專題4.2 對數與對數函數（原卷版）

專題4.2對數與對數函數1．對數的性質根據對數的概念，知對數具有以下性質：（1）負數和零沒有對數，即； （2）1的對數等于0，即；（3）底數的對數等于1，即； （4）對數恒等式.2．對數的運算性質如果，那么：（1）； （2）；（3）.3．對數的換底公式對數的換底公式：.換底公式的變形及推廣：（1）；（2）；（3）(其中a，b，c均大于0且不等于1，d>0).4．對數運算的一般思路（1）對于指數式、對數式混合型條件的化簡與求值問題，一般可利用指數與對數的關系，將所給條件統(tǒng)一為對數式或指數式，再根據有關運算性質求解；（2）在對數運算中，可先利用冪的運算性質把底數或真數變形，化成分數指數冪的形式，使冪的底數最簡，然后運用對數的運算性質、換底公式，將對數式化為同底數對數的和、差、倍數運算.5．對數函數的圖象和性質一般地，對數函數的圖象與性質如下表所示：圖象定義域值域性質過定點，即時，在上是減函數在上是增函數當x＞1時，y＜0；當0＜x＜1時，y＞0當x＞1時，y＞0；當0＜x＜1時，y＜0在直線的右側，當時，底數越大，圖象越靠近x軸；當時，底數越小，圖象越靠近x軸，即“底大圖低”．6．對數函數的圖象過定點（1,0），所以討論與對數函數有關的函數的圖象過定點的問題，只需令真數為1，解出相應的，即可得到定點的坐標.7．當底數時，對數函數是上的增函數，當時，底數的值越小，函數圖象越“陡”，其函數值增長得越快；當底數時，對數函數是上的減函數，當時，底數的值越大，函數圖象越“陡”，其函數值減小得越快.也可作直線y=1與所給圖象相交,交點的橫坐標即為各個底數，依據在第一象限內，自左向右，圖象對應的對數函數的底數逐漸變大，可比較底數的大?。?．對一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數型函數，在求解其單調性(單調區(qū)間)、值域(最值)、零點時，常利用數形結合思想求解．特別地，要注意底數和的兩種不同情況．有些復雜的問題，借助于函數圖象來解決，就變得簡單了，這是數形結合思想的重要體現．9．一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象問題，利用數形結合法求解.10．求對數型函數定義域的策略列出對應的不等式(組）求解，注意對數函數的底數和真數的取值范圍.11．比較對數式的大小：（1）若底數為同一常數，則可由對數函數的單調性直接進行判斷；若底數為同一字母，則需對底數進行分類討論；（2）若底數不同，真數相同，則可以先用換底公式化為同底后，再進行比較；（3）若底數與真數都不同，則常借助1,0等中間量進行比較．12．解對數不等式：（1）形如的不等式，借助的單調性求解，如果a的取值不確定，需分與兩種情況討論；（2）形如的不等式，需先將b化為以a為底的對數式的形式，再借助的單調性求解．一、單選題1．某種水果失去的新鮮度與其采摘后時間（小時）近似滿足函數關系式為（為非零常數）．若采摘后20小時，這種水果失去的新鮮度為20%，采摘后30小時，這種水果失去的新鮮度為40%．那么采摘下來的這種水果大約經過多長時間后失去50%新鮮度（）A．33小時 B．35小時C．38小時 D．43小時2．已知函數是定義域為的奇函數，當，當，（為常數），若，則實數A． B．C． D．3．設函數，且，則A． B．1C． D．34．已知函數，則A． B．C． D．5．若函數的圖象如圖所示，則函數的圖象大致是A． B．C． D．6．設實數，且，，，則x，y，z的大小關系為A． B．C． D．7．求函數f(x)＝lg(x2－2x－3)的單調遞減區(qū)間A． B．C． D．8．函數的定義域為A． B．C． D．9．函數的定義域為A． B．C． D．10．函數與（且）在同一坐標系中的圖象可以是A． B．C． D．11．設，，，則，，大小關系為A． B．C． D．12．設，，，則，，大小關系為A． B．C． D．13．已知，則A． B．C． D．14．函數的單調增區(qū)間是A． B．C． D．15．已知，則以下結論中正確的是A．； B．；C．； D．．16．已知對數函數，且在區(qū)間上恒有，則實數a的取值范圍是A．； B．；C．； D．．17．已知，，，則A． B．C． D．18．函數f（x）=1n（x2-2x-8）的單調遞增區(qū)間是A．（-，-2） B．（-，1）C．（1，+） D．（4，+）19．已知，那么等于A． B．C． D．20．若實數a，b，c滿足，則下列式子正確的是A． B．C． D．21．已知，則的值為A． B．C． D．22．設，則．A． B．C． D．23．設2a＝5b＝m，且＝2，則m等于A． B．10C． D．2024．已知函數是定義在R上的偶函數，且在上單調遞減，則下列三個數，，，的大小關系為A． B．C． D．25．已知，，，則有A． B．C． D．26．中國古代十進制的算籌計數法在世界數學史上是一個偉大的創(chuàng)造．據史料推測，算籌最晚出現在春秋晚期戰(zhàn)國初年，算籌計數的方法是個位?百位?萬位……的數按縱式的數碼擺出：十位?千位?十萬位……的數按橫式的數碼擺出．如7738可用算籌表示．縱式橫式1-9這9個數字的縱式與橫式的表示數碼如圖所示，則圖片表示的結果和下列相同的是A． B．C． D．27．聲音大小(單位為分貝)取決于聲波通過介質時，所產生的壓力變化(簡稱聲壓，單位為)．已知聲音大小與聲壓的關系式為，且根據我國《城市區(qū)域環(huán)境噪音標準》規(guī)定，在居民區(qū)內，戶外白晝噪聲容許標為50分貝，夜間噪聲容許標準為40分貝，則居民區(qū)內，戶外白晝噪聲容許標準的聲壓是戶外夜間噪聲容許標準的聲壓的（）倍A． B．C．10 D．2028．若函數，則A． B．C． D．29．將（且）轉化為對數形式，其中錯誤的是A． B．C． D．30．若實數x、y滿足（，且），則的值為A． B．2C． D．131．函數的單調遞增區(qū)間為A． B．C．（1，3） D．（-1，1）32．對數函數(，且)與二次函數在同一坐標系內的圖象可能是A． B．C． D．33．已知函數區(qū)間上恒有，則實數a的取值范圍是A． B．C． D．34．已知函數在上單調遞增，則實數a的取值范圍為A． B．C． D．35．若，，，則A． B．C． D．36．已知函數在上單調遞減，則實數a的取值范圍是A． B．C． D．37．設，，則A． B．C． D．38．酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為．為了保障交通安全，國家有關規(guī)定：駕駛員血液中的酒精含量大于或等于，小于的駕駛行為為酒后駕車，及以上認定為醉酒駕車．假設某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒后，他血液中酒精含量會以每小時30%的速度減少，那么他至少經過（）小時才能駕駛．（參考數據，）A．3 B．5C．7 D．939．已知函數的表達式為．若且，則的取值范圍為A． B．C． D．40．如果在實數運算中定義新運算“”：．那么對于任意實數a、b、c，以下結論中不一定成立的是A． B．C． D．二、多選題1．下列指數式與對數式的互化中正確是A．100＝1與lg1＝0 B．＝與log27＝－3C．log39＝2與32＝9 D．log55＝1與51＝52．若，，則下列表達正確的是A． B．C． D．3．聲強級（單位：）與聲強（單位：）之間的關系是，其中指的是人能聽到的最低聲強，對應的聲強級稱為聞閾．人能承受的最大聲強為，對應的聲強級為，稱為痛閾．某歌唱家唱歌時，聲強級范圍為（單位：）．下列選項中正確的是A．聞閾的聲強級為B．此歌唱家唱歌時的聲強范圍（單位：）C．如果聲強變?yōu)樵瓉淼谋?，對應聲強級也變?yōu)樵瓉淼谋禗．聲強級增加，則聲強變?yōu)樵瓉淼谋叮?．已知是偶函數，在上是減函數，則下列給出的的取值范圍中，能使得成立的有A． B．C． D．5．歷史上數學計算方面的三大發(fā)明為阿拉伯數字、十進制和對數，常用對數曾經在化簡計算上為人們做過重大貢獻，而自然對數成了研究科學、了解自然的必不可少的工具．現有如下四個關于對數的運算，其中正確的是A． B．C． D．6．若，則下列結論正確的是A． B．C． D．7．已知，則A． B．C． D．8．已知正實數x，y，z滿足，則下列正確的選項有A． B．C． D．9．下列指數式與對數式互化正確的是A．與 B．與C．與 D．與10．已知函數，則A．在上的最大值為 B．在上單調遞增C．在上無最小值 D．的圖象關于直線對稱11．已知函數，下列四個命題正確的是．A．函數為偶函數B．若，其中，，，則C．函數在上為單調遞增函數D．若，則12．表示不超過的最大整數，下列說法正確的是A．B．，C．D．13．已知正數、滿足，則下列說法中正確的是A． B．C． D．14．設都是正數，且，那么A． B．C． D．15．已知互不相等的三個實數a，b，c都大于1，且滿足，則a，b，c的大小關系可能是A． B．C． D．三、填空題1．已知，則用m表示____________．2．函數的定義域為____________．3．已知對數函數（且）的圖象經過點，則實數____________．4．已知，，且，則實數a的取值范圍是____________．5．已知函數，當時，函數的最大值比最小值大4，則實數____________．6．計算：____________．7．若，，且，則____________．8．____________．9．____________．10．函數的定義域是____________．11．已知常數且，假設無論a為何值，函數的圖象恒經過一個定點，則這個點的坐標為____________．12．函數的單調遞增區(qū)間為____________．13．已知在區(qū)間上單調遞減，則實數的取值范圍是____________．14．函數的單調遞減區(qū)間是____________．15．已知，則關于x的不等式的解集是____________．四、解答題1．已知函數．（1）若，求的值；（2）記函數，求的值域．2．設a、b、c是直角三角形的三邊長，其中c為斜邊長，且．求證：．3．求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）．4．已知函數．（1）求函數的定義域；（2）若，，求的值．5．已知函數的表達式為（1）求函數的定義域；（2）若函數的最小值為，求實數a的值．6．已知關系式（其中，，常數）．若當時，取到最小值，求此時相應的的值．7．我們常說的里氏震級，其計算公式為，其中是距震中處標準測震儀接收到的地震的最大振幅，是該處接收到的級地震波的最大振幅．某地區(qū)發(fā)生了級地震．隨后的一次余震中，一個距離震中的測震儀接收到的地震最大振幅是