現(xiàn)代控制理論-9

現(xiàn)代控制理論

ModernControlTheory

(9)俞立浙江工業(yè)大學信息工程學院第4章系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析給定一個靜止的系統(tǒng)，（1）給了一個初始擾動，它是否會恢復到靜止狀態(tài)；（2）在持續(xù)擾動下，系統(tǒng)的輸出是否有界；不同的穩(wěn)定性概念：（1）李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性；（2）輸入輸出穩(wěn)定性處理不同的擾動！李雅普諾夫穩(wěn)定性李雅普諾夫第一方法：利用矩陣特征值李雅普諾夫第二方法：利用能量函數(shù)（直接法）李雅普諾夫（1857－1918）1892年在博士論文中提出穩(wěn)定性理論1907（15年后）出版了法文版1992（100年后）出版了英文版當今任何一本控制期刊都有李雅普諾夫的名字李雅普諾夫穩(wěn)定性理論在許多領(lǐng)域存在應(yīng)用經(jīng)典動力學結(jié)構(gòu)動力學流體力學航空動力學化學動力學生物學經(jīng)濟學控制李雅普諾夫穩(wěn)定性理論在許多領(lǐng)域存在應(yīng)用Lyapunov穩(wěn)定性1。平衡點；2。通過系統(tǒng)能量來分析穩(wěn)定性；3。李雅普諾夫函數(shù)。關(guān)鍵：選取適當?shù)睦钛牌罩Z夫函數(shù)，給出判別其增加還是減小的方法。用導數(shù)的正負來判別函數(shù)的增加或減少；問題：需要有判別一個函數(shù)定號的方法！解決方法：二次型函數(shù)定號性判據(jù)。優(yōu)點：1）用于分析；2）用于設(shè)計。平衡狀態(tài)自治系統(tǒng)模型：假定：初始條件自治系統(tǒng)有惟一解使得成立的狀態(tài)xe

稱為是平衡狀態(tài)。平衡狀態(tài)

靜止狀態(tài)（時間導數(shù)等于零）對一個系統(tǒng)，可能沒有平衡狀態(tài)；存在一個平衡狀態(tài)；存在無窮多個平衡狀態(tài)。，當A

為非奇異矩陣時，有惟一平衡狀態(tài)當A

為奇異矩陣時，有無窮多平衡狀態(tài)假定：零狀態(tài)是自治系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，

（非零狀態(tài)的平衡點可以平移到零狀態(tài)）n維空間中的任意一個點到原點距離稱為歐幾里德范數(shù)（實數(shù)中絕對值的推廣）。半徑為r的球域：狀態(tài)軌線滿足定義：對自治系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe=0

，若對任意給定的，存在一個，使得只要狀態(tài)軌線的初始狀態(tài)滿足，由該初始狀態(tài)出發(fā)的狀態(tài)軌線滿足那么，系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe=0

稱為是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。系統(tǒng)能承受小的擾動！定義：對自治系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe=0

，若該平衡狀態(tài)xe=0

是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，且當t→

時，始于原點小鄰域的軌線滿足x(t)→0，則平衡狀態(tài)xe=0

稱為是李雅普諾夫意義下漸近穩(wěn)定的。完全能承受小的擾動！漸近穩(wěn)定性是局部性質(zhì)。需要確定漸近穩(wěn)定域，吸引域。大范圍漸近穩(wěn)定。不穩(wěn)定：無論從原點多小領(lǐng)域中出發(fā)的狀態(tài)軌線都難以保持在原點的小鄰域中。能量函數(shù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論建立了系統(tǒng)能量與穩(wěn)定性之間的關(guān)系。需要有一個抽象的能量函數(shù)來描述系統(tǒng)的虛擬能量。能量函數(shù)：狀態(tài)和時間的標量函數(shù)V(x,t)

能量函數(shù)的定號性：V(x)正定：對所有非零的x，V(x,t)的正定性：存在正定函數(shù)W(x)，使得對所有非零的x，，負定：V(x)負定－V(x)

正定能量函數(shù)半正定：對所有x，，且。半負定：V(x)半負定－V(x)半正定。

不定：無論在原點的多么小領(lǐng)域內(nèi)V(x)

既可以取到正值，也可以取到負值。例是正定的；是半正定的；（1）（2）對，是負定的；是不定的。二次型函數(shù)關(guān)于xi和xj

的二次多項式。注意：和是同類項。例矩陣P是對稱的，稱為表示矩陣。二次型函數(shù)的定號性就是矩陣P的定號性。問題：如何判別矩陣P的定號性？塞爾維斯