專題4.2 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（解析版）

專題4.2對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)1．對(duì)數(shù)的性質(zhì)根據(jù)對(duì)數(shù)的概念，知對(duì)數(shù)具有以下性質(zhì)：（1）負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)，即； （2）1的對(duì)數(shù)等于0，即；（3）底數(shù)的對(duì)數(shù)等于1，即； （4）對(duì)數(shù)恒等式.2．對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果，那么：（1）； （2）；（3）.3．對(duì)數(shù)的換底公式對(duì)數(shù)的換底公式：.換底公式的變形及推廣：（1）；（2）；（3）(其中a，b，c均大于0且不等于1，d>0).4．對(duì)數(shù)運(yùn)算的一般思路（1）對(duì)于指數(shù)式、對(duì)數(shù)式混合型條件的化簡(jiǎn)與求值問(wèn)題，一般可利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系，將所給條件統(tǒng)一為對(duì)數(shù)式或指數(shù)式，再根據(jù)有關(guān)運(yùn)算性質(zhì)求解；（2）在對(duì)數(shù)運(yùn)算中，可先利用冪的運(yùn)算性質(zhì)把底數(shù)或真數(shù)變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、換底公式，將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算.5．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)一般地，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)如下表所示：圖象定義域值域性質(zhì)過(guò)定點(diǎn)，即時(shí)，在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)當(dāng)x＞1時(shí)，y＜0；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＞0當(dāng)x＞1時(shí)，y＞0；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＜0在直線的右側(cè)，當(dāng)時(shí)，底數(shù)越大，圖象越靠近x軸；當(dāng)時(shí)，底數(shù)越小，圖象越靠近x軸，即“底大圖低”．6．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)（1,0），所以討論與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題，只需令真數(shù)為1，解出相應(yīng)的，即可得到定點(diǎn)的坐標(biāo).7．當(dāng)?shù)讛?shù)時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)是上的增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，底數(shù)的值越小，函數(shù)圖象越“陡”，其函數(shù)值增長(zhǎng)得越快；當(dāng)?shù)讛?shù)時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)是上的減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，底數(shù)的值越大，函數(shù)圖象越“陡”，其函數(shù)值減小得越快.也可作直線y=1與所給圖象相交,交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為各個(gè)底數(shù)，依據(jù)在第一象限內(nèi)，自左向右，圖象對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大，可比較底數(shù)的大小．8．對(duì)一些可通過(guò)平移、對(duì)稱變換作出其圖象的對(duì)數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點(diǎn)時(shí)，常利用數(shù)形結(jié)合思想求解．特別地，要注意底數(shù)和的兩種不同情況．有些復(fù)雜的問(wèn)題，借助于函數(shù)圖象來(lái)解決，就變得簡(jiǎn)單了，這是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn)．9．一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.10．求對(duì)數(shù)型函數(shù)定義域的策略列出對(duì)應(yīng)的不等式(組）求解，注意對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)和真數(shù)的取值范圍.11．比較對(duì)數(shù)式的大?。海?）若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷；若底數(shù)為同一字母，則需對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論；（2）若底數(shù)不同，真數(shù)相同，則可以先用換底公式化為同底后，再進(jìn)行比較；（3）若底數(shù)與真數(shù)都不同，則常借助1,0等中間量進(jìn)行比較．12．解對(duì)數(shù)不等式：（1）形如的不等式，借助的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分與兩種情況討論；（2）形如的不等式，需先將b化為以a為底的對(duì)數(shù)式的形式，再借助的單調(diào)性求解．一、單選題1．某種水果失去的新鮮度與其采摘后時(shí)間（小時(shí)）近似滿足函數(shù)關(guān)系式為（為非零常數(shù)）．若采摘后20小時(shí)，這種水果失去的新鮮度為20%，采摘后30小時(shí)，這種水果失去的新鮮度為40%．那么采摘下來(lái)的這種水果大約經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間后失去50%新鮮度（）A．33小時(shí) B．35小時(shí)C．38小時(shí) D．43小時(shí)【試題來(lái)源】福建省寧德市部分達(dá)標(biāo)中學(xué)2022屆高三上學(xué)期期中聯(lián)合考試【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合待定系數(shù)法，求出的值，即可求得，再將代入函數(shù)中，即可求解．【解析】由題意可得，解得，故，當(dāng)時(shí)，，解得．故選A2．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)，當(dāng)，（為常數(shù)），若，則實(shí)數(shù)A． B．C． D．【試題來(lái)源】山東省濟(jì)寧鄒城市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期中考試【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧?，可得，再根?jù)待定系數(shù)法和對(duì)數(shù)運(yùn)算，即可求出結(jié)果．【解析】由題意可知，函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧?，所以又?dāng)，當(dāng)，所以，所以．故選A．3．設(shè)函數(shù)，且，則A． B．1C． D．3【試題來(lái)源】四川省廣安市廣安代市中學(xué)校2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期11月月考【答案】D【分析】根據(jù)自變量對(duì)應(yīng)的解析式代入求值即可解出．【解析】因?yàn)?，所以．故選D．4．已知函數(shù)，則A． B．C． D．【試題來(lái)源】四川省南充市閬中中學(xué)校2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期中【答案】D【分析】運(yùn)用代入法，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)和指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【解析】，故選D5．若函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象大致是A． B．C． D．【試題來(lái)源】湘教版（2019）必修第一冊(cè)突圍者第4章專項(xiàng)拓展訓(xùn)練【答案】C【分析】由的圖象可得，以及的單調(diào)性，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷的單調(diào)性，即可得解；【解析】由函數(shù)的圖象，可知，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)是減函數(shù)，所以，且在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，即只有C滿足條件．故選C．6．設(shè)實(shí)數(shù)，且，，，則x，y，z的大小關(guān)系為A． B．C． D．【試題來(lái)源】天津市第二中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期中【答案】C【分析】由題可知，，，即得．【解析】因?yàn)閷?shí)數(shù)，且，，，所以，，，所以．故選C7．求函數(shù)f(x)＝lg(x2－2x－3)的單調(diào)遞減區(qū)間A． B．C． D．【試題來(lái)源】寧夏固原市五原中學(xué)補(bǔ)習(xí)部2022屆高三上學(xué)期期中考試【答案】A【分析】先解二次不等式求得函數(shù)的定義域，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性，以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1)．【解析】要使函數(shù)有意義，則，解得或，設(shè)，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上為增函數(shù)，所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)可知，則此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．故選A．8．函數(shù)的定義域?yàn)锳． B．C． D．【試題來(lái)源】貴州省凱里市第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期中考試【答案】C【分析】由二次根式有意義和對(duì)數(shù)式有意義可得．【解析】由題意，．故選C．9．函數(shù)的定義域?yàn)锳． B．C． D．【試題來(lái)源】陜西省咸陽(yáng)市涇陽(yáng)縣2020-2021學(xué)年高一上學(xué)期期中【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，偶次方根的被開方數(shù)非負(fù)數(shù)，得到不等式組，解得即可；【解析】因?yàn)?，所以，解得，故函?shù)的定義域?yàn)楣蔬xD10．函數(shù)與（且）在同一坐標(biāo)系中的圖象可以是A． B．C． D．【試題來(lái)源】廣東省深圳市第二高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期11月測(cè)試【答案】B【分析】根據(jù)題意，對(duì)進(jìn)行分類討論，當(dāng)和當(dāng)時(shí)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行分析，結(jié)合選項(xiàng)即可得解．【解析】由題可知，函數(shù)與，且，若時(shí)，則，所以在上單調(diào)遞增，且過(guò)點(diǎn)，在單調(diào)遞減，且過(guò)點(diǎn)，故B選項(xiàng)符合題意；若，則，所以在上單調(diào)遞減，且過(guò)點(diǎn)，在單調(diào)遞增，且過(guò)點(diǎn)，沒有符合題意的選項(xiàng)．故選B．11．設(shè)，，，則，，大小關(guān)系為A． B．C． D．【試題來(lái)源】四川省資陽(yáng)市2021-2022學(xué)年高三第一次診斷考試【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷可得；【解析】因?yàn)?，所以，即，又，即，所以；故選B12．設(shè)，，，則，，大小關(guān)系為A． B．C． D．【試題來(lái)源】四川省資陽(yáng)市2021-2022學(xué)年高三第一次診斷考試【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分別求得的取值范圍，即可求解．【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得，所以；由，因?yàn)?，所以，又由，可得，所以，所以．故選D．13．已知，則A． B．C． D．【試題來(lái)源】四川省眉山市仁壽縣仁壽第一中學(xué)校南校區(qū)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期中【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可比較與的大小關(guān)系，由此可得出結(jié)論．【解析】，，，，，故選B14．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是A． B．C． D．【試題來(lái)源】廣東省深圳市深圳中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期中【答案】B【分析】先求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律可得答案．【解析】函數(shù)的定義域滿足，解得或所以函數(shù)的定義域?yàn)榛蛞蠛瘮?shù)的單調(diào)增區(qū)間，即求在定義域內(nèi)的增區(qū)間．由二次函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞增．故選B15．已知，則以下結(jié)論中正確的是A．； B．；C．； D．．【試題來(lái)源】滬教版（2020）必修第一冊(cè)達(dá)標(biāo)檢測(cè)第四章4．3對(duì)數(shù)函數(shù)【答案】C【分析】結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷．【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，且，故，故選C．16．已知對(duì)數(shù)函數(shù)，且在區(qū)間上恒有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A．； B．；C．； D．．【試題來(lái)源】滬教版（2020）必修第一冊(cè)達(dá)標(biāo)檢測(cè)第四章4．3對(duì)數(shù)函數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算解不等式即可．【解析】因?yàn)闀r(shí)，恒成立，所以，因此在其定義域上是嚴(yán)格減函數(shù)．于是當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?，則，所以，即，故．故選C．17．已知，，，則A． B．C． D．【試題來(lái)源】吉林省長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期中考試【答案】B【分析】由指數(shù)函數(shù)的知識(shí)可得，由對(duì)數(shù)函數(shù)的知識(shí)可得，即可選出答案．【解析】因?yàn)?，，所以故選B18．函數(shù)f（x）=1n（x2-2x-8）的單調(diào)遞增區(qū)間是A．（-，-2） B．（-，1）C．（1，+） D．（4，+）【試題來(lái)源】四川省德陽(yáng)市第五中學(xué)2021-2022學(xué)年高一年上學(xué)期第二次月考【答案】D【分析】令，求得定義域，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解．【解析】令，解得或，且t在上遞減，在上遞增，又在上遞增，所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知函數(shù)f（x）=1n（x2-2x-8）的單調(diào)遞增區(qū)間是（4，+），故選D.19．已知，那么等于A． B．C． D．【試題來(lái)源】湘教版（2019）必修第一冊(cè)突圍者第4章【答案】C【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求出，再代入計(jì)算即可．【解析】由條件知，所以，即，所以．故選C．20．若實(shí)數(shù)a，b，c滿足，則下列式子正確的是A． B．C． D．【試題來(lái)源】湘教版（2019）必修第一冊(cè)突圍者第4章【答案】A【分析】由指對(duì)互化的性質(zhì)分別表示出，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可得解．【解析】由已知得，則，，，所以，，，因?yàn)?，代換得，所以．故選A．21．已知，則的值為A． B．C． D．【試題來(lái)源】北京師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期中【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)恒等式及冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得；【解析】因?yàn)?，所以，故選D22．設(shè)，則．A． B．C． D．【試題來(lái)源】上海市上海中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期中【答案】D【分析】根據(jù)，利用換底公式求解．【解析】因?yàn)?，所以，所以，故選D23．設(shè)2a＝5b＝m，且＝2，則m等于A． B．10C． D．20【試題來(lái)源】新疆喀什地區(qū)莎車縣第一中學(xué)2022屆高三上學(xué)期期中【答案】A【分析】推導(dǎo)出a＝log2m，b＝log5m，從而＝logm2+logm5＝logm10＝2，由此能求出結(jié)果．【解析】因?yàn)?a＝5b＝m>0，且＝2，所以a＝log2m，b＝log5m，所以＝logm2+logm5＝logm10＝2，所以m2＝10，解得m＝．故選A．24．已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則下列三個(gè)數(shù)，，，的大小關(guān)系為A． B．C． D．【試題來(lái)源】廣西河池市八校2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期第一次聯(lián)考【答案】C【分析】首先判斷，和的大小，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，比較大小．【解析】因?yàn)?，，，所以因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以因?yàn)椋液瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，所以．故選C25．已知，，，則有A． B．C． D．【試題來(lái)源】山西省長(zhǎng)治市第二中學(xué)2022屆高三上學(xué)期第三次練考【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則將和轉(zhuǎn)換后進(jìn)行比較即可．【解析】因?yàn)?，，，所以，即．因?yàn)?，，所以，即．所以．故選A26．中國(guó)古代十進(jìn)制的算籌計(jì)數(shù)法在世界數(shù)學(xué)史上是一個(gè)偉大的創(chuàng)造．據(jù)史料推測(cè)，算籌最晚出現(xiàn)在春秋晚期戰(zhàn)國(guó)初年，算籌計(jì)數(shù)的方法是個(gè)位?百位?萬(wàn)位……的數(shù)按縱式的數(shù)碼擺出：十位?千位?十萬(wàn)位……的數(shù)按橫式的數(shù)碼擺出．如7738可用算籌表示．縱式橫式1-9這9個(gè)數(shù)字的縱式與橫式的表示數(shù)碼如圖所示，則圖片表示的結(jié)果和下列相同的是A． B．C． D．【試題來(lái)源】云南師范大學(xué)附屬中學(xué)2021-2022年高一上學(xué)期期中考【答案】B【分析】根據(jù)題意，判斷出表示的數(shù)字，然后考察各選項(xiàng)計(jì)算后的值是否符合．【解析】根據(jù)題意，判斷出表示的數(shù)字為729，，不符合題意；，符合題意；個(gè)位數(shù)字為1，不符合題意；，不符合題意．故選B27．聲音大小(單位為分貝)取決于聲波通過(guò)介質(zhì)時(shí)，所產(chǎn)生的壓力變化(簡(jiǎn)稱聲壓，單位為)．已知聲音大小與聲壓的關(guān)系式為，且根據(jù)我國(guó)《城市區(qū)域環(huán)境噪音標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定，在居民區(qū)內(nèi)，戶外白晝?cè)肼暼菰S標(biāo)為50分貝，夜間噪聲容許標(biāo)準(zhǔn)為40分貝，則居民區(qū)內(nèi)，戶外白晝?cè)肼暼菰S標(biāo)準(zhǔn)的聲壓是戶外夜間噪聲容許標(biāo)準(zhǔn)的聲壓的（）倍A． B．C．10 D．20【試題來(lái)源】山東省德州市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期中【答案】A【分析】利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化以及指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解．【解析】聲音大小與聲壓的關(guān)系式為，當(dāng)時(shí)，，即，解得，當(dāng)時(shí)，，即，解得，所以戶外白晝?cè)肼暼菰S標(biāo)準(zhǔn)的聲壓是戶外夜間噪聲容許標(biāo)準(zhǔn)的聲壓比為．故選A28．若函數(shù)，則A． B．C． D．【試題來(lái)源】四川省眉山市仁壽縣仁壽第一中學(xué)校南校區(qū)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期中【答案】D【分析】判斷的范圍，結(jié)合分段函數(shù)的解析式以及指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)整理即可求出結(jié)果．【解析】因?yàn)?，即，所以，故選D．29．將（且）轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)形式，其中錯(cuò)誤的是A． B．C． D．【試題來(lái)源】滬教版（2020）必修第一冊(cè)達(dá)標(biāo)檢測(cè)第三章章測(cè)試【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系可得答案．【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系，若，則，即，所以A正確；若，則，即，所以B正確；若，則，即，所以C正確；由得，與已知不等，所以D錯(cuò)誤．故選D．30．若實(shí)數(shù)x、y滿足（，且），則的值為A． B．2C． D．1【試題來(lái)源】滬教版（2020）必修第一冊(cè)達(dá)標(biāo)檢測(cè)期中測(cè)試【答案】D【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)可得到結(jié)果【解析】由已知，，所以，，所以，，得．故選D．31．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為A． B．C．（1，3） D．（-1，1）【試題來(lái)源】福建省泉州市四校（永春一中、培元中學(xué)、季延中學(xué)、石光中學(xué)）2022屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考【答案】D【分析】先求得函數(shù)的定義域，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性以及對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性，求得的單調(diào)增區(qū)間．【解析】由，解得，所以的定義域?yàn)椋魏瘮?shù)的開口向下，對(duì)稱軸為．所以在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減．在區(qū)間上遞增．根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為故選D32．對(duì)數(shù)函數(shù)(，且)與二次函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是A． B．C． D．【試題來(lái)源】湘教版（2019）必修第一冊(cè)突圍者第4章【答案】A【分析】分別討論和時(shí)，的單調(diào)性和的開口方向以及對(duì)稱軸在軸的哪一側(cè)即可求解．【解析】若，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，又函數(shù)的圖象開口向下，對(duì)稱軸為直線，則對(duì)稱軸在軸左側(cè)，故CD錯(cuò)誤；若，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，又函數(shù)的圖象開口向上，且對(duì)稱軸為直線，則對(duì)稱軸在軸右側(cè)，故B錯(cuò)誤，A正確．故選A．33．已知函數(shù)區(qū)間上恒有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A． B．C． D．【試題來(lái)源】湘教版（2019）必修第一冊(cè)突圍者第4章第三節(jié)課時(shí)2對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)【答案】A【分析】分，，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上恒有，由求解．【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，解得，故；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，解得（舍去），綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故選A．34．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為A． B．C． D．【試題來(lái)源】廣東省廣州市二中2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的區(qū)間單調(diào)性，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)確定單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求a的取值范圍．【解析】令，開口向上且對(duì)稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，在上遞減，上遞增(注意時(shí)單調(diào)區(qū)間處可取閉)；當(dāng)，即或時(shí)，若有，所以在上遞減，上遞增；又在定義域上遞減，要使在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，可得；或時(shí)，有，可得．綜上，．故選B35．若，，，則A． B．C． D．【試題來(lái)源】山西省太原市第五中學(xué)2022屆高三上學(xué)期第四次模塊診斷【答案】C【分析】先根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算和對(duì)數(shù)運(yùn)算得，，，進(jìn)而借助中間量比較與的大小即可得答案．【解析】因?yàn)椋?，所以只需比較與的大小即可．因?yàn)?，所以故選C36．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A． B．C． D．【試題來(lái)源】浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期中【答案】C【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的定義域可得，即得．【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在在上單調(diào)遞增，且恒成立，所以或．故選C．37．設(shè)，，則A． B．C． D．【試題來(lái)源】福建省龍巖第一中學(xué)2021屆高三上學(xué)期第三次月考【答案】A【分析】由指數(shù)冪與對(duì)數(shù)的互化，得到，，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，化簡(jiǎn)得到，得到，即可求解．【解析】根據(jù)指數(shù)冪與對(duì)數(shù)的互化，可得，，所以，又由，所以，即，所以．故選A．38．酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為．為了保障交通安全，國(guó)家有關(guān)規(guī)定：駕駛員血液中的酒精含量大于或等于，小于的駕駛行為為酒后駕車，及以上認(rèn)定為醉酒駕車．假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒后，他血液中酒精含量會(huì)以每小時(shí)30%的速度減少，那么他至少經(jīng)過(guò)（）小時(shí)才能駕駛．（參考數(shù)據(jù)，）A．3 B．5C．7 D．9【試題來(lái)源】山東師范大學(xué)附屬中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期第二次月考【答案】B【分析】設(shè)他至少經(jīng)過(guò)個(gè)小時(shí)才能駕駛汽車，則，解出的范圍即可求解．【解析】設(shè)他至少經(jīng)過(guò)個(gè)小時(shí)才能駕駛汽車，則，，又為減函數(shù)，，他至少經(jīng)過(guò)5個(gè)小時(shí)才能駕駛汽車，故選B39．已知函數(shù)的表達(dá)式為．若且，則的取值范圍為A． B．C． D．【試題來(lái)源】滬教版（2020）必修第一冊(cè)達(dá)標(biāo)檢測(cè)第四章章測(cè)試【答案】D【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與基本不等式求解即可【解析】因?yàn)?，所以，故或．若，則（舍去）；若，則，又，所以，因此（等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)成立），即的取值范圍是．故選D．40．如果在實(shí)數(shù)運(yùn)算中定義新運(yùn)算“”：．那么對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b、c，以下結(jié)論中不一定成立的是A． B．C． D．【試題來(lái)源】滬教版（2020）必修第一冊(cè)達(dá)標(biāo)檢測(cè)期末測(cè)試【答案】B【分析】計(jì)算出和可判斷A；利用可判斷B；計(jì)算出、可判斷C；計(jì)算出、可判斷出D．【解析】A中，，，得，所以A一定成立；B中，當(dāng)時(shí)，，而，所以B不一定成立；C中，，，所以C一定成立；D中，，，所以D一定成立．故選B．二、多選題1．下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化中正確是A．100＝1與lg1＝0 B．＝與log27＝－3C．log39＝2與32＝9 D．log55＝1與51＝5【答案】ACD【分析】根據(jù)指數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)運(yùn)算的法則，相互轉(zhuǎn)化逐項(xiàng)判斷即可．【解析】B選項(xiàng)中，＝?log27＝－．故選ACD2．若，，則下列表達(dá)正確的是A． B．C． D．【試題來(lái)源】海南省三亞華僑學(xué)校（南新校區(qū)）2022屆高三10月月考【答案】AB【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)判斷．【解析】因?yàn)椋院瘮?shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，所以，即，所以選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B正確，因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在R上單調(diào)遞減，且，所以，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選AB．3．聲強(qiáng)級(jí)（單位：）與聲強(qiáng)（單位：）之間的關(guān)系是，其中指的是人能聽到的最低聲強(qiáng)，對(duì)應(yīng)的聲強(qiáng)級(jí)稱為聞閾．人能承受的最大聲強(qiáng)為，對(duì)應(yīng)的聲強(qiáng)級(jí)為，稱為痛閾．某歌唱家唱歌時(shí)，聲強(qiáng)級(jí)范圍為（單位：）．下列選項(xiàng)中正確的是A．聞閾的聲強(qiáng)級(jí)為B．此歌唱家唱歌時(shí)的聲強(qiáng)范圍（單位：）C．如果聲強(qiáng)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，對(duì)應(yīng)聲強(qiáng)級(jí)也變?yōu)樵瓉?lái)的倍D．聲強(qiáng)級(jí)增加，則聲強(qiáng)變?yōu)樵瓉?lái)的倍．【試題來(lái)源】浙江省杭州市桐廬中學(xué)2021-2022學(xué)年高一創(chuàng)新班上學(xué)期10月階段性測(cè)【答案】ABD【分析】根據(jù)已知條件先計(jì)算出，然后再根據(jù)的變化確定的變化確定正確選項(xiàng)．【解析】因?yàn)?，時(shí)，，帶入公式得，A：時(shí)，，故A正確；B：由題意，即，因此，解得，故B正確；C：當(dāng)變?yōu)闀r(shí)，代入有，故C錯(cuò)誤；D：設(shè)聲強(qiáng)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，則，解得，故D正確；故選ABD．4．已知是偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，則下列給出的的取值范圍中，能使得成立的有A． B．C． D．【試題來(lái)源】廣東省深圳市第二高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期11月測(cè)試【答案】AC【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性，由轉(zhuǎn)化得出，再根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算，解不等式求得的解集，再結(jié)合選項(xiàng)從而得出答案．【解析】是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，由于，則，所以，解得，所以的解集為，因?yàn)?，，所以結(jié)合選項(xiàng)可知，能使得成立的有和．故選AC．5．歷史上數(shù)學(xué)計(jì)算方面的三大發(fā)明為阿拉伯?dāng)?shù)字、十進(jìn)制和對(duì)數(shù)，常用對(duì)數(shù)曾經(jīng)在化簡(jiǎn)計(jì)算上為人們做過(guò)重大貢獻(xiàn)，而自然對(duì)數(shù)成了研究科學(xué)、了解自然的必不可少的工具．現(xiàn)有如下四個(gè)關(guān)于對(duì)數(shù)的運(yùn)算，其中正確的是A． B．C． D．【試題來(lái)源】廣東省茂名市2021屆五校聯(lián)盟高三下學(xué)期第三次聯(lián)考【答案】ABD【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則逐個(gè)判斷即可【解析】由對(duì)數(shù)運(yùn)算規(guī)律可知，，所以A正確；，所以B正確；，所以C錯(cuò)誤；，所以D正確．故選ABD．6．若，則下列結(jié)論正確的是A． B．C． D．【試題來(lái)源】湖南省邵陽(yáng)市邵東市第三中學(xué)2020-2021學(xué)年高一上學(xué)期第三次月考【答案】ABD【分析】指數(shù)式改為對(duì)數(shù)式，然后由對(duì)數(shù)的運(yùn)算計(jì)算后判斷．【解析】由題意，，，，故選ABD．7．已知，則A． B．C． D．【試題來(lái)源】廣東省廣州市真光中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期中【答案】ABC【分析】通過(guò)換底公式，再結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得到答案．【解析】由題意，，所以，A正確；，B正確；，C正確；，D錯(cuò)誤．故選ABC．8．已知正實(shí)數(shù)x，y，z滿足，則下列正確的選項(xiàng)有A． B．C． D．【試題來(lái)源】浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期中【答案】BD【分析】設(shè)，把指數(shù)式改寫為對(duì)數(shù)式，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則判斷．【解析】設(shè)，則，，，所以．所以．故選BD．9．下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化正確的是A．與 B．與C．與 D．與【試題來(lái)源】北京市廣渠門中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期中質(zhì)量檢測(cè)【答案】BD【分析】根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化公式，依次驗(yàn)證每個(gè)選項(xiàng)即可得解．【解析】對(duì)于A，可化為，故不正確；對(duì)于B，可化為，故正確；對(duì)于C，可化為，故不正確；對(duì)于D，可化為，故正確．故選BD10．已知函數(shù)，則A．在上的最大值為 B．在上單調(diào)遞增C．在上無(wú)最小值 D．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【試題來(lái)源】河北省保定市博野縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020-2021學(xué)年高一上學(xué)期12月月考【答案】ACD【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，求函數(shù)的定義域，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷條件逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果．【解析】由題意得，，由得，函數(shù)的定義域?yàn)榱?，則，二次函數(shù)開口向下，其對(duì)稱軸為直線，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)闀r(shí)，，即，所以在上的最大值為，無(wú)最小值，故A、C正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，即，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故D正確．故選ACD．11．已知函數(shù)，下列四個(gè)命題正確的是．A．函數(shù)為偶函數(shù)B．若，其中，，，則C．函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)D．若，則【試題來(lái)源】重慶市開州中學(xué)等名校聯(lián)盟2022屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)合考試【答案】ABD【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義即可判斷A；由，，，可得，再根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算即可判斷B；求出函數(shù)的定義域即可判斷C；由，可得，則，再利用作差法即可判斷D．【解析】函數(shù)對(duì)于A，，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，若，其中，，，所以，，即，得到，故B正確；對(duì)于C，函數(shù)，由，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋虼嗽谏喜痪哂袉握{(diào)性，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，，，故，故D正確．故選ABD．12．表示不超過(guò)的最大整數(shù)，下列說(shuō)法正確的是A．B．，C．D．【試題來(lái)源】廣東省汕頭市潮陽(yáng)區(qū)2020-2021學(xué)年高一上學(xué)期期末【答案】ACD【分析】利用取整函數(shù)的概念和對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可求解．【解析】選項(xiàng)A：因?yàn)椴怀^(guò)的最大整數(shù)為，所以，所以選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：因?yàn)閷?duì)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：因?yàn)椋?，所以選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D：，因?yàn)椋?，，因?yàn)椋?，，，因?yàn)椋?，，，因?yàn)?，所以，，，因?yàn)椋?，，，所以，所以選項(xiàng)D正確．故選ACD．13．已知正數(shù)、滿足，則下列說(shuō)法中正確的是A． B．C． D．【試題來(lái)源】湖北省武漢市光谷第二高級(jí)中學(xué)2020-2021學(xué)年高二下學(xué)期6月月考【答案】ABC【分析】把指數(shù)式化成相應(yīng)的對(duì)數(shù)式，運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及換底公式和基本不等式可求得結(jié)果．【解析】，令，則，，．，故A正確；，故B正確；，故C正確；，，因?yàn)椋?，即，故D錯(cuò)誤．故選ABC．14．設(shè)都是正數(shù)，且，那么A． B．C． D．【試題來(lái)源】浙江省杭州市學(xué)軍中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期中【答案】AC【分析】由指數(shù)式與對(duì)數(shù)式關(guān)系化為對(duì)數(shù)式，再由對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則判斷．【解析】設(shè)則，，，，即，C正確；所以，A正確，B錯(cuò)誤；，，，即，D錯(cuò)．故選AC．15．已知互不相等的三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c都大于1，且滿足，則a，b，c的大小關(guān)系可能是A． B．C． D．【試題來(lái)源】江蘇省南京市金陵中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期10月階段檢測(cè)【答案】AB【分析】化簡(jiǎn)，構(gòu)造關(guān)于x的方程，考慮判別式大于等于零；再構(gòu)造函數(shù)討論零點(diǎn)和對(duì)稱軸位置，判斷a，b，c的大小關(guān)系．【解析】由已知，，即．則關(guān)于x的方程有正實(shí)根，所以．因?yàn)?，則，所以．設(shè)，則二次函數(shù)的關(guān)于直線對(duì)稱，且，．若是的一個(gè)較小零點(diǎn)，則，即；若是的一個(gè)較大零點(diǎn)，則，即．故選AB．三、填空題1．已知，則用m表示____________．【試題來(lái)源】滬教版（2020）必修第一冊(cè)達(dá)標(biāo)檢測(cè)期末測(cè)試【答案】．【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式可求得結(jié)果【解析】因?yàn)?，所以，故答案?．函數(shù)的定義域?yàn)開___________．【試題來(lái)源】滬教版（2020）必修第一冊(cè)達(dá)標(biāo)檢測(cè)第五章5．1函數(shù)【答案】【分析】由二次根式的被開方數(shù)非負(fù)和對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，列不等式組，可求得答案【解析】由題意得，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋蚀鸢笧?．已知對(duì)數(shù)函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)____________．【試題來(lái)源】滬教版（2020）必修第一冊(cè)達(dá)標(biāo)檢測(cè)第四章4．3對(duì)數(shù)函數(shù)【答案】2【分析】將點(diǎn)代入對(duì)數(shù)函數(shù)解析式計(jì)算即可．【解析】由題意知，，所以，得．故答案為24．已知，，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．【試題來(lái)源】滬教版（2020）必修第一冊(cè)達(dá)標(biāo)檢測(cè)第四章4．3對(duì)數(shù)函數(shù)【答案】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接判斷．【解析】對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減．因?yàn)?，所以．故答案為?．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值比最小值大4，則實(shí)數(shù)____________．【試題來(lái)源】滬教版（2020）必修第一冊(cè)達(dá)標(biāo)檢測(cè)第四章4．3對(duì)數(shù)函數(shù)【答案】4【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值和最小值，結(jié)合題意列出等式，計(jì)算即可．【解析】因?yàn)樵谏鲜菄?yán)格減函數(shù)，所以，即且，解得．故答案為46．計(jì)算：____________．【試題來(lái)源】四川省眉山市仁壽縣仁壽第一中學(xué)校南校區(qū)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期中【答案】2【分析】利用對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算公式即可求解．【解析】由對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算得故答案為．7．若，，且，則____________．【試題來(lái)源】滬教版（2020）必修第一冊(cè)達(dá)標(biāo)檢測(cè)第三章章測(cè)試【答案】0【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算．【解析】由已知，所以，所以．故答案為08．____________．【試題來(lái)源】滬教版（2020）必修第一冊(cè)達(dá)標(biāo)檢測(cè)第三章章測(cè)試【答案】13【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算公式，化簡(jiǎn)求得所求表達(dá)式的值．【解析】原式．故答案為13．9．____________．【試題來(lái)源】浙江省浙南名校聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考【答案】【分析】利用指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算求解．【解析】，，．故答案為10．函數(shù)的定義域是____________．【試題來(lái)源】陜西省西安中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期藝考生期中【答案】【分析】列出，解不等式即可．【解析】要使函數(shù)函數(shù)有意義，則，即解得，即故函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為11．已知常數(shù)且，假設(shè)無(wú)論a為何值，函數(shù)的圖象恒經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為____________．【試題來(lái)源】滬教版（2020）必修第一冊(cè)達(dá)標(biāo)檢測(cè)第四章章測(cè)試【答案】．【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，令即可求出的圖象恒過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】因?yàn)榈膱D象必過(guò)，即，當(dāng)，即時(shí)，，從而圖象必過(guò)定點(diǎn)．故答案為．12．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為____________．【試題來(lái)源】四川省瀘州市瀘縣第五中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期中考試【答案】【分析】求出函數(shù)的定義域，在定義域內(nèi)由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)論．【解析】，解得，是增函數(shù)，因此需要求的增區(qū)間，易知在定義域內(nèi)，的增區(qū)間是，所以所求增區(qū)間為．故答案為．13．已知在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________．【試題來(lái)源】廣東省深圳市第二高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期11月測(cè)試【答案】【分析】根據(jù)題意，設(shè)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)得出，解不等式即可求出的取值范圍．【解析】由題可知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，設(shè)，而外層函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則可知內(nèi)層函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，由于二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，由已知，應(yīng)有，且滿足當(dāng)時(shí)，，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為．14．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是____________．【試題來(lái)源】山西省稷山中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期第二次月考【答案】【分析】先求得函數(shù)的定義域，然后根據(jù)這個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱軸，結(jié)合復(fù)合函數(shù)同增異減來(lái)求得函數(shù)的減區(qū)間．【解析】令，令，解得，而的圖象的對(duì)稱軸為，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又遞減，所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性原則得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．故答案為15．已知，則關(guān)于x的不等式的解集是____________．【試題來(lái)源】滬教版（2020）必修第一冊(cè)達(dá)標(biāo)檢測(cè)第四章4．3對(duì)數(shù)函數(shù)【答案】【分析】結(jié)合已知條件，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域即可求解．【解析】因?yàn)椋栽谏鲜菃握{(diào)遞減函數(shù)，因此可得解得，所以原不等式的解集為．四、解答題1．已知函數(shù)．（1）若，求的值；（2）記函數(shù)，求的值域．【試題來(lái)源】浙江省浙南名校聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考【答案】（1），（2）【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可解出；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及基本不等式即可求出．【解析】（1）因?yàn)?，所以，解得．?），設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以的值域?yàn)椋?．設(shè)a、b、c是直角三角形的三邊長(zhǎng)，其中c為斜邊長(zhǎng)，且．求證