2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第10章概率10.1.3古典概型課時分層作業(yè)含解析新人教A版必修第二冊

PAGE課時分層作業(yè)(四十二)古典概型(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．一部三冊的小說，隨意排放在書架的同一層上，則第一冊和其次冊相鄰的概率為()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3)D．eq\f(3,4)C[試驗(yàn)的樣本空間Ω＝{(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)}，共6個樣本點(diǎn)，事務(wù)“第一冊和其次冊相鄰”包含4個樣本點(diǎn)，故第一冊和其次冊相鄰的概率為P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).]2．從{1,2,3,4,5}中隨機(jī)選取一個數(shù)為a，從{1,2,3}中隨機(jī)選取一個數(shù)為b，則b>a的概率是()A．eq\f(4,5)B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,5)D．eq\f(1,5)D[設(shè)所取的數(shù)中b>a為事務(wù)A，假如把選出的數(shù)a，b寫成一數(shù)對(a，b)的形式，則試驗(yàn)的樣本空間Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)}，共15個，事務(wù)A包含的樣本點(diǎn)有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3個，因此所求的概率P(A)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).]3．從甲、乙、丙、丁、戊五個人中選取三人參與演講競賽，則甲、乙都當(dāng)選的概率為()A．eq\f(2,5)B．eq\f(2,10)C．eq\f(3,10)D．eq\f(3,5)C[從五個人中選取三人，則試驗(yàn)的樣本空間Ω＝{(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)}，而甲、乙都當(dāng)選的結(jié)果有3種，故所求的概率為eq\f(3,10).]4．《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓，如圖是易經(jīng)八卦圖(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦)，每一卦由三根線組成(－表示一根陽線，－－表示一根陰線)，從八卦中任取一卦，這一卦的三根線中恰有2根陽線和1根陰線的概率為()A．eq\f(1,8)B．eq\f(1,4)C．eq\f(3,8)D．eq\f(1,2)C[從八卦中任取一卦，基本領(lǐng)件總數(shù)n＝8，這一卦的三根線中恰有2根陽線和1根陰線包含的基本領(lǐng)件個數(shù)m＝3，∴所求概率為P＝eq\f(3,8).故選C．]5．投擲一枚質(zhì)地勻稱的骰子兩次，若第一次向上的點(diǎn)數(shù)小于其次次向上的點(diǎn)數(shù)，則我們稱其為正試驗(yàn)；若其次次向上的點(diǎn)數(shù)小于第一次向上的點(diǎn)數(shù)，則我們稱其為負(fù)試驗(yàn)；若兩次向上的點(diǎn)數(shù)相等，則我們稱其為無效試驗(yàn)．則一個人投擲該骰子兩次出現(xiàn)無效試驗(yàn)的概率是()A．eq\f(1,36)B．eq\f(1,12)C．eq\f(1,6)D．eq\f(1,2)C[連續(xù)拋一枚骰子兩次向上的點(diǎn)數(shù)記為(x，y)，則有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共有36個基本領(lǐng)件，設(shè)“出現(xiàn)無效試驗(yàn)”為事務(wù)A，則事務(wù)A包含(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，共6個基本領(lǐng)件，則P(A)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).]二、填空題6．有五根細(xì)木棒，長度分別為1,3,5,7,9，從中任取三根，能搭成三角形的概率是________．eq\f(3,10)[設(shè)取出的三根木棒能搭成三角形為事務(wù)A，試驗(yàn)的樣本空間Ω＝{(1,3,5),(1,3,7)，(1,3,9)，(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7)，(3,5,9)，(3,7,9)，(5,7,9)}，樣本空間的總數(shù)為10，由于三角形兩邊之和大于第三邊，構(gòu)成三角形的樣本點(diǎn)只有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9)三種狀況，故所求概率為P(A)＝eq\f(3,10).]7．從含有3件正品和1件次品的4件產(chǎn)品中不放回地任取2件，則取出的2件中恰有1件是次品的概率為________．eq\f(1,2)[設(shè)3件正品為A，B，C,1件次品為D，從中不放回地任取2件，試驗(yàn)的樣本空間Ω＝{AB，AC，AD，BC，BD，CD}，共6個．其中恰有1件是次品的樣本點(diǎn)有：AD，BD，CD，共3個，故P＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).]8．在國慶閱兵中，某兵種A，B，C三個方陣按肯定次序通過主席臺，若先后次序是隨機(jī)排定的，則B先于A，C通過的概率為________．eq\f(1,3)[用(A，B，C)表示A，B，C通過主席臺的次序，則試驗(yàn)的樣本空間Ω＝{(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)}，共6個樣本點(diǎn)，其中事務(wù)B先于A，C通過的有(B，C，A)和(B，A，C)，共2個樣本點(diǎn)，故所求概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).]三、解答題9．甲、乙二人用4張撲克牌(分別是紅桃2，紅桃3，紅桃4，方片4)玩嬉戲，他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一張．(1)設(shè)(i，j)分別表示甲、乙抽到的牌的數(shù)字，寫出試驗(yàn)的樣本空間；(2)甲、乙約定：若甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙大，則甲勝，反之，則乙勝．你認(rèn)為此嬉戲是否公允？說明你的理由．[解](1)方片4用4′表示，試驗(yàn)的樣本空間為Ω＝{(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)}，則樣本點(diǎn)的總數(shù)為12.(2)不公允．甲抽到牌的牌面數(shù)字比乙大有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5種，甲勝的概率為P1＝eq\f(5,12)，乙勝的概率為P2＝eq\f(7,12)，因?yàn)閑q\f(5,12)<eq\f(7,12)，所以此嬉戲不公允．10．某學(xué)校有初級老師21人，中級老師14人，高級老師7人，現(xiàn)采納分層隨機(jī)抽樣的方法從這些老師中抽取6人對績效工資狀況進(jìn)行調(diào)查．(1)求應(yīng)從初級老師、中級老師、高級老師中分別抽取的人數(shù)；(2)若從分層隨機(jī)抽樣抽取的6名老師中隨機(jī)抽取2名老師做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析，求抽取的2名老師均為初級老師的概率．[解](1)由分層隨機(jī)抽樣學(xué)問得應(yīng)從初級老師、中級老師、高級老師中抽取的人數(shù)分別為3,2,1.(2)在分層隨機(jī)抽樣抽取的6名老師中，3名初級老師分別記為A1，A2，A3,2名中級老師分別記為A4，A5，高級老師記為A6，則從中抽取2名老師的樣本空間為Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}，即樣本點(diǎn)的總數(shù)為15.抽取的2名老師均為初級老師(記為事務(wù)B)的樣本點(diǎn)為(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3種．所以P(B)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).11．兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是()A．eq\f(1,6)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,2)D[設(shè)兩位男同學(xué)分別為A，B，兩位女同學(xué)分別為a，b，則用“樹形圖”表示四位同學(xué)排成一列全部可能的結(jié)果如圖所示．由圖知，共有24種等可能的結(jié)果，其中兩位女同學(xué)相鄰的結(jié)果(畫“√”的狀況)共有12種，故所求概率為eq\f(12,24)＝eq\f(1,2).故選D．]12．生物試驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測量過某項(xiàng)指標(biāo)．若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測量過該指標(biāo)的概率為()A．eq\f(2,3)B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,5)D．eq\f(1,5)B[設(shè)5只兔子中測量過某項(xiàng)指標(biāo)的3只為a1，a2，a3，未測量過這項(xiàng)指標(biāo)的2只為b1，b2，則從5只兔子中隨機(jī)取出3只的全部可能狀況為(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10種可能．其中恰有2只測量過該指標(biāo)的狀況為(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6種可能．故恰有2只測量過該指標(biāo)的概率為eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).故選B．]13．(一題兩空)袋子中放有大小和形態(tài)相同的小球若干個，其中標(biāo)號為0的小球1個，標(biāo)號為1的小球1個，標(biāo)號為2的小球n個．已知從袋子中隨機(jī)抽取1個小球，取到標(biāo)號是2的小球的概率是eq\f(1,2).(1)n＝________；(2)從袋子中不放回地隨機(jī)抽取2個小球，記第一次取出的小球標(biāo)號為a，其次次取出的小球標(biāo)號為b.記事務(wù)A表示“a＋b＝2”，則事務(wù)A(1)2(2)eq\f(1,3)[(1)由題意可知：eq\f(n,1＋1＋n)＝eq\f(1,2)，解得n＝2.(2)不放回地隨機(jī)抽取2個小球的樣本空間Ω＝{(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)}，共12個，事務(wù)A包含的樣本點(diǎn)為：(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4個．∴P(A)＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3).]14．已知某校甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240,160,160.現(xiàn)采納分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參與獻(xiàn)愛心活動．(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？(2)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)擔(dān)當(dāng)敬老院的衛(wèi)生工作．①試用所給字母列舉出全部可能的抽取結(jié)果；②設(shè)M為事務(wù)“抽取的2名同學(xué)來自同一年級”，求事務(wù)M發(fā)生的概率．[解](1)由已知，甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采納分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人．(2)①從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)的全部可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{C，G}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{D，G}，{E，F(xiàn)}，{E，G}，{F，G}，共21種．②由(1)知，不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中，來自甲年級的是A，B，C，來自乙年級的是D，E，來自丙年級的是F，G，則從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取的2名同學(xué)來自同一年級的全部可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5種．所以事務(wù)M發(fā)生的概率P(M)＝eq\f(5,21).15．某探討性學(xué)習(xí)小組對春季晝夜溫差大小與某花卉種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行探討，他們分別記錄了3月1日至3月5日的每天晝夜溫差與試驗(yàn)室每天100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日溫差x/℃101113128發(fā)芽數(shù)y/顆2325302616(1)求這5天發(fā)芽數(shù)的中位數(shù)；(2)求這5天的平均發(fā)芽率；(3)從3月1日至3月5日中任選2天，記前面一天發(fā)芽的種子數(shù)為m，后面一天發(fā)芽的種子數(shù)為n，用(m，n)的形式列出全部基本領(lǐng)件，并求滿意“eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(25≤m≤30，,25≤n≤30))”的概率．[解](1)由題意知，發(fā)芽數(shù)按從小到大的依次排列為16,23,25,26,30，所以這5天發(fā)芽數(shù)的中位數(shù)是25.(2)這5天的平均發(fā)芽率為eq\f(23＋25＋30＋26＋16,100＋100＋100＋100＋100)×100%＝24%.(3)用(x，y)表示所求基本領(lǐng)件，則