高等數(shù)學(xué)（第二版）課件：導(dǎo)數(shù)與微分

高等數(shù)學(xué)（第二版）一、變速直線運(yùn)動(dòng)的速度二、曲線的切線問題第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)與微分一、變速直線運(yùn)動(dòng)的速度設(shè)物體沿直線作變速運(yùn)動(dòng)，表示經(jīng)過單位時(shí)間后物體所經(jīng)過的路程。我們研究物體在時(shí)的運(yùn)動(dòng)速度。當(dāng)時(shí)間由到時(shí)，物體在這一段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的距離為所以，在時(shí)間內(nèi)的平均速度對于變速運(yùn)動(dòng)的物體，盡管在整體上速度時(shí)變化的，但對局部而言，速度的變化是很小的。也就是說，當(dāng)?shù)慕^對值很小時(shí)，速度在整體上的“變”可以轉(zhuǎn)化為局部的相對的“不變”。且當(dāng)愈小，近似程度就愈好。當(dāng)時(shí)，平均速度就轉(zhuǎn)化為瞬時(shí)速度，即物體運(yùn)動(dòng)的速度。表示為（1） 球在時(shí)間到這段時(shí)間內(nèi)的平均速度；（2） 球在時(shí)間時(shí)的速度。解：例1

球在懸崖的頂端往下墜落，在時(shí)刻所經(jīng)過的路程，其中時(shí)間的單位為，距離的單位為。求：（1）球在時(shí)間間隔內(nèi)的位移為所以平均速度（2）球在時(shí)間間隔內(nèi)的位移為所以球在時(shí)間時(shí)的速度為二、曲線的切線問題設(shè)曲線的圖形（如圖所示）。點(diǎn)為曲線上一點(diǎn)，當(dāng)自變量由變到時(shí)，曲線上的點(diǎn)，過點(diǎn)及作曲線的割線，則割線的斜率為當(dāng)時(shí)，點(diǎn)沿曲線無限地趨向定點(diǎn)，從而割線

也隨之變動(dòng)而趨向于極限位置。我們定義直線為曲線在點(diǎn)處的切線，相應(yīng)地割線的傾角趨向于切線的傾角。即我們舍棄上述兩個(gè)例子中的物理意義和幾何意義，從數(shù)學(xué)上總結(jié)這一求解過程，把它們最終歸結(jié)為求因變量增量與自變量增量之比的極限，即變化率，這種變化率就叫做函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。一、導(dǎo)數(shù)的定義二、可導(dǎo)與連續(xù)之間的關(guān)系第二節(jié)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義四、左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)五、用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)六、導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義一、導(dǎo)數(shù)的定義定義1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在處有增量時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)也有增量，如果當(dāng)時(shí)，的極限存在，即存在，則稱在可導(dǎo)，且稱此極限值為函數(shù)在的導(dǎo)數(shù)。記作。即也可記為，或。如果上述極限不存在，就稱在處的導(dǎo)數(shù)不存在，或者說在不可導(dǎo)。如果令，則，且當(dāng)時(shí)，，于是，定義1可變成導(dǎo)數(shù)的另一個(gè)形式例1求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)。解：當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，，故因此，所以由導(dǎo)數(shù)定義，引例中（1）瞬時(shí)速度是路程對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，即如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱在內(nèi)可導(dǎo)。其導(dǎo)數(shù)值是一隨的變化而變化的函數(shù)，稱作的導(dǎo)函數(shù)。記作，，或。（2）曲線在點(diǎn)處的切線的斜率是對的導(dǎo)數(shù)，即其中是切線的傾角存在。由函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系可知二、可導(dǎo)與連續(xù)之間的關(guān)系設(shè)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則極限其中，等式兩邊同乘以得當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在處連續(xù)。定理1如果函數(shù)在可導(dǎo)，則它在點(diǎn)處連續(xù)。此定理之逆未必成立。例2試證函數(shù)在連續(xù)（如圖），但不可導(dǎo)。證：由于左、右極限不相等，所以極限

不存在，故函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo)。因?yàn)樗?，函?shù)在點(diǎn)處連續(xù)。又因?yàn)榻猓阂驗(yàn)?，所以在處連續(xù)。由于不存在，例3討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。連續(xù)是函數(shù)可導(dǎo)的必要條件，而不是充分條件。也就是說：如果我們已經(jīng)判斷出函數(shù)在某點(diǎn)處不連續(xù)，則可知函數(shù)在該點(diǎn)處不可導(dǎo)。反之，如果函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)，則不能就此判定函數(shù)在某點(diǎn)處可導(dǎo)。所以在處不可導(dǎo)。函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，其幾何意義就是函數(shù)

在點(diǎn)處的切線的斜率如果，則函數(shù)曲線在相應(yīng)點(diǎn)處的切線傾角是銳角，且在點(diǎn)附近曲線是上升的。三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義如果，則函數(shù)曲線在相應(yīng)點(diǎn)處的切線傾角是鈍角，且在點(diǎn)附近曲線是下降的。由導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線的點(diǎn)斜式方程，可得曲線

在點(diǎn)處的切線方程及法線方程解：得曲線在點(diǎn)處的切線方程例4求曲線在點(diǎn)處的切線方程和法線方程。即其法線方程為即定義2設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，（1）如果極限存在，則稱此極限值為在點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù)，記作；（2）如果極限存在，則稱此極限值為在點(diǎn)處的右導(dǎo)數(shù)，記作。四、左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)顯然，當(dāng)且僅當(dāng)在點(diǎn)處的左、右導(dǎo)數(shù)都存在且相等時(shí)，函數(shù)在該點(diǎn)才是可導(dǎo)的。左右導(dǎo)數(shù)常常用于討論分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性。另外，如果在開區(qū)間內(nèi)處處可導(dǎo)，且及均存在，則稱在閉區(qū)間上可導(dǎo)。因?yàn)樗运圆淮嬖?，即在處不連續(xù)。故在處不可導(dǎo)。例5函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)否？解：連續(xù)性：解：因?yàn)閺亩?討論函數(shù)在處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。又，故所以在連續(xù)。在處的右導(dǎo)數(shù)為可導(dǎo)性：又因?yàn)樵谔幍淖髮?dǎo)數(shù)為所以在的左右導(dǎo)數(shù)存在但不相等，于是在處不可導(dǎo)。五、用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)由導(dǎo)數(shù)定義可將求導(dǎo)數(shù)的方法概括為以下幾個(gè)步驟：（1）求出對應(yīng)于自變量改變量的函數(shù)改變量（2）作出比值（3）求當(dāng)時(shí)，的極限，即例7常函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。設(shè)，求。解：即例8冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。設(shè)（為正整數(shù)），求。解：記，即

特別地，若，則。若，則。例9指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。設(shè)，求。解：記，則所以即特別，若令，則，當(dāng)時(shí)，。例10對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。設(shè)，求。解：記，則即：特別：若則。例11正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。設(shè)，求。解：記則即同理可證六、導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義（1）瞬時(shí)速度是路程函數(shù)對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，即。加速度是速度函數(shù)對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，即。（2）曲線在點(diǎn)處的切線的斜率是對的導(dǎo)數(shù)，即或，其中為切線的傾角。（3）某產(chǎn)品的產(chǎn)量函數(shù)為，則產(chǎn)量函數(shù)對資本的導(dǎo)數(shù)稱為資本的邊際產(chǎn)出。（4）某產(chǎn)品的總成本，為產(chǎn)品產(chǎn)量，則成本函數(shù)對產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)稱為邊際成本。例12

假設(shè)在生產(chǎn)8到30臺空調(diào)的情況下，生產(chǎn)臺空調(diào)的成本為（元）工廠目前每天生產(chǎn)10臺空調(diào)，每天多生產(chǎn)一臺空調(diào)的超值成本為多少，請估計(jì)每天售出11臺空調(diào)的收入為多少？而售出臺空調(diào)的收入為（元）解：在每天生產(chǎn)10臺空調(diào)的情況下每天多生產(chǎn)一臺的成本大約為：（元）（元）附加成本約為195元。邊際收入為邊際收入計(jì)算出多賣出一臺空調(diào)的收入的增加數(shù)量。如果目前是每天售出10臺的話，那么，如果每天銷售增加到11臺時(shí)，可以期望的收入增加約為一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算二、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則第三節(jié)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)與微分三、反函數(shù)求導(dǎo)法則四、隱函數(shù)求導(dǎo)法則五、參數(shù)方程求導(dǎo)法則六、對數(shù)求導(dǎo)法則一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算定理1設(shè)函數(shù)與在點(diǎn)可導(dǎo)，則有（1）（3）（2）特別地，當(dāng)時(shí)，（為常數(shù)）即常數(shù)因子可以移到導(dǎo)數(shù)符號外面。例1設(shè)，求。解：公式（1）與（2）可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)的情況，即解：例3

設(shè)，求。例2

設(shè)，求。解：例4

設(shè)，求。解：例5

設(shè)，求。解：同理可得，例6

設(shè)，求。解：同理可得，解：例7

設(shè)，求。定理2設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，函數(shù)在對應(yīng)點(diǎn)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且設(shè)函數(shù)，則是的一個(gè)復(fù)合函數(shù)?；蚬娇赏茝V到有限次復(fù)合的情況。二、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則或例如，設(shè)，則復(fù)合函數(shù)

對的導(dǎo)數(shù)是例8設(shè)，求。設(shè)，，則例9設(shè)，求。解：設(shè)，，則解：例10設(shè)，求。解：設(shè)，，則例11設(shè)，求。解：設(shè)函數(shù)在處有不等于零的導(dǎo)數(shù)，且其反函數(shù)在相應(yīng)點(diǎn)處連續(xù)，則存在，且即反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。在反函數(shù)導(dǎo)數(shù)存在的前提下，由于，兩邊對求導(dǎo)，則得即三、反函數(shù)求導(dǎo)法則解：例12設(shè)，求。而所以的反函數(shù)為即

同理可得解：例13設(shè)，求。的反函數(shù)為而，則即

同理可得

把隱函數(shù)化為顯函數(shù)，稱為隱函數(shù)的顯化。例如從方程中解出。但有時(shí)隱函數(shù)的顯化有困難，甚至有時(shí)變量不一定能用自變量直接表示。例如。所以不管隱函數(shù)能否顯化，我們希望有一種方法直接由方程求出它所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。定義1由方程所確定的與的函數(shù)關(guān)系稱為隱函數(shù)。四、隱函數(shù)求導(dǎo)法則要求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，只要將視為的函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，對方程兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得到一關(guān)于的方程，解出就可以了。例14由方程確定是的函數(shù)，求。解：將方程兩邊對求導(dǎo)，得解出，得解：將方程兩邊對求導(dǎo)，得解出，得例15由方程確定是的函數(shù)，求。令。由知，故解：將方程兩邊對求導(dǎo)，得解出，得由，于是點(diǎn)處的切線方程是即

例16由方程確定是的函數(shù)，求其曲線上點(diǎn)處的切線方程。有時(shí)，我們常常會遇見因變量與自變量之間的關(guān)系通過一參變量來表示，即稱為函數(shù)的參數(shù)方程。下面討論求由參數(shù)方程確定的對的導(dǎo)數(shù)。五、參數(shù)方程求導(dǎo)法則設(shè)有連續(xù)的反函數(shù)，又與存在，且，則為復(fù)合函數(shù)利用反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，得或例17已知星形線的參數(shù)方程為，求。解：因?yàn)樗?/p>

例18

求曲線，在對應(yīng)處的切線方程和法線方程。由于所以切線斜率

法線斜率

當(dāng)時(shí)，。故切線方程為即

法線方程為

解：即

對一些特殊類型的函數(shù)，它既不是冪函數(shù)，也不是指數(shù)函數(shù)，稱為冪指函數(shù)，我們利用對數(shù)求導(dǎo)法則來求導(dǎo)。定理3設(shè)，其中在處可導(dǎo)，則在處可導(dǎo)，且有六、對數(shù)求導(dǎo)法則例19求的導(dǎo)數(shù)。解：方法1將方程兩邊取對數(shù)所以

方法2.兩邊對求導(dǎo)得例20

設(shè)，求。解：如直接利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式求這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將會很復(fù)雜，為此，先將方程兩邊取對數(shù)，得兩邊對求導(dǎo)，得于是得以上介紹了基本求導(dǎo)法則及各類初等函數(shù)的求導(dǎo)法則，為了便于記憶和使用，我們列出如下求導(dǎo)公式?；厩髮?dǎo)公式（為常數(shù)）（為任意實(shí)數(shù)）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的基本法則其中可導(dǎo)。第四節(jié)高階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分一般地，設(shè)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，若極限存在，則此極限值為在點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)，記為類似地，有的階導(dǎo)數(shù)。二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)。函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)在處的數(shù)值記為或求的階導(dǎo)數(shù)，只須對函數(shù)逐次求導(dǎo)，同時(shí)從低階導(dǎo)數(shù)找規(guī)律，即得的階導(dǎo)數(shù)。例1求的階導(dǎo)數(shù)。

解：因?yàn)樗岳?求的階導(dǎo)數(shù)。解：因?yàn)閺亩频锰貏e地，若，則例3求的階導(dǎo)數(shù)。解：因?yàn)閺亩频猛砜傻美?設(shè)，求。解：切記，不要誤認(rèn)為就是，還要注意，。一、微分的定義二、微分的幾何意義第五節(jié)微分導(dǎo)數(shù)與微分三、微分的運(yùn)算四、微分的形式不變性五、微分的簡單應(yīng)用一、微分的定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則這個(gè)式子可改寫為其中（當(dāng)時(shí)）是無窮小量。用乘上式兩邊，有這里函數(shù)的改變量由兩部分組成：第二部分是

時(shí)的無窮小，所以第一部分是主要項(xiàng)，是的線性函數(shù)。因而稱為函數(shù)改變量的線性主要部分。當(dāng)很小時(shí)，可得。通常，把自變量的增量記作自變量的微分，則在點(diǎn)處的微分可表示為由此可知，函數(shù)可導(dǎo)也稱函數(shù)可微，且函數(shù)的微分是函數(shù)增量的線性部分。定義

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則稱為函數(shù)在點(diǎn)處的微分，記作前面我們曾用表示函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，它是一個(gè)整體符號?，F(xiàn)在引進(jìn)微分概念后，不僅表示的導(dǎo)數(shù)，而且表示函數(shù)微分與自變量微分之商，所以我們又稱導(dǎo)數(shù)為微商。由于求微分的問題可以歸結(jié)為求導(dǎo)數(shù)的問題，因此求導(dǎo)數(shù)與求微分的方法就稱為微分法。例1求函數(shù)在時(shí)的增量與微分。解：函數(shù)的增量函數(shù)微分當(dāng)時(shí)，得當(dāng)時(shí)，得比較與，知較小。例2設(shè)，求。解：在曲線上取點(diǎn)。如圖。過點(diǎn)作曲線的切線，設(shè)的傾角為，則的斜率為當(dāng)自變量在點(diǎn)取得改變量時(shí)，得曲線上另一點(diǎn)

由圖知二、微分的幾何意義所以函數(shù)的微分就是曲線過點(diǎn)的切線的改變量。當(dāng)很小時(shí)，換言之，“曲線”的改變量，可以用“直線”的改變量來近似代替。這就是局部上的“以直代曲”。三、微分的運(yùn)算設(shè)在點(diǎn)處可微，則即求函數(shù)的微分，只要求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再乘以即可。于是，由導(dǎo)數(shù)的一些基本公式及法則，立即可得微分公式。（1）（2）（3）（4）（5）（6