第10講不等式與不等式組最?？键c歸類復習-2021-2022學年下學期七年級數學下冊期末復習高頻考點專題（人教版）

第10講不等式與不等式組最常考點歸類復習（解析版）第一部分典例剖析+遷移應用考點一一元一次不等式的定義和性質典例1（2022春?鳳翔縣月考）下列不等式中，是一元一次不等式的有（）①；②；③6x＞0；④2x+1＞3（x+2）；⑤﹣3＜2．A．5個 B．4個 C．3個 D．2個思路引領：根據一元一次不等式的定義逐個判斷即可．解：＜1，不等式的左邊不是整式，不是一元一次不等式，﹣3＜2，沒有未知數，不是一元一次不等式，所以一元一次不等式有：，6x＞0，2x+1＞3（x+2），共3個，故選：C．解題秘籍：本題考查了一元一次不等式的定義，能熟記一元一次不等式的定義是解此題的關鍵，注意：含有一個未知數，并且所含未知數的項的最高次數是1次，不等式的左右兩邊都是整式，這樣的不等式叫一元一次不等式．典例2（2022春?岑溪市期中）a、b都是實數，且a＜b，則下列不等式不一定成立的是（）A．a+8＜b+8 B．4﹣a＞4﹣b C．5a＜5b D．ax＞bx思路引領：根據不等式的性質逐個判斷即可．解：A、在不等式a＜b的兩邊都加上8，不等號的方向不變，即a+8＜b+8，原變形正確，故本選項不符合題意；B、在不等式a＜b的兩邊都乘﹣1，再加上4，不等號的方向改變，即4﹣a＞4﹣b，原變形正確，故本選項不符合題意；C、在不等式a＜b的兩邊都乘5，不等號的方向不變，即5a＜5b，原變形正確，故本選項不符合題意；D、在不等式a＜b的兩邊都乘x，不等號的方向改變，即ax＞bx，必須規(guī)定x＜0，原變形錯誤，故本選項符合題意；故選：D．解題秘籍：本題考查了不等式的性質，能熟記不等式的性質的內容是解此題的關鍵．遷移應用11．（2022春?西城區(qū)校級期中）在實數范圍內規(guī)定新運算“△”，其規(guī)則是：a△b＝﹣2a+b．已知不等式x△k≤1的解集在數軸上如圖表示，則k的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2思路引領：根據新運算法則得到不等式2x﹣k≥1，通過解不等式即可求k的取值范圍，結合圖象可以求得k的值．解：根據圖示知，已知不等式的解集是x≥﹣1，∴﹣2x≤2．∴﹣2x﹣1≤1．∵a△b＝﹣2a+b，∴x△k＝﹣2x+k，∵x△k≤1，∴﹣2x+k≤1，∴﹣2x﹣1≤﹣k，∴﹣k＝1．∴k＝﹣1．故選：A．解題秘籍：本題考查了在數軸上表示不等式的解集、解一元一次不等式．在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示．考點二解一元一次不等式典例3（2022春?南崗區(qū)校級月考）解一元一次不等式，并將解集表示在數軸上．（1）3（x+2）≤4（x﹣1）﹣7；（2）﹣＞1．思路引領：（1）不等式去括號，移項，合并，把x系數化為1，即可求出解集；（2）不等式去分母，去括號，移項，合并，把x系數化為1，即可求出解集．解：（1）去括號得：3x+6≤4x﹣4﹣7，移項得：3x﹣4x≤﹣4﹣7﹣6，合并得：﹣x≤﹣17，解得：x＞17；（2）去分母得：2（x+4）﹣3（x﹣1）＞6，去括號得：2x+8﹣3x+3＞6，移項合并得：﹣x＞﹣5，解得：x＜5．解題秘籍：此題考查了解一元一次不等式，以及在數軸上表示不等式的解集，熟練掌握不等式的解法是解本題的關鍵．遷移應用22．（2022?濱江區(qū)二模）已知x，y，n滿足，若y＜1，則n的取值范圍是．思路引領：下面方程減去上面方程，整理得出y＝2n﹣1，結合y＜1知2n﹣1＜1，解之即可．解：，②﹣①得：3y＝6n﹣3，∴y＝2n﹣1，∵y＜1，∴2n﹣1＜1，解得n＜1，故答案為：n＜1．解題秘籍：本題主要考查解一元一次不等式，基本操作方法與解一元一次方程基本相同，都有如下步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤化系數為1．3．（2022春?十堰期中）如果一元一次不等式（m+3）x＞m+3的解集為x＜1，則m的取值范圍為．思路引領：根據已知解集，利用不等式的基本性質求出m的范圍即可．解：∵一元一次不等式（m+3）x＞m+3的解集為x＜1，∴m+3＜0，解得：m＜﹣3．故答案為：m＜﹣3．解題秘籍：此題考查了解一元一次不等式，熟練掌握不等式的解法是解本題的關鍵．4．（2021秋?邵陽縣期末）不等式﹣3≤0的非負整數解共有個．思路引領：不等式去分母．合并后，將x系數化為1求出解集，找出解集中的非負整數解即可．解：﹣3≤0，2x﹣1﹣6≤0，2x≤7，解得：x≤3.5，則不等式的非負整數解為0，1，2，3共4個．故答案為4．解題秘籍：此題考查了一元一次不等式的整數解，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．考點三一元一次不等式的應用典例4（2022春?山西期中）為了響應國家低碳生活的號召，更多的市民放棄開車選擇自行車出行，市場上的自行車銷量增加，某種品牌自行車專賣店抓住商機，搞促銷活動對原進價為800元，標價為1000元的某款自行車進行打折銷售，若要保持利潤率不低于5%，則這款自行車最多可打折．思路引領：設打x折時銷售最優(yōu)惠，根據“實際售價﹣進價≥進價×利潤率”列不等式求解可得．解：設打x折時銷售最優(yōu)惠，根據題意，得：1000×﹣800≥800×5%，解得：x≥8.4，即最多打8.4折時銷售最優(yōu)惠，故答案為：8.4．解題秘籍：本題主要考查一元一次不等式的應用，解題的關鍵是理解題意，依據利潤率的定義列出不等式．遷移應用45．（2022春?介休市期中）某品牌服裝的進價為100元，出售時標價為120元，為促銷，商店決定降價銷售，但是要保證利潤不低5%，那么商店最多降價元出售．思路引領：設該商品降價x元出售，利用利潤＝售價﹣進價，結合要保證利潤不低5%，即可得出關于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結論．解：設該商品降價x元出售，依題意得：120﹣x﹣100≥100×5%，解得：x≤15，∴該商品最多降價15元出售．故答案為：15．解題秘籍：本題考查了一元一次不等式的應用，根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式是解題的關鍵．6．（2022?新城區(qū)校級模擬）截止12月25日，全國累計報告接種新型冠狀病毒疫苗超過12億劑次．為了滿足市場需求，某公司計劃投入10個大、小兩種車間共同生產同一種疫苗，已知1個大車間和2個小車間每周能生產疫苗35萬劑，2個大車間和1個小車間每周能生產疫苗共40萬劑．（1）該公司每個大車間、小車間每周分別能生產疫苗多少萬劑？（2）若投入的10個車間每周生產的疫苗不少于135萬劑，則至少需要投入幾個大車間生產疫苗？思路引領：（1）設該公司每個大車間每周能生產疫苗x萬劑，每個小車間每周能生產疫苗y萬劑，根據“1個大車間和2個小車間每周能生產疫苗35萬劑，2個大車間和1個小車間每周能生產疫苗共40萬劑”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）設需要投入m個大車間生產疫苗，則投入（10﹣m）個小車間生產疫苗，根據投入的10個車間每周生產的疫苗不少于135萬劑，即可得出關于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結論．解：（1）設該公司每個大車間每周能生產疫苗x萬劑，每個小車間每周能生產疫苗y萬劑，依題意得：，解得：．答：該公司每個大車間每周能生產疫苗15萬劑，每個小車間每周能生產疫苗10萬劑．（2）設需要投入m個大車間生產疫苗，則投入（10﹣m）個小車間生產疫苗，依題意得：15m+10（10﹣m）≥135，解得：m≥7．答：至少需要投入7個大車間生產疫苗．解題秘籍：本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式．7．（2022?南崗區(qū)校級開學）學校去商場購買了甲、乙兩種筆記本作為獎品，購買甲種筆記本15個，乙種筆記本20個，共花費250元．已知購買一個甲種筆記本比購買一個乙種筆記本多花費5元．（1）求購買一個甲種、一個乙種筆記本各需多少元．（2）學校再次購買兩種筆記本共35個，正好趕上商場對商品價格進行調整，甲種筆記本售價比上一次購買時減價2元，乙種筆記本按上一次購買時售價的8折出售．此次購買甲、乙兩種筆記本的總費用不超過上一次總費用的90%，至多需要購買多少個甲種筆記本．思路引領：（1）設購買一個甲種筆記本需要x元，一個乙種筆記本需要y元，根據“購買甲種筆記本15個，乙種筆記本20個，共花費250元．已知購買一個甲種筆記本比購買一個乙種筆記本多花費5元”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）設需要購買m個甲種筆記本，則購買（35﹣m）個乙種筆記本，利用總價＝單價×數量，結合總價不超過上一次總價的90%，即可得出關于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍，再取其中的最大整數值即可得出結論．解：（1）設購買一個甲種筆記本需要x元，一個乙種筆記本需要y元，依題意得：，解得：，答：購買一個甲種筆記本需要10元，一個乙種筆記本需要5元．（2）設需要購買m個甲種筆記本，則購買（35﹣m）個乙種筆記本，依題意得：（10﹣2）m+5×80%（35﹣m）≤250×90%，解得：m≤，又∵m為整數，∴m的最大值為21．答：至多需要購買21個甲種筆記本．解題秘籍：本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式．8．（2022春?鼓樓區(qū)校級期中）某學校在疫情期間的復學準備工作中，計劃購買室內、室外兩種型號的消毒液．已知每桶室外消毒液的價格比每桶室內消毒液的價格多30元，買3桶室內消毒液和2桶室外消毒液共需310元．（1）求購買室內、室外兩種型號消毒液各1桶分別需要多少元？（2）根據學校實際情況，需購買室內、室外兩種型號的消毒液共150個，總費用不超過1萬元，問室內消毒液至少要購買多少桶？思路引領：（1）設室內型號消毒液每桶的價格為x元，室外型號消毒液每桶的價格為y元，由題意：每桶室外消毒液的價格比每桶室內消毒液的價格多30元，買3桶室內消毒液和2桶室外消毒液共需310元．列出方程組，解方程組即可；（2）設室內消毒液要購買m桶，則室外消毒液要購買（150﹣m）桶，由題意：總費用不高于1萬元，列出一元一次不等式，解不等式，取最小正整數解即可．解：（1）設室內型號消毒液每桶的價格為x元，室外型號消毒液每桶的價格為y元，由題意得：，解得：，答：室內型號消毒液每桶的價格為50元，室外型號消毒液每桶的價格為80元；（2）設室內消毒液要購買m桶，則室外消毒液要購買（150﹣m）桶，由題意得：50m+80（150﹣m）≤10000，解得：m≥66，答：室內消毒液至少要購買67桶．解題秘籍：本題考查二元一次方程組的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，列出二元一次方程組；（2）找出數量關系，列出一元一次不等式．考點四一元一次不等式組的定義與解集典例5（2022春?沙坪壩區(qū)校級期中）若關于x的不等式組有2個整數解，方程+＝1有非負數解，則滿足條件的所有整數a的和是（）A．14 B．10 C．9 D．5思路引領：先解不等式組，根據有2個整數解，確定a的取值1＜a≤5，根據方程+＝1有非負數解解得x＝3﹣a≥0，從而可得a的范圍，并計算所有符合條件的和．解：解不等式x﹣3≥a﹣3x，得：x≥，解不能等式x+1，得：x＜4，∵有2個整數解，∴1＜≤2，∴1＜a≤5，解方程+＝1得：x＝3﹣a，∵方程有非負數解，∴3﹣a≥0，解得：a≤，∴1＜a≤，則滿足條件的所有整數a的和為2+3+4＝9，故選：C．解題秘籍：此題考查了一元一次方程的解，以及一元一次不等式組的整數解，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．遷移應用49．（2022春?高新區(qū)校級月考）若關于x的不等式組，恰有3個正整數解，則實數a的取值范圍是（）A．3≤a＜4 B．3≤a≤4 C．2≤a＜3 D．2≤a≤3思路引領：不等式組整理后，根據正整數解恰有3個，確定出a的范圍即可．解：不等式組整理得：，解得：﹣1＜x≤a，∵不等式組恰有3個正整數解，即1，2，3，∴3≤a＜4．故選：A．解題秘籍：此題考查了一元一次不等式組的整數解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握不等式組的解法是解本題的關鍵．10．（2022春?裕安區(qū)校級期中）若關于x的不等式組無解，則a的取值范圍是（）A．a≤﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞3 D．a≥3思路引領：先解不等式組，根據不等式組無解可得a﹣4≥3a+2，然后進行計算即可解答．解：，解不等式①得：x≤3a+2，解不等式②得：x＞a﹣4，∵不等式組無解，∴a﹣4≥3a+2，∴a≤﹣3，故選：A．解題秘籍：本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握不等式組無解是解題的關鍵．11．（2022春?碑林區(qū)校級月考）若不等式組的解集是x＞1，則m的取值范圍是（）A．m≥1 B．m≥0 C．m≤0 D．m≤1思路引領：分別解兩個不等式，然后根據解集為x＞1即可確定m的取值范圍．解：，解不等式①得：x＞1，解不等式②得x＞m，∵不等式組的解集是x＞1，∴m≤1．故選：D．解題秘籍：本題考查解一元一次不等式組，解題關鍵是熟知解集公共部分的求法．12．（2022春?渝北區(qū)月考）如果關于x的不等式組的解集為x＞4，且整數m使得關于x，y的二元一次方程組的解為整數（x，y均為整數），則不符合條件的整數m的有（）A．﹣4 B．2 C．4 D．10思路引領：不等式組整理后，根據已知解集確定出m的范圍，再由方程組的解為整數確定出滿足題意m的值，判斷即可．解：不等式組整理得：，∵不等式組的解集為x＞4，∴m≤4，方程組，①﹣②得：（m﹣3）x＝7，解得：x＝，把x＝代入②得：+y＝1，解得：y＝1﹣，∵x與y都為整數，∴m﹣3＝±1或±7，解得：m＝4或2或10（舍去）或﹣4，則m的值為4或2或﹣4，不符合條件的m＝10．故選：D．解題秘籍：此題考查了一元一次不等式組的整數解，二元一次方程組的解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握各自的解法是解本題的關鍵．13．（2022春?長泰縣期中）已知關于x的不等式組的整數解共有5個，則a的取值范圍是（）A．﹣4＜a＜﹣3 B．﹣4＜a≤﹣3 C．﹣4≤a＜﹣3 D．﹣4＜a＜思路引領：表示出不等式組的解集，由整數解共有5個，確定出a的范圍即可．解：不等式組整理得：，∵不等式組整數解有5個，∴a≤x≤，∴a的范圍為﹣4＜a≤﹣3．故選：B．解題秘籍：此題考查了一元一次不等式組的整數解，熟練掌握不等式組的解法是解本題的關鍵．考點五解一元一次不等式組典例6（2022春?如東縣期中）解不等式組，并把解集在數軸上表示出來：（1）；（2）．思路引領：（1）先求出兩個不等式的解集，再求其公共解；（2）先求出兩個不等式的解集，再求其公共解．解：（1）解不等式3（x﹣2）≤x﹣4，得：x≤1，解不等式﹣＜0，得：x＞﹣3，∴不等式組的解集為﹣3＜x≤1，；（2）解不等式11﹣2（x﹣3）＞3（x﹣1），得：x＜4，解不等式x﹣2＞，得：x＞，∴不等式組的解集為＜x＜4，．解題秘籍：本題考查了一元一次不等式組的解法，在數軸上表示不等式組的解集，需要把每個不等式的解集在數軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓圈表示．遷移應用614．（2022春?高新區(qū)校級月考）已知關于x，y的二元一次方程組的解滿足不等式組．（1）試求出m的取值范圍；（2）在m的取值范圍內，當m為何整數時，不等式2x﹣mx＜2﹣m的解集為x＞1．思路引領：（1）方程組兩方程相加減表示出x+y與x﹣y，代入不等式組計算即可求出m的范圍；（2）確定出不等式組的整數解，滿足題意即可．解：（1），①+②得：3x+3y＝3+m，即x+y＝，①﹣②得：x﹣y＝3m﹣1，代入得：，解得：0＜m≤3；（2）∵2x﹣mx＜2﹣m的解集為x＞1，∴2﹣m＜0，解得：m＞2，∵0＜m≤3，∴2＜m≤3，則整數m＝2或3．解題秘籍：此題考查了解一元一次不等式組，二元一次方程組的解，解一元一次不等式，以及一元一次不等式的整數解，熟練掌握各自的解法是解本題的關鍵．15．（2022春?淅川縣期中）解不等式組．（1）將不等式組的解集在數軸上表示出來；（2）求出最小整數解與最大整數解的和．思路引領：（1）分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集，繼而表示在數軸上即可；（2）結合不等式組解集得出其最小整數解與最大整數解，繼而相加可得答案．解：（1）解不等式①，得：x＞﹣4，解不等式②，得：x≤2，則不等式組的解集為﹣4＜x≤2，將不等式組的解集表示在數軸上如下：（2）該不等式的最小整數解為﹣3，最大整數解為2，所以最小整數解與最大整數解的和為﹣3+2＝﹣1．解題秘籍：本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．考點六用一元一次不等式組解決實際問題典例7（2022春?雁塔區(qū)校級期中）為了給某“特殊兒童康復學?！被I集助學資金，“NIC青年公益平臺”的同學們在校園內舉辦一場義賣活動．他們將自己設計制作的高新熊和抱枕作為主打商品，其中高新熊每個50元，抱枕每個100元．已知當天共售出兩種商品200個，其中高新熊數量不少于抱枕數量的2倍．如果它們全部賣出后銷售額不少于13200元，那么這次義賣售出的高新熊數量可能是多少個？思路引領：設這次義賣售出x個高新熊，則售出（200﹣x）個抱枕，根據“售出高新熊數量不少于抱枕數量的2倍，且它們全部賣出后銷售額不少于13200元”，即可得出關于x的一元一次不等式組，解之即可得出x的取值范圍，再結合x為正整數，即可得出結論．解：設這次義賣售出x個高新熊，則售出（200﹣x）個抱枕，依題意得：，解得：≤x≤136．又∵x為正整數，∴x可以為134，135，136．答：這次義賣售出的高新熊數量可能是134個或135個或136個．解題秘籍：本題考查了一元一次不等式組的應用，根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式組是解題的關鍵．遷移應用716．（2022春?西城區(qū)校級期中）為降低空氣污染，919公交公司決定全部更換節(jié)能環(huán)保的燃氣公交車，計劃購買A型和B型兩種公交車共10輛，其中每臺的價格，年載客量如表：A型B型價格（萬元/臺）ab年載客量（萬人/年）60100若購買A型公交車1輛，B型公交車2輛，共需400萬元；若購買A型公交車2輛，B型公交車1輛，共需350萬元．（1）求a，b的值；（2）如果該公司購買A型和B型公交車的總費用不超過1200萬元，且確保這10輛公交車在該線路的年均載客總和不少于680萬人次．請你利用方程組或不等式組設計一個總費用最少的方案，并說明總費用最少的理由．思路引領：（1）利用總價＝單價×數量，結合“購買A型公交車1輛，B型公交車2輛，共需400萬元；購買A型公交車2輛，B型公交車1輛，共需350萬元”，即可得出關于a，b的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）總費用最少的購買方案為：購買A型公交車8輛，B型公交車2輛，設購買A型公交車m輛，則購買B型公交車（10﹣m）輛，根據“購買A型和B型公交車的總費用不超過1200萬元，且確保這10輛公交車在該線路的年均載客總和不少于680萬人次”，即可得出關于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，結合m為整數，即可得出m的值，再利用總價＝單價×數量，可求出各購買方案所需總費用，比較后即可得出結論．解：（1）依題意得：，解得：．答：a的值為100，b的值為150．（2）總費用最少的購買方案為：購買A型公交車8輛，B型公交車2輛，理由如下：設購買A型公交車m輛，則購買B型公交車（10﹣m）輛，依題意得：，解得：6≤m≤8．又∵m為整數，∴m可以為6，7，8．當m＝6時，10﹣m＝10﹣6＝4，購買總費用為100×6+150×4＝1200（萬元）；當m＝7時，10﹣m＝10﹣7＝3，購買總費用為100×7+150×3＝1150（萬元）；當m＝8時，10﹣m＝10﹣8＝2，購買總費用為100×8+150×2＝1100（萬元）．答：總費用最少的購買方案為：購買A型公交車8輛，B型公交車2輛．解題秘籍：本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式組．17．（2022?龍馬潭區(qū)模擬）我市在創(chuàng)建全國文明城市過程中，決定購買A，B兩種樹苗對某路段道路進行綠化改造，已知購買A種樹苗8棵，B種樹苗3棵，要950元；若購買A種樹苗5棵，B種樹苗6棵，則需要800元．（1）求購買A，B兩種樹苗每棵各需多少元？（2）考慮到綠化效果和資金周轉，購進A種樹苗不能少于52棵，且用于購買這兩種樹苗的資金不能超過7650元，若購進這兩種樹苗共100棵則有哪幾種購買方案？思路引領：（1）設購買A種樹苗每棵需x元，B種樹苗每棵需y元，利用總價＝單價×數量，結合“購買A種樹苗8棵，B種樹苗3棵，需要950元；購買A種樹苗5棵，B種樹苗6棵，需要800元”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）設購進A種樹苗m棵，則購進B種樹苗（100﹣m）棵，利用總價＝單價×數量，結合“購進A種樹苗不能少于52棵，且用于購買這兩種樹苗的資金不能超過7650元”，即可得出關于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，再結合m為正整數，即可得出各購買方案．解：（1）設購買A種樹苗每棵需x元，B種樹苗每棵需y元，依題意得：，解得：．答：購買A種樹苗每棵需100元，B種樹苗每棵需50元．（2）設購進A種樹苗m棵，則購進B種樹苗（100﹣m）棵，依題意得：，解得：52≤m≤53，又∵m為正整數，∴m可以為52，53，∴共有2種購買方案，方案1：購進A種樹苗52棵，B種樹苗48棵；方案2：購進A種樹苗53棵，B種樹苗47棵．解題秘籍：本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式組．18．（2022?鳳山縣模擬）某文具店準備購進甲、乙兩種鋼筆，若購進甲種鋼筆100支，乙種鋼筆50支，需要1000元；若購進甲種鋼筆50支，乙種鋼筆30支，需要550元．（1）求購進甲、乙兩種鋼筆每支各需多少元？（2）若該文具店準備拿出1000元全部來購進這兩種鋼筆，考慮客戶需求，要求購進甲種鋼筆的數量不少于乙種鋼筆數量的6倍，且不超過160支，那么該文具店共有幾種進貨方案？思路引領：（1）設購進甲種鋼筆每支需x元，購進乙種鋼筆每支需y元，根據“若購進甲種鋼筆100支，乙種鋼筆50支，需要1000元，若購進甲種鋼筆50支，乙種鋼筆30支，需要550元”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出甲、乙兩種鋼筆的單價；（2）設購進甲種鋼筆m支，則購進乙種鋼筆（100﹣m）支，根據“購進甲種鋼筆的數量不少于乙種鋼筆數量的6倍，且不超過160支，即可得出關于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，結合m，（100﹣m）均為正整數，即可得出進貨方案的數量．解：（1）設購進甲種鋼筆每支需x元，購進乙種鋼筆每支需y元，根據題意得：解得．答：購進甲種鋼筆每支需5元，購進乙種鋼筆每支需10元；（2）設購進甲種鋼筆m支，則購進乙種鋼筆＝（100﹣m）支，依題意得，解得：150≤m≤160．又∵m，（100﹣m）均為正整數，∴m可以為150，152，154，156，158，160，∴該文具店共有6種購進方案．解題秘籍：本題考查了二元一次方程組的應用及一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據各數量之間的關系，找出關于m的一元一次不等式組．19．（2022春?金水區(qū)校級月考）進入2022年，“一帶一路”的朋友圈越來越大，為許多企業(yè)的發(fā)展帶來了新的機遇．某公司生產甲、乙兩種機械設備，每臺乙種設備的成本是甲種設備的1.5倍；公司若生產4臺甲種設備，6臺乙種設備，共需花費資金52萬元．（1）甲、乙兩種設備每臺的成本分別是多少萬元？（2）若甲、乙兩種設備每臺的售價分別是6萬元、10萬元，公司決定生產兩種設備共60臺，計劃銷售后獲利不低于126萬元，且甲種設備至少生產55臺，則該公司有哪幾種生產方案？思路引領：（1）設甲種設備每臺的成本x萬元，乙種設備每臺的成本y萬元，根據“每臺乙種設備的成本是甲種設備的1.5倍；生產4臺甲種設備，6臺乙種設備，共需花費資金52萬元”列方程組，求解即可；（2）設甲種設備生產m臺，則乙種設備生產（60﹣m）臺，根據“獲利不低于126萬元，且甲種設備至少生產55臺”列不等式，求出m取值范圍即可確定生產方案．解：（1）設甲種設備每臺的成本x萬元，乙種設備每臺的成本y萬元，根據題意，得，解得，∴甲種設備每臺的成本4萬元，乙種設備每臺的成本6萬元．（2）設甲種設備生產m臺，則乙種設備生產（60﹣m）臺，根據題意，得（6﹣4）m+（10﹣6）（60﹣m）≥126，解得m≤57，又∵m≥55，∴m取整數：55，56，57．∴有三種生產方案：方案一：甲生產55臺，乙生產5臺；方案二：甲生產56臺，乙生產4臺；方案三：甲生產57臺，乙生產3臺．解題秘籍：本題考查了二元一次方程組與一元一次不等式的綜合，根據給定的不等關系建立一元一次不等式是解決本題的關鍵．考點提優(yōu)訓練1．（2016春?羅平縣期末）下列各式中，是一元一次不等式的是（）A．5+4＞8 B．2x﹣1 C．2x≤5 D．﹣3x≥0思路引領：根據一元一次不等式的定義進行選擇即可．解：A、不含有未知數，錯誤；B、不是不等式，錯誤；C、符合一元一次不等式的定義，正確；D、分母含有未知數，是分式，錯誤．故選：C．解題秘籍：本題考查一元一次不等式的識別，注意理解一元一次不等式的三個特點：①不等式的兩邊都是整式；②只含1個未知數；③未知數的最高次數為1次．2．下面給出的不等式組中①②③④⑤，其中是一元一次不等式組的個數是（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個思路引領：根據兩個不等式中含有同一個未知數且未知數的次數是1次的，可得答案．解：①是一元一次不等式組，故①正確；②是一元一次不等式組，故②正確；③是一元二次不等式組，故③錯誤；④是一元一次不等式組，故④正確；⑤是二元一次不等式組，故⑤錯誤；故選：B．解題秘籍：本題考查了一元一次不等式組的定義，每個不等式中含有同一個未知數且未知數的次數是1的不等式組是一元一次不等式組．3．（2021春?羅湖區(qū)校級期末）下列不等式一定成立的是（）A．a≥﹣a B．3a＞a C．a D．a+1＞a思路引領：根據不等式的兩邊都加（或減去）同一個整式，不等號的方向不變，可得答案．解：A、a≤0時，a≤﹣a，故A錯誤；B、a≤0時，3a≤a，故B錯誤；C、a＜﹣1時，a＜，故C錯誤；D、1＞0，1+a＞a，故D正確；故選：D．解題秘籍：本題考查了不等式的性質，熟記不等式得性質是解題關鍵．4．下列說法中正確的是（）A．y＝3是不等式y(tǒng)+4＜5的解 B．y＝3是不等式3y＜11的解集 C．不等式3y＜11的解集是y＝3 D．y＝2是不等式3y≥6的解思路引領：先解出不等式的解集，根據不等式的解的定義，就能得到使不等式成立的未知數的值，即可作出判斷．解：A、不等式y(tǒng)+4＜5的解集是y＜1，則y＝3不是不等式y(tǒng)+4＜5的一個解；故本選項錯誤；B、不等式3y＜11的解集是y＜，則y＝3是不等式3y＜11的解，故本選項錯誤；C、不等式3y＜11的解集是y＜，故本選項錯誤；D、不等式3y≥6的解集是y≥2，則y＝2不是不等式3y≥6的一個解；故本選項正確；故選：D．解題秘籍：本題考查了不等式的解集．不等式的解集：能使不等式成立的未知數的取值范圍，叫做不等式的解的集合，簡稱解集．5．（2021春?冠縣期末）若（m+1）x|m|+2＞0是關于x的一元一次不等式，則m＝．思路引領：根據一元一次不等式的定義可知m+1≠0，|m|＝1，從而可求得m的值．解：∵（m+1）x|m|+2＞0是關于x的一元一次不等式，∴m+1≠0，|m|＝1．解得：m＝1．故答案為：1．解題秘籍：本題主要考查的是一元一次不等式的定義，掌握一元一次不等式的特點是解題的關鍵．6．若m＜n＜0，則的解集為．思路引領：確定2m，2n，﹣2n在數軸上的位置，并表示出x＞2m，x＞﹣2n，x＜2n的解，即可求出不等式組的解集．解：∵m＜n＜0，∴x＞2m，x＞﹣2n，x＜2n在數軸上表示為：．∴無解集，故答案為：無解集．解題秘籍：本題主要考查了不等式的解集，解題的關鍵是運用數軸表示出各不等式的解．7．下列選項中，同時適合不等式x+5＜7和2x+2＞0的數是（）A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．1思路引領：不等式組成不等式組，解不等式組求得不等式組的解集即可得到結論．解：，由①得x＜2，由②得x＞﹣1，∴不等式組的解集為﹣1＜x＜2，故選：D．解題秘籍：本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．8．（2019春?阿榮旗期末）不等式＜1的正整數解為（）A．1個 B．3個 C．4個 D．5個思路引領：首先利用不等式的基本性質解不等式，然后找出符合題意的正整數解．解：解不等式得，x＜4，則不等式＜1的正整數解為1，2，3，共3個．故選：B．解題秘籍：本題考查了一元一次不等式的整數解，正確解不等式，求出解集是解答本題的關鍵．解不等式應根據不等式的基本性質．9．（2015?聊城）不等式x﹣3≤3x+1的解集在數軸上表示如下，其中正確的是（）A． B． C． D．思路引領：不等式移項，再兩邊同時除以2，即可求解．解：不等式得：x≥﹣2，其數軸上表示為：故選：B．解題秘籍：本題考查了解簡單不等式的能力，解答這類題學生往往在解題時不注意移項要改變符號這一點而出錯．解不等式要依據不等式的基本性質：（1）不等式的兩邊同時加上或減去同一個數或整式不等號的方向不變；（2）不等式的兩邊同時乘以或除以同一個正數不等號的方向不變；（3）不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負數不等號的方向改變．10．（2015?曲靖）不等式組的解集在數軸上表示正確的是（）A． B． C． D．思路引領：先解不等式組中的每一個不等式，再把不等式的解集表示在數軸上即可．解：，解得：．故不等式組無解．故選：D．解題秘籍：本題考查了在數軸上表示不等式的解集，不等式組的解集在數軸上表示的方法：把每個不等式的解集在數軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），在表示解集時“≥，≤”要用實心圓點表示；“＜，＞”要用空心圓點表示．11．解一元一次不等式：（1）5x+15＞4x﹣13；（2）5（x+1）﹣3x＞x+3；（3）解不等式x﹣，并把解集在數軸上表示出來．思路引領：根據解一元一次不等式基本步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1可得．解：（1）移項，得5x﹣4x＞﹣13﹣15，合并同類項，得x＞﹣28；（2）去括號，得5x+5﹣3x＞x+3，移項，得5x﹣3x﹣x＞3﹣5，合并同類項，得x＞﹣2；（3）去分母，得6x﹣3x+2（x+1）＜6+（x+8），去括號，得6x﹣3x+2x+2＜6+x+8，移項，得6x﹣3x+2x﹣x＜6+8﹣2，合并同類項，得4x＜12，系數化為1，得x＜3．將不等式的解集表示在數軸上如下：．解題秘籍：本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴格遵循解不等式的基本步驟是關鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個負數不等號方向要改變．12．解不等式組：（1）；（2）；（3）；（4）．思路引領：（1）分別解出兩個不等式組的解集，再根據“大小小大中間找”確定不等式組的解集即可；（2）分別解出兩個不等式組的解集，再根據“同大取大”確定不等式組的解集即可；（3）分別解出兩個不等式組的解集，再根據“大大小小找不到”確定不等式組的解集即可；（4）分別解出兩個不等式組的解集，再根據“大小小大中間找”確定不等式組的解集即可．解：（1），解①得x＞，解②得x≤2，故不等式組的解集為；（2），解①得x＞2，解②得x＞4，故不等式組的解集為x＞4；（3），解①得x≤﹣5，解②得x＞3，故不等式組無解；（4），解①得x≤4，解②得x＞，故不等式組的解集為．解題秘籍：此題主要考查了解一元一次不等式組，關鍵是掌握確定不等式組解集的方法．13．（廣饒縣校級月考）若代數式的值不大于代數式5k+1的值，求k的取值范圍．思路引領：根據題意列出不等式，求出不等式的解集即可得到k的范圍．解：根據題意得：≤5k+1，去分母得：3（2k+5）≤2（5k+1），去括號得：6k+15≤10k+2，移項合并得：4k≥13，解得：k≥．解題秘籍：此題考查了解一元一次不等式，其步驟為：去分母，去括號，移項合并，將x系數化為1，求出解集．14．求同時滿足6x﹣1≥3x﹣3和＜的整數解．思路引領：分別解出不等式6x﹣1≥3x﹣3和＜，然后即可求出符合條件的整數解．解：由不等6x﹣1≥3x﹣3，解得x≥﹣，由不等式＜，解得x＜1，則x需要滿足﹣≤x＜1，因此其整數x為0．解題秘籍：本題考查了一元一次不等式組的整數解，關鍵是先求出同時滿足不等式組的解，再求整數解．15．（2013?安順）已知關于x的不等式（1﹣a）x＞2的解集為x＜，則a的取值范圍是a＞1．思路引領：因為不等式的兩邊同時除以1﹣a，不等號的方向發(fā)生了改變，所以1﹣a＜0，再根據不等式的基本性質便可求出不等式的解集．解：由題意可得1﹣a＜0，移項得，﹣a＜﹣1，化系數為1得，a＞1．解題秘籍：本題考查了同學們解簡單不等式的能力，解答這類題學生往往在解題時不注意移項要改變符號這一點而出錯．解不等式要依據不等式的基本性質，在不等式的兩邊同時加上或減去同一個數整式不等號的方向不變；在不等式的兩邊同時乘以或除以同一個正數不等號的方向不變；在不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負數不等號的方向改變．16．已知關于x，y的方程組（x＞0，y＜0）的解滿足求a取值范圍．思路引領：先用含a的式子表示x與y，再結合x＞0，y＜0即可求解．解：，①+②得3x＝3+6a，x＝1+2a，由②得：y＝6a﹣2x＝6a﹣2（1+2a）＝4a﹣2，∵x＞0，y＜0，∴，∴﹣．解題秘籍：本題考查了解一元一次不等式組，二元一次不等式組，熟練掌握一元一次不等式組以及二元一次不等式組的解法是解題的關鍵．17．（2014春?巴中期中）已知關于x，y的方程組的解滿足x+y＞0，則a的取值．思路引領：方程組兩方程相加，變形后表示出x+y，代入已知不等式計算即可求出a的范圍．解：，①+②得：4（x+y）＝2+2a，即x+y＝，代入x+y＞0得：＞0，解得：a＞﹣1．解題秘籍：此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數的值．18．已知關于x的不等式組的解集為﹣3＜x＜2，求a、b的值思路引領：先解不等式組，再結合﹣3＜x＜2，即可求解．解：，由①得：x＞a+2，由②得：x＜b﹣2，∵﹣3＜x＜2，∴a+2＝﹣3，b﹣2＝2，∴a＝﹣5，b＝4，∴a＝﹣5，b＝4．解題秘籍：本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握一元一次不等式組的解法是解題的關鍵．19．（2013?成都模擬）如果關于x的不等式組無解，求a的取值范圍．思路引領：根據不等式組無解列出不等式計算即可得解．解：由題意得：a+2≥3a﹣2，解得a≤2．解題秘籍：本題主要考查了一元一次不等式組解集的求法，其簡便求法就是用口訣求解．求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）．20．已知關于x的不等式組只有四個整數解，求a的取值范圍．思路引領：首先解不等式組，即可確定不等式組的整數解，即可確定a的范圍．解：不等式組整理得，∵不等式組有四個整數解，∴不等式組的整數解是：﹣2，﹣1，0，1．則a的取值范圍是：﹣3＜a≤﹣2．解題秘籍：本題考查了不等式組的整數解，求不等式組的解集，應遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．21．（2020秋?黃石期末）某校計劃安排初三年級全體師生參觀黃石礦博園，現有36座和48座兩種客車供選擇租用，若只租用36座客車若干輛，則正好坐滿；若只租用48座客車，則能少租一輛，且有一輛車沒有坐滿，但超過了30人；已知36座客車每輛租金400元，48座客車每輛租金480元．（1）該校初三年級共有師生多少人參觀黃石礦博園？（2）請你幫該校設計一種最省錢的租車方案．思路引領：（1）設租36座的車x輛，則租48座的客車（x﹣1）輛．根據不等關系可列出一元一次不等式組，則可得出答案；（2）根據（1）中求得的人數，進一步計算三種方案的費用：①只租36座客車；②只租48座客車；③合租兩種車．再進一步比較得到結論即可．解：（1）設租用36座客車x輛，根據題意，得：，解得：4＜x＜，∵x為整數，∴x＝5，36x＝180，答：該校初三年級共有師生180人參觀黃石礦博園；（2）方案①：租36座車5輛的費用：5×400＝2000（元）．方案②：租48座車4輛的費用：4×480＝1920（元）；方案③∵＝3…36，余下人