四川省雅安市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期11月零診考試數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

雅安市高2022級(jí)高三“零診”考試數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁(yè)，19小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、座位號(hào)和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上.2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)集合求出解集，再根據(jù)交集的概念及運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)可得，又，則，故選：B.2.若i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將的分子分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，即可化簡(jiǎn)出．【詳解】，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，關(guān)鍵是將其分子分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)．3.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用全稱量詞命題的否定判斷即得.【詳解】命題“，”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，所以命題“，”的否定是，.故選：C4.函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，可排除AC，再結(jié)合時(shí)，即可排除D，進(jìn)而得到答案.【詳解】由題意，，，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故AC不滿足；當(dāng)時(shí)，，，則，故D不滿足，B符合題意.故選：B.5.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】應(yīng)用充分條件必要條件的定義去判斷，對(duì)不充分條件或不必要條件可舉例說明.【詳解】因?yàn)?，所以，所以“”可推出“”，即“”是“”的必要條件；取，可知，而，即，所以“”不能推出“”.所以“”是“”的不充分條件.所以“”是“”必要不充分條件.故選：B.6.已知單位向量，滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出，與，再應(yīng)用夾角余弦公式求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，，所以，，所以，故選：A.7.若，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正弦的差角公式結(jié)合弦切關(guān)系分別計(jì)算，再根據(jù)和角公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，又，即，則，所以，故.故選：D8.下列不等式成立是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷出結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榈讛?shù)，所以隨著指數(shù)的增大而減小，又，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，因?yàn)榈讛?shù)，所以隨著真數(shù)位置的增大而增大，又，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因，，所以，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，，函?shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，分別是當(dāng)，增長(zhǎng)速度比增長(zhǎng)速度快，在0,2上，在上，在上，所以，即，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：C.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.將的圖象向左平移個(gè)單位，所得圖象的解析式為D.【答案】BD【解析】【分析】利用正切函數(shù)的圖象的性質(zhì)逐項(xiàng)計(jì)算可判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤.【詳解】由，可得函數(shù)的最小正周期為，故A錯(cuò)誤；由，可得，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，可得對(duì)稱中心為，故B正確；將的圖象向左平移個(gè)單位得到的圖象，故C錯(cuò)誤；，又在上單調(diào)遞增，，所以，即f4π5>f7故選：BD.10.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，若為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且，則（）A.為周期函數(shù)B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.，，成等差數(shù)列D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用奇偶函數(shù)的定義推理確定函數(shù)的性質(zhì)，再逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，由為偶函數(shù)，得，則，由為奇函數(shù)，得，則，于是，即，對(duì)于A，，是周期為4的周期函數(shù)，A正確；對(duì)于B，由，得的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，由，得，因此，，成等差數(shù)列，C正確；對(duì)于D，，因此，D正確.故選：ACD11.已知各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A.是單調(diào)遞增數(shù)列 B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】應(yīng)用與的關(guān)系，將中的消掉，求出判斷符號(hào)即可判斷A項(xiàng)的正誤；判斷數(shù)列是等差數(shù)列，進(jìn)而求出，再利用作差法判斷B項(xiàng)的正誤；應(yīng)用放縮法與裂項(xiàng)相消求出，再與比較即可；構(gòu)造函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值，再取即可判斷D項(xiàng)的正誤.【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，兩式相減，可得，所以，所以，所以an是單調(diào)遞減數(shù)列，故A當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)整理得，所以數(shù)列是等差數(shù)列，其首項(xiàng)為4，公差為4，所以，所以，所以，故B正確；因?yàn)?，所以所以，故C正確；設(shè)函數(shù)，則，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，取，,所以，即又因?yàn)?，所?故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，．若，則______．【答案】【解析】【分析】先求出的坐標(biāo)，再由根據(jù)向量平行的坐標(biāo)性質(zhì)后可求出的值.【詳解】∵，，∴，由得，解得，解得.故答案為：.13.記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知，則的最小值為________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)等式得到公差，再根據(jù)前n項(xiàng)和公式得到最小值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)，可得，解得，則，因?yàn)?，所以?dāng)或時(shí)，有最小值為，故答案為：.14.定義：已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若是可導(dǎo)函數(shù)且其導(dǎo)函數(shù)記為，則曲線在點(diǎn)處的曲率．據(jù)此，曲線（其中）的曲率K的最大值為________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)曲率定義得到曲率K，再應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求解曲率K的最大值即可.【詳解】解：因?yàn)椋?，，所以曲線（其中）的曲率，所以，由，可得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求A的大?。唬?）若的外接圓半徑為4，且，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)正弦定理將等式化簡(jiǎn)約分，可求得，即可求得結(jié)果；（2）結(jié)合第（1）問及余弦的和角公式，得到，利用正弦定理化簡(jiǎn)得，求出三角形面積即可.【小問1詳解】根據(jù)正弦定理的變形公式可得，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，則，即；【小問2詳解】因?yàn)椋?，則，即，又，所以，因?yàn)榈耐饨訄A半徑為，所以由正弦定理可得，所以，所以.16.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，其中．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，證明：．【答案】（1），（2）證明見詳解【解析】【分析】（1）由已知條件可得，然后根據(jù)和的關(guān)系，可得，注意的情況即可.（2）利用裂項(xiàng)相消可求，然后利用，即可證明.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又，兩式相減得：，所以，此時(shí)，將代入得，因此對(duì)也成立，故的通項(xiàng)公式為，【小問2詳解】由（1）可知，所以，又，所以，所以，因?yàn)?，所以，?17.已知函數(shù)，其中，（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)可以作3條直線與曲線相切，求m的取值范圍．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)直接求解單調(diào)區(qū)間即可；（2）設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，設(shè)，結(jié)合題意可將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與y=gx的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析y=gx的單調(diào)性，再結(jié)合圖象求解即可.【小問1詳解】由，，則，令f′x>0，得；令f′所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，則，設(shè)切點(diǎn)為，則，化簡(jiǎn)得，因?yàn)檫^點(diǎn)可以作3條直線與曲線y=fx相切，所以方程有三個(gè)不同的實(shí)根，設(shè)，即函數(shù)與y=gx的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，而，令，得；令，得或，所以函數(shù)在和1,+∞上單調(diào)遞減，在?1,1上單調(diào)遞增，又，，且時(shí)，gx>0，畫出函數(shù)與y=gx大致圖象，要使函數(shù)與y=gx的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，則，即m的取值范圍為．18.已知數(shù)列滿足，（，且）．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（3）令，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出，再利用構(gòu)造法，結(jié)合等比數(shù)列定義推理即得.（2）由（1）求出，再利用分組求和法及錯(cuò)位相減法求即得.（3）利用（2）的信息求出，再利用不等式的性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列求和公式推理得證.【小問1詳解】數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，，則，而，又，解得，，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）知，，即，，則，令，則，兩式相減得，則，所以.【小問3詳解】由（2）知，，，顯然，則；又，于是，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解．19.已知函數(shù)．（1）若有2個(gè)相異極值點(diǎn)，求a的取值范圍；（2）若，求a的值；（3）設(shè)m為正整數(shù)，若，，求m的最小值．【答案】（1）或；（2）；（3）3.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由有兩個(gè)不等的正實(shí)根，結(jié)合一元二次方程根的分布求出范圍.（2）構(gòu)造函數(shù)，按分類討論恒成立情況即可得解.（3）由（2）的結(jié)論可得，再賦值并結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及對(duì)數(shù)運(yùn)算求出范圍即可.【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，由有2個(gè)相異極值點(diǎn)，得方程有兩個(gè)相異正實(shí)根，于是，解得或，所以a的取值范圍是或.【小問2詳解】令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，，則，使得，