河北省石家莊一中2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題

高三學(xué)生全過程縱向評價(jià)專題二數(shù)學(xué)（時(shí)間120分鐘，滿分150分）注意事項(xiàng)：1．答題前、考生務(wù)必將自己的姓名、班級和考號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得集合，再根據(jù)交集的定義求解即可．【詳解】由題可知，，所以，故選：D．2.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法求復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念求.【詳解】因?yàn)椋?故選：A3.已知是單位向量，，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先計(jì)算向量的模，再計(jì)算與的數(shù)量積，進(jìn)而可得夾角的余弦值，可得答案.【詳解】，故．，設(shè)與的夾角為，則，又，故，故選：A．4.艷陽高照的夏天，“小神童”是孩子們喜愛的冰淇淋之一．一個(gè)“小神童”近似為一個(gè)圓錐，若該圓錐的側(cè)面展開的扇形面積是底面圓面積的2倍，圓錐的母線長為，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，由題意可得，可求，由圓錐的體積公式可求體積.【詳解】設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，則底面圓的面積為，側(cè)面面積為，由題意知，所以，解得，因此該圓錐的高，故該圓錐的體積．故選：C．5.已知數(shù)列均為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和分別為，滿足，則（）A.2 B.3 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，利用得出數(shù)列的性質(zhì)和得出數(shù)列的求和公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列均為等差數(shù)列，可得，且，又由，可得．因此.故選：A．6.已知雙曲線：，圓與圓的公共弦所在的直線是的一條漸近線，則的離心率為（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】兩圓的方程相減可得雙曲線的一條漸近線方程，據(jù)此可求雙曲線的離心率.【詳解】因?yàn)?，，所以兩圓方程相減可得，由題意知的一條漸近線為，即，雙曲線的離心率．故選：C．7.已知函數(shù)，若，，則的最小值為（）A.3 B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】由求出的取值，再根據(jù)，分是函數(shù)的一個(gè)對稱中心與不是對稱中心兩種情況討論，分別求出的最小值，即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，則或，又，，當(dāng)是函數(shù)的一個(gè)對稱中心時(shí)，，若，則，所以，則，又，所以當(dāng)時(shí)；若，則，所以，則，又，所以當(dāng)時(shí)；當(dāng)不是函數(shù)的一個(gè)對稱中心時(shí)，因?yàn)椋?，所以，所以，又，所以?dāng)時(shí)，綜上所述：.故選：C8.已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則t的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，問題等價(jià)于函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，判斷極值的符號，求結(jié)論成立的條件.【詳解】函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則有方程在上有三個(gè)不等實(shí)數(shù)根，顯然不符合要求，令，問題等價(jià)于在上有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，函數(shù)，則的定義域?yàn)椋腥齻€(gè)零點(diǎn)，，設(shè)，其中，①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，有，所以，單調(diào)遞增，不合題意；②當(dāng)，且，即時(shí)，，所以，單調(diào)遞增，不合題意；③當(dāng)，且，即時(shí)，設(shè)的兩根為，，解得，，，解得或，，解得，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，，?gòu)造函數(shù)，則有，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，有，所以，即.取，，（其中，所以，即，取，，（其中，所以，即，所以在上存在唯一零點(diǎn)，即在上存在唯一零點(diǎn)，在上存在唯一零點(diǎn)，即在上存在唯一零點(diǎn)，且，所以時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)，即時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法正確的是（）A.隨機(jī)變量，且，則B.隨機(jī)變量Y服從兩點(diǎn)分布，且，則C.對a，b兩個(gè)變量進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，得到相關(guān)系數(shù)為，對m，n兩個(gè)變量進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，得到相關(guān)系數(shù)為0.8278，則a與b負(fù)相關(guān)，m與n正相關(guān)，其中m與n的相關(guān)性更強(qiáng)D.在的展開式中，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)的二項(xiàng)式系數(shù)和為32【答案】ABD【解析】【分析】利用正態(tài)分布的概率分布曲線的對稱性即可計(jì)算判斷A；運(yùn)用兩點(diǎn)分布的數(shù)學(xué)期望、方差的定義與性質(zhì)即可判斷B；利用兩變量相關(guān)系數(shù)的意義即可判斷C；利用二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)特點(diǎn)即可判斷D．【詳解】對于A，由題意得，，，則，故A正確；對于B，因?yàn)閮牲c(diǎn)分布的，所以，所以，故B正確；對于C，因?yàn)?，且，所以a與b負(fù)相關(guān)，m與n正相關(guān)，且a與b的相關(guān)性更強(qiáng)，故C錯(cuò)誤；對于D，由的展開式知，取，得，取，得，兩式相減可得，，所以，所以的展開式中偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為32，故D正確.故選：ABD．10.已知定義在上的連續(xù)函數(shù)滿足，，，當(dāng)時(shí)，恒成立，則下列說法正確的是（）A. B.是偶函數(shù)C. D.的圖象關(guān)于對稱【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)所給關(guān)系式，利用賦值法一一計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，令可得，解得或，又?dāng)時(shí)，恒成立，所以，故A錯(cuò)誤；令，，則，即，所以為偶函數(shù)，故B正確；令，，則，所以，令，，則，所以，故C正確；令可得，令，可得，又，所以，即，所以，所以的圖象關(guān)于對稱，故D正確.故選：BCD11.已知在正方體中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)（包含邊界），且平面，球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，下列說法正確的是（）A.球的體積為 B.點(diǎn)的軌跡長度為C.異面直線與BP所成角的余弦值取值范圍為 D.三棱錐外接球與球內(nèi)切【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)正方體內(nèi)切球的性質(zhì)判斷A；利用面面平行確定點(diǎn)的軌跡，即可求得其長度，判斷B；根據(jù)異面直線所成角的概念，確定該角取到最值時(shí)的位置，即可判斷C；根據(jù)圓內(nèi)切的判斷條件可判斷D.【詳解】由題意知球的半徑為1，故其體積為，故A選項(xiàng)正確；取的中點(diǎn)為，連結(jié)，易知，平面，平面，故平面，連接MN，，即四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，所以平面．又因?yàn)?，平面，故平面平面，平面平面，結(jié)合平面，故點(diǎn)的軌跡為線段，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)椋十惷嬷本€與BP所成角等于或其補(bǔ)角，當(dāng)P位于N點(diǎn)時(shí)，得取得最小，;當(dāng)P位于點(diǎn)時(shí)，取得最大，，故選項(xiàng)正確；由正方體幾何性質(zhì)易知，故BM為三棱錐外接球的直徑，取為BM的中點(diǎn)，即為三棱錐外接球球心，由題意知為的中點(diǎn)，故，因?yàn)榍虻陌霃綖椋虻陌霃綖?，故三棱錐外接球與球內(nèi)切，D正確故選：ACD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答此類題目的關(guān)鍵是要發(fā)揮空間想象，明確空間的點(diǎn)線面的位置關(guān)系，依據(jù)相關(guān)定理以及性質(zhì)，準(zhǔn)確判斷，即可求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.如圖，一只螞蟻位于點(diǎn)M處，去搬運(yùn)位于N處的糖塊，的最短路線有_________條．【答案】150【解析】【分析】由分步乘法和分類加法計(jì)數(shù)原理及組合數(shù)的計(jì)算即可求解．【詳解】由題可知，的最短路線必經(jīng)過兩點(diǎn)，則的最短路線有種，的最短路線有種；最短路線有種，的最短路線有種；因?yàn)榈淖疃搪肪€有和，所以的最短路線有種，故答案為：150．13.函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】對求導(dǎo)，得到，利用基本不等式得到，，從而有在定義域上單調(diào)遞增，再根據(jù)條得到，從而將問題轉(zhuǎn)化成，即可求解.【詳解】由，得到，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋玫剑?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以在定義域上單調(diào)遞增，又，所以，由，得到，所以，解得，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于利用導(dǎo)數(shù)和基本不等式得到在定義域上單調(diào)遞增，根據(jù)條件得到，從而將問題轉(zhuǎn)化成求解不等式，再利用單調(diào)性，即可求解.14.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M（異于原點(diǎn)O）在拋物線上，過M作C的切線l，，垂足為N，直線MF與直線ON交于點(diǎn)A，點(diǎn)，則的最小值是______．【答案】##【解析】【分析】先確定點(diǎn)的軌跡，可求的最小值.【詳解】如圖：因點(diǎn)在拋物線上，且不與原點(diǎn)重合，可設(shè)（）.則過點(diǎn)的切線方程為：，即.因?yàn)橹本€與直線垂直，所以直線的方程為：.當(dāng)時(shí)，因?yàn)辄c(diǎn)坐標(biāo)為1,0，直線的方程為：.由得.設(shè)（）.當(dāng)時(shí)，直線：，直線：，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，直線：，直線：，此時(shí).點(diǎn)，都在圓上.所以點(diǎn)的軌跡為圓：.又，所以.故的最小值為：.故答案為：【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若點(diǎn)為二次曲線上一點(diǎn)，過該點(diǎn)的曲線的切線方程可以用如下方法得到：用代替，用代替，用代替，用代替.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在銳角中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，．（1）求B；（2）若，求的面積S取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和與兩角和與差的三角函數(shù)公式化簡可求角.（2）由正弦定理先求，然后結(jié)合三角形的面積公式及和差角，二倍角公式進(jìn)行化簡，在根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得．【小問1詳解】由，由正弦定理，可得，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以，所以，得，因?yàn)?，所以，所?【小問2詳解】∵，故，∴，所以，因?yàn)椋?，∴，∴，∴，故的面積的取值范圍為．16.如圖，在三棱柱中，四邊形是矩形，，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由得四邊形為菱形，則，由已知的數(shù)據(jù)結(jié)合勾股定理逆定理得，而，則平面，所以，再由線面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)BM，則兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【小問1詳解】證明：在平行四邊形中，因?yàn)椋运倪呅螢榱庑?，故，又因?yàn)?，故為等邊三角形，故．在中，?所以，故又因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，因此．又因?yàn)?，平面，所以平面；【小?詳解】解：取的中點(diǎn)，連結(jié)BM，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，因?yàn)椤?，所以，因平面，平面，所以，故兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，得；設(shè)平面的法向量為，則,令，得．設(shè)平面與平面所成角為，則．17.已知焦距為的橢圓的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，過F作直線與橢圓交于、兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），當(dāng)軸時(shí)，．（1）求橢圓的方程；（2）證明：是鈍角．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，求，可得橢圓的方程.（2）設(shè)直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理，再證即可.【小問1詳解】由題意：，所以橢圓的方程為：.【小問2詳解】如圖：因?yàn)?、兩點(diǎn)異于點(diǎn)，故直線斜率不為.設(shè)直線：，由.設(shè)，，則，.所以，所以為鈍角或平角（舍去）.故為鈍角.18.已知函數(shù)的最小值是，．（1）求a的值；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求整數(shù)k的最大值．【答案】（1）2（2）2【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最小值，利用最小值為，可求的值.（2）構(gòu)造函數(shù)，，利用?x>0恒成立，可求的取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)?，所?由f′x>0；由f′x所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.由.【小問2詳解】設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化為?x在上的最小值大于0.因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，?′x>0在上恒成立，所以?x在上單調(diào)遞增，又，所以?x>0在當(dāng)時(shí)，由?′x>0；由?′x<0所以?x在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以.設(shè)，則在上恒成立.所以在1,+∞上單調(diào)遞減.又，.由為整數(shù)，所以的最大值為2.19.若數(shù)集中任意兩個(gè)元素和的和或差，至少有一個(gè)屬于該數(shù)集，我們就將這種數(shù)集稱為“數(shù)集”．（1）判斷數(shù)集是否為“數(shù)集”；（2）已知數(shù)集是“數(shù)集”，證明：①；②．（3）已知數(shù)集是“數(shù)集”，現(xiàn)給數(shù)集添加個(gè)元素：，，，若數(shù)集仍是“數(shù)集”，證明：．【答案】（1）數(shù)集不是“數(shù)集”.（2）①證明見解析;②證明見解析;（3）證明見解析【解析】【分析】（1）利用“數(shù)集”定義判斷即可;（2）①直接令，就可知，因?yàn)椋勺C得；②令，顯然，故，然后利用不同項(xiàng)的大小關(guān)系，以及，可得到，最后得到，然后倒序相加即可；（3）利用（2）得到的然后得到，然后求差得到，可以得到，所以任何具有“數(shù)集”性質(zhì)的數(shù)集的元素是一個(gè)以首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，然后利用等差數(shù)列的性質(zhì)和公式證明需要結(jié)果即可.【小問1詳解】取，所以此時(shí)，,所