專(zhuān)題06期中復(fù)習(xí)解答題專(zhuān)練-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期專(zhuān)題訓(xùn)練期中期末全真模擬卷(人教A版2019)

專(zhuān)題06期中復(fù)習(xí)解答題專(zhuān)練知識(shí)與技巧典型題一：集合新定義型通過(guò)給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)全新的問(wèn)題情景通過(guò)閱讀理解、信息遷移來(lái)靈活解題1.已知集合為非空數(shù)集，定義：，（1）若集合，直接寫(xiě)出集合，.（2）若集合，，且，求證：（3）若集合，，，記為集合中元素的個(gè)數(shù)，求的最大值.【答案】（1），；（2）證明見(jiàn)解析；（3）1347.【分析】（1）根據(jù)題目定義，直接計(jì)算集合及；（2）根據(jù)兩集合相等即可找到，，，的關(guān)系；（3）通過(guò)假設(shè)集合，，，，，，，求出相應(yīng)的及，通過(guò)建立不等關(guān)系求出相應(yīng)的值．【詳解】（1）根據(jù)題意，由，則，；（2）由于集合，，且，所以中也只包含四個(gè)元素，即，剩下的，所以；（3）設(shè)滿足題意，其中，則，，，，，，中最小的元素為0，最大的元素為，，，，實(shí)際上當(dāng)時(shí)滿足題意，證明如下：設(shè)，，則，，依題意有，即，故的最小值為674，于是當(dāng)時(shí)，中元素最多，即時(shí)滿足題意，綜上所述，集合中元素的個(gè)數(shù)的最大值是1347.2.已知集合，，集合，且集合滿足，.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）對(duì)集合，其中，定義由中的元素構(gòu)成兩個(gè)相應(yīng)的集合：，，其中是有序數(shù)對(duì)，集合和中的元素個(gè)數(shù)分別為和，若對(duì)任意的，總有，則稱(chēng)集合具有性質(zhì).①請(qǐng)檢驗(yàn)集合與是否具有性質(zhì)，并對(duì)其中具有性質(zhì)的集合，寫(xiě)出相應(yīng)的集合和；②試判斷和的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【答案】（1）（2）①不具有性質(zhì)，具有性質(zhì)；，②，證明見(jiàn)解析【分析】（1）先求得集合所包含的元素，根據(jù)，，求得的值.（2）根據(jù)（1）求得，由此求得.①根據(jù)性質(zhì)的定義，判斷出不具有性質(zhì)，具有性質(zhì).根據(jù)集合的定義求得.②根據(jù)①所求，求得，由此比較出兩者的大小關(guān)系.【詳解】（1）對(duì)于集合，開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為，當(dāng)時(shí)，故對(duì)于集合，由，解得，所以.根據(jù)題意，，所以，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，不符合，故舍去，滿足題意，即.（2）由（1）得，，，，.①中，故不具有性質(zhì)；中任意元素，故具有性質(zhì)；根據(jù)集合的定義，求得，；②由①知，，故.知識(shí)與技巧典型題二：集合含參運(yùn)算集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算，根據(jù)集合的關(guān)系求參數(shù)的范圍考查含參數(shù)一元二次不等式的解法，分類(lèi)討論的思想，以及充分必要條件的理解轉(zhuǎn)化1.已知集合，集合.（1）求；（2）若集合，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先解分式不等式得集合B,再根據(jù)交集定義得結(jié)果，（2）先根據(jù)條件得，按是否為空集分類(lèi)討論，再結(jié)合數(shù)軸得不等式，解得結(jié)果.【詳解】（1），（2）由可得若，則，即若，則，即，綜上所述，2.已知集合，集合當(dāng)時(shí)，求集合和集合B；若集合為單元素集，求實(shí)數(shù)m的取值集合；若集合的元素個(gè)數(shù)為個(gè)，求實(shí)數(shù)m的取值集合【答案】（1），或；（2）；（3）【分析】（1）m＝2時(shí)，化簡(jiǎn)集合A，B，即可得集合?RA和集合B；（2）集合B∩Z為單元素集，所以集合B中有且只有一個(gè)整數(shù)，而0∈B，所以拋物線y＝（1﹣m2）x2+2mx﹣1的開(kāi)口向上，且與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)都在[﹣1，1]內(nèi)，據(jù)此列式可得m＝0；（3）因?yàn)锳＝（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），（A∩B）∩Z中由n個(gè)元素，所以1﹣m2＞0，即﹣1＜m＜1；A∩B中至少有3或﹣2中的一個(gè)，由此列式可得．【詳解】集合A＝{x|x2﹣x﹣2≥0}＝{x|x≥2或x≤﹣1}，集合{x|（1﹣m2）x2+2mx﹣1＜0，m∈R}＝{x|[（1+m）x﹣1][（1﹣m）x+1]＜0}（1）當(dāng)m＝2時(shí)，集合?RA＝{x|﹣1＜x＜2}；集合或；（2）因?yàn)榧螧∩Z為單元素集，且0∈B，所以，解得m＝0，當(dāng)m＝0時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證，滿足題意．故實(shí)數(shù)m的取值集合為{0}（3）集合（A∩B）∩Z的元素個(gè)數(shù)為n（n∈N*）個(gè)，A∩B中至少有3或﹣2中的一個(gè)，所以令f（x）＝（1﹣m2）x2+2mx﹣1，依題意有或，解得﹣1＜m＜﹣或＜m＜1∴知識(shí)與技巧典型題三：充分與必要條件計(jì)算參數(shù)利用復(fù)合命題的真假求參數(shù)利用充分不必要條件求參數(shù)化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用1.設(shè)實(shí)數(shù)滿足，其中.實(shí)數(shù)滿足.（1）若，且為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）非是非的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）將代入中的不等式，并解出該不等式，同時(shí)也解出中的不等式組，由為真，可知、均為真命題，將、中的不等式（組）的解集取交集可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求出非與非中的取值范圍，結(jié)合已知條件轉(zhuǎn)化為兩集合的包含關(guān)系，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，解不等式，解得，即.解不等式，解得，解不等式，解得或，.，若為真，則、均為真命題，此時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）當(dāng)時(shí)，解不等式，解得，即，則非或，非或.因?yàn)榉鞘欠堑某浞植槐匾獥l件，則或或，所以，，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.2.已知全集為R，集合，．（1）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）從下面所給的三個(gè)條件中選擇一個(gè)，說(shuō)明它是的什么條件充分必要性．①；②；③．【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析.【分析】先求集合A，B，，再由得到a的不等式，解得即可；

結(jié)合利用充分必要條件的定義逐一判定．【詳解】解：集合，所以，集合，若，只需，所以．由可知的充要條件是，選擇，則結(jié)論是既不充分也不必要條件；選擇，則結(jié)論是必要不充分條件；選擇，則結(jié)論是充分不必要條件．知識(shí)與技巧典型題四：抽象函數(shù)判斷奇偶性時(shí)，運(yùn)用賦值法，注意結(jié)合奇函數(shù)的定義，分別賦值和。判斷單調(diào)性時(shí)，需結(jié)合函數(shù)值的分布區(qū)間，經(jīng)常類(lèi)似變形1.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)和，它們分別滿足條件：對(duì)，都有和，且對(duì).（1）求的值；（2）證明函數(shù)是奇函數(shù)；（3）證明時(shí)，，且函數(shù)在R上是增函數(shù)；（4）試各舉出一個(gè)符合函數(shù)和的具體函數(shù).【答案】（1），；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析；（4）.(只要是正比例函數(shù)和指數(shù)函數(shù)均可).【分析】（1）通過(guò)賦值，令，求和的值；（2）通過(guò)賦值，令，結(jié)合奇函數(shù)的定義，即可證明；（3）首先判斷時(shí)，，，方法一，利用函數(shù)單調(diào)性的定義，證明當(dāng)時(shí)，；方法二，證明，【詳解】解：（1）令，則或，若，則，與條件矛盾.故(也可令，則不需要檢驗(yàn))（2）的定義域?yàn)镽，關(guān)于數(shù)0對(duì)稱(chēng)，令，則.故為奇函數(shù).（3）當(dāng)時(shí)，，又故證法一：設(shè)為R上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，則，.故為R上的增函數(shù).證法二：設(shè)為R上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，∴為R上的增函數(shù).（4）.(只要是正比例函數(shù)和的指數(shù)函數(shù)均可)2.已知函數(shù)對(duì)任意的實(shí)數(shù)，，都有，且當(dāng)時(shí)，有.（1）求的值；（2）求證：在上為增函數(shù)；（3）若，且關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【分析】（1）利用賦值法，m＝n＝0求f（0）；（2）設(shè)x1，x2是R上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1＜x2，令m＝x2﹣x1，n＝x1，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性的定義直接證明f（x）在R上為增函數(shù)；（3）由原不等式可化為f（ax﹣2+x﹣x2）+1＜3，化為f[﹣x2+（a+1）x﹣2]＜f（1），對(duì)任意的x∈[﹣1，+∞）恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)g（x）＝x2﹣（a+1）x+3，即g（x）min＞0成立即可，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，通過(guò)分類(lèi)討論求解實(shí)數(shù)a的取值范圍．【詳解】（1）由，故此令，則，則；（2）設(shè)x1，x2是R上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1＜x2，則令m＝x2﹣x1，n＝x1，則f（x2）＝f（x2﹣x1）+f（x1）﹣1，所以f（x2）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）﹣1，由x1＜x2得x2﹣x1＞0，所以f（x2﹣x1）＞1，故f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x1）＜f（x2），故此，函數(shù)為上增函數(shù)；（3）由已知條件得：，故此，∵，∴，∴，由（2）可知f（x）在R上為增函數(shù)，∴，即，令，即成立即可.①當(dāng)時(shí)，即，在單調(diào)遞增，∴，∴∴②當(dāng)時(shí)，即，在先遞減后遞增，∴，∴，解得，∴.綜上，∴.知識(shí)與技巧典型題五：倍增函數(shù)1.已知二次函數(shù)且），，且對(duì)任意的，均成立，且方程有唯一實(shí)數(shù)解.（1）求的解析式；（2）若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）是否存在區(qū)間，使得在區(qū)間上的值域恰好為？若存在，請(qǐng)求出區(qū)間，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在，所求區(qū)間為：.【分析】（1）根據(jù)題意，用待定系數(shù)法，列方程組，求出解析式；（2）恒成立問(wèn)題用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，即可求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）對(duì)于存在性問(wèn)題，可先假設(shè)存在區(qū)間，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性，求出m、n的值，如果出現(xiàn)矛盾，說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在.【詳解】（1）對(duì)于，由得到：①；∵對(duì)任意的，均成立，取x=3，得：即②又方程有唯一實(shí)數(shù)解，得：③①②③聯(lián)立，解得：（其中舍去）所以.（2）不等式不等式可化為：不等式∴當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，∴記，只需對(duì)于在上單調(diào)遞增，∴∴，即的取值范圍為.（3）假設(shè)存在區(qū)間符合題意。由可得：的對(duì)稱(chēng)軸為，且故有：，所以，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，則有：，即解得故所求區(qū)間為：.2.知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的奇偶性并證明；（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)t的取值范圍.【答案】（1）偶函數(shù)，證明見(jiàn)解析；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)奇偶性定義證明；（2）不等式用分離參數(shù)法變形后轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值可得參數(shù)范圍；（3）利用單調(diào)性求出的值域，從而得的值域，比較可得關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的正實(shí)根，由二次方程根的分布可得參數(shù)范圍．【詳解】（1）是偶函數(shù)．證明如下：函數(shù)定義域是，，所以是偶函數(shù)；（2）不等式為，即，此不等式在上恒成立，由于，對(duì)稱(chēng)軸為，因此時(shí)，，所以，所以，即取值范圍是；（3），時(shí)，是增函數(shù)，所以時(shí)，，而，所以，的值域是，由題意，所以有兩個(gè)不等的正實(shí)根，方程整理為：，，解得．所以的取值范圍是．知識(shí)與技巧典型題六：恒成立求參1.已知函數(shù)，，（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增與單調(diào)遞減區(qū)間（直接寫(xiě)結(jié)果）；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）若不等式對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.【答案】（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）；（3）.【分析】（1）將題中所給的的值代入解析式，利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間即可；（2）解不等式即可得結(jié)果；（3）將題中所給的式子進(jìn)行變形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上單調(diào)遞增，結(jié)合分段函數(shù)的解析式和二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸，分類(lèi)討論得到結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為和；（2）因?yàn)?，且函?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)樵谏系淖畲笾禐椋?，即，整理得，所以，所以，即，所以的取值范圍是；?）由對(duì)任意恒成立，即，令，等價(jià)于在上單調(diào)遞增，而，分以下三種情況來(lái)討論：（i）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象可得，解得，矛盾，無(wú)解；（ii）時(shí)，即時(shí)，函數(shù)圖象的走向?yàn)闇p、增、減、增，但是中間增區(qū)間的長(zhǎng)度不足1，要想使函數(shù)在上單調(diào)遞增，只能，解得，矛盾，無(wú)解；（iii），即，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，要想使函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以需要，解得，所以，綜上，滿足條件的的取值范圍是.2.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是．給定函數(shù)．（1）求函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心；（2）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性（只寫(xiě)出結(jié)論即可）；（3）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且當(dāng)時(shí)，．若對(duì)任意，總存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）在區(qū)間上為增函數(shù)；（3）.【分析】（1）根據(jù)題意可知，若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，則，然后利用得出與，代入上式求解；（2）因?yàn)楹瘮?shù)及函數(shù)在上遞增，所以函數(shù)在上遞增；（3）根據(jù)題意可知，若對(duì)任意，總存在，使得，則只需使函數(shù)在上的值域?yàn)樵谏系闹涤虻淖蛹?，然后分?lèi)討論求解函數(shù)的值域與函數(shù)的值域，根據(jù)集合間的包含關(guān)求解參數(shù)的取值范圍．【詳解】解：（1）設(shè)函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心為，則．即，整理得，于是，解得．所以的對(duì)稱(chēng)中心為；（2）函數(shù)在上為增函數(shù)；（3）由已知，值域?yàn)橹涤虻淖蛹桑?）知在上單增，所以的值域?yàn)椋谑窃瓎?wèn)題轉(zhuǎn)化為在上的值域．①當(dāng)，即時(shí)，在單增，注意到的圖象恒過(guò)對(duì)稱(chēng)中心，可知在上亦單增，所以在上單增，又，，所以．因?yàn)?，所以，解得．②?dāng)，即時(shí)，在單減，單增，又過(guò)對(duì)稱(chēng)中心，所以在單增，單減；此時(shí)．欲使，只需且解不等式得，又，此時(shí)．③當(dāng)，即時(shí)，在單減，在上亦單減，由對(duì)稱(chēng)性，知在上單減，于是．因?yàn)椋?解得．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．知識(shí)與技巧典型題七：分式型壓軸1.已知二次函數(shù)和函數(shù).（1）若為偶函數(shù)，試判斷的奇偶性；（2）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根則：①試判斷函數(shù)在區(qū)間上是否具有單調(diào)性，并說(shuō)明理由；②若方程的兩實(shí)根為，求使成立的的取值范圍.【答案】（1）為奇函數(shù)；（2）①是，理由見(jiàn)解析；②.【分析】(1)由是奇函數(shù)且為二次函數(shù)可知：，，故可得，再利用定義即可判斷的奇偶性；(2)①由可整理得到一元二次方程，由題意得，整理得出對(duì)稱(chēng)軸方程不在上，故可得出函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性；②由的兩實(shí)根為，且成立，可由根的分布將其轉(zhuǎn)化為不等式，即可解出的范圍.【詳解】解：（1）因?yàn)闉榕己瘮?shù)，，，又二次函數(shù)的，定義域?yàn)椋?，所以為奇函?shù)；（2）①由得方程有不等實(shí)根，及得，即或，即二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，故在是單調(diào)函數(shù)；②是方程的根，，，同理；，要使，只需即，，或即，無(wú)實(shí)數(shù)解，故的取值范圍為.2.已知是定義在上的奇函數(shù)，且．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）用定義證明在上為增函數(shù)；（Ⅲ）若對(duì)恒成立，求的取值范圍．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析；（Ⅲ）．.【分析】（Ⅰ）可用特殊值求出，，，然后確定函數(shù)是奇函數(shù)即可；（Ⅱ）用單調(diào)性定義證明：設(shè)．證明；（Ⅲ）求出在上的最大值后可得的范圍．【詳解】（Ⅰ）因?yàn)槠婧瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以．故有，解得．所以．由，即，解得，所以．此時(shí)是奇函數(shù)．所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，任?。畡t，因?yàn)?，，所以，故．又因?yàn)?，所以，故，即，所以函?shù)在上為增函數(shù)．（Ⅲ）由（Ⅱ）知在上為增函數(shù)，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，故在的最大值為，由題意可得，解得．故的取值范圍為．知識(shí)與技巧典型題八：均值不等式1.（1）已知，求的最大值.（2）已知x，y為正實(shí)數(shù)，且，求的最大值.【答案】（1）；（2）4.【分析】（1）利用基本不等式可求最大值.（2）利用基本不等式可得，從而可求的最大值.【詳解】解：（1）若，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)：，即時(shí)，取“”，因此，函數(shù)的最大值為.（2），，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值4.2.選用恰當(dāng)?shù)淖C明方法，證明下列不等式.（1）證明：求證；（2）設(shè)，，都是正數(shù)，求證：.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）通過(guò)分析法，平方不等式得到證明.（2）利用均值不等式，化簡(jiǎn)得到證明.【詳解】（1）證明：要證，只需證明，即證明，也就是證明，式子顯然成立，故原不等式成立.（2），所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.知識(shí)與技巧典型題九：“三個(gè)二次”1.已知二次函數(shù)g（x）＝ax2+c（a，c∈R），g（1）＝1且不等式g（x）≤x2﹣x+1對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立．（Ⅰ）求函數(shù)g（x）的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，設(shè)函數(shù)h（x）＝2g（x）﹣2，關(guān)于x的不等式h（x﹣1）+4h（m）≤h（）﹣4m2h（x），在x∈[，+∞）有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（Ⅰ）g（x）；（Ⅱ）[，0）∪（0，]【分析】（Ⅰ）先將g（1）＝1代入得a+c＝1，再由g（x）≤x2﹣x+1對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立轉(zhuǎn)化為（a﹣1）x2+x+c﹣1≤0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，分類(lèi)討論即可求解；（Ⅱ）先將不等式作變形處理，可得4m2≥1.在x∈[，+∞）有解，即等價(jià)于4m2≥（1）min，設(shè)y＝1，求得的最小值，再解關(guān)于的不等式即可；【詳解】（Ⅰ）∵二次函數(shù)g（x）＝ax2+c（a，c∈R），g（1）＝1；∴a+c＝1①；又∵不等式g（x）≤x2﹣x+1對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立；∴（a﹣1）x2+x+c﹣1≤0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立；當(dāng)a﹣1＝0時(shí)，x+c﹣1≤0不恒成立，∴a＝1不合題意，舍去；當(dāng)a﹣1≠0時(shí)，要使得（a﹣1）x2+x+c﹣1≤0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，需要滿足：；②，∴由①②解得a，c；故函數(shù)g（x）的解析式為：g（x）．（Ⅱ）把g（x）代入函數(shù)h（x）＝2g（x）﹣2；得h（x）＝x2﹣1；則關(guān)于x的不等式h（x﹣1）+4h（m）≤h（）﹣4m2h（x）在x∈[，+∞）有解，得，4m2≥1.在x∈[，+∞）有解；只要使得4m2≥（1）min；設(shè)y＝1，x∈[，+∞），則y＝﹣3（）2，（0，]，∴當(dāng)時(shí)，ymin；所以，4m2，解得0＜m2；∴m＜0或0＜m；故實(shí)數(shù)m的取值范圍為[，0）∪（0，]．2.已知二次函數(shù).（1）若的解集為，求不等式的解集；（2）若對(duì)任意，恒成立，求的最大值；（3）若對(duì)任意，恒成立，求的最大值.【答案】（1）；（2）1；（3）.【分析】（1）根據(jù)已知條件，利用“三個(gè)二次”的關(guān)系，得到的根為1和2，且，進(jìn)而求得的關(guān)系，化簡(jiǎn)不等式后，求解即得;（2）利用不等式恒成立的條件，得到，進(jìn)而得到，從而得到結(jié)合基本不等式求得的最大值；（3）令，可得，根據(jù)恒成立，可以得到，進(jìn)而得到，然后利用基本不等式求得的最大值,并檢驗(yàn)取到最大值時(shí)的條件使得不等式的另一邊恒成立.【詳解】解（1）因?yàn)榈慕饧?，2），所有的根為1和2，且.所以，，故，，所以，即，，所以，即不等式的解集為.（2）因?yàn)閷?duì)任意，恒成立，所以，即，又，所以，故，所以，當(dāng)，時(shí)取“=”，所以的最大值為1.（3）令，則，所以，對(duì)任意，，恒成立，所以恒成立，所以，所以，此時(shí)，，當(dāng)，，時(shí)取“=”，此時(shí)成立；故的最大值為.知識(shí)與技巧典型題十：函數(shù)性質(zhì)綜合1.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）令,在時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（3）在（2）條件下，存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求取值范圍.【答案】（1）見(jiàn)詳解（2）見(jiàn)詳解（3）【分析】（1）根據(jù)題意，對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，即可得到函數(shù)的零點(diǎn)；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論與圖像，即可得出的單調(diào)區(qū)間（3）根據(jù)所給條件，結(jié)合分段函數(shù)的圖像，將題意所滿足條件轉(zhuǎn)化為有解，即可求出的范圍?！驹斀狻浚?）由題意得，對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；若，，如圖所示，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，解得當(dāng)時(shí)，解得;當(dāng)時(shí)，解得;若，，如圖所示，當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，解得當(dāng)時(shí)，解得;當(dāng)時(shí)，解得；（2）由題意得，，即根據(jù)（1）中的討論，可得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（3）根據(jù)題意，，結(jié)合圖像，若要滿足題意，則有解，即又，所以是單調(diào)遞增的，所以綜上所述，。2.已知函數(shù)，其中（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出函數(shù)的減區(qū)間．（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上既有最大值又有最小值，求m，n的取值范圍（用a表示）．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），.【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)解析式，作出函數(shù)圖像，由函數(shù)圖像即可求出單調(diào)遞減區(qū)間.（Ⅱ）當(dāng)，作出函數(shù)圖像，結(jié)合函數(shù)圖像即可求解.【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的大致圖像，如圖：由圖像可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像如圖所示：要使在區(qū)間上既有最大值又有最小值，則最小值一定在處取得，最大值在處取得，又，在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)值為時(shí)，，所以，，而在區(qū)間內(nèi)函數(shù)值為時(shí)，，所以.專(zhuān)題集訓(xùn)題選1.給定數(shù)集,若對(duì)于任意,有,且，則稱(chēng)集合為閉集合.（I）判斷集合是否為閉集合，并給出證明；（II）若集合為閉集合，則是否一定為閉集合?請(qǐng)說(shuō)明理由；（III）若集合為閉集合，且,證明：.【答案】（I）證明見(jiàn)解析；（II）不一定，證明見(jiàn)解析；（III）證明見(jiàn)解析.【分析】（I）根據(jù)特值，但是4+4=8A，判斷A不為閉集合，設(shè)，可證出，，B為閉集合（II）取特例A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=3k，k∈Z}，集合為閉集合，但不為閉集合即可（III）用反正正法，若AB=R，存在a∈R且aA，故a∈B，同理，因?yàn)锽R，存在b∈R且bB，故b∈A，若，則由A為閉集合，，與aA矛盾，同理可知若，，與bB矛盾，即可證明.【詳解】（I）因?yàn)椋?+4=8A，所以，A不為閉集合；任取，設(shè),則且所以，同理，，故B為閉集合.（II）結(jié)論：不一定.令A(yù)={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=3k，k∈Z}，則由（I）可知，A，B為閉集合，但2，3∈AB，2+3=5AB，因此，AB不為閉集合.（III）證明：（反證）若AB=R,則因?yàn)锳R，存在a∈R且aA，故a∈B,同理，因?yàn)锽R，存在b∈R且bB，故b∈A,因?yàn)閍+b∈R=AB，所以，a+b∈A或a+b∈B,若，則由A為閉集合，，與aA矛盾,若，則由B為閉集合，，與bB矛盾,綜上，存在c∈R，使得c（AB）.2.已知命題：“，使等式成立”是真命題．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值集合；（Ⅱ）設(shè)不等式的解集為，若是的必要條件，求的取值范圍．【答案】（1）（2）或.【詳解】試題分析：（1）方程在有解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上的值域，實(shí)數(shù)的取值集合可求；（2）是的必要條件，分、、三種情況討論即可求的取值范圍．(1)由題意知，方程在上有解，即的取值范圍就為函數(shù)在上的值域，易得7分(2)因?yàn)槭堑谋匾獥l件，所以8分當(dāng)時(shí)，解集為空集，不滿足題意9分當(dāng)時(shí)，，此時(shí)集合則，解得12分當(dāng)時(shí)，，此時(shí)集合則15分綜上16分3.在①，，②存在區(qū)間，，使得，這2個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并求解問(wèn)題中的實(shí)數(shù)．問(wèn)題：求解實(shí)數(shù)，使得命題，，命題______，都是真命題．（若選擇兩個(gè)條件都解答，只按第一個(gè)解答計(jì)分.）【答案】答案見(jiàn)解析.【分析】選條件①由命題為真，可得不等式在，上恒成立，求出的范圍，通過(guò)命題為真，求出的范圍，然后列出不等式組求解即可．選條件②由命題為真，可得不等式在，上恒成立，求出的范圍，通過(guò)命題為真，求出的范圍，然后列出不等式組求解即可．【詳解】解：選條件①由命題為真，可得不等式在上恒成立．因?yàn)?，，所以，若命題為真，則方程有解．所以判別式，所以或．又因?yàn)?，都為真命題，所以所以或．所以實(shí)數(shù)的取值范圍是或．選條件②由命題為真，可得不等式在上恒成立．因?yàn)椋裕驗(yàn)榧媳赜?，得或，即或，又因?yàn)?，都為真命題，所以，解得．所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．4.定義在的函數(shù)，滿足，且當(dāng)時(shí)，.（1）求證：（2）討論函數(shù)的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；（3）若，解不等式.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）由，結(jié)合題意即可得結(jié)果；（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（3）將原不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，結(jié)合定義域和單調(diào)性即可得結(jié)果.【詳解】解：（1）由題可得，即；（2）任取，，且，則，由（1）得：，即，在上是增函數(shù)；（3），，，，，，又在上為增函數(shù)，，解得：，故不等式的解集為.5.已知定義在上的函數(shù)對(duì)任意都有等式成立，且當(dāng)時(shí)，有.（1）求證：函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）若，關(guān)于不等式有解，求的取值范圍.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）任取，且，先得到，再作差得到，判斷其正負(fù)，根據(jù)單調(diào)性的定義，即可求出結(jié)果；（2）先由，根據(jù)題中條件，得到，將原不等式化為，根據(jù)（1）中單調(diào)性，得到，令，求出其最大值，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）任取，且，則，所以，又，所以，即.故函數(shù)在上單調(diào)遞增.（2）因?yàn)?，所以，原不等式等價(jià)于，故有解，即有解，因此只需，令，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，因此，所以，故的取值范圍為.6.若函數(shù)同時(shí)滿足：①函數(shù)在整個(gè)定義域是嚴(yán)格增函數(shù)或嚴(yán)格減函數(shù)；②存在區(qū)間，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，則稱(chēng)函數(shù)是該定義域上的“閉函數(shù)”.（1）判斷是不是上的“閉函數(shù)”？若是，求出區(qū)間；若不是，說(shuō)明理由；（2）若是“閉函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若在上的最小值是“閉函數(shù)”，求、滿足的條件.【答案】（1）不是，理由見(jiàn)解析；（2）；（3）且.【分析】（1）利用“閉函數(shù)”的定義判斷函數(shù)是否滿足①②，由此可得出結(jié)論；（2）分析可知函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn)，利用二次函數(shù)的零點(diǎn)分布可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求得，然后分、、三種情況討論，分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合“閉函數(shù)”的定義可得出關(guān)于、的等式，由此可得出、滿足的條件.【詳解】（1）函數(shù)為上的增函數(shù)，若函數(shù)為“閉函數(shù)”，則存在、，使得函數(shù)在上的值域?yàn)?，則，則關(guān)于的方程至少有兩個(gè)不等的實(shí)根，因?yàn)椋史匠虩o(wú)實(shí)根，因此，函數(shù)不是“閉函數(shù)”；（2）因?yàn)楹瘮?shù)為上的增函數(shù)，若函數(shù)為上的“閉函數(shù)”，則存在、，使得函數(shù)在上的值域?yàn)椋瑒t，所以，關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，令，設(shè)，則函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是；（3）因?yàn)?當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則；當(dāng)時(shí)，.綜上所述，.所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上也為減函數(shù).①當(dāng)時(shí)，則，上述兩式作差得，因?yàn)?，故，因?yàn)椋瑒t，矛盾；②當(dāng)時(shí)，則有，消去可得，解得，不合乎題意；③當(dāng)時(shí)，則，可得.因此，、滿足的條件為且.7.已知函數(shù)為奇函數(shù)，且．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；（3）求不等式的解集．【答案】（1）；（2）在上單調(diào)遞減,證明見(jiàn)解析；(3).【分析】（1）由奇函數(shù)可求得，再由求得，最后檢驗(yàn)一下是奇函數(shù)；（2）由單調(diào)性定義證明；（3）由奇函數(shù)性質(zhì)不等式變?yōu)椋儆蓡握{(diào)性去掉符號(hào)，然后可解得結(jié)論?！驹斀狻浚?）由題意，為R上奇函數(shù)，則，得，再由，得.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)是奇函數(shù).(2)由（1）得，在上單調(diào)遞減,證明如下：任取且，則即在上單調(diào)遞減.（3）為奇函數(shù)，，則原不等式化為，而由（2）得在時(shí)單調(diào)遞減，且，即∴原不等式的解集為.8.設(shè)，，且.證明：(1)；(2)與不可能同時(shí)成立．【答案】(1)見(jiàn)解析.(2)見(jiàn)解析.【詳解】試題分析：本題考查基本不等式和反證法,結(jié)合轉(zhuǎn)化思想證明不等式,意在考查考生對(duì)基本不等式的掌握和反證法的應(yīng)用.(i)構(gòu)造基本不等式求出代數(shù)式的最值,直接證明不等式成立;(ii)直接證明較難,假設(shè)兩個(gè)不等式同時(shí)成立,利用(i)的結(jié)論,得出矛盾,則假設(shè)不成立.試題解析：由,,得.(1)由基本不等式及,有,即(2)假設(shè)與同時(shí)成立,則由及a>0得0<