《瞬時變化率-導數(shù)-曲線上一點處的切線》教案(一)

1.1.2《瞬時變化率-導數(shù)》教案（一）曲線上一點處的切線一、教學目標1.理解并掌握曲線在某一點處的切線的概念2．掌握用割線逼近切線的方法．3．會求曲線在一點處的切線的斜率與切線方程，二、教學重點、難點重點：理解曲線在一點處的切線和切線的斜率的定義，掌握曲線在一點處切線斜率的求法；難點：理解曲線在一點處的切線的定義，特別是對“無限逼近”、“局部以直代曲”的理解三、教學過程【問題情景】導數(shù)是解決函數(shù)的最大值、最小值問題的有力工具.導數(shù)的知識形成一門學科，就是我們通常所說的微積分.微積分除了解決最大值、最小值問題，還能解決一些復雜曲線的切線問題.導數(shù)的思想最初是法國數(shù)學家費馬(Fermat)為解決極大、極小問題而引入的.但導數(shù)作為微分學中最主要概念，卻是英國科學家牛頓(Newton)和德國數(shù)學家萊布尼茲(Leibniz)分別在研究力學與幾何學過程中建立的.微積分能成為獨立的科學并給整個自然科學帶來革命性的影響，主要是靠了牛頓和萊布尼茲的工作.但遺憾的是他們之間發(fā)生了優(yōu)先權(quán)問題的爭執(zhí).其實，他們差不多是在相同的時間相互獨立地發(fā)明了微積分.方法類似但在用語、符號、算式和量的產(chǎn)生方式稍有差異.牛頓在1687年以前沒有公開發(fā)表，萊布尼茲在1684年和1686年分別發(fā)表了微分學和積分學.所以，就發(fā)明時間而言，牛頓最于萊布尼茲，就發(fā)表時間而言，萊布尼茲則早于牛頓.關于誰是微積分的第一發(fā)明人，引起了爭論.而我們現(xiàn)在所用的符號大多數(shù)都是萊布尼茲發(fā)明的.而英國認為牛頓為第一發(fā)明人，拒絕使用萊布尼茲發(fā)明的符號，因此，使自己遠離了分析的主流【學生活動，建構(gòu)數(shù)學】（一）點附近的曲線1．平均變化率：函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為．即曲線上兩點的連線（割線）的斜率。顯然平均變化率近似地刻畫了曲線在某個區(qū)間上的變化趨勢。2．如何精確地刻畫曲線上某一點處的變化趨勢呢？（點附近的曲線的研究）（從直線上某點的變化趨勢的研究談起，結(jié)合“天圓地方”的故事帶來“宏觀上曲，微觀上直”，“曲絕對，直相對”的初步感受，后提出“放大圖形”的樸素方法．）放大放大再放大C1放大再放大放大再放大C2（1）觀察“點附近的曲線”，隨著圖形放大，你看到了怎樣的現(xiàn)象？曲線有點像直線（2）這種現(xiàn)象下，這么一條特殊位置的曲線從其趨勢看幾乎成了直線這種思維方式就叫做“逼近思想”。從上面的學習過程來看：1）．曲線在點附近看上去幾乎成了直線2468121416P2468121416PDEmQl3）．點附近可以用這條直線代替曲線這樣，我們就可以用直線的斜率來刻畫曲線經(jīng)過點時的變化趨勢練習：見課本（文P62，理P10）第3題：；。3.怎樣找到經(jīng)過曲線上一點P處最逼近曲線的直線呢？如圖（1）試判斷哪條直線在點附近更加逼近曲線？（2）在點附近能作出比更加逼近曲線的直線么？（3）在點附近能作出比，更加逼近曲線的直線么？說明：隨著點沿曲線向點運動，直線在點附近越來越逼近曲線．（二）圓的切線與曲線的切線直線和圓有惟一公共點時，叫做直線和圓相切。這時直線叫做圓的切線，惟一的公共點叫做切點。問題：能不能把圓的切線推廣為一般曲線的切線呢？（請學生說出推廣的結(jié)果后，教師引導學生加以剖析）。曲線的切線觀察圖形得出：相切可能不止一個交點，有惟一交點的也不一定是相切。所以對于一般的曲線，必須重新尋求曲線切線的定義。（三）曲線上點P處的切線及其斜率1．割線逼近切線為曲線上不同于點的一點，這時，直線稱為曲線的割線；隨著點沿曲線向點運動，割線在點附近越來越逼近曲線，當點無限逼近點時，直線最終成為點處最逼近曲線的直線，這條直線也稱為曲線在點處的切線．2．割線斜率逼近切線斜率切線的概念提供了求切線斜率的方法．問題：對比平均變化率這一近似刻畫曲線在某個區(qū)間上的變化趨勢的數(shù)學模型，在這里平均變化率表示為什么？又用怎樣數(shù)學模型來刻畫曲線上點處的變化趨勢呢？為了更好地反映點沿曲線向點運動，我們選擇了一個變量．不妨設，點的橫坐標為，則點的縱坐標為，則割線的斜率為=，當點沿著曲線向點無限靠近時，割線的斜率就會無限逼近點處切線斜率，即當無限趨近于0時，無限趨近點處切線斜率（即為取0時的值）．【數(shù)學運用】例1試求f(x)=x2在點(2,4)處的切線斜率。分析：設則割線PQ的斜率為當Q沿曲線逼近點P時，割線PQ逼近點P處的切線，從而割線斜率逼近切線斜率；當Q點橫坐標無限趨近于P點橫坐標時，即無限趨近于2時，無限趨近于常數(shù)4；.練習：試求f(x)=x2+1在x=1處的切線斜率．解：由題意，設，則割線PQ的斜率當無限趨近于0時，無限趨近于常數(shù)2，從而曲線在點的切線斜率為2.總結(jié)：求曲線y=f(x)上一點P(x0,f(x0))處切線斜率的一般步驟:1.設曲線上另一點Q(x0+Δx，f(x0+Δx))；2.求出割線PQ的斜率，并化簡；3.令Δx趨向于0,若上式中的割線斜率“逼近”一個常數(shù)，則其即為所求切線斜率。變1：已知，求曲線在處的切線斜率和切線方程．變2：已知，求曲線在處的切線斜率和切線方程．變3：已知，求曲線在處的切線斜率是多少？例2已知曲線y=2x2上一點A(1，2)，求(1)點A處的切線的斜率.(2)點A處的切線方程.【課堂練習】2.已知，求曲線在處的切線斜率是多少？【課堂總結(jié)】1.曲線上一點P處的切線是過點P的所有直線中最接近P點附近曲線的直線，則P點處的變化趨勢可以由該點處的切線反映。(局部以直代曲)2.根據(jù)定義,利用割線逼近切線的方法,可以求出曲線在一點處的切線斜率和方程?！菊n后作業(yè)】1．曲線的方程為y=x2+1，那么求此曲線在點P(1，2)處的切線的斜率，以及切線的方程.2．求曲線f(x)=x3+2x+1在點(1，4)處的切線方