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高等數(shù)學(xué)(第二版)一、自變量趨向于無窮大時函數(shù)的極限函數(shù)的極限極限與連續(xù)二、自變量趨向于有限值時函數(shù)的極限所謂自變量趨向于無窮大有下面三種情形:一、自變量趨向于無窮大時函數(shù)的極限(1)取正值且無限增大,記為;(2)取負(fù)值而無限增大,記為;(3)既可取正值,也可取負(fù)值而無限增大,記為。定義1若當(dāng)?shù)慕^對值無限無限增大時,函數(shù)無限接近于一個確定常數(shù),則稱是當(dāng)時函數(shù)的極限,記為或定義2設(shè)函數(shù)在上有定義,若對于任意給定的正數(shù)(無論多么?。偞嬖谡麛?shù),使得適合不等式的所有,對應(yīng)的函數(shù)值都滿足則常數(shù)就稱為當(dāng)時的極限。上述定義的幾何意義是:對于無論多么小的正數(shù),總能找到正數(shù),當(dāng)或時,曲線介于兩條水平直線和之間。
在的定義中,將換成可以得到
的定義;若將換成就可以得到的定義。例1用定義驗證。證:當(dāng)時,函數(shù)有定義。對于任意給定的正數(shù),要使,只要,可取,當(dāng)時,有成立,從而例2討論當(dāng)時,函數(shù)的極限。從圖中,我們可以看到:解:所以,當(dāng)時,函數(shù)值不趨向于一個確定的常數(shù),故時,函數(shù)的極限不存在。二、自變量趨向于有限值時函數(shù)的極限我們先來觀察當(dāng)趨向于1時,函數(shù)的變化趨勢。函數(shù)在點處沒有定義,但當(dāng)時,
。從的圖形看出,當(dāng)時,函數(shù)值無限接近于2。定義3設(shè)函數(shù)在的某去心鄰域內(nèi)有定義,若當(dāng)無限接近于時,對應(yīng)函數(shù)值無限接近于某個確定的常數(shù),則稱是當(dāng)時函數(shù)的極限,記為或(當(dāng)時)這里值得注意的是:當(dāng)時,以為極限與
在處是否有定義無關(guān)。當(dāng)無限接近于時,
無限接近于的意思是:當(dāng)與充分靠近,即當(dāng)充分小時,可以小于預(yù)先給定的任意正數(shù)(無論該正數(shù)多么小)。定義4設(shè)函數(shù)在的某去心鄰域內(nèi)有定義,若對于任意給定的正數(shù),總存在正數(shù),使得當(dāng)
時,恒有不等式成立,則稱是當(dāng)時函數(shù)的極限。此定義的幾何意義是:對于任意給定的正數(shù),無論其多么小,總存在點的某個去心鄰域,使得函數(shù)在這個去心鄰域內(nèi)的圖形介于兩條水平直線
和之間。如下圖性質(zhì)1性質(zhì)2(其中為常數(shù))。在的定義中,可以以任意方式趨向。有時,可以只考慮從的某一側(cè)(左側(cè):;右側(cè):)趨于時的變化趨勢。為明確起見,引進(jìn)函數(shù)的左極限與右極限的概念,其定義如下:定義5設(shè)函數(shù)在的某個左(右)鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)小于(大于)而趨于時,對應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某一確定常數(shù),則稱常數(shù)是當(dāng)時函數(shù)的左(右)極限:左極限記為:
右極限記為:或或根據(jù)時函數(shù)的極限定義、左極限和右極限的定義,可以得到下面的結(jié)論。定理1極限
的充分必要條件是因此,當(dāng)及都存在,但不相等,或者
與中至少一個不存在時,就可斷言
在處極限不存在。先分別求當(dāng)時的左、右極限:例4設(shè),試判斷是否存在。由于左、右極限存在但不相等,所以極限不存在。解:例5判斷極限
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