專題07直線和圓的方程的壓軸題（一）-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)考點(diǎn)培優(yōu)訓(xùn)練（人教A版2019選擇性）

專題07專題07直線和圓的方程的壓軸題（一）

姓名：___________班級：___________得分：___________1．已知是圓的一條弦，且，是的中點(diǎn)，當(dāng)弦在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線上存在兩點(diǎn)，使得恒成立，則線段長度的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題可知：，圓心，半徑，又，是的中點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)的軌跡方程，圓心為點(diǎn)，半徑為，若直線上存在兩點(diǎn)，使得恒成立，則以為直徑的圓要包括圓，點(diǎn)到直線的距離為，所以長度的最小值為，故選：B．2．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)滿足，記為點(diǎn)到直線的距離.當(dāng)變化時(shí)，的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】直線過定點(diǎn)，對于任意確定的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，當(dāng)不垂直時(shí)，過點(diǎn)作，此時(shí)，如圖所示：因?yàn)?，所以，所以，由上可知：?dāng)確定時(shí)，即為，且此時(shí)；又因?yàn)樵谌鐖D所示的正方形上運(yùn)動(dòng)，所以，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)與重合，此時(shí)，所以，故選：C.3．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)距離為2，且與點(diǎn)距離為3的直線共有（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【解析】當(dāng)直線不存在斜率時(shí)，設(shè)為，由題意可知：且，沒有實(shí)數(shù)使得兩個(gè)式子同時(shí)成立；當(dāng)直線存在斜率時(shí)，設(shè)直線方程為：，點(diǎn)到該直線的距離為2，所以有，點(diǎn)到該直線的距離為3，所以有，由得：或，當(dāng)時(shí)，代入中，得，該方程的判別式，該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，代入中，得，該方程的判別式，該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以這樣的直線共有三條，故選：C.4．若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)函數(shù)，，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)與圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，函數(shù)圖像是單位圓的上半圓，畫出函數(shù)圖像如下：當(dāng)圖像過時(shí)，，當(dāng)圖像與半圓相切時(shí)，解得或（舍），要時(shí)函數(shù)與圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，，故選：A.5．設(shè)直線系，，對于下列四個(gè)命題：（1）中所有直線均經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)；（2）存在定點(diǎn)不在中的任意一條直線上；（3）對于任意整數(shù)，，存在正邊形，其所有邊均在中的直線上；（4）中的直線所能圍成的正三角形面積都相等；其中真命題的是（）A．（2）（3） B．（1）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）【答案】A【解析】因?yàn)辄c(diǎn)到直線系中每條直線的距離，直線系表示圓的切線集合.（1）由于直線系表示圓的所有切線，其中存在兩條切線平行，所有中所有直線均經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)不可能，故（1）不正確；（2）存在定點(diǎn)不在中的任意一條直線上，觀察知點(diǎn)符合條件，故（2）正確；（3）由于圓的所有外切正多邊形的邊都是圓的切線，所以對于任意整數(shù)，存在正變形，其所有邊均在的直線上，故（3）正確；（4）如下圖，中的直線所能圍成的正三角形有兩類，一類如，一類是,顯然這兩類三角形的面積不相等，故（4）不正確.故選：A6．已知函數(shù)，若存在非零實(shí)數(shù)，使得成立，則的最小值為（）．A． B． C．16 D．4【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，所以因?yàn)榇嬖诜橇銓?shí)數(shù)，，所以存在實(shí)數(shù)，使成立，又的幾何意義為坐標(biāo)原點(diǎn)與點(diǎn)的距離的平方，記，，則．故，即為，表示動(dòng)點(diǎn)的軌跡，設(shè)為直線，則原點(diǎn)與點(diǎn)的距離的最小值為原點(diǎn)到直線的距離，故，因?yàn)?，在上是增函?shù)，所以，所以，當(dāng)時(shí)，取等號.故選：A．7．已知點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)向軸引垂線，垂足為，點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，則，由拋物線的定義知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號成立，設(shè)，則，令，則，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知，在R上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以的最小值為.故選：D8．設(shè)，為的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，，，（表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)）.則的最小值為A． B． C． D．【答案】A【解析】令可得，，，設(shè)，所以，所以數(shù)列單調(diào)遞減，所以數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，(增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)）當(dāng)時(shí)，且所以.，則的幾何意義為點(diǎn)，到點(diǎn)的距離的平方，即求點(diǎn)，到的距離的最小值，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；由函數(shù)的圖象可知當(dāng)時(shí)，.所以點(diǎn)，為時(shí)，它到的距離最小，，的最小值．∴的最小值為.故選：．9．若對圓上任意一點(diǎn)，的取值與，無關(guān)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A． B． C．或 D．【答案】D【解析】依題意表示到兩條平行直線和的距離之和與無關(guān)，故兩條平行直線和在圓的兩側(cè)，畫出圖像如下圖所示，故圓心到直線的距離，解得或（舍去）故選D.10．定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），則d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P、Q兩點(diǎn)的“垂直距離”，已知點(diǎn)M（x0，y0）是直線ax+by+c＝0外一定點(diǎn)，點(diǎn)N是直線ax+by+c＝0上一動(dòng)點(diǎn)，則M、N兩點(diǎn)的“垂直距離”的最小值為（）A． B．C． D．|ax0+by0+c|【答案】A【解析】由題意，點(diǎn)是直線外一定點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，可設(shè)，則兩點(diǎn)的“垂直距離”為：所以兩點(diǎn)的“垂直距離”的最小值為．故選A．11．如圖，已知圓O∶，過點(diǎn)E(1，0)的直線l與圓相交于A，B兩點(diǎn).（1）當(dāng)|AB|=時(shí)，求直線l的方程；（2）已知D在圓O上，C(2，0)，且AB⊥CD，求四邊形ACBD面積的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，則直線的方程為，所以圓心到直線的距離，因?yàn)椋?，解得，所以直線的方程為．（2）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，，，四邊形的面積，當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線方程為，即，則直線方程為，即，點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離，，則四邊形面積，令（當(dāng)時(shí)，四邊形不存在），，四邊形面積的最大值為．12．利用向量知識可以計(jì)算點(diǎn)到直線的距離，例如：直角坐標(biāo)平面內(nèi)有一直線，求點(diǎn)到該直線的距離d，可以按以下步驟計(jì)算；第一步，在直線上取兩點(diǎn)和，則向量；第二步，寫出一個(gè)與垂直的向量；第三步，求出在上的投影向量；第四步，求出距離，請根據(jù)以上方法完成下面兩個(gè)小題：（1）求點(diǎn)到直線的距離；（2）求點(diǎn)到直線的距離．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）第一步，在直線上取兩點(diǎn)和，則向量；第二步，設(shè)且，則有，令，則，即；第三步，，在上的投影向量第四步，求出距離，所以點(diǎn)到直線的距離為；（2）第一步，在直線上取兩點(diǎn)和，則向量；第二步，設(shè)且，則有，令，則，即；第三步，，在上的投影向量第四步，求出距離，所以點(diǎn)到直線的距離為.13．已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的比為，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求的軌跡方程，并說明其形狀；（2）過直線上的動(dòng)點(diǎn)分別作的兩條切線、（、為切點(diǎn)），為弦的中點(diǎn)，直線：分別與軸、軸交于點(diǎn)、，求的面積的取值范圍.【答案】（1），曲線是以為圓心，半徑為2的圓；（2）.【解析】解：（1）設(shè)，由，得.化簡得，即.故曲線是以為圓心，半徑為2的圓.（2）法一(由兩圓相交弦方程求切點(diǎn)弦方程)：由題意知,、與圓相切，、為切點(diǎn)，則，，則D、R、P、Q四點(diǎn)共圓，Q、R在以為直徑的圓上(如圖).設(shè)，又，則的中點(diǎn)為，.以線段為直徑的圓的方程為，整理得①(也可用圓的直徑式方程化簡得.)又、在：②上，由兩圓方程作差即②①得：.所以，切點(diǎn)弦所在直線的方程為.法二(求Q、R均滿足的同一直線方程即切點(diǎn)弦方程)：設(shè)，，.由，可得處的切線上任一點(diǎn)滿足(如圖)，即切線方程為.整理得.又，整理得.同理，可得處的切線方程為.又既在切線上，又在切線上，所以，整理得.顯然，，的坐標(biāo)都滿足直線的方程.而兩點(diǎn)確定一條直線，所以切點(diǎn)弦所在直線的方程為.則恒過坐標(biāo)原點(diǎn).由消去并整理得.設(shè)，，則.點(diǎn)縱坐標(biāo).因?yàn)?，顯然，所以點(diǎn)與點(diǎn)，均不重合.(或者由對稱性可知，的中點(diǎn)N點(diǎn)在x軸上當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在x軸上，因?yàn)?，點(diǎn)P不在x軸上，則點(diǎn)N也不在x軸上，所以點(diǎn)與、均不重合.)因?yàn)闉橄业闹悬c(diǎn)，且為圓心，由圓的性質(zhì)，可得，即(如圖).所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，圓心為，半徑.因?yàn)橹本€分別與軸、軸交于點(diǎn)、，所以，，.又圓心到直線的距離.設(shè)的邊上的高為，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為；點(diǎn)到直線的距離的最大值為(如圖).則的最小值，最大值.因此，的面積的取值范圍是.14．如圖，點(diǎn)P（x0，y0）是圓O：x2+y2＝9上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓O的切線l與圓O1：（x﹣a）2+（y﹣4）2＝100（a＞0）交于A，B兩點(diǎn)，已知當(dāng)直線l過圓心O1時(shí)，|O1P|＝4．（1）求a的值；（2）當(dāng)線段AB最短時(shí)，求直線l的方程；（3）問：滿足條件的點(diǎn)P有幾個(gè)？請說明理由．【答案】（1）a＝3；（2）3x+4y+15＝0；（3）2個(gè)，理由見解析．【解析】解：(1)當(dāng)直線l過圓心點(diǎn)O1時(shí)，，解得a＝3(負(fù)值舍去)．(2)解法1(代數(shù)法)：因?yàn)镺P與圓O相切，所以直線l的方程為x0x+y0y＝9，且，所以圓心O1到直線l的距離，記z＝3x0+4y0，則直線3x0+4y0﹣z＝0與圓有公共點(diǎn)，所以圓心(0，0)到直線3x+4y﹣z＝0的距離，所以﹣15?z?15，所以當(dāng)z＝﹣15時(shí)，dmax＝8，此時(shí)弦長最短，由，解得，所以直線l的方程為3x+4y+15＝0．解法2(幾何法)：如圖，過O1作O1M⊥AB，則M為弦AB的中點(diǎn)，設(shè)d＝|O1M|，當(dāng)|O1M|最長時(shí)，弦長|AB|最短，因?yàn)閐?|O1P|?|OO1|+|OP|＝8，當(dāng)且僅當(dāng)O1，O，P三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值，此時(shí)OO1⊥AB，因?yàn)椋灾本€OO1的方程為，由，解得(P點(diǎn)在第3象限)所以直線l的方程為3x+4y+15＝0．(3)因?yàn)椋栽O(shè)|AP|＝t，則|BP|＝3t(t＞0)，所以|AB|＝4t，所以d2+(2t)2＝100①，(i)如圖，當(dāng)O1，O在直線AB同側(cè)時(shí)，t2＝|MP|2＝25﹣(d﹣3)2②，由①②得d＝6或d＝2，當(dāng)d＝6時(shí)，直線AB可看作是圓x2+y2＝9與圓(x﹣3)2+(y﹣4)2＝36的公切線，此時(shí)兩圓相交，公切線有兩條，所以滿足條件的點(diǎn)P有2個(gè)，d＝2時(shí)，直線AB可看作是圓x2+y2＝9與圓(x﹣3)2+(y﹣4)2＝4的公切線，此時(shí)兩圓相外切，外公切線有兩條，所以滿足條件的點(diǎn)P有2個(gè)，(ii)如圖，當(dāng)O1，O在直線AB異側(cè)時(shí)，t2＝|MP|2＝25﹣(d+3)2，③由①③可得d＝﹣6或d＝﹣2(舍)，滿足條件的P點(diǎn)不存在，綜上，滿足條件的點(diǎn)P共有4個(gè)．附：當(dāng)d＝6時(shí)，即|3x0+4y0﹣9|＝18，由解得P(﹣3，0)或，當(dāng)d＝2時(shí)，即|3