102事件的相互獨(dú)立性（學(xué)案）

10.2事件的相互獨(dú)立性（學(xué)案）知識(shí)自測(cè)知識(shí)自測(cè)一．相互獨(dú)立事件概念對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，則稱(chēng)事件A與事件B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱(chēng)獨(dú)立.二．相互獨(dú)立事件的性質(zhì)如果事件A與B相互獨(dú)立，那么A與，與B，與也都相互獨(dú)立.三．兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立的判斷1.直接法：由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個(gè)事件發(fā)生是否相互影響.2.公式法：若P(AB)＝P(A)·P(B)，則事件A，B為相互獨(dú)立事件.四．求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的步驟1.首先確定各事件之間是相互獨(dú)立的.2.求出每個(gè)事件的概率，再求積.五．求較復(fù)雜事件的概率的一般步驟如下1.列出題中涉及的各個(gè)事件，并且用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示.2.理清事件之間的關(guān)系(兩個(gè)事件是互斥還是對(duì)立，或者是相互獨(dú)立的)，列出關(guān)系式.3.根據(jù)事件之間的關(guān)系準(zhǔn)確選取概率公式進(jìn)行計(jì)算.4.當(dāng)直接計(jì)算符合條件的事件的概率較復(fù)雜時(shí)，可先間接地計(jì)算其對(duì)立事件的概率，再求出符合條件的事件的概率知識(shí)簡(jiǎn)用知識(shí)簡(jiǎn)用題型一事件獨(dú)立性的判斷【例11】（2023安徽）袋內(nèi)裝有大小、形狀完全相同的3個(gè)白球和2個(gè)黑球，從中不放回地摸球，設(shè)事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“第一次摸到黑球”，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．A與B是互斥事件 B．A與B不是相互獨(dú)立事件C．B與C是對(duì)立事件 D．A與C是相互獨(dú)立事件【答案】B【解析】根據(jù)題意可知，事件和事件可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故A錯(cuò)；不放回摸球，第一次摸球?qū)Φ诙蚊蛴杏绊懀允录褪录幌嗷オ?dú)立，故B正確；事件的對(duì)立事件為“第二次摸到黑球”，故C錯(cuò)；事件與事件為對(duì)立事件，故D錯(cuò).故選：B.【例12】（2022安徽馬鞍山）“事件與事件相互獨(dú)立”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當(dāng)事件與事件相互獨(dú)立時(shí)，，當(dāng)時(shí)，事件與事件相互獨(dú)立，所以“事件相互獨(dú)立”是“”的充要條件.故選：C.【例13】（2022·高一單元測(cè)試）若，，，則事件與的關(guān)系是（

）A．事件與互斥 B．事件與對(duì)立C．事件與相互獨(dú)立 D．事件與既互斥又相互獨(dú)立【答案】C【解析】∵，∴，∴事件與相互獨(dú)立、事件與不互斥，故不對(duì)立.故選：C【例14】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）袋內(nèi)有個(gè)白球和個(gè)黑球，從中有放回地摸球，用表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”記為，“第二次摸得黑球”記為，那么事件與，與間的關(guān)系是（

）A．與，與均相互獨(dú)立 B．與相互獨(dú)立，與互斥C．與，與均互斥 D．與互斥，與相互獨(dú)立【答案】A【解析】方法一：由于摸球是有放回的，故第一次摸球的結(jié)果對(duì)第二次摸球的結(jié)果沒(méi)有影響，故與，與C均相互獨(dú)立．而與，與均能同時(shí)發(fā)生，從而不互斥．方法二：標(biāo)記1，2，3表示3個(gè)白球，4，5表示2個(gè)黑球，全體樣本點(diǎn)為，用古典概型概率計(jì)算公式易得．而事件表示“第一次摸得白球且第二次摸得白球”，所以，所以與相互獨(dú)立：同理，事件表示“第一次摸得白球且第二次摸得黑球”，，所以與相互獨(dú)立．故選:A．題型二相互獨(dú)立事件的概率【例21】（2023新疆）在一次知識(shí)競(jìng)賽中，共有20道題，兩名同學(xué)獨(dú)立競(jìng)答，甲同學(xué)對(duì)了12個(gè)，乙同學(xué)對(duì)了8個(gè)，假設(shè)答對(duì)每道題都是等可能的，那么任選一道題，恰有一人答對(duì)的概率________．【答案】【解析】依題意，恰有一人答對(duì)的概率為.故答案為：【例22】（2022·高一單元測(cè)試）甲、乙兩名魔方愛(ài)好者在30秒內(nèi)復(fù)原魔方的概率分別是0.8和0.6．如果在30秒內(nèi)將魔方復(fù)原稱(chēng)為“復(fù)原成功”，且每次復(fù)原成功與否相互之間沒(méi)有影響，求：(1)甲復(fù)原三次，第三次才成功的概率；(2)甲、乙兩人在第一次復(fù)原中至少有一人成功的概率．【答案】(1)0.032(2)0.92【解析】（1）記“甲第次復(fù)原成功”為事件，“乙第次復(fù)原成功”為事件，依題意，，．“甲第三次才成功”為事件，且三次復(fù)原過(guò)程相互獨(dú)立，．（2）“甲、乙兩人在第一次復(fù)原中至少有一人成功”為事件．所以．【例23】（2023秋·廣西桂林·高一統(tǒng)考期末）甲、乙、丙3人射箭，射一次箭能射中目標(biāo)的概率分別是、、.現(xiàn)3人各射一次箭，求：(1)3人都射中目標(biāo)的概率；(2)3人中恰有2人射中目標(biāo)的概率.【答案】(1)(2)【解析】（1）記“甲、乙、丙射一次箭能射中目標(biāo)”分別為事件、、，則，，，3人都射中目標(biāo)的事件為，其概率為.（2）設(shè)“3人中恰有2人射中目標(biāo)”為事件，由（1）知，因此，所以3人中恰有2人射中目標(biāo)的概率為.【例24】（2023秋·遼寧錦州·高一統(tǒng)考期末）為普及消防安全知識(shí)，某學(xué)校組織相關(guān)知識(shí)競(jìng)賽.比賽共分為兩輪，每位參賽選手均須參加兩輪比賽，若其在兩輪比賽中均勝出，則視為贏得比賽.已知在第一輪比賽中，選手甲、乙勝出的概率分別為，；在第二輪比賽中，甲、乙勝出的概率分別為，，甲、乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響.(1)甲在比賽中恰好贏一輪的概率；(2)從甲、乙兩人中選1人參加比賽，派誰(shuí)參賽贏得比賽的概率更大？(3)若甲、乙兩人均參加比賽，求兩人中至少有一人贏得比賽的概率.【答案】(1)(2)派甲參賽獲勝的概率更大(3)【解析】（1）設(shè)“甲在第一輪比賽中勝出”，“甲在第二輪比賽中勝出”，“乙在第一輪比賽中勝出”，“乙在第二輪比賽中勝出”，則，，，相互獨(dú)立，且，，，，設(shè)“甲在比賽