2024-2025學(xué)年北京市西城區(qū)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年北京市西城區(qū)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題本試卷共4頁(yè)，共150分．考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘．考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第一部分（選擇題，共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.直線的傾斜角是，則斜率是（）A. B. C. D.2.已知點(diǎn)P在橢圓上，點(diǎn)，，則（）A.2 B. C. D.3.已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，則實(shí)數(shù)（）A.－2 B.－1 C.1 D.24.以點(diǎn)為圓心，且與x軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.5.已知為直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，記的軌跡為，則（）A.是一個(gè)半徑為的圓 B.是一條與相交的直線C.上的點(diǎn)到的距離均為 D.是兩條平行直線6.如圖，三棱錐中，平面，，且ΔABC為邊長(zhǎng)等于2的正三角形，則與平面所成角的正弦值為A. B. C. D.7.點(diǎn)M是直線上的動(dòng)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)（）．A.和 B.和C.和 D.和8.“”是“橢圓的離心率為”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件9.布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)·芬奇方磚，在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1），把三片這樣的達(dá)·芬奇方磚形成圖2的組合，這個(gè)組合表達(dá)了圖3所示的幾何體．若圖3中每個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則點(diǎn)P到平面QGC的距離是（）A. B. C. D.110.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方形的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)．以下四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.存點(diǎn)P滿足B.存在點(diǎn)P滿足C.滿足的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為D.滿足的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為第二部分（非選擇題，共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.橢圓的離心率是_________．12.已知直線：，：．若，則實(shí)數(shù)m的值為______．13.在正三棱柱中，，，則異面直線與所成角的大小為______．14.已知點(diǎn)P是圓上動(dòng)點(diǎn)，直線：，：，記P到直線，的距離分別為，（若P在直線上，則記距離為0），（1）的最大值為______；（2）若當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，為定值，則m取值范圍是______．15.伯努利雙紐線（簡(jiǎn)稱雙紐線）是瑞士數(shù)學(xué)家伯努利（1654-1705）在1694年提出的．伯努利將橢圓的定義作了類比處理，指出是到兩個(gè)定點(diǎn)距離之積為定值的點(diǎn)的軌跡是雙紐線．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，到定點(diǎn)，的距離之積為的點(diǎn)的軌跡C就是伯努利雙紐線，C的方程為，其形狀類似于符號(hào)∞，若點(diǎn)是軌跡C上一點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線C關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱；②恒成立；③曲線C上任一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不超過；④當(dāng)時(shí)，取得最大值或最小值．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．三、解答題共6小題，共85分．解答題應(yīng)寫出文字說明、驗(yàn)算步驟或證明過程．16.已知直線l：，．（1）當(dāng)直線l與直線垂直時(shí)，求的值；（2）設(shè)直線l恒過定點(diǎn)P，求P的坐標(biāo)；（3）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，直線l與圓總有公共點(diǎn)，直接寫出r的取值范圍．17.已知經(jīng)過點(diǎn)，，并且圓心C在直線上，（1）求的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線l與交于M，N兩點(diǎn)，若，求l的方程．18.已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為和，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)P為橢圓C上一點(diǎn)，．若存在實(shí)數(shù)使得，求的取值范圍．19.如圖，在三棱臺(tái)中，若平面，為中點(diǎn)，為棱上一動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）.（1）若為的中點(diǎn)，求證：平面.（2）是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角余弦值為？若存在，求出長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由.20.平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M到點(diǎn)的距離比它到x軸的距離多1，記點(diǎn)M的軌跡為C．（1）求軌跡C的方程；（2）設(shè)斜率為k的直線l過定點(diǎn)，若直線l與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．21.用一個(gè)矩形鐵皮制作成一個(gè)直角圓形彎管（如圖1）：將該矩形鐵皮圍成一個(gè)圓柱體（如圖2），再用一個(gè)與圓柱底面所成的平面截圓柱，將圓柱截成兩段，再將這兩段重新拼接就可以得到直角圓形彎管．現(xiàn)使用長(zhǎng)為，寬為的矩形鐵皮制作一個(gè)直角圓形彎管，當(dāng)?shù)玫降闹苯菆A形彎管的體積最大時(shí)（不計(jì)拼接損耗部分），解答下列問題．（1）求該直角圓形彎管的體積；（2）已知在制造直角圓形彎管時(shí)截得的截口是一個(gè)橢圓，求該橢圓的離心率；（3）如圖3，若將圓柱被截開的一段的側(cè)面沿著圓柱的一條母線剪開，并展成平面圖形（如圖4），證明：該截口展開形成的圖形恰好是某正弦型函數(shù)的部分圖象，并指出該正弦型函數(shù)的最小正周期與振幅．2024-2025學(xué)年北京市西城區(qū)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題本試卷共4頁(yè)，共150分．考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘．考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第一部分（選擇題，共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.直線的傾斜角是，則斜率是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由直線的傾斜角與斜率的關(guān)系即得.【詳解】∵直線的傾斜角是，∴直線的斜率為.故選：C.2.已知點(diǎn)P在橢圓上，點(diǎn)，，則（）A.2 B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)題意由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程以及橢圓定義即可得出結(jié)果.【詳解】由橢圓方程為可知，則，即為橢圓的左、右焦點(diǎn)，由橢圓定義可得.故選：C3.已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，則實(shí)數(shù)（）A.－2 B.－1 C.1 D.2【正確答案】D【分析】根據(jù)圓關(guān)于直線對(duì)稱即圓心在直線上得到答案.【詳解】將化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，因?yàn)閳A關(guān)于直線對(duì)稱，所以圓心在直線上，即，解得.故選：D.4.以點(diǎn)為圓心，且與x軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)圓心和半徑可得圓的方程.【詳解】以點(diǎn)為圓心，且與x軸相切的圓的半徑為1．故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．故選:A．5.已知為直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，記的軌跡為，則（）A.是一個(gè)半徑為的圓 B.是一條與相交的直線C.上的點(diǎn)到的距離均為 D.是兩條平行直線【正確答案】C【分析】設(shè)，由可得點(diǎn)坐標(biāo)，由在直線上，故可將點(diǎn)代入坐標(biāo)，即可得軌跡，結(jié)合選項(xiàng)即可得出正確答案.【詳解】設(shè)，由，則，由在直線上，故，化簡(jiǎn)得，即的軌跡為為直線且與直線平行，上的點(diǎn)到的距離，故A、B、D錯(cuò)誤，C正確.故選：C.6.如圖，三棱錐中，平面，，且ΔABC為邊長(zhǎng)等于2的正三角形，則與平面所成角的正弦值為A. B. C. D.【正確答案】B【分析】先過A點(diǎn)作出高線，利用等體積法先求高線，再計(jì)算線面角．【詳解】過點(diǎn)作垂直于平面的直線，垂足為O，利用等體積法求解．，由此解得，與平面所成角為，所以,故選B本題考查了等體積法和線面角的基本求法，綜合性強(qiáng)，在三棱錐中求高線，利用等體積法是一種常見處理手段，計(jì)算線面角，先找線面角，要找線面角必找垂線，而求解垂線的基本方法為等體積法或者點(diǎn)到平面的距離公式．7.點(diǎn)M是直線上的動(dòng)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)（）．A.和 B.和C.和 D.和【正確答案】D【分析】過點(diǎn)作垂直于直線，根據(jù)圓的性質(zhì)可得以為直徑的圓過定點(diǎn)和，得解.【詳解】如圖，過點(diǎn)作垂直于直線，垂足為，則以為直徑的圓過定點(diǎn)和，易知直線的方程為，聯(lián)立，解得，即.所以以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)和.故選：D8.“”是“橢圓的離心率為”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】根據(jù)橢圓的離心率為求出m，進(jìn)而求得答案.【詳解】橢圓的離心率為，當(dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，，得．即“”是“橢圓的離心率為”的充分不必要條件．故選：A.9.布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)·芬奇方磚，在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1），把三片這樣的達(dá)·芬奇方磚形成圖2的組合，這個(gè)組合表達(dá)了圖3所示的幾何體．若圖3中每個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則點(diǎn)P到平面QGC的距離是（）A. B. C. D.1【正確答案】B【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量法求解點(diǎn)到面的距離，即可得到結(jié)果.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得，所以點(diǎn)P到平面QGC的距離是.故選：B10.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方形的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)．以下四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.存在點(diǎn)P滿足B.存在點(diǎn)P滿足C.滿足的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為D.滿足的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為【正確答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決此題，對(duì)于A，利用兩個(gè)特殊點(diǎn)求出的值，判斷在此范圍內(nèi)即可；對(duì)于B，利用向量垂直數(shù)量積等于零解方程即可求點(diǎn)坐標(biāo)；對(duì)于C，D利用向量垂直數(shù)量積等于零可求點(diǎn)的軌跡方程，根據(jù)圖形找到點(diǎn)的軌跡求長(zhǎng)度即可．【詳解】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則,0,，,0,，，,1,，動(dòng)點(diǎn)設(shè)為,1,，對(duì)于A，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，所以存在點(diǎn)滿足，所以A正確；對(duì)于B，，，若，則，化簡(jiǎn)得：，解得，即，滿足題意，所以B正確；對(duì)于C，，，若，則，即，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡為線段，長(zhǎng)度為，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，若，則，即，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡為線段，長(zhǎng)度為，所以D正確．故選：C．第二部分（非選擇題，共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.橢圓的離心率是_________．【正確答案】【分析】利用標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a，b，然后求解c，即可求解離心率．【詳解】橢圓的長(zhǎng)半軸為a＝3，短半軸為b＝2，則半焦距為c．所以橢圓的離心率為：e．故答案為．本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求法，是基礎(chǔ)題．12.已知直線：，：．若，則實(shí)數(shù)m的值為______．【正確答案】－3【分析】根據(jù)兩直線平行的條件列式求解即可.【詳解】若，則，解得或，當(dāng)時(shí)，直線：與：重合，不符合題意；當(dāng)時(shí)，直線：與：，符合題意，綜上，故－3.13.在正三棱柱中，，，則異面直線與所成角的大小為______．【正確答案】【分析】利用異面直線夾角的向量求法建立空間直角坐標(biāo)系計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】分別取的中點(diǎn)，連接，由正三柱性質(zhì)可知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：由，可得，所以，又，且；所以.故14.已知點(diǎn)P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，直線：，：，記P到直線，的距離分別為，（若P在直線上，則記距離為0），（1）的最大值為______；（2）若當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，為定值，則m的取值范圍是______．【正確答案】①.3②.【分析】（1）根據(jù)圓上點(diǎn)到直線的距離最大值為圓心到直線的距離加半徑求解即可；（2）根據(jù)為定值，分析得到圓的位置，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系求解.【詳解】（1）圓，圓心1,0，半徑為，圓心到直線的距離，所以P到直線的距離的最大值為；（2）當(dāng)時(shí)，兩直線重合，不符題意；當(dāng)時(shí)，直線，平行，若當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，為定值，所以圓在兩平行線之間，此時(shí)直線與圓相離，所以，解得或，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，直線，在圓同側(cè)，不符合題意，所以，故3，.15.伯努利雙紐線（簡(jiǎn)稱雙紐線）是瑞士數(shù)學(xué)家伯努利（1654-1705）在1694年提出的．伯努利將橢圓的定義作了類比處理，指出是到兩個(gè)定點(diǎn)距離之積為定值的點(diǎn)的軌跡是雙紐線．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，到定點(diǎn)，的距離之積為的點(diǎn)的軌跡C就是伯努利雙紐線，C的方程為，其形狀類似于符號(hào)∞，若點(diǎn)是軌跡C上一點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線C關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱；②恒成立；③曲線C上任一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不超過；④當(dāng)時(shí)，取得最大值或最小值．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．【正確答案】①②③【分析】根據(jù)曲線的方程，結(jié)合對(duì)稱性的判定方法，聯(lián)立方程組，以及不等式和三角形面積，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】在曲線上任取一點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，代入曲線的方程，可知在曲線上，所以曲線C關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，故①正確；因?yàn)辄c(diǎn)軌跡C上一點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，即，所以，故②正確；因?yàn)椋?，所以，所以曲線C上任一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不超過，故③正確；因?yàn)?，所以，又，所以，即，所以，?dāng)時(shí)等號(hào)成立，故④錯(cuò)誤，故①②③方法點(diǎn)睛：本題考查曲線的軌跡及其性質(zhì)的問題，同時(shí)需要結(jié)合解三角形的方法對(duì)所給信息進(jìn)行辨析.三、解答題共6小題，共85分．解答題應(yīng)寫出文字說明、驗(yàn)算步驟或證明過程．16.已知直線l：，．（1）當(dāng)直線l與直線垂直時(shí)，求的值；（2）設(shè)直線l恒過定點(diǎn)P，求P的坐標(biāo)；（3）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，直線l與圓總有公共點(diǎn)，直接寫出r的取值范圍．【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根據(jù)直線與直線垂直關(guān)系列方程即可求得的值；（2）將直線方程轉(zhuǎn)化為，列方程組解得定點(diǎn)坐標(biāo)即可；（3）根據(jù)直線與圓位置關(guān)系結(jié)合點(diǎn)與圓位置關(guān)系求解即可.【小問1詳解】當(dāng)直線l：與直線垂直時(shí)，可得，解得；【小問2詳解】直線l：方程整理得，令，解得即直線l恒過定點(diǎn)；【小問3詳解】對(duì)任意的實(shí)數(shù)，直線l與圓總有公共點(diǎn)，則直線l恒過定點(diǎn)在圓上或者圓內(nèi)，則，即.17.已知經(jīng)過點(diǎn)，，并且圓心C在直線上，（1）求的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線l與交于M，N兩點(diǎn)，若，求l的方程．【正確答案】（1）（2）或．【分析】（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)確定線段的垂直平分線方程，從而聯(lián)立直線可得圓心坐標(biāo)，根據(jù)圓的定義得半徑，從而得圓的方程；（2）根據(jù)直線與圓相交弦長(zhǎng)公式，分直線斜率存在與不存在兩種情況驗(yàn)證求解直線方程即可.【小問1詳解】因?yàn)?，，則，且線段AB中點(diǎn)為，則線段AB的垂直平分線的斜率為，故其方程為，即，由圓的對(duì)稱性知點(diǎn)C在AB的垂直平分線上，因此聯(lián)立解得即點(diǎn)，又因?yàn)?，所以圓C：．【小問2詳解】圓心，半徑當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，：，則圓心到直線的距離為，此時(shí)相交弦長(zhǎng)，滿足題意；當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)：，即，因?yàn)橄嘟幌议L(zhǎng)，所以C到的距離為，解得，此時(shí)，直線：，綜上，直線的方程為或．18.已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為和，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)P為橢圓C上一點(diǎn)，．若存在實(shí)數(shù)使得，求的取值范圍．【正確答案】（1）（2）．【分析】（1）根據(jù)橢圓的關(guān)系列方程組求得的值，即可得橢圓方程；（2）根據(jù)橢圓的定義可得，再根據(jù)兩點(diǎn)距離公式結(jié)合點(diǎn)在橢圓上求解的取值范圍，即可得所求.【小問1詳解】由題知解得所以，C方程為．【小問2詳解】由橢圓的定義可知，設(shè)點(diǎn)Px0,y0所以，因?yàn)?，所以，即?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，因?yàn)椋瑒t，所以．綜上所述，的取值范圍是．19.如圖，在三棱臺(tái)中，若平面，為中點(diǎn)，為棱上一動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）.（1）若為中點(diǎn)，求證：平面.（2）是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）利用三角形中位線定理，結(jié)合平行四邊形的判定定理和性質(zhì)、線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】連接，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槭钦馀_(tái)，，所以，于是有，因此四邊形是平行四邊形，所以平面，平面，所以平面【小問2詳解】假設(shè)存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為，因?yàn)槠矫嫫矫妫?，而，所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)，設(shè)平面的法向量為，，所以有，因?yàn)椋?，，所以平面，所以平面的法向量為，所以，解得，舍去，即，，即長(zhǎng)度.20.平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M到點(diǎn)的距離比它到x軸的距離多1，記點(diǎn)M的軌跡為C．（1）求軌跡C的方程；（2）設(shè)斜率為k的直線l過定點(diǎn)，若直線l與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【正確答案】（1）（2）．【分析】（1）根據(jù)題意列出等量關(guān)系并整理即可得出軌跡C的方程；（2）分情況將曲線C與直線方程聯(lián)立，根據(jù)方程根的個(gè)數(shù)求得實(shí)數(shù)k的取值范圍．【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)Mx,y，由題知，兩邊平方，并整理得,所以軌跡C的方程為.【小問2詳解】易知直線，當(dāng)時(shí)，如下圖所示：聯(lián)立，消去y得，，當(dāng)，即或時(shí)，有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)且滿足題意；當(dāng)，即時(shí)，無公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，，當(dāng)時(shí)，無公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn)；綜合以上可知當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，故k的取值范圍是．21.用一個(gè)矩形鐵皮制作成一個(gè)直角圓形