五年級(jí)奧數(shù)完整版本.數(shù)論.因數(shù)個(gè)數(shù)(A級(jí)).教師版

MSDC模塊化分級(jí)講義體系 五年級(jí)奧數(shù).數(shù)論.因數(shù)個(gè)數(shù)（A級(jí)）.教師版 Page因數(shù)個(gè)數(shù)因數(shù)個(gè)數(shù)課前預(yù)習(xí)課前預(yù)習(xí)富翁打賭有兩個(gè)富翁，一個(gè)頭腦精明，一個(gè)吝嗇刁鉆。貪財(cái)好利是他們的共同特點(diǎn)。一天，兩個(gè)富翁遇到了一起，雙方爭(zhēng)強(qiáng)好勝，話不投機(jī)，竟然打起賭來。精明的富翁說：“我可以每天給你1萬元，只收回你1分錢?！绷邌莸母晃桃詾閷?duì)方吹牛皮，便說：“你若真的每天給我1萬元，別說我給你1分錢，就是再給你1千我也干！”“不！”精明的富翁說，“條件只是第一天，你給我1分?！薄半y道你第二天還要給我1萬？”“是的”，精明的富翁說：“只是你第二天收了我的1萬，要給我2分。第3天……”沒等精明的富翁說完，吝嗇的富翁急切地問：“第三天你再給我1萬，我給你“4分！就是說，我每天得到的錢都是前一天的兩倍?！绷邌莸母晃绦南耄哼@家伙可能神經(jīng)出了毛病，便問：“每天送我1萬，這樣下去，你的錢夠送多少天呢？”“我是人人都知道的百萬富翁。”精明的富翁說：“我不打算都送給你，只拿出30萬，先送你一個(gè)月足夠了。但是你給我的錢也1分不能少！”吝嗇的富翁怕精明的富翁反悔，提出要簽協(xié)議。吝嗇的富翁說：“你敢簽訂協(xié)議嗎？”于是他們找來了幾個(gè)公證人，簽了協(xié)議。吝嗇的富翁回到家，高興得一夜沒合眼。天剛亮，對(duì)方提著1萬元送上門來，按約定他給了對(duì)方1分錢。第二天，對(duì)方仍然如約送來了1萬元。他簡(jiǎn)直像做夢(mèng)一般，這樣下去一個(gè)月，便可以有30萬元的收入了！想著，想著，數(shù)錢的手都顫抖了！于是自己也如約給了對(duì)方2分錢。對(duì)方高高興興地拿走了2分錢，還叮囑：“別忘了，明天給我4分錢！”可是，20多天以后，吝嗇的富翁突然要求終止打賭。對(duì)方以及一些證人當(dāng)然不會(huì)同意，30天的時(shí)間已經(jīng)過去大半了，任何一方都無權(quán)不執(zhí)行協(xié)議。到最后，吝嗇的富翁竟把全部家當(dāng)都輸光了。聰明的小朋友，你們說這是為什么？原來呀，吝嗇的富翁在1個(gè)月內(nèi)共得到300000元。他需要付給對(duì)方的錢，總數(shù)是：1＋2＋4＋8＋16＋32……＋536870912＝1073741823（分）＝10737418.23（元）。即：一千零七十三萬七千四百一十八元二角三分。這是一個(gè)何等大的數(shù)目呀，吝嗇的富翁當(dāng)然會(huì)把全部家當(dāng)都輸光了。知識(shí)框架知識(shí)框架約數(shù)的概念與最大公約數(shù)0被排除在約數(shù)與倍數(shù)之外1．求最大公約數(shù)的方法①分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來．例如：，，所以；②短除法：先找出所有共有的約數(shù)，然后相乘．例如：，所以；③輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個(gè)余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)．用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的步驟如下：先用小的一個(gè)數(shù)除大的一個(gè)數(shù)，得第一個(gè)余數(shù)；再用第一個(gè)余數(shù)除小的一個(gè)數(shù)，得第二個(gè)余數(shù)；又用第二個(gè)余數(shù)除第一個(gè)余數(shù)，得第三個(gè)余數(shù)；這樣逐次用后一個(gè)余數(shù)去除前一個(gè)余數(shù)，直到余數(shù)是0為止．那么，最后一個(gè)除數(shù)就是所求的最大公約數(shù)．(如果最后的除數(shù)是1，那么原來的兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)的)．例如，求600和1515的最大公約數(shù)：；；；；；所以1515和600的最大公約數(shù)是15．2．最大公約數(shù)的性質(zhì)①幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)；②幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)；③幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù)，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)乘以．3．求一組分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，其他分?jǐn)?shù)不變；求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)a；求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的分子的最大公約數(shù)b；即為所求．二、倍數(shù)的概念與最小公倍數(shù)1.求最小公倍數(shù)的方法①分解質(zhì)因數(shù)的方法；例如：，，所以；②短除法求最小公倍數(shù)；例如：，所以；③．2.最小公倍數(shù)的性質(zhì)①兩個(gè)數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)．②兩個(gè)互質(zhì)的數(shù)的最小公倍數(shù)是這兩個(gè)數(shù)的乘積．③兩個(gè)數(shù)具有倍數(shù)關(guān)系，則它們的最大公約數(shù)是其中較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是較大的數(shù)．3.求一組分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)方法步驟先將各個(gè)分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)；求出各個(gè)分?jǐn)?shù)分子的最小公倍數(shù)；求出各個(gè)分?jǐn)?shù)分母的最大公約數(shù)；即為所求．例如：注意：兩個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)不能是整數(shù)，最小公倍數(shù)可以是整數(shù).例如：三、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的常用性質(zhì)1．兩個(gè)自然數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，所得的商互質(zhì)。如果為、的最大公約數(shù)，且，，那么互質(zhì)，所以、的最小公倍數(shù)為，所以最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)有如下一些基本關(guān)系：①，即兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之積等于這兩個(gè)數(shù)的積；②最大公約數(shù)是、、、及最小公倍數(shù)的約數(shù)．2．兩個(gè)數(shù)的最大公約和最小公倍的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。即，此性質(zhì)比較簡(jiǎn)單，學(xué)生比較容易掌握。3．對(duì)于任意3個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，如果三個(gè)連續(xù)數(shù)的奇偶性為a)奇偶奇，那么這三個(gè)數(shù)的乘積等于這三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)例如：，210就是567的最小公倍數(shù)b)偶奇偶，那么這三個(gè)數(shù)的乘積等于這三個(gè)數(shù)最小公倍數(shù)的2倍例如：，而6,7,8的最小公倍數(shù)為性質(zhì)（3）不是一個(gè)常見考點(diǎn)，但是也比較有助于學(xué)生理解最小公倍數(shù)與數(shù)字乘積之間的大小關(guān)系，即“幾個(gè)數(shù)最小公倍數(shù)一定不會(huì)比他們的乘積大”。四、求約數(shù)個(gè)數(shù)與所有約數(shù)的和1．求任一整數(shù)約數(shù)的個(gè)數(shù)一個(gè)整數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是在對(duì)其嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后，將每個(gè)質(zhì)因數(shù)的指數(shù)(次數(shù))加1后所得的乘積。如:1400嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)之后為，所以它的約數(shù)有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24個(gè)。(包括1和1400本身)約數(shù)個(gè)數(shù)的計(jì)算公式是本講的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，授課時(shí)應(yīng)重點(diǎn)講解，公式的推導(dǎo)過程是建立在開篇講過的數(shù)字“唯一分解定理”形式基礎(chǔ)之上，結(jié)合乘法原理推導(dǎo)出來的，不是很復(fù)雜，建議給學(xué)生推導(dǎo)并要求其掌握。難點(diǎn)在于公式的逆推，有相當(dāng)一部分?？嫉钠y題型考察的就是對(duì)這個(gè)公式的逆用，即先告訴一個(gè)數(shù)有多少個(gè)約數(shù)，然后再結(jié)合其他幾個(gè)條件將原數(shù)“還原構(gòu)造”出來，或者是“構(gòu)造出可能的最值”。2．求任一整數(shù)的所有約數(shù)的和一個(gè)整數(shù)的所有約數(shù)的和是在對(duì)其嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后，將它的每個(gè)質(zhì)因數(shù)依次從1加至這個(gè)質(zhì)因數(shù)的最高次冪求和，然后再將這些得到的和相乘，乘積便是這個(gè)合數(shù)的所有約數(shù)的和。如：，所以21000所有約數(shù)的和為此公式?jīng)]有第一個(gè)公式常用，推導(dǎo)過程相對(duì)復(fù)雜，需要許多步提取公因式，建議幫助學(xué)生找規(guī)律性的記憶即可。重難點(diǎn)重難點(diǎn)重點(diǎn)：本講中的知識(shí)點(diǎn)并不難理解，對(duì)于約數(shù)、最大公約數(shù)；倍數(shù)、最小公倍數(shù)的定義我們?cè)趯W(xué)校的課本上都已經(jīng)學(xué)習(xí)過，所以重點(diǎn)在于一些性質(zhì)的應(yīng)用，完全平方數(shù)在考試中經(jīng)常出現(xiàn)，所以對(duì)于平方差公式還有一些主要性質(zhì)一定要記住.難點(diǎn)：核心目標(biāo)是讓孩子對(duì)數(shù)字的本質(zhì)結(jié)構(gòu)有一個(gè)深入的認(rèn)識(shí)，即所謂的整數(shù)唯一分解定理，教師可以在課前讓學(xué)生練習(xí)幾個(gè)兩位或三位整數(shù)的分解，然后幫學(xué)生做一個(gè)找規(guī)律式的不完全歸納，讓學(xué)生自己初步領(lǐng)悟“原來任何一個(gè)數(shù)字都可以表示為的結(jié)構(gòu)”例題精講例題精講【例1】數(shù)360的約數(shù)有多少個(gè)?這些約數(shù)的和是多少?【考點(diǎn)】因數(shù)個(gè)數(shù)【難度】☆☆【題型】解答【解析】360分解質(zhì)因數(shù):360=2×2×2×3×3×5=23×32×5；360的約數(shù)可以且只能是2a×3b×5c,(其中a,b,c均是整數(shù),且a為0～3,6為0～2,c為0～1)．因?yàn)閍、b、c的取值是相互獨(dú)立的,由計(jì)數(shù)問題的乘法原理知,約數(shù)的個(gè)數(shù)為(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．我們先只改動(dòng)關(guān)于質(zhì)因數(shù)3的約數(shù),可以是l,3,32,它們的和為(1+3+32),所以所有360約數(shù)的和為(1+3+32)×2y×5w；我們?cè)賮泶_定關(guān)于質(zhì)因數(shù)2的約數(shù),可以是l,2,22,23,它們的和為(1+2+22+23)，所以所有360約數(shù)的和為(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w；最后確定關(guān)于質(zhì)因數(shù)5的約數(shù),可以是1,5,它們的和為(1+5),所以所有360的約數(shù)的和為(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)．于是,我們計(jì)算出值:13×15×6=1170．所以,360所有約數(shù)的和為1170．【答案】（1）1170【鞏固】數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)是多少？它們的和是多少？它們的積呢?【考點(diǎn)】因數(shù)個(gè)數(shù)【難度】☆☆☆【題型】解答【解析】對(duì)任意一個(gè)自然數(shù)，我們首先可以將它作因式分解，化成質(zhì)數(shù)及其次數(shù)的乘積，以為例，我們有.要算它的約數(shù)的個(gè)數(shù)，我們可以這樣來理解：約數(shù)的因數(shù)只可能是,.并且它們的次數(shù)不會(huì)超過原數(shù)的次數(shù)，從而約數(shù)的因數(shù)的的次數(shù)可以為，,,,,；而的次數(shù)也只可能是或.把它展開你就可以發(fā)現(xiàn)它就是我們要求的：情況：不包含的約數(shù)：,,,,,,情況：包含的約數(shù):，，，，，.從而我們可以任意地從中選若干個(gè)，的次數(shù)，即：()().(個(gè))所以它的約數(shù)的和：()()至于要算它們的約數(shù)的積，我們可以將它的約數(shù)配對(duì)：一個(gè)約數(shù)和它被原數(shù)除的數(shù)組成一對(duì)(如和是的一對(duì)).這樣，對(duì)于非平方數(shù)而言，我們得到整數(shù)對(duì)，并且它們的積就是原數(shù)本身；而對(duì)于平方數(shù)而言，僅僅是多了一個(gè)數(shù)(它的開方)，從而通過對(duì)它的約數(shù)的個(gè)數(shù)，可以求出它們的積.對(duì)本題而言，我們有(;)，(;)，(;)，(;)，(;)，(;)共對(duì).從而它們的積為.【答案】（1）12（2）()()（3）.【例2】求在到中，恰好有個(gè)約數(shù)的所有自然數(shù).【考點(diǎn)】因數(shù)個(gè)數(shù)【難度】☆☆【題型】解答【解析】逆用約數(shù)個(gè)數(shù)定理：或，所以自然數(shù)只有兩種分解可能，一種是一種是,但第一種情況以內(nèi)這樣的數(shù)不存在，第二種情況只有等于的可能，所以或因此滿足條件的自然數(shù)只有和.【鞏固】在到中，恰好有個(gè)約數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？【考點(diǎn)】因數(shù)個(gè)數(shù)【難度】☆☆【題型】解答【解析】只能表示為()或()()，所以恰好有個(gè)約數(shù)的數(shù)要么能表示成某個(gè)質(zhì)數(shù)的次方，要么表示為某個(gè)質(zhì)數(shù)的平方再乘以另一個(gè)質(zhì)數(shù)，以內(nèi)符合前者的只有，符合后者的數(shù)枚舉如下：所以符合條件的自然數(shù)一共有種．【答案】（1）16【例3】甲、乙兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)是7，并且甲數(shù)除以乙數(shù)所得的商是.乙數(shù)是_____.【考點(diǎn)】因數(shù)個(gè)數(shù)【難度】☆☆【題型】解答【解析】由(甲，乙)，且甲：乙，由于8與9互質(zhì)，所以乙數(shù).【答案】（1）56【鞏固】甲數(shù)是36，甲、乙兩數(shù)最大公約數(shù)是4，最小公倍數(shù)是288，那么乙數(shù)是多少？（★★）【考點(diǎn)】因數(shù)個(gè)數(shù)【難度】☆☆【題型】解答【解析】法1：根據(jù)兩個(gè)自然數(shù)的積兩數(shù)的最大公約數(shù)兩數(shù)的最小公倍數(shù)，有：甲數(shù)乙數(shù)，所以，乙數(shù)；法2：因?yàn)榧?、乙兩?shù)的最大公約數(shù)為4，則甲數(shù)，設(shè)乙數(shù)，則．因?yàn)榧?、乙兩?shù)的最小公倍數(shù)是288，則，得．所以，乙數(shù)．【答案】（1）32【例4】如圖，鼴鼠和老鼠分別從長(zhǎng)157米的小路兩端A、B開始向另一端挖洞。老鼠對(duì)鼴鼠說：“你挖完后，我再挖。”這樣一來，由于老鼠原來要挖的一些洞恰好也是鼴鼠要挖的洞，所以老鼠可以少挖多少個(gè)洞？【考點(diǎn)】因數(shù)個(gè)數(shù)【難度】☆☆【題型】解答【解析】因?yàn)?57除以5的余數(shù)是2，可得下圖，由圖中很明顯可知，鼴鼠和老鼠重合的第一個(gè)洞在距離A點(diǎn)12米處．因?yàn)閇3，5]，，所以，老鼠和鼴鼠要挖的洞里重合的有(個(gè))．【答案】（1）10【鞏固】有一些小朋友排成一行，從左面第一人開始每隔2人發(fā)一個(gè)蘋果；從右面第一人開始每隔4人發(fā)一個(gè)桔子，結(jié)果有10個(gè)小朋友蘋果和桔子都拿到.那么這些小朋友最多有多少人？（★★）【考點(diǎn)】因數(shù)個(gè)數(shù)【難度】☆☆☆【題型】解答【解析】蘋果每3人發(fā)1個(gè)，桔子每5人發(fā)1個(gè).因?yàn)椋蕴O果和桔子都拿到的10個(gè)小朋友之間共有(人).在他們的左邊最多有4個(gè)小朋友拿到蘋果，所以左邊最多還有(人)；右邊最多有2個(gè)小朋友拿到桔子，所以右邊最多還有(人).所以最多有：(人).【答案】（1）158【例5】已知正整數(shù)a、b之差為120，它們的最小公倍數(shù)是其最大公約數(shù)的105倍，那么a、b中較大的數(shù)是多少？【考點(diǎn)】因數(shù)個(gè)數(shù)【難度】☆☆【題型】解答【解析】設(shè)，有，又設(shè)，，，，且，則，有，所以．因?yàn)?，所以?20的約數(shù)．①若，，則，不符合；②若，，則，不符合；③若，，則，不符合；④若，，則，符合條件．由，得，從而a、b中較大的數(shù)．【答案】（1）225【鞏固】已知兩個(gè)自然數(shù)的和為54，它們的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的差為114，求這兩個(gè)自然數(shù)．設(shè)這【考點(diǎn)】因數(shù)個(gè)數(shù)【難度】☆☆【題型】解答【解析】?jī)蓚€(gè)自然數(shù)分別是、，其中為它們的最大公約數(shù)，與互質(zhì)(不妨設(shè))，根據(jù)題意有：所以可以得到是54和114的公約數(shù)，所以是的約數(shù)．，2，3或6．如果，由，有；又由，有．，但是，，所以.如果，由，有；又由，有．，但是，，所以．如果，由，有；又由，有．，但是，，所以．如果，由，有；又由，有．20表示成兩個(gè)互質(zhì)的數(shù)的乘積有兩種形式：，雖然，但是有，所以取是合適的，此時(shí)，，這兩個(gè)數(shù)分別為24和30．【例6】（2008第四屆“IMC國際數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽”（新加坡）六年級(jí)復(fù)賽）如圖，A、B、C是三個(gè)順次咬和的齒輪，當(dāng)A轉(zhuǎn)4圈時(shí)，B恰好轉(zhuǎn)3圈：當(dāng)B轉(zhuǎn)4圈時(shí)，C恰好轉(zhuǎn)5圈，則A、B、C的齒數(shù)的最小數(shù)分別是多少？【考點(diǎn)】因數(shù)個(gè)數(shù)【難度】☆☆【題型】解答【解析】當(dāng)A轉(zhuǎn)4圈時(shí)，B恰好轉(zhuǎn)3圈，則A、B齒數(shù)的比值為，同理，B、C的齒數(shù)比值為。所以A、B、C齒數(shù)比值為，所以此時(shí)A齒數(shù)至少為15，B的齒數(shù)至少是20，C齒數(shù)至少是16?！敬鸢浮浚?）所以此時(shí)A齒數(shù)至少為15，B的齒數(shù)至少是20，C齒數(shù)至少是16?！眷柟獭恳粋€(gè)兩位數(shù)有6個(gè)約數(shù)，且這個(gè)數(shù)最小的3個(gè)約數(shù)之和為10，那么此數(shù)為幾？【考點(diǎn)】因數(shù)個(gè)數(shù)【難度】☆☆【題型】解答【解析】最小的三個(gè)約數(shù)中必然包括約數(shù)1，除去1以外另外兩個(gè)約數(shù)之和為9，由于9是奇數(shù)，所以這兩個(gè)約數(shù)的奇偶性一定是相反的，其中一定有一個(gè)是偶數(shù)，如果一個(gè)數(shù)包含偶約數(shù)，那么它一定是2的倍數(shù)，即2是它的約數(shù)。于是2是這個(gè)數(shù)第二小的約數(shù)，而第三小的約數(shù)是7，所以這個(gè)兩位數(shù)是14的倍數(shù)，由于這個(gè)兩位數(shù)的約數(shù)中不含3、4、5、6，所以這個(gè)數(shù)只能是14或98，其中有6個(gè)約數(shù)的是98．【答案】（1）98【例7】恰有8個(gè)約數(shù)的兩位數(shù)有________個(gè)．【考點(diǎn)】因數(shù)個(gè)數(shù)【難度】☆☆【題型】解答【解析】根據(jù)約數(shù)個(gè)數(shù)公式，先將8進(jìn)行分解：，所以恰有8個(gè)約數(shù)的數(shù)至多有3個(gè)不同的質(zhì)因數(shù)，分解質(zhì)因數(shù)后的形式可能為，，．其中由于，所以形式的沒有符合條件的兩位數(shù)；形式中，B不能超過3，即可能為2或3，有、、、、，共5個(gè)；形式的有、、、、，共5個(gè)．所以共有個(gè)符合條件的數(shù)．【答案】（1）10【鞏固】能被2145整除且恰有2145個(gè)約數(shù)的數(shù)有個(gè)．【考點(diǎn)】因數(shù)個(gè)數(shù)【難度】☆☆【題型】解答【解析】先將2145分解質(zhì)因數(shù)：，所以能被2145整除的數(shù)必定含有3，5，11，13這4個(gè)質(zhì)因數(shù)；由于這樣的數(shù)恰有2145個(gè)約數(shù)，所以它至多只有4個(gè)質(zhì)因數(shù)，否則至少有5個(gè)質(zhì)因數(shù)，根據(jù)約數(shù)個(gè)數(shù)的計(jì)算公式，則有5個(gè)大于1的整數(shù)的乘積等于2145，而2145只能分解成3，5，11，13的乘積，矛盾．所以所求的數(shù)恰好只有3，5，11，13這4個(gè)質(zhì)因數(shù)．對(duì)于這樣的每一個(gè)數(shù)，分解質(zhì)因數(shù)后3，5，11，13這4個(gè)因子的冪次都恰好是，，，的一個(gè)排列，所以共有種【答案】（1）24【例8】已知偶數(shù)A不是4的整數(shù)倍，它的約數(shù)的個(gè)數(shù)為12，求4A的約數(shù)的個(gè)數(shù).【考點(diǎn)】因數(shù)個(gè)數(shù)【難度】☆☆☆【題型】解答【解析】由于A是偶數(shù)但不是4的倍數(shù)，所以A只含有1個(gè)因子2，可將A分解成，其中B是奇數(shù)，根據(jù)約數(shù)個(gè)數(shù)公式，它的約數(shù)的個(gè)數(shù)為(其中N為B的約數(shù)個(gè)數(shù))，則，它的約數(shù)個(gè)數(shù)為個(gè)．【答案】（1）24【鞏固】自然數(shù)N有45個(gè)正約數(shù)。N的最小值為。【考點(diǎn)】因數(shù)個(gè)數(shù)【難度】☆☆☆【題型】解答【解析】由于，根據(jù)約數(shù)個(gè)數(shù)公式，自然數(shù)N可能分解成、、、等形式，在以上各種形式下，N的最小值分別為、、、，比較這些數(shù)的大小，可知，所以最小值是．【答案】（1）3600【例9】已知A數(shù)有7個(gè)約數(shù)，B數(shù)有12個(gè)約數(shù)，且A、B的最小公倍數(shù)，則．【考點(diǎn)】因數(shù)個(gè)數(shù)【難度】☆☆【題型】解答【解析】，由于A數(shù)有7個(gè)約數(shù)，而7為質(zhì)數(shù)，所以A為某個(gè)質(zhì)數(shù)的6次方，由于1728只有2和3這兩個(gè)質(zhì)因數(shù)，如果A為，那么1728不是A的倍數(shù)，不符題意，所以，那么為B的約數(shù)，設(shè)，則，得，所以．【答案】（1）108【鞏固】如果你寫出12的所有約數(shù)，1和12除外，你會(huì)發(fā)現(xiàn)最大的約數(shù)是最小約數(shù)的3倍．現(xiàn)有一個(gè)整數(shù)n，除掉它的約數(shù)1和n外，剩下的約數(shù)中，最大約數(shù)是最小約數(shù)的15倍，那么滿足條件的整數(shù)n有哪些？【考點(diǎn)】因數(shù)個(gè)數(shù)【難度】☆☆【題型】解答【解析】設(shè)整數(shù)n除掉約數(shù)1和n外，最小約數(shù)為a，可得最大約數(shù)為，那么．則3、5、a都為n的約數(shù)．因?yàn)閍是n的除掉約數(shù)1外的最小約數(shù)，那么．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以滿足條件的整數(shù)n有60和135．【答案】（1）n有60和135課堂檢測(cè)課堂檢測(cè)1、有多少個(gè)約數(shù)？這些約數(shù)的和是多少？【考點(diǎn)】因數(shù)個(gè)數(shù)【難度】☆☆【題型】解答【解析】.的約數(shù)：，，，共個(gè).的約數(shù)：，共個(gè).根據(jù)乘法原理，的約數(shù)個(gè)數(shù)為：()().這些約數(shù)的和()().【答案】（1）8（2）602、筐里有個(gè)桃子，如果不是一次全部拿出，也不一個(gè)一個(gè)地拿，要求每次的個(gè)數(shù)同樣多，拿到最后正好不多不少，問共有多少種不同的拿法？【考點(diǎn)】因數(shù)個(gè)數(shù)【難度】☆☆【題型】解答【解析】，共有個(gè)約數(shù)，去掉和還有個(gè)約數(shù).所以共有種不同拿法【答案】（1）163、在一根長(zhǎng)木棍上，有三種刻度線，第一種刻度線將木棍分成10等份，第二種刻度線把木棍分成12等份，第三種刻度線把木棍分成15等份，如果沿每條刻度線把木棍鋸斷，木棍總共被鋸成多少段？【考點(diǎn)】因數(shù)個(gè)數(shù)【難度】☆☆☆【題型】解答【解析】從題目中可以知道，木棍鋸成的段數(shù)，比鋸的次數(shù)大1；而鋸的次數(shù)并不一定是三種刻度線的總和，因?yàn)楫?dāng)兩種刻度線重合在一起的時(shí)候，就會(huì)少鋸一次．所以本題的關(guān)鍵在于計(jì)算出有多少兩種刻度線或者三種刻度線重疊在一起的位置．把木棍看成是10、12、15的最小公倍數(shù)個(gè)單位，那么每個(gè)等分線將表示的數(shù)都是整數(shù)，而且重合位置表示的數(shù)都是等分線段長(zhǎng)度的公倍數(shù)，利用求公倍數(shù)的個(gè)數(shù)的方法計(jì)算出重合的刻度線的條數(shù)．，先把木棍60等分，每一等分作為一個(gè)單位，則第一種刻度線相鄰兩刻度間占6個(gè)單位，第二種占5個(gè)單位，第三種占4個(gè)單位，分點(diǎn)共有(個(gè))．，故在30單位處二種刻度重合1次；，故在20、40單位處二種刻度重合2次；，故在12、24、36、48單位處二種刻度重合4次；，所以沒有三種刻度線重疊在一起的位置．所以共有不重合刻度個(gè)．從而分成28段．【答案】（1）284、在三位數(shù)中，恰好有9個(gè)約數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？【考點(diǎn)】因數(shù)個(gè)數(shù)【難度】☆☆【題型】解答【解析】由于，根據(jù)約數(shù)個(gè)數(shù)公式，可知9個(gè)約數(shù)的數(shù)可以表示為一個(gè)質(zhì)數(shù)的8次方，或者兩個(gè)不同質(zhì)數(shù)的平方的乘積，前者在三位數(shù)中只有符合條件，后者中符合條件有、、、、、，所以符合條件的有7個(gè)．【答案】（1）75、1001的倍數(shù)中，共有個(gè)數(shù)恰有1001個(gè)約數(shù)．【考點(diǎn)】因數(shù)個(gè)數(shù)【難度】☆☆【題型】解答【解析】1001的倍數(shù)可以表示為，由于，如果k有不同于7，11，13的質(zhì)因數(shù)，那么至少有4個(gè)質(zhì)因數(shù)，將其分解質(zhì)因數(shù)后，根據(jù)數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)的計(jì)算公式，其約數(shù)的個(gè)數(shù)為，其中．如果這個(gè)數(shù)恰有1001個(gè)約數(shù)，則，但是1001不能分解成4個(gè)大于1的數(shù)的乘積，所以時(shí)不合題意，即k不能有不同于7，11，13的質(zhì)因數(shù)．那么只有7，11，13這3個(gè)質(zhì)因數(shù)．設(shè)，則，、、分別為7，11，13，共有種選擇，每種選擇對(duì)應(yīng)一個(gè)，所以1001的倍數(shù)中共有6個(gè)數(shù)恰有1001個(gè)約數(shù)．【答案】（1）10016、A,B兩數(shù)都僅含有質(zhì)因數(shù)3和5,它們的最大公約數(shù)是75.已知數(shù)A有12個(gè)約數(shù)，數(shù)B有10個(gè)約數(shù)，那么A,B兩數(shù)的和等于多少?【考點(diǎn)】因數(shù)個(gè)數(shù)【難度】☆☆【題型】解答【解析】由題中條件知A、B中有一個(gè)數(shù)質(zhì)因數(shù)中出現(xiàn)了兩次5,多于一次3,那么,先假設(shè)它出現(xiàn)了N次3,則約數(shù)有:(2+1)×(N+1)=3×(N+1)個(gè)12與10其中只有12是3的倍數(shù),所以3(N+1)=12,易知N=3,這個(gè)數(shù)是A，即A=33×52=675．那么B的質(zhì)數(shù)中出現(xiàn)了一次3,多于兩次5,則出現(xiàn)了M次5,則有:(1+1)×(M+1)=2(M+1)=10，M=4.B=3×54=1875．那么A,B兩數(shù)的和為675+1875=2550．【答案】（1）2550.復(fù)習(xí)總結(jié)復(fù)習(xí)總結(jié)1、最大公約數(shù)