112空間向量的數(shù)量積運(yùn)算（原卷版）

1．1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)一空間向量的夾角1．定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．2．范圍：0≤〈a，b〉≤π.特別地，當(dāng)〈a，b〉＝eq\f(π,2)時(shí)，a⊥b.知識(shí)點(diǎn)二空間向量的數(shù)量積定義已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.性質(zhì)①a⊥b?a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2運(yùn)算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交換律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).知識(shí)點(diǎn)三向量a的投影1．如圖(1)，在空間，向量a向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個(gè)平面α內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，向量c稱(chēng)為向量a在向量b上的投影向量．類(lèi)似地，可以將向量a向直線l投影(如圖(2))．2．如圖(3)，向量a向平面β投影，就是分別由向量a的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到eq\o(A′B′,\s\up6(→))，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))稱(chēng)為向量a在平面β上的投影向量．這時(shí)，向量a，eq\o(A′B′,\s\up6(→))的夾角就是向量a所在直線與平面β所成的角．題型一、數(shù)量積的計(jì)算1．空間向量的夾角圖示定義已知兩個(gè)非零向量，，在空間任取一點(diǎn)O，作，，則_________叫做向量，的夾角，記作_________范圍通常規(guī)定：__________________；當(dāng)_________時(shí)，與垂直，記作_________2．空間向量的數(shù)量積（1）定義：已知兩個(gè)非零向量，，則_________叫做，的數(shù)量積，記作．即_________．【微提醒】零向量與任意向量的數(shù)量積為0．（2）由數(shù)量積的定義，可以得到：_________；_________．3．如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中，若E?F分別是AB?AD的中點(diǎn)，則___________，___________，___________，___________.4．如圖，在單位正方體中，設(shè)，，，求：(1)；(2)；(3)．5．已知在四面體ABCD中，，，則______．題型二、投影向量1．投影向量（1）在空間，向量向向量投影：如圖①，先將它們平移到同一平面內(nèi)，利用平面上向量的投影，得到與向量共線的向量，_________，稱(chēng)向量為向量在向量上的投影向量．（2）向量在直線l上的投影如圖②．（3）向量向平面投影：如圖③，分別由向量的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B作平面的垂線，垂足分別為，，得到向量，向量_________稱(chēng)為向量在平面上的投影向量．2．判斷正誤：（1）向量在向量方向上的投影數(shù)量等于向量在向量方向上的投影數(shù)量；()（2）和向量在向量方向上的投影數(shù)量等于，在向量方向上的投影數(shù)量之和．()3．已知，向量為單位向量，，求向量在向量方向上的投影的數(shù)量．4．已知向量與的夾角為，且，，則在方向上的投影向量為_(kāi)__________5．已知向量與的夾角為．(1)若是與方向相同的單位向量，求在上的投影向量；(2)求；(3)求．題型三、利用數(shù)量積證明垂直問(wèn)題1．如圖，在空間四邊形OABC中，OB＝OC，AB＝AC．求證：OA⊥BC．2．如圖，四面體OABC各棱的棱長(zhǎng)都是1，D，E分別是OC，AB的中點(diǎn)，記，，.(1)用向量表示向量；(2)求證.3．如圖在正方體中，為與的交點(diǎn)，為的中點(diǎn)．求證：平面.題型四、利用數(shù)量積求模1．在棱長(zhǎng)為2的正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，則（

）．A． B．1 C． D．22．已知平行六面體，，，求.3．如圖,在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)棱AA1的長(zhǎng)為b，∠A1AB=∠A1AD=120°.（1）求AC1的長(zhǎng);（2）證明:AC1⊥BD．題型五、利用數(shù)量積求夾角1．已知空間向量，，滿足，，，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．2．四面體中，，則（

）A． B． C． D．3．如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)度都為，且兩兩夾角為.求：（1）的長(zhǎng)；（2）與夾角的余弦值.1．已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于1，若點(diǎn)E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，則______．2．三棱錐中，，，，則______．3．已知單位正方體，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).4．已知，，與的夾角為135°，則在方向上的投影向量為（

）A．－ B． C． D．5．中，角、、的對(duì)邊分別為、、，并且，，．設(shè)，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．6．已知向量、的夾角為120°，且，．(1)求；(2)求向量在向量方向上的投影．7．已知四面體OABC，，．求證：．8．已知空間四邊形中，，且，分別是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，求證：9．如圖，在正方體ABCD—A1B1C1Dl中，CD1和DC1相交于點(diǎn)O，連接AO．求證：AO⊥CD1．10．如圖所示，已知和都是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且，．求證：平面．11．已知均為空間單位向量，它們的夾角為60°，那么等于（

）A． B． C． D．412．若、、為空間三個(gè)單位向量，，且與、所成的角均為，則（

）A．5 B． C． D．13．已知斜三棱柱中，底面是直角三角形，且，，，，，則（

）A．B．C．D．異面直線與所成角的余弦值為14．在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)度都為，且兩兩夾角為，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______.15．如圖，已知平行六面體中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，，，設(shè)，，．(1)用，，表示，并求；(2)求．16．如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是，且它們彼此的夾角都是，為與的交點(diǎn).若，，.（1）求對(duì)角線的長(zhǎng)；（2）求.17．如圖所示，正四面體的高VD的中點(diǎn)為O，VC的中點(diǎn)為M．(1)求證：兩兩垂直；(2)求異面直線與所成角的大?。?8．如圖所示，已知空間四邊形的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)．設(shè)，，．（1）求證：；（2）求異面直線和所成角的余弦值．1．如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，為的中點(diǎn)，則的值為（

）A．1 B． C． D．2．已知的外接圓圓心為，且，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．3．已知△ABC的外接圓圓心為O，且，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．下列命題中正確的個(gè)數(shù)為（

）①若，則②若，且，則③若，，且與的夾角為，則在方向上的投影向量為④若，則必定存在實(shí)數(shù)，使得A．0 B．1 C．2 D．35．三棱柱中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．6．在平行六面體中，，，，則（

）A． B．5 C． D．37．在四面體OABC中，，，，則與AC所成角的大小為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°8．如圖，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，若，，，則的值為（

）A． B． C． D．9．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》商功中記載“斜解立方，得兩塹堵”，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱．在塹堵中，，P為的中點(diǎn)，則（

）．A．6 B． C．2 D．10．在平行六面體中，，，，，，則AM的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．11．如圖，四面體中，，分別為和的中點(diǎn)，，，且向量與向量的夾角為，則線段長(zhǎng)為（

）A． B． C．或 D．3或12．在平形六面體中，其中，，，，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．13．（多選）下列說(shuō)法正確的是（

）A．對(duì)于任意兩個(gè)向量，若，且同向，則B．已知，為單位向量，若，則在上的投影向量為C．設(shè)為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的充分不必要條件D．若，則與的夾角是鈍角14．（多選）如圖，平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱彼此的夾角都是60°，且棱長(zhǎng)均為1，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．B．C．直線與直線所成角的正該值是D．直線與平面所成角的正弦值是15．判斷正誤（1）向量與的夾角等于向量與的夾角．()（2）若，則或．()（3）對(duì)于非零向量，，與相等．()（4）若，且，則．()（5）若，均為非零向量，則是與共線的充要條件．()16．正四面體的棱長(zhǎng)為1，E為中點(diǎn)，則__________17．如圖在平行六面體中，，，則的長(zhǎng)是_________．18．如圖，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，若，且，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________.19．設(shè)空間中有四個(gè)互異的點(diǎn)A?B?C?D，若，則的形狀是___________.20．已知空間向量??是兩兩互相垂直的單位向量，=___________.21．已知空間向量與滿足，且，若與的夾角為，則________．22．已知平行六面體的棱長(zhǎng)均為4，，E為棱的中點(diǎn)，則___________.23．如圖，二面角等于，A、是棱l上兩點(diǎn)，BD、AC分別在半平面、內(nèi)，，，且，則CD的長(zhǎng)等于________.24．六面體的所有棱長(zhǎng)都為2，底面ABCD是正方形，AC與BD的交點(diǎn)是O，若，則___________.25．已知空間四邊形ABCD的邊長(zhǎng)和對(duì)角線長(zhǎng)都為2，E，F(xiàn)，G分別為AB，AD，DC的中點(diǎn)，求下列數(shù)量積：(1)；(2)；(3)；(4)．26．如圖所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，點(diǎn)，分別在對(duì)角線，上，且，．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．27．如圖，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面邊長(zhǎng)為．（1）設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為1，求證：AB1⊥BC1；（2）設(shè)AB1與BC1的夾角為，求側(cè)棱的長(zhǎng)．28．如圖所示，已知是△所在平面外一點(diǎn)，，求證：在面上的射影是△的垂心．29．如右圖,一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體，以點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱AB，AD，的長(zhǎng)都等于，且彼此之間的夾角都是.(1)用向量表示向量.(2)求晶體的對(duì)角線長(zhǎng).30．如圖所示，在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱AM的長(zhǎng)為3，且，N是CM的中點(diǎn)，設(shè)，，，用、、表示向量，并求BN的長(zhǎng)．31．已知四面體的各棱長(zhǎng)均為1，D是棱OA的中點(diǎn)，E是棱AB的中點(diǎn)．設(shè)，，．(1)用向量、、表示、；(2)判斷與是否垂直；(3)求異面直線BD與AC所成角的余弦值．32．如圖，點(diǎn)、