2021年湖南省郴州市中考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

第1頁（共1頁）2021年湖南省郴州市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共8小題，每小題3分，共24分）1．（3分）（2021?郴州）實數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列式子正確的是A． B． C． D．2．（3分）（2021?郴州）下列垃圾分類圖標分別表示：“可回收垃圾”、“有害垃圾”、“廚余垃圾”、“其它垃圾”，其中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是A． B． C． D．3．（3分）（2021?郴州）為響應(yīng)習(xí)近平總書記“堅決打贏關(guān)鍵核心技術(shù)攻堅戰(zhàn)”的號召，某科研團隊最近攻克了的光刻機難題，其中，則用科學(xué)記數(shù)法表示為A． B． C． D．4．（3分）（2021?郴州）下列運算正確的是A． B． C． D．5．（3分）（2021?郴州）下列說法正確的是A．“明天下雨的概率為”，意味著明天有的時間下雨 B．經(jīng)過有信號燈的十字路口時，可能遇到紅燈，也可能遇到綠燈 C．“某彩票中獎概率是”，表示買100張這種彩票一定會有1張中獎 D．小明前幾次的數(shù)學(xué)測試成績都在90分以上這次數(shù)學(xué)測試成績也一定在90分以上6．（3分）（2021?郴州）已知二元一次方程組，則的值為A．2 B．6 C． D．7．（3分）（2021?郴州）由5個相同的小立方體搭成的物體如圖所示，則它的俯視圖為A． B． C． D．8．（3分）（2021?郴州）如圖，在邊長為4的菱形中，，點從點出發(fā)，沿路線運動．設(shè)點經(jīng)過的路程為，以點，，為頂點的三角形的面積為，則下列圖象能反映與的函數(shù)關(guān)系的是A． B． C． D．二、填空題（共8小題，每小題3分，共24分）9．（3分）（2021?郴州）使有意義的的取值范圍是．10．（3分）（2021?郴州）在反比例函數(shù)的圖象的每一支曲線上，函數(shù)值隨自變量的增大而增大，則的取值范圍是．11．（3分）（2021?郴州）為慶祝中國共產(chǎn)黨建黨一百周年，某校開展了主題為“我身邊的共產(chǎn)黨員”的演講比賽．比賽從演講內(nèi)容、演講技巧、演講效果三個方面打分，最終得分按的比例計算．若選手甲在演講內(nèi)容、演講技巧、演講效果三個方面的得分分別為95分、80分、90分，則選手甲的最終得分為分．12．（3分）（2021?郴州）一個多邊形的每一個外角都等于，則這個多邊形的內(nèi)角和為度．13．（3分）（2021?郴州）關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則．14．（3分）（2021?郴州）如圖是一架梯子的示意圖，其中，且．為使其更穩(wěn)固，在，間加綁一條安全繩（線段量得，則．15．（3分）（2021?郴州）如圖，方老師用一張半徑為的扇形紙板，做了一個圓錐形帽子（接縫忽略不計）．如果圓錐形帽子的半徑是，那么這張扇形紙板的面積是（結(jié)果用含的式子表示）．16．（3分）（2021?郴州）如圖，在中，，，，交于點．點為線段上的動點，則的最小值為．三、解答題（17～19題每題6分，20～23題每題8分，24～25題每題10分，26題12分，共82分）17．（6分）（2021?郴州）計算：．18．（6分）（2021?郴州）先化簡，再求值：，其中．19．（6分）（2021?郴州）如圖，四邊形中，，將對角線向兩端分別延長至點，，使．連接，，若．證明：四邊形是平行四邊形．20．（8分）（2021?郴州）我市為加快推進生活垃圾分類工作，對分類垃圾桶實行統(tǒng)一的外型、型號、顏色等，其中，可回收物用藍色收集桶，有害垃圾用紅色收集桶，廚余垃圾用綠色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．為了解學(xué)生對垃圾分類知識的掌握情況，某校宣傳小組就“用過的餐巾紙應(yīng)投放到哪種顏色的收集桶”在全校隨機采訪了部分學(xué)生，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)圖中信息，解答下列問題：（1）此次調(diào)查一共隨機采訪了名學(xué)生，在扇形統(tǒng)計圖中，“灰”所在扇形的圓心角的度數(shù)為度；（2）補全條形統(tǒng)計圖（要求在條形圖上方注明人數(shù)）；（3）若該校有3600名學(xué)生，估計該校學(xué)生將用過的餐巾紙投放到紅色收集桶的人數(shù)；（4）李老師計劃從，，，四位學(xué)生中隨機抽取兩人參加學(xué)校的垃圾分類知識搶答賽，請用樹狀圖法或列表法求出恰好抽中，兩人的概率．21．（8分）（2021?郴州）如圖，莽山五指峰景區(qū)新建了一座垂直觀光電梯．某測繪興趣小組為測算電梯的高度，測得斜坡米，坡度，在處測得電梯頂端的仰角，求觀光電梯的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，．結(jié)果精確到0.1米）22．（8分）（2021?郴州）“七一”建黨節(jié)前夕，某校決定購買，兩種獎品，用于表彰在“童心向黨”活動中表現(xiàn)突出的學(xué)生．已知獎品比獎品每件多25元，預(yù)算資金為1700元，其中800元購買獎品，其余資金購買獎品，且購買獎品的數(shù)量是獎品的3倍．（1）求，獎品的單價；（2）購買當日，正逢該店搞促銷活動，所有商品均按原價八折銷售，故學(xué)校調(diào)整了購買方案：不超過預(yù)算資金且購買獎品的資金不少于720元，，兩種獎品共100件，求購買，兩種獎品的數(shù)量，有哪幾種方案？23．（8分）（2021?郴州）如圖，是的內(nèi)接三角形，是的直徑，點是的中點，交的延長線于點．（1）求證：直線與相切；（2）若的直徑是10，，求的長．24．（10分）（2021?郴州）某商店從廠家以每件2元的價格購進一批商品，在市場試銷中發(fā)現(xiàn)，此商品的月銷售量（單位：萬件）與銷售單價（單位元）之間有如下表所示關(guān)系：4.05.05.56.57.58.06.05.03.01.0（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，在如圖中描出實數(shù)對所對應(yīng)的點，并畫出關(guān)于的函數(shù)圖象；（2）根據(jù)畫出的函數(shù)圖象，求出關(guān)于的函數(shù)表達式；（3）設(shè)經(jīng)營此商品的月銷售利潤為（單位：萬元），①寫出關(guān)于的函數(shù)表達式；②該商店計劃從這批商品獲得的月銷售利潤為10萬元（不計其它成本），若物價局限定商品的銷售單價不得超過進價的，則此時的銷售單價應(yīng)定為多少元？25．（10分）（2021?郴州）如圖1，在等腰直角三角形中，，點，分別為，的中點，為線段上一動點（不與點，重合），將線段繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，．（1）證明：；（2）如圖2，連接，，交于點．①證明：在點的運動過程中，總有；②若，當?shù)拈L度為多少時為等腰三角形？26．（12分）（2021?郴州）將拋物線向左平移1個單位，再向上平移4個單位后，得到拋物線．拋物線與軸交于點，，與軸交于點．已知，點是拋物線上的一個動點．（1）求拋物線的表達式；（2）如圖1，點在線段上方的拋物線上運動（不與，重合），過點作，垂足為，交于點．作，垂足為，求的面積的最大值；（3）如圖2，點是拋物線的對稱軸上的一個動點，在拋物線上，是否存在點，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，說明理由．

2021年湖南省郴州市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共8小題，每小題3分，共24分）1．（3分）（2021?郴州）實數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列式子正確的是A． B． C． D．【解答】解：．，，，故項不符合題意；．由數(shù)軸可知，故項符合題意；．，，，故項不符合題意；．，，，，故項不符合題意．故選：．2．（3分）（2021?郴州）下列垃圾分類圖標分別表示：“可回收垃圾”、“有害垃圾”、“廚余垃圾”、“其它垃圾”，其中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是A． B． C． D．【解答】解：．既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形．故本選項不合題意；．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．故本選項符合題意；．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故本選項不合題意；．既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形．故本選項不合題意．故選：．3．（3分）（2021?郴州）為響應(yīng)習(xí)近平總書記“堅決打贏關(guān)鍵核心技術(shù)攻堅戰(zhàn)”的號召，某科研團隊最近攻克了的光刻機難題，其中，則用科學(xué)記數(shù)法表示為A． B． C． D．【解答】解：，．故選：．4．（3分）（2021?郴州）下列運算正確的是A． B． C． D．【解答】解：．，故選項不符合題意；．，故選項不符合題意；．，故選項符合題意；．，故選項不符合題意；故選：．5．（3分）（2021?郴州）下列說法正確的是A．“明天下雨的概率為”，意味著明天有的時間下雨 B．經(jīng)過有信號燈的十字路口時，可能遇到紅燈，也可能遇到綠燈 C．“某彩票中獎概率是”，表示買100張這種彩票一定會有1張中獎 D．小明前幾次的數(shù)學(xué)測試成績都在90分以上這次數(shù)學(xué)測試成績也一定在90分以上【解答】解：．明天下雨的概率為，只是說明明天下雨的可能性大，與時間無關(guān)，故本選項不符合題意；．經(jīng)過有信號燈的十字路口時，可能遇到紅燈，也可能遇到綠燈，故本選項符合題意；．某彩票中獎概率是，買100張這種彩票中獎是隨機事件，不一定會有1張中獎，故本選項不符合題意；．小明前幾次的數(shù)學(xué)測試成績都在90分以上這次數(shù)學(xué)測試成績不一定在90分以上，故本選項不符合題意．故選：．6．（3分）（2021?郴州）已知二元一次方程組，則的值為A．2 B．6 C． D．【解答】解：，①②，得，兩邊都除以3得：，故選：．7．（3分）（2021?郴州）由5個相同的小立方體搭成的物體如圖所示，則它的俯視圖為A． B． C． D．【解答】解：該組合體的俯視圖如下：故選：．8．（3分）（2021?郴州）如圖，在邊長為4的菱形中，，點從點出發(fā)，沿路線運動．設(shè)點經(jīng)過的路程為，以點，，為頂點的三角形的面積為，則下列圖象能反映與的函數(shù)關(guān)系的是A． B． C． D．【解答】解：過點作于點，如圖所示：邊長為4的菱形，中，，，，，，當點從點運動到點時，過點作于點，則，，，，的面積逐漸增大；當在線段上時，，的面積保持不變；當點在線段上時，如圖，過點作交的延長線于點，則，則，，，，的面積逐漸減?。蔬x：．二、填空題（共8小題，每小題3分，共24分）9．（3分）（2021?郴州）使有意義的的取值范圍是．【解答】解：使有意義，則且，解得：．故答案為：．10．（3分）（2021?郴州）在反比例函數(shù)的圖象的每一支曲線上，函數(shù)值隨自變量的增大而增大，則的取值范圍是．【解答】解：比例函數(shù)圖象上的每一條曲線上，隨的增大而增大，，．故答案為：．11．（3分）（2021?郴州）為慶祝中國共產(chǎn)黨建黨一百周年，某校開展了主題為“我身邊的共產(chǎn)黨員”的演講比賽．比賽從演講內(nèi)容、演講技巧、演講效果三個方面打分，最終得分按的比例計算．若選手甲在演講內(nèi)容、演講技巧、演講效果三個方面的得分分別為95分、80分、90分，則選手甲的最終得分為89分．【解答】解：選手甲的最終得分為：（分．故答案為：89．12．（3分）（2021?郴州）一個多邊形的每一個外角都等于，則這個多邊形的內(nèi)角和為720度．【解答】解：多邊形的每一個外角都等于，它的邊數(shù)為：，它的內(nèi)角和：，故答案為：720．13．（3分）（2021?郴州）關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則．【解答】解：關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，△，解得：．故答案為：．14．（3分）（2021?郴州）如圖是一架梯子的示意圖，其中，且．為使其更穩(wěn)固，在，間加綁一條安全繩（線段量得，則1.2．【解答】解：，，，，同理可得：，，，故答案為：1.2．15．（3分）（2021?郴州）如圖，方老師用一張半徑為的扇形紙板，做了一個圓錐形帽子（接縫忽略不計）．如果圓錐形帽子的半徑是，那么這張扇形紙板的面積是（結(jié)果用含的式子表示）．【解答】解：這張扇形紙板的面積．故答案為．16．（3分）（2021?郴州）如圖，在中，，，，交于點．點為線段上的動點，則的最小值為．【解答】解：過點作于點，過點作于點，，，，，，由勾股定理得，，，，即點、、三點共線時，最小，的最小值為的長，，，．的最小值為．故答案為：．三、解答題（17～19題每題6分，20～23題每題8分，24～25題每題10分，26題12分，共82分）17．（6分）（2021?郴州）計算：．【解答】解：原式．18．（6分）（2021?郴州）先化簡，再求值：，其中．【解答】解：，當時，原式．19．（6分）（2021?郴州）如圖，四邊形中，，將對角線向兩端分別延長至點，，使．連接，，若．證明：四邊形是平行四邊形．【解答】證明：在和中，，，，，，四邊形是平行四邊形．20．（8分）（2021?郴州）我市為加快推進生活垃圾分類工作，對分類垃圾桶實行統(tǒng)一的外型、型號、顏色等，其中，可回收物用藍色收集桶，有害垃圾用紅色收集桶，廚余垃圾用綠色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．為了解學(xué)生對垃圾分類知識的掌握情況，某校宣傳小組就“用過的餐巾紙應(yīng)投放到哪種顏色的收集桶”在全校隨機采訪了部分學(xué)生，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)圖中信息，解答下列問題：（1）此次調(diào)查一共隨機采訪了200名學(xué)生，在扇形統(tǒng)計圖中，“灰”所在扇形的圓心角的度數(shù)為度；（2）補全條形統(tǒng)計圖（要求在條形圖上方注明人數(shù)）；（3）若該校有3600名學(xué)生，估計該校學(xué)生將用過的餐巾紙投放到紅色收集桶的人數(shù)；（4）李老師計劃從，，，四位學(xué)生中隨機抽取兩人參加學(xué)校的垃圾分類知識搶答賽，請用樹狀圖法或列表法求出恰好抽中，兩人的概率．【解答】解：（1）此次調(diào)查一共隨機采訪學(xué)生（名，在扇形統(tǒng)計圖中，“灰”所在扇形的圓心角的度數(shù)為，故答案為：200，198；（2）綠色部分的人數(shù)為（人，補全圖形如下：（3）估計該校學(xué)生將用過的餐巾紙投放到紅色收集桶的人數(shù)（人；（4）列表如下：由表格知，共有12種等可能結(jié)果，其中恰好抽中，兩人的有2種結(jié)果，所以恰好抽中，兩人的概率為．21．（8分）（2021?郴州）如圖，莽山五指峰景區(qū)新建了一座垂直觀光電梯．某測繪興趣小組為測算電梯的高度，測得斜坡米，坡度，在處測得電梯頂端的仰角，求觀光電梯的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，．結(jié)果精確到0.1米）【解答】解：過作水平地面于，于，如圖所示：則四邊形是矩形，，，斜坡米，坡度，設(shè)米，則米，，，（米，（米，在中，，是等腰直角三角形，（米，（米，答：觀光電梯的高度約為141.1米．22．（8分）（2021?郴州）“七一”建黨節(jié)前夕，某校決定購買，兩種獎品，用于表彰在“童心向黨”活動中表現(xiàn)突出的學(xué)生．已知獎品比獎品每件多25元，預(yù)算資金為1700元，其中800元購買獎品，其余資金購買獎品，且購買獎品的數(shù)量是獎品的3倍．（1）求，獎品的單價；（2）購買當日，正逢該店搞促銷活動，所有商品均按原價八折銷售，故學(xué)校調(diào)整了購買方案：不超過預(yù)算資金且購買獎品的資金不少于720元，，兩種獎品共100件，求購買，兩種獎品的數(shù)量，有哪幾種方案？【解答】解：（1）設(shè)獎品的單價為元，則獎品的單價為元，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解，則，答：獎品的單價為40元，則獎品的單價為15元；（2）設(shè)購買種獎品的數(shù)量為件，則購買種獎品的數(shù)量為件，由題意得：，解得：，為正整數(shù)，的值為23，24，25，有三種方案：①購買種獎品23件，種獎品77件；②購買種獎品24件，種獎品76件；③購買種獎品25件，種獎品75件．23．（8分）（2021?郴州）如圖，是的內(nèi)接三角形，是的直徑，點是的中點，交的延長線于點．（1）求證：直線與相切；（2）若的直徑是10，，求的長．【解答】（1）證明：連接，如圖，點是的中點，，，，直線與相切；（2）解：是的直徑，，，，，，而，為等腰直角三角形，，．24．（10分）（2021?郴州）某商店從廠家以每件2元的價格購進一批商品，在市場試銷中發(fā)現(xiàn)，此商品的月銷售量（單位：萬件）與銷售單價（單位元）之間有如下表所示關(guān)系：4.05.05.56.57.58.06.05.03.01.0（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，在如圖中描出實數(shù)對所對應(yīng)的點，并畫出關(guān)于的函數(shù)圖象；（2）根據(jù)畫出的函數(shù)圖象，求出關(guān)于的函數(shù)表達式；（3）設(shè)經(jīng)營此商品的月銷售利潤為（單位：萬元），①寫出關(guān)于的函數(shù)表達式；②該商店計劃從這批商品獲得的月銷售利潤為10萬元（不計其它成本），若物價局限定商品的銷售單價不得超過進價的，則此時的銷售單價應(yīng)定為多少元？【解答】解：（1）（2）根據(jù)圖象設(shè)，把和代入上式，得，解得，，，，解得，關(guān)于的函數(shù)表達式為；（3）①，即與的函數(shù)表達式為：；②物價局限定商品的銷售單價不得超過進價的，，即，由題意得，，解得，，，此時銷售單價為3元．25．（10分）（2021?郴州）如圖1，在等腰直角三角形中，，點，分別為，的中點，為線段上一動點（不與點，重合），將線段繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，．（1）證明：；（2）如圖2