集合，則集合中元素的個數為（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】集合B中元素有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，共4個．故選D．【領悟技法】與集合元素有關問題的思路：（1）確定集合的元素是什么，即確定這個集合是數集還是點集．（2）看這些元素滿意什么限制條件．（3）依據限制條件列式求參數的值或確定集合元素的個數，但要留意檢驗集合是否滿意元素的互異性高頻考點二：集合間的基本關系例2.（2012·湖北省高考真題（文））已知集合，則滿意條件的集合的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】求解一元二次方程，得，易知.因為，所以依據子集的定義，集合必需含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原題即求集合的子集個數，即有個，故選D.【方法技巧】(1)推斷兩集合之間的關系的方法：當兩集合不含參數時，可干脆利用數軸、圖示法進行推斷；當集合中含有參數時，須要對滿意條件的參數進行分類探討或采納列舉法．(2)要確定非空集合A的子集的個數，需先確定集合A中的元素的個數，再求解．不要忽視任何非空集合是它自身的子集．(3)依據集合間的關系求參數值(或取值范圍)的關鍵是將條件轉化為元素或區(qū)間端點間的關系，進而轉化為參數所滿意的關系，常用數軸、圖示法來解決這類問題．【易錯警示】空集是任何集合的子集，在涉及集合關系時，必需優(yōu)先考慮空集的狀況，否則會造成漏解．【變式探究】1.設集合，對隨意實數x恒成立，且，則下列關系中成立的是()A．B．C．D．【答案】A【解析】，或．∴．∴．∴．2.（2024·銀川高級中學高三月考（理））已知集合，，若，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】集合，，，故選B.高頻考點三：集合的基本運算例3.（2024·北京高考真題（文））已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，則A∪B=（）A．（–1，1） B．（1，2） C．（–1，+∞） D．（1，+∞）【答案】C【解析】∵，∴，故選C.例4．（2024·全國高考真題（理））已知集合，則=（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，，則．故選C．例5.（2024·山西省高三其他（理））已知集合，，則()A． B．C． D．【答案】A【解析】因為或，，所以，，，故選：A【規(guī)律方法】如何解集合運算問題(1)看元素構成:集合是由元素組成的，從探討集合中元素的構成入手是解決集合運算問題的關鍵.(2)對集合化簡:有些集合是可以化簡的，先化簡再探討其關系并進行運算，可使問題簡潔明白、易于解決.(3)應用數形結合:常用的數形結合形式有數軸、坐標系和Venn圖.(4)創(chuàng)新性問題:以集合為依托，對集合的定義、運算、性質進行創(chuàng)新考查，但最終化為原來的集合學問和相應數學學問來解決.【變式探究】1．（2024·福建省高三其他（文））設全集集合則（）A． B．C． D．【答案】D【解析】故選：D.2.（2024·河南省高三月考（文））已知集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜5}，B＝{x|0＜x≤2}，則A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x≤2} B．{x|0＜x＜5} C．{0，1，2} D．{1，2}【答案】D【解析】∵集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜5}＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|0＜x≤2}，∴A∩B＝{1，2}．故選：D．3．（2024·浙江省高三二模）已知集合集合則（）A．{0} B．{3} C．{0，2，3} D．【答案】B【解析】因為集合，集合，所以，故選：B高頻考點四：利用集合的運算求參數例6.（2024·江蘇省高考真題）已知集合，，若，則實數的值為________【答案】1【解析】由題意，明顯，所以，此時，滿意題意，故答案為1．例7.已知集合，，且，若，則實數的取值范圍是()A．B．C．D．【答案】D【解析】由于，所以，又因為B≠，所以有QUOTE解得，故選D．點睛:（1）認清元素的屬性．解決集合問題時，認清集合中元素的屬性(是點集、數集或其他情形)和化簡集合是正確求解的兩個先決條件．（2）留意元素的互異性．在解決含參數的集合問題時，要留意檢驗集合中元素的互異性，否則很可能會因為不滿意“互異性”而導致錯誤．（3）防范空集．在解決有關等集合問題時，往往簡潔忽視空集的狀況，肯定要先考慮時是否成立，以防漏解．【方法規(guī)律】利用集合的運算求參數的值或取值范圍的方法①與不等式有關的集合，一般利用數軸解決，要留意端點值能否取到；②若集合能一一列舉，則一般先用視察法得到不同集合中元素之間的關系，再列方程(組)求解．【易錯警示】在求出參數后，留意結果的驗證(滿意互異性)．【變式探究】（2024·上海高三三模）已知集合，，若，則實數的取值范圍是________【答案】【解析】集合，，若，則、有公共元素，所以故答案為：高頻考點五：集合的新定義問題例8.（2015·湖北高考真題（理））已知集合，，定義集合，則中元素的個數為（）A．77B．49C．45D．30【答案】C【解析】因為集合，所以集合中有9個元素（即9個點），即圖中圓中的整點，集合中有25個元素（即25個點）：即圖中正方形中的整點，集合的元素可看作正方形中的整點（除去四個頂點），即個．【方法技巧】解決集合新定義問題的方法(1)正確理解新定義：耐性閱讀，分析含義，精確提取信息是解決這類問題的前提，剝去新定義、新法則、新運算的外表，利用所學的集合性質等學問將生疏的集合轉化為我們熟識的集合，是解決這類問題的突破口.(2)合理利用集合性質：運用集合的性質(如元素的性質、集合的運算性質等)是破解新定義型集合問題的關鍵．在解題時要擅長從題設條件給出的數式中發(fā)覺可以運用集合性質的一些因素，并合理利用.(3)對于選擇題，可結合選項，通過驗證、解除、對比、特值法等進行求解或解除錯誤選項，當不滿意新定義的要求時，只需通過舉反例來說明，以達到快速推斷結果的目的.【變式探究】1．（2024·新余市第六中學高一期中）設集合是非空集合，定義且，已知，，則=__________.【答案】或【解析】如圖所示：，因為，所以.故答案為：.2.（遼寧阜新試驗中學2024-2025年模擬）已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若對于隨意實數對(x1，y1)∈M，都存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，則稱集合M是“垂直對點集”．給出下列四個集合：①M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,x)))))；②M＝{(x，y)|y＝log2x}；③M＝{(x，y)|y＝ex－2}；④M＝{(x，y)|y＝sinx＋1}．其中是“垂直對點集”的序號是()A．①④ B．②③C．③④ D．②④【答案】C【解析】記A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由x1x2＋y1y2＝0得OA⊥OB.對于①，對隨意A∈M，不存在B∈M，使得OA⊥OB.對于②，當A為點(1，0)時，不存在B∈M滿意題意．對于③④，對隨意A∈M，過原點O可作直線OB⊥OA，它們都與函數y＝ex－2及y＝sinx＋1的圖象相交，即③④滿意題意，故選C.3.若集合A具有以下性質：(Ⅰ)0∈A,1∈A；(Ⅱ)若x∈A，y∈A，則x－y∈A，且x≠0時，eq\f(1,x)∈A.則稱集合A是“好集”．下列命題正確的個數是()(1)集合B＝{－1,0,1}是“好集”；(2)有理數集Q是“好集”；(3)設集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，則x＋y∈A.A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】(1)集合B不是“好集”，假設集合B是“好集”，因為－1∈B,1∈B，所以－1－1＝－2∈B，這與－2?B沖突．(2)有理數集Q是“好集”，因為0∈Q,1∈Q，對隨意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0時，eq