2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)模塊素養(yǎng)評價(jià)含解析蘇教版必修第二冊

PAGE模塊素養(yǎng)評價(jià)(120分鐘150分)一、單選題(每小題5分,共40分)1.已知復(fù)數(shù)z=QUOTE,則z的共軛復(fù)數(shù)QUOTE=()A.-QUOTE-QUOTEi B.-QUOTE+QUOTEiC.QUOTE+QUOTEi D.QUOTE-QUOTEi【解析】選A.因?yàn)閦=QUOTE,所以z=QUOTE=-QUOTE+QUOTEi,所以z的共軛復(fù)數(shù)QUOTE=-QUOTE-QUOTEi.2.如圖是國家統(tǒng)計(jì)局2019年4月11日發(fā)布的2024年3月到2024年3月全國居民消費(fèi)價(jià)格的漲跌幅狀況折線圖.(注:2024年2月與2024年2月相比較稱同比,2024年2月與2024年1月相比較稱環(huán)比),依據(jù)該折線圖,下列結(jié)論錯誤的是()A.2024年3月至2024年3月全國居民消費(fèi)價(jià)格同比均上漲B.2024年3月至2024年3月全國居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比有漲有跌C.2024年3月全國居民消費(fèi)價(jià)格同比漲幅最大D.2024年3月全國居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比改變最快【解析】選C.對于選項(xiàng)A,由題干圖可以看出同比漲跌幅均為正數(shù),故A正確;對于選項(xiàng)B,由題干圖可以看出環(huán)比漲跌幅有正數(shù)有負(fù)數(shù),故B正確;對于選項(xiàng)C,由題干圖可以看出同比漲幅最大的是2024年9月份和2024年10月份,故C錯誤;對于選項(xiàng)D,從圖可以看出2024年3月全國居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比改變最快,故D正確.3.已知sinQUOTE=QUOTE,則cosQUOTE的值為 ()A.-QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE【解析】選C.由cosQUOTE=-cosQUOTE=-cosQUOTE=-cosQUOTE=2sin2QUOTE-1=2×QUOTE-1=-QUOTE.4.設(shè)向量a=(0,2),b=(QUOTE,1),則a,b的夾角θ等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.因?yàn)閍=(0,2),b=(QUOTE,1),所以cosθ=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以θ等于QUOTE.5.為了提升全民身體素養(yǎng),學(xué)校非常重視學(xué)生體育熬煉.某校籃球運(yùn)動員進(jìn)行投籃練習(xí),若他前一球投進(jìn)則后一球投進(jìn)的概率為QUOTE,若他前一球投不進(jìn)則后一球投進(jìn)的概率為QUOTE.若他第1球投進(jìn)的概率為QUOTE,則他第3球投進(jìn)的概率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.分以下兩種狀況探討:(1)第2球投進(jìn),其概率為QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE,第3球投進(jìn)的概率為QUOTE×QUOTE=QUOTE;(2)第2球投不進(jìn),其概率為1-QUOTE=QUOTE,第3球投進(jìn)的概率為QUOTE×QUOTE=QUOTE.綜上所述:第3球投進(jìn)的概率為QUOTE+QUOTE=QUOTE.6.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1①D1C∥平面A1ABB1;②A1D1與平面BCD1③AD⊥平面D1DB;④平面BCD1⊥平面A1ABB1,正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是 ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選B.由在正方體ABCD-A1B1C1D1中,可得:在①中,因?yàn)镈1C∥A1B,D1C?平面A1ABB1,A1B?平面A1ABB1,所以D1C∥平面A1ABB在②中,因?yàn)锳1D1∥BC,BC?平面BCD1,A1D1∩平面BCD1=D1,所以A1D1?平面BCD1,故②錯誤;在③中,因?yàn)椤螦DB=45°,所以AD與平面D1DB相交但不垂直,故③錯誤;在④中,因?yàn)锽C⊥平面A1ABB1,BC?平面BCD1,所以平面BCD1⊥平面A1ABB1,故④正確.7.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且(a+b)2=c2+ab,B=30°,a=4,則△ABC的面積為 ()A.4 B.3QUOTE C.4QUOTE D.6QUOTE【解析】選C.因?yàn)?a+b)2=c2+ab,即a2+b2-c2=-ab.所以cosC=QUOTE=-QUOTE,所以C=120°,又B=30°,所以A=B=30°.即a=b=4,故△ABC的面積S=QUOTEabsinC=QUOTE×4×4×QUOTE=4QUOTE.8.已知三棱錐S-ABC的全部頂點(diǎn)都在球O的球面上,△ABC是邊長為1的正三角形,SC為球O的直徑,且SC=2,則此棱錐的體積為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.依據(jù)題意作出圖形:已知球心為O,設(shè)過A,B,C三點(diǎn)的小圓的圓心為O1,則OO1⊥平面ABC,延長CO1交球于點(diǎn)D,連接SD,則SD⊥平面ABC.因?yàn)镃O1=QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以O(shè)O1=QUOTE=QUOTE,所以高SD=2OO1=QUOTE,因?yàn)椤鰽BC是邊長為1的正三角形,所以S△ABC=QUOTE,所以V三棱錐S-ABC=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.二、多選題(每小題5分,共20分,全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)9.△ABC是邊長為2的等邊三角形,已知向量a,b滿意=2a,=2a+b,則下列結(jié)論中正確的是 ()A.a為單位向量 B.b為單位向量C.a⊥b D.(4a+b)⊥【解析】選AD.因?yàn)榈冗吶切蜛BC的邊長為2,=2a,所以||=2|a|=2,所以|a|=1,故A正確;因?yàn)?+=2a+,所以=b,所以|b|=2,故B錯誤;由于=2a,=b,所以a與b的夾角為120°,故C錯誤;又因?yàn)?4a+b)·=4a·b+|b|2=4×1×2×QUOTE+4=0,所以(4a+b)⊥,故D正確.10.甲、乙、丙三家企業(yè)產(chǎn)品的成本(單位:元)分別為10000,12000,15000,其成本構(gòu)成如圖所示,則關(guān)于這三家企業(yè)下列說法正確的是 ()A.成本最大的企業(yè)是丙企業(yè)B.費(fèi)用支出最高的企業(yè)是丙企業(yè)C.支付工資最少的企業(yè)是乙企業(yè)D.材料成本最高的企業(yè)是丙企業(yè)【解析】選ABD.由扇形統(tǒng)計(jì)圖可知,甲企業(yè)的材料成本為10000×60%=6000(元),支付工資為10000×35%=3500(元),費(fèi)用支出為10000×5%=500(元);乙企業(yè)的材料成本為12000×53%=6360(元),支付工資為12000×30%=3600(元),費(fèi)用支出為12000×17%=2040(元);丙企業(yè)的材料成本為15000×60%=9000(元),支付工資為15000×25%=3750(元),費(fèi)用支出為15000×15%=2250(元).所以,成本最大的企業(yè)是丙企業(yè),費(fèi)用支出最高的企業(yè)是丙企業(yè),支付工資最少的企業(yè)是甲企業(yè),材料成本最高的企業(yè)是丙企業(yè).11.如圖,設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,QUOTE=2bsinB,且∠CAB=QUOTE.若點(diǎn)D是△ABC外一點(diǎn),DC=1,DA=3,下列說法中,正確的結(jié)論是 ()A.△ABC的內(nèi)角B=QUOTEB.△ABC的內(nèi)角C=QUOTEC.四邊形ABCD面積的最大值為QUOTE+3D.四邊形ABCD面積無最大值【解析】選ABC.因?yàn)镼UOTE=2bsinB,所以QUOTE=2sin2B,所以QUOTEsin(A+C)=2sin2B,所以QUOTEsinB=2sin2B,所以sinB=QUOTE.因?yàn)椤螩AB=QUOTE,所以B∈QUOTE,所以B=QUOTE,所以C=π-A-B=QUOTE,因此A,B正確;四邊形ABCD的面積等于S△ABC+S△ACD=QUOTEAC2+QUOTEAD·DC·sin∠ADC=QUOTE(AD2+DC2-2AD·DC·cos∠ADC)+QUOTEAD·DC·sin∠ADC=QUOTE(9+1-6·cos∠ADC)+QUOTE×3sin∠ADC=QUOTE+3sinQUOTE≤QUOTE+3.因此C正確,D錯誤.12.如圖,點(diǎn)N為邊長為1的正方形ABCD的中心,△ECD為正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是線段ED的中點(diǎn),則 ()A.直線BM,EN是異面直線B.BM≠ENC.直線BM與平面ECD所成角的正弦值為QUOTED.三棱錐N-ECD的體積為QUOTE【解析】選BC.對于A選項(xiàng),連接BD,則點(diǎn)N為BD的中點(diǎn),所以E,N∈平面BDE,所以EN?平面BDE,同理可知BM?平面BDE,所以,BM與EN不是異面直線,A選項(xiàng)錯誤;對于C選項(xiàng),因?yàn)樗倪呅蜛BCD是邊長為1的正方形,所以BC⊥CD,因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ECD,交線為CD,BC?平面ABCD,所以BC⊥平面ECD,所以,直線BM與平面ECD所成角為∠BMC,因?yàn)镸為DE的中點(diǎn),且△CDE是邊長為1的正三角形,則CM=QUOTE,所以BM=QUOTE=QUOTE,所以sin∠BMC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,C選項(xiàng)正確;對于B選項(xiàng),取CD的中點(diǎn)O,連接ON,OE,則ON∥BC且ON=QUOTEBC=QUOTE,OE=QUOTE,因?yàn)锽C⊥平面CDE,所以O(shè)N⊥平面CDE,因?yàn)镺E?平面CDE,所以O(shè)N⊥OE,所以EN=QUOTE=1,所以BM≠EN,B選項(xiàng)正確;對于D選項(xiàng),因?yàn)镺N⊥平面CDE,S△CDE=QUOTE×12=QUOTE,所以,VN-ECD=QUOTES△CDE·ON=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,D選項(xiàng)錯誤.三、填空題(每小題5分,共20分)13.從分別寫有1,2,3,4,5的五張卡片中,任取兩張,這兩張卡片上的數(shù)字之差的肯定值等于1的概率為________.

【解析】從分別寫有1,2,3,4,5的五張卡片中,任取兩張,樣本點(diǎn)有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10個(gè),這兩張卡片上的數(shù)字之差的肯定值等于1包含的基本領(lǐng)件有:(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),共4種狀況,所以這兩張卡片上的數(shù)字之差的肯定值等于1的概率為P=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE14.已知sin(α+β)=QUOTE,tanQUOTE=QUOTE,其中α∈(0,π),β∈QUOTE,則cosβ=________.

【解析】因?yàn)閠anQUOTE=QUOTE,故tanα=QUOTE=QUOTE,又α∈(0,π),故α∈QUOTE.所以sinα=QUOTE=QUOTE,cosα=QUOTE=QUOTE.又β∈QUOTE,故α+β∈QUOTE,又sin(α+β)=QUOTE,所以α+β∈QUOTE.故cos(α+β)=-QUOTE=-QUOTE.故cosβ=cosQUOTE=cosQUOTEcosα+sinQUOTEsinα=-QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=-QUOTE.答案:-QUOTE15.已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形,PA⊥平面ABC,PA=2AB.則下列命題中正確的有________.(填序號)

①PB⊥AD;②平面PAB⊥平面PAE;③BC∥平面PAE;④直線PD與平面ABC所成的角為45°.【解析】因?yàn)锳D與PB在平面內(nèi)的射影AB不垂直,所以①不成立;因?yàn)镻A⊥平面ABC,所以PA⊥AB,在正六邊形ABCDEF中,AB⊥AE,PA∩AE=A,所以AB⊥平面PAE,且AB?面PAB,所以平面PAB⊥平面PAE,故②成立;因?yàn)锽C∥AD∥平面PAD,平面PAD∩平面PAE=PA,所以直線BC∥平面PAE也不成立,即③不成立.在Rt△PAD中,PA=AD=2AB,所以∠PDA=45°,故④成立.答案:②④16.若△ABC的面積為QUOTE(a2+c2-b2),且∠C為鈍角,則∠B=________;QUOTE的取值范圍是________.

【解析】因?yàn)镾△ABC=QUOTE=QUOTEacsinB,所以QUOTE=QUOTE,即cosB=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,∠B=QUOTE,則QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE·QUOTE+QUOTE,因?yàn)椤螩為鈍角,∠B=QUOTE,所以0<∠A<QUOTE,所以tanA∈QUOTE,QUOTE∈QUOTE,故QUOTE∈QUOTE.答案:QUOTEQUOTE四、解答題(共70分)17.(10分)已知復(fù)數(shù)z=1+mi(i是虛數(shù)單位,m∈R),且QUOTE·(3+i)為純虛數(shù)(QUOTE是z的共軛復(fù)數(shù)).(1)設(shè)復(fù)數(shù)z1=QUOTE,求QUOTE;(2)設(shè)復(fù)數(shù)z2=QUOTE,且復(fù)數(shù)z2所對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】因?yàn)閦=1+mi,所以QUOTE=1-mi.所以QUOTE·(3+i)=(1-mi)(3+i)=(3+m)+(1-3m)i.又因?yàn)镼UOTE·(3+i)為純虛數(shù),所以QUOTE,解得m=-3.所以z=1-3i.(1)z1=QUOTE=-QUOTE-QUOTEi,所以QUOTE=QUOTE;(2)因?yàn)閦=1-3i,所以z2=QUOTE=QUOTE,又因?yàn)閺?fù)數(shù)z2所對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,所以QUOTE,解得:a>QUOTE.18.(12分)(2024·全國Ⅰ卷)某廠接受了一項(xiàng)加工業(yè)務(wù),加工出來的產(chǎn)品(單位:件)按標(biāo)準(zhǔn)分為A,B,C,D四個(gè)等級.加工業(yè)務(wù)約定:對于A級品、B級品、C級品,廠家每件分別收取加工費(fèi)90元,50元,20元;對于D級品,廠家每件要賠償原料損失費(fèi)50元.該廠有甲、乙兩個(gè)分廠可承接加工業(yè)務(wù).甲分廠加工成本費(fèi)為25元/件,乙分廠加工成本費(fèi)為20元/件.廠家為確定由哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù),在兩個(gè)分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品,并統(tǒng)計(jì)了這些產(chǎn)品的等級,整理如下:甲分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表等級ABCD頻數(shù)40202020乙分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表等級ABCD頻數(shù)28173421(1)分別估計(jì)甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率;(2)分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤,以平均利潤為依據(jù),廠家應(yīng)選哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)?【解題指南】(1)依據(jù)兩個(gè)頻數(shù)分布表即可求出;(2)依據(jù)題意分別求出甲、乙兩分廠加工100件產(chǎn)品的總利潤,即可求出平均利潤,由此作出選擇.【解析】(1)由試加工產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表知,甲分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率的估計(jì)值為QUOTE=0.4;乙分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率的估計(jì)值為QUOTE=0.28.(2)由數(shù)據(jù)知甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤的頻數(shù)分布表為利潤6525-5-75頻數(shù)40202020因此甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤為QUOTE=15.由數(shù)據(jù)知乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤的頻數(shù)分布表為利潤70300-70頻數(shù)28173421因此乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤為QUOTE=10.比較甲乙兩分廠加工的產(chǎn)品的平均利潤,應(yīng)選甲分廠承接加工業(yè)務(wù).【補(bǔ)償訓(xùn)練】“中國人均讀書4.3本(包括網(wǎng)絡(luò)文學(xué)和教科書),比韓國的11本、法國的20本、日本的40本、猶太人的64本少得多,是世界上人均讀書量最少的國家”,這個(gè)論斷被各類媒體反復(fù)引用.出現(xiàn)這樣的統(tǒng)計(jì)結(jié)果無疑是令人尷尬的,而且和其他國家相比,我國國民的閱讀量如此之低,也和我國是傳統(tǒng)的文明古國、禮儀之邦的地位不相符.某小區(qū)為了提高小區(qū)內(nèi)人員的讀書愛好,特舉辦讀書活動,打算進(jìn)肯定量的書籍豐富小區(qū)圖書站,由于不同年齡段需看不同類型的書籍,為了合理配備資源,現(xiàn)對小區(qū)內(nèi)看書人員進(jìn)行年齡調(diào)查,隨機(jī)抽取了一天40名讀書者進(jìn)行調(diào)查,將他們的年齡分成6段:[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]后得到如圖所示的頻率分布直方圖.問:(1)估計(jì)在這40名讀書者中年齡分布在[40,70)的人數(shù);(2)求這40名讀書者年齡的平均數(shù)和中位數(shù);(3)若從年齡在[20,40)的讀書者中任取2名,求這兩名讀書者年齡在[30,40)的人數(shù)恰為1的概率.【解析】(1)由頻率分布直方圖知,年齡在[40,70)的頻率為(0.020+0.030+0.025)×10=0.750,所以,40名讀書者年齡分布在[40,70)的人數(shù)為40×0.750=30(人).(2)40名讀書者年齡的平均數(shù)為:25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+65×0.25+75×0.1=54(歲),設(shè)中位數(shù)為x,0.05+0.1+0.2+(x-50)×0.03=0.5,解之得x=55,即40名讀書者年齡的中位數(shù)為55歲.(3)年齡在[20,30)的讀書者有2人,記為a,b;年齡在[30,40)的讀書者有4人,記為A,B,C,D,從上述6人中選出2人,共有如下樣本點(diǎn):(a,b),(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C),(b,D),共有基本領(lǐng)件數(shù)為15個(gè),記選取的兩名讀者中恰好有一人年齡在[30,40)中為事務(wù)A,則事務(wù)A包含的樣本點(diǎn)數(shù)為8個(gè):(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C),(b,D),故P(A)=QUOTE.19.(12分)已知A,B,C為△ABC的三內(nèi)角,且其對邊分別為a,b,c.且acosC+QUOTEc=b.(1)求A的值;(2)若a=2QUOTE,三角形面積S=QUOTE,求b+c的值.【解析】(1)由acosC+QUOTEc=b,得sinAcosC+QUOTEsinC=sinB,因?yàn)閟inB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以sinAcosC+QUOTEsinC=sinAcosC+cosAsinC,即QUOTEsinC=cosAsinC,因?yàn)閟inC≠0,所以cosA=QUOTE,因?yàn)锳∈QUOTE,所以A=QUOTE.(2)由(1)有S△ABC=QUOTEbcsinA=QUOTEbcsinQUOTE=QUOTE,bc=4,又由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosQUOTE=b2+c2-bc.又a=2QUOTE,所以b2+c2=a2+bc=16,(b+c)2=24,所以b+c=2QUOTE.20.(12分)從含有兩件正品a1,a2和一件次品b1的3件產(chǎn)品中每次任取1件,每次取出后不放回,連續(xù)取兩次.(1)求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率;(2)假如將“每次取出后不放回”這一條件換成“每次取出后放回”,則取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率是多少?【解析】(1)每次取一件,取后不放回地連續(xù)取兩次,其可能的結(jié)果組成的基本領(lǐng)件空間為Ω={(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)},其中小括號內(nèi)左邊的字母表示第1次取出的產(chǎn)品,右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)品.由6個(gè)基本領(lǐng)件組成,而且可以確定這些基本領(lǐng)件的出現(xiàn)是等可能的.用A表示“取出的兩件中,恰好有一件次品”這一事務(wù),則A={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}.事務(wù)A由4個(gè)基本領(lǐng)件組成,所以P(A)=QUOTE=QUOTE.(2)有放回地連續(xù)取出兩件,其一切可能的結(jié)果組成的基本領(lǐng)件空間為Ω={(a1,a1),(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),(b1,b1)},由9個(gè)基本領(lǐng)件組成.由于每一件產(chǎn)品被取到的機(jī)會均等,因此可以確定這些基本領(lǐng)件的出現(xiàn)是等可能的.用B表示“恰有一件次品”這一事務(wù),則B={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}.事務(wù)B由4個(gè)基本領(lǐng)件組成,所以P(B)=QUOTE.21.(12分)已知向量