《2.1.2 平面直角坐標系中的基本公式》學習任務單

《2.1.2平面直角坐標系中的基本公式》學習任務單一、學習目標1、能理解兩點間距離公式的推導過程，記住這個公式。2、會用兩點間距離公式解決簡單的平面內兩點間距離問題。3、能夠在實際問題中靈活運用這個公式，體會數學與生活的聯(lián)系。二、重難點1、重點兩點間距離公式的推導。運用兩點間距離公式進行計算。2、難點兩點間距離公式在復雜幾何問題和實際問題中的應用。三、學習內容分解與學習步驟（一）兩點間距離公式的推導1、回憶數軸上兩點間的距離我們先來看數軸上的情況。如果有兩個點A和B，它們在數軸上對應的數分別是\（x_1\）和\（x_2\），那A和B兩點間的距離\（d(A,B)＼）怎么求呢？（大家可以先自己想一想，然后再看下面哦。）答案是\（d(A,B)＝＼vertx_2x_1\vert\）。比如說，點A對應的數是1，點B對應的數是4，那么\（d(A,B)＝＼vert41\vert＝3\）。2、探究平面直角坐標系中兩點間距離現(xiàn)在我們把情況變得復雜一點，到平面直角坐標系里啦。有兩個點\（P_1(x_1,y_1)＼）和\（P_2(x_2,y_2)＼），我們怎么求它們之間的距離呢？我們可以過\（P_1\）和\（P_2\）分別向x軸和y軸作垂線，這樣就構成了一個直角三角形。這個直角三角形的兩條直角邊的長度分別是\（＼vertx_2x_1\vert\）和\（＼verty_2y_1\vert\）。根據勾股定理\（a^｛2}＋b^｛2}＝c^｛2}＼）（這里\（a=＼vertx_2x_1\vert\），＼（b＝＼verty_2y_1\vert\），＼（c\）就是我們要求的兩點間距離\（d(P_1,P_2)＼）），我們就可以得到兩點間距離公式\（d(P_1,P_2)＝＼sqrt{（x_2x_1)＾｛2}＋（y_2y_1)＾｛2}｝＼）。（二）兩點間距離公式的應用1、簡單計算例1：已知點\（A(1,2)＼）和點\（B(4,6)＼），求\（d(A,B)＼）。我們直接把\（x_1＝1\），＼（y_1＝2\），＼（x_2＝4\），＼（y_2＝6\）代入兩點間距離公式\（d(A,B)＝＼sqrt{（41)＾｛2}＋（62)＾｛2}｝＝＼sqrt{3^｛2}＋4^｛2}｝＝＼sqrt{9＋16}＝＼sqrt{25}＝5\）。大家自己來做一道類似的題吧。已知點\（C(1,3)＼）和點\（D(2,1)＼），求\（d(C,D)＼）。（做完后可以和旁邊的同學對一下答案哦。）2、幾何圖形中的應用例2：在三角形\（ABC\）中，＼（A(1,1)＼），＼（B(4,5)＼），＼（C(1,3)＼），判斷三角形\（ABC\）是什么三角形。首先我們要分別求出三角形三條邊的長度。＼（d(A,B)＝＼sqrt{（41)＾｛2}＋（51)＾｛2}｝＝＼sqrt{3^｛2}＋4^｛2}｝＝＼sqrt{9＋16}＝＼sqrt{25}＝5\）；＼（d(A,C)＝＼sqrt{（11)＾｛2}＋（31)＾｛2}｝＝＼sqrt{（2)＾｛2}＋2^｛2}｝＝＼sqrt{4＋4}＝＼sqrt{8}＝2\sqrt{2}＼）；＼（d(B,C)＝＼sqrt{（14)＾｛2}＋（35)＾｛2}｝＝＼sqrt{（5)＾｛2}＋（2)＾｛2}｝＝＼sqrt{25＋4}＝＼sqrt{29}＼）。然后我們根據三條邊的長度關系來判斷三角形的類型。因為\（（2\sqrt{2}）＾｛2}＋5^｛2}＝8＋25＝33\），＼（（＼sqrt{29}）＾｛2}＝29\），＼（33\neq29\），且\（（2\sqrt{2}）＾｛2}＜5^｛2}＼），所以三角形\（ABC\）是鈍角三角形?，F(xiàn)在輪到你們啦。在四邊形\（ABCD\）中，＼（A(0,0)＼），＼（B(3,4)＼），＼（C(1,7)＼），＼（D(4,3)＼），判斷四邊形\（ABCD\）是什么四邊形。（這題有點挑戰(zhàn)哦，可以小組討論一下。）3、實際問題中的應用例3：有一個城市，東西方向的大街和南北方向的大街互相垂直，相鄰兩條大街之間的距離都是1千米。一個人從A點\（（3,2)＼）走到B點\（（1,6)＼），如果他只能沿著大街走，他最少要走多少千米？我們先求出\（A\）和\（B\）兩點間的距離\（d(A,B)＝＼sqrt{（13)＾｛2}＋（62)＾｛2}｝＝＼sqrt{（4)＾｛2}＋4^｛2}｝＝＼sqrt{16＋16}＝＼sqrt{32}＝4\sqrt{2}＼）千米。因為他只能沿著大街走，所以他最少要走的距離就是\（4＋4＝8\）千米。那大家來做一道類似的實際問題吧。有一個正方形的廣場，四個頂點坐標分別為\（（0,0)＼），＼（（10,0)＼），＼（（10,10)＼），＼（（0,10)＼），在廣場內有一盞路燈在\（P(3,5)＼）點，一個人在\（Q(8,2)＼）點，這個人要走到路燈下，他最少要走多少米？（假設相鄰兩點距離為1米）四、學習資源1、教材：高中人教B版必修2課本。2、在線課程平臺：可以在一些知名的在線教育平臺上搜索“平面直角坐標系中的基本公式”相關課程，進行輔助學習。習題答案1、對于求\（d(C,D)＼），＼（d(C,D)＝＼sqrt{（2-（1)）＾｛2}＋（（1)－3)＾｛2}｝＝＼sqrt{3^｛2}＋（4)＾｛2}｝＝＼sqrt{9＋16}＝＼sqrt{25}＝5\）。2、對于判斷四邊形\（ABCD\）的類型：＼（d(A,B)＝＼sqrt{（30)＾｛2}＋（40)＾｛2}｝＝＼sqrt{9＋16}＝＼sqrt{25}＝5\）；＼（d(A,C)＝＼sqrt{（10)＾｛2}＋（70)＾｛2}｝＝＼sqrt{1+（7)＾｛2}｝＝＼sqrt{1＋49}＝＼sqrt{50}＝5\sqrt{2}＼）；＼（d(A,D)＝＼sqrt{（40)＾｛2}＋（30)＾｛2}｝＝＼sqrt{16＋9}＝＼sqrt{25}＝5\）；＼（d(B,C)＝＼sqrt{（13)＾｛2}＋（74)＾｛2}｝＝＼sqrt{（4)＾｛2}＋3^｛2}｝＝＼sqrt{16＋9}＝＼sqrt{25}＝5\）；＼（d(B,D)＝＼sqrt{（43)＾｛2}＋（34)＾｛2}｝＝＼sqrt{（7)＾｛2}＋（1)＾｛2}｝＝＼sqrt{49+1}＝＼sqrt{50}＝5\sqrt{2}＼）；＼（d(C,D)＝＼sqrt{（4-（1)）＾｛2}＋（37)＾｛2}｝＝＼sqrt{（3)＾｛2}＋（4)＾｛2}｝＝＼sqrt{9＋16}＝＼sqrt{25}＝5\）。因為\（AB＝CD＝5\），＼（AD＝BC＝5\），＼（AC＝BD＝5\sqrt{2}＼），所以四邊形\（ABCD\）是矩形。3、對于求從\（Q\）點到\（P