2024-2025學年高中數(shù)學第4章圓與方程4.3空間直角坐標系課時分層作業(yè)含解析新人教A版必修2

PAGE課時分層作業(yè)(二十八)空間直角坐標系(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．點A(2，0，3)在空間直角坐標系中的位置是()A．在y軸內(nèi) B．在xOy平面內(nèi)C．在xOz平面內(nèi) D．在yOz平面內(nèi)C[因為點(2，0，3)的縱坐標為0，則點在平面xOz內(nèi)．]2．在空間直角坐標系中，點M的坐標是(4，7，6)，則點M關(guān)于y軸的對稱點在坐標平面xOz上的射影的坐標為()A．(4，0，6) B．(－4，7，－6)C．(－4，0，－6) D．(－4，7，0)C[點M關(guān)于y軸的對稱點是M′(－4，7，－6)，點M′在坐標平面xOz上的射影是(－4，0，－6).]3．在空間直角坐標系中，已知A(1，－2，1)，B(2，2，2)，點P在z軸上，且滿意|PA|＝|PB|，則P點坐標為()A．(3，0，0) B．(0，3，0)C．(0，0，3) D．(0，0，－3)C[設(shè)P(0,0,z)，則有eq\r(12＋（－2）2＋（1－z）2)＝eq\r(22＋22＋（2－z）2)，解得z＝3.]4．△ABC在空間直角坐標系中的位置及坐標如圖所示，則BC邊上中線的長是()A．2B．eq\r(6)C．3D．2eq\r(2)B[由題意可知A(0，0，1)，B(4，0，0)，C(0，2，0)，所以BC邊的中點坐標為D(2，1，0)，所以BC邊的中線長|AD|＝eq\r(（2－0）2＋（1－0）2＋（0－1）2)＝eq\r(6).]5．已知三點A(－1，0，1)，B(2，4，3)，C(5，8，5)，則()A．三點構(gòu)成等腰三角形B．三點構(gòu)成直角三角形C．三點構(gòu)成等腰直角三角形D．三點構(gòu)不成三角形D[由|AB|＝eq\r(29)，|BC|＝eq\r(29)，|AC|＝eq\r(116)，|AB|＋|BC|＝|AC|.故選D.]二、填空題6．如圖所示，在長方體OABC-O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，M是OB1與BO1的交點，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)，1))[由長方體性質(zhì)可知，M為OB1中點，而B1(2，3，2)，故Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)，1)).]7．如圖是一個正方體截下的一角P-ABC，其中|PA|＝a，|PB|＝b，|PC|＝c.建立如圖所示的空間直角坐標系，則△ABC的重心G的坐標是________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，\f(b,3)，\f(c,3)))[由題意知A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c).由重心坐標公式得點G的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，\f(b,3)，\f(c,3))).]8．假如點P在z軸上，且滿意|PO|＝1(O是坐標原點)，則點P到點A(1，1，1)的距離是________．eq\r(2)或eq\r(6)[設(shè)P(0，0，z)，由|PO|＝eq\r(（0－0）2＋（0－0）2＋（z－0）2)＝1，得z＝±1，∴P(0，0，1)或P(0，0，－1)，則|PA|＝eq\r(2)或eq\r(6).]三、解答題9．依次連接四點A，B，C，D構(gòu)成平行四邊形ABCD，且已知A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C(3，7，－5)，求頂點D的坐標．[解]設(shè)線段AC與BD的交點為M，設(shè)點M的坐標為M(x1，y1，z1)，點D的坐標為D(x2，y2，z2)，由M既是線段AC的中點，也是線段BD的中點，得x1＝eq\f(7,2)，y1＝4，z1＝－1，又eq\f(2＋x2,2)＝eq\f(7,2)，eq\f(－5＋y2,2)＝4，eq\f(1＋z2,2)＝－1，∴x2＝5，y2＝13，z2＝－3.∴頂點D的坐標為(5，13，－3).10．在空間直角坐標系中，已知A(3，0，1)和B(1，0，－3)，試問：(1)在y軸上是否存在點M，滿意|MA|＝|MB|?(2)在y軸上是否存在點M，使△MAB為等邊三角形？若存在，試求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．[解](1)假設(shè)在y軸上存在點M，滿意|MA|＝|MB|.因為M在y軸上，所以可設(shè)M(0，y，0).由|MA|＝|MB|，得eq\r(32＋（－y）2＋12)＝eq\r(12＋（－y）2＋（－3）2)，明顯，此式對隨意y∈R恒成立，即y軸上全部點都滿意|MA|＝|MB|.(2)假設(shè)在y軸上存在點M，使△MAB為等邊三角形．由(1)可知，y軸上任一點都有|MA|＝|MB|，所以只要|MA|＝|AB|就可以使得△MAB是等邊三角形．因為|MA|＝eq\r(（3－0）2＋（0－y）2＋（1－0）2)＝eq\r(10＋y2)，|AB|＝eq\r(（1－3）2＋（0－0）2＋（－3－1）2)＝2eq\r(5)，所以eq\r(10＋y2)＝2eq\r(5)，解得y＝±eq\r(10)，故y軸上存在點M使△MAB是等邊三角形，點M的坐標為(0，eq\r(10)，0)或(0，－eq\r(10)，0).1．在空間直角坐標系中，以點A(4，1，9)，B(10，－1，6)，C(x，4，3)為頂點的△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，則實數(shù)x的值為()A．－2B．2C．6D．2或6D[∵以點A(4，1，9)，B(10，－1，6)，C(x，4，3)為頂點的△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，∴|AB|＝|AC|，∴eq\r(（4－10）2＋（1＋1）2＋（9－6）2)＝eq\r(（4－x）2＋（1－4）2＋（9－3）2)，∴7＝eq\r(（4－x）2＋45)，即(4－x)2＝4，∴x＝2或x＝6.經(jīng)檢驗，當x＝2或x＝6時，均滿意|BC|＜14，故選D.]2．△ABC的頂點坐標是A(3，1，1)，B(－5，2，1)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)，2，3))，則它在yO