2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章三角函數(shù)5.5.1第3課時(shí)二倍角的正弦余弦正切公式學(xué)案含解析新人教A版必修第一冊(cè)

PAGE第三課時(shí)二倍角的正弦、余弦、正切公式內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.理解二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推導(dǎo)過程．邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算2.能夠敏捷運(yùn)用二倍角的正弦、余弦、正切公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明.授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第107頁[教材提煉]學(xué)問點(diǎn)倍角公式eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材，思索問題)利用Cα＋β、Sα＋β、Tα＋β，令α＝β可推出什么公式？學(xué)問梳理名稱公式記法二倍角的正弦sin2α＝2sin_αcos_αS2α二倍角的余弦cos2α＝cos2α－sin2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1C2α二倍角的正切tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)T2α[自主檢測(cè)]1.eq\f(1,2)－cos2eq\f(π,8)的值等于()A．－eq\f(\r(2),4) B.eq\f(\r(2),4)C.eq\f(\r(2),2) D．－eq\f(\r(2),2)答案：A2．已知cosx＝eq\f(3,5)，則cos2x等于()A.eq\f(7,25) B．－eq\f(7,25)C.eq\f(24,25) D．－eq\f(24,25)答案：B3．1－2sin2750°＝________.答案：eq\f(1,2)4.eq\f(2tan150°,1－tan2150°)＝________.答案：－eq\r(3)授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第108頁探究一給角求值[例1]求下列各式的值：(1)eq\f(1,sin10°)－eq\f(\r(3),cos10°)；(2)cos20°cos40°cos80°.[解析](1)原式＝eq\f(cos10°－\r(3)sin10°,sin10°cos10°)＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos10°－\f(\r(3),2)sin10°)),sin10°cos10°)＝eq\f(4sin30°cos10°－cos30°sin10°,2sin10°cos10°)＝eq\f(4sin20°,sin20°)＝4.(2)原式＝eq\f(2sin20°·cos20°·cos40°·cos80°,2sin20°)＝eq\f(2sin40°·cos40°·cos80°,4sin20°)＝eq\f(2sin80°·cos80°,8sin20°)＝eq\f(sin160°,8sin20°)＝eq\f(1,8).1．同角三角函數(shù)關(guān)系式、兩角和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式等都可應(yīng)用于三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)．在應(yīng)用時(shí)，應(yīng)找到化簡(jiǎn)思路后再動(dòng)手化簡(jiǎn)．2．留意視察式子的特點(diǎn)及角之間的特別關(guān)系，敏捷運(yùn)用二倍角公式解題，通過視察角度的關(guān)系，發(fā)覺其特征(二倍角形式)，創(chuàng)建條件正用或者逆用二倍角公式，使問題得以解決．計(jì)算eq\f(\r(3)tan12°－3,4cos212°－2sin12°)＝________.解析：原式＝eq\f(\f(\r(3)sin12°,cos12°)－3,22cos212°－1sin12°)＝eq\f(2\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin12°－\f(\r(3),2)cos12°)),cos12°2cos24°sin12°)＝eq\f(2\r(3)sin－48°,2cos24°sin12°cos12°)＝eq\f(－2\r(3)sin48°,sin24°cos24°)＝eq\f(－2\r(3)sin48°,\f(1,2)sin48°)＝－4eq\r(3).答案：－4eq\r(3)探究二給值求值[例2](1)設(shè)α為銳角，若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,12)))的值為________．(2)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq\f(5,13)，0<x<eq\f(π,4)，則eq\f(cos2x,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x)))的值為________．[解析](1)∵α為銳角，∴α＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3))).又∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(3,5)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(24,25)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－1＝eq\f(7,25)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,12)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))－\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))coseq\f(π,4)－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))sineq\f(π,4)＝eq\f(24,25)×eq\f(\r(2),2)－eq\f(7,25)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(17\r(2),50).(2)∵0<x<eq\f(π,4)，∴0<eq\f(π,4)－x<eq\f(π,4).又∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq\f(5,13)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq\f(12,13).∵cos2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝2coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))，∴eq\f(cos2x,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x)))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq\f(24,13).[答案](1)eq\f(17\r(2),50)(2)eq\f(24,13)(1)條件求值問題常有兩種解題途徑：①對(duì)題設(shè)條件變形，把條件中的角、函數(shù)名向結(jié)論中的角、函數(shù)名靠攏；②對(duì)結(jié)論變形，將結(jié)論中的角、函數(shù)名向題設(shè)條件中的角、函數(shù)名靠攏，以便將題設(shè)條件代入結(jié)論．(2)一個(gè)重要結(jié)論：(sinθ±cosθ)2＝1±sin2θ.(1)已知tanα＝2，則tan2α＝________；(2)已知0<α<eq\f(π,2)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(1,3)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2α))＝________.解析：(1)∵tanα＝2，∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×2,1－22)＝－eq\f(4,3).(2)∵0<α<eq\f(π,2)，∴eq\f(π,6)<α＋eq\f(π,6)<eq\f(2π,3).∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(1,3)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(2\r(2),3).∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2α))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝2×eq\f(2\r(2),3)×eq\f(1,3)＝eq\f(4\r(2),9).答案：(1)－eq\f(4,3)(2)eq\f(4\r(2),9)探究三利用二倍角公式化簡(jiǎn)證明[例3]求證：tan2x＋eq\f(1,tan2x)＝eq\f(23＋cos4x,1－cos4x).[證明]法一：(切化弦)∵左邊＝eq\f(sin2x,cos2x)＋eq\f(cos2x,sin2x)＝eq\f(sin4x＋cos4x,sin2xcos2x)＝eq\f(sin2x＋cos2x2－2sin2xcos2x,sin2xcos2x)＝eq\f(1－2sin2xcos2x,sin2xcos2x)＝eq\f(1－\f(1,2)sin22x,\f(1,4)sin22x)＝eq\f(1－\f(1,2)·\f(1－cos4x,2),\f(1,8)1－cos4x)＝eq\f(23＋cos4x,1－cos4x)＝右邊，∴等式成立．法二：(弦化切)∵右邊＝eq\f(22＋1＋cos4x,2sin22x)＝eq\f(22＋2cos22x,2sin22x)＝eq\f(21＋cos22x,4sin2xcos2x)＝eq\f(1＋cos2x－sin2x2,2sin2xcos2x)＝eq\f(sin2x＋cos2x2＋cos2x－sin2x2,2sin2xcos2x)＝eq\f(2sin4x＋cos4x,2sin2xcos2x)＝tan2x＋eq\f(1,tan2x)＝左邊，∴等式成立．證明三角恒等式常用方法從左邊推到右邊；從右邊推到左邊；找中間量，常用技巧：切化弦，降次消元，拆項(xiàng)拆角，“1”的代換以及公式變形等．指導(dǎo)思想是統(tǒng)一三角函數(shù)名稱，統(tǒng)一為相同的角．求證：eq\f(1＋sin4α－cos4α,1＋sin4α＋cos4α)＝tan2α.證明：法一：左邊＝eq\f(1－cos4α＋sin4α,1＋cos4α＋sin4α)＝eq\f(2sin22α＋2sin2αcos2α,2cos22α＋2sin2αcos2α)＝eq\f(2sin2αsin2α＋cos2α,2cos2αsin2α＋cos2α)＝tan2α＝右邊．法二：左邊＝eq\f(1＋sin4α－1－2sin22α,1＋sin4α＋2cos22α－1)＝eq\f(2sin2αcos2α＋2sin22α,2sin2αcos2α＋2cos22α)＝eq\f(2sin2αsin2α＋cos2α,2cos2αsin2α＋cos2α)＝tan2α＝右邊．授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第108頁一、二倍角公式的運(yùn)用技巧1．正用：從條件動(dòng)身，順著問題的線索，以“綻開”公式的方式運(yùn)用．2．逆用：逆向轉(zhuǎn)換，應(yīng)用時(shí)要求對(duì)公式特點(diǎn)有一個(gè)整體感知．主要形式有2sinαcosα＝sin2α，sinαcosα＝eq\f(1,2)sin2α，cos2α－sin2α＝cos2α，eq\f(2tanα,1－tan2α)＝tan2α等．3．變形用：將公式進(jìn)行簡(jiǎn)潔等價(jià)變形后，利用其新形式．主要形式有1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).4．三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要留意“三變”：(1)變角：目的是溝通題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的角，其手法通常是“配湊”．(2)變名：通過變換函數(shù)名稱達(dá)到削減函數(shù)種類的目的，其手法通常有“切化弦”“升冪與降冪”等．(3)變式：依據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形，其手法通常有：“常值代換”“逆用變用公式”“通分約分”“分解與組合”“配方與平方”等．[典例]已知α∈(0，π)，化簡(jiǎn)：eq\f(1＋sinα＋cosα·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)－sin\f(α,2))),\r(2＋2cosα))＝________.[解析]原式＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(α,2)＋2sin\f(α,2)cos\f(α,2)))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)－sin\f(α,2))),\r(4cos2\f(α,2))).因?yàn)棣痢?0，π)