重慶科創(chuàng)職業(yè)學(xué)院教案第十一章概率論初步海敏娟

第十一章概率一、學(xué)習(xí)要點1.了解隨機(jī)事件的概念及表示，掌握事件之間的關(guān)系及其運(yùn)算．2.理解古典概型的定義，會計算簡單的古典概型問題，了解幾何概型．3.理解條件概率概念，會用乘法公式、全概率公式及貝葉斯公式進(jìn)行概率計算．4.理解事件獨(dú)立性的概念，會用事件獨(dú)立性進(jìn)行概率計算．5.理解隨機(jī)變量的概念，理解離散型隨機(jī)變量及其分布律的概念．6.掌握簡單的離散型隨機(jī)變量的分布律的計算．7.理解期望和方差的概念，掌握離散型隨機(jī)變量期望和方差的性質(zhì)及運(yùn)算．二、相關(guān)知識總結(jié)1．事件的3種運(yùn)算：事件的并、事件的交、事件的差2．事件的關(guān)系：包含關(guān)系、相等關(guān)系、互斥關(guān)系、對立關(guān)系3．事件的運(yùn)算法則：交換律、結(jié)合律、分配律、對偶律4．古典概型中的相關(guān)概率：5．概率的基本性質(zhì)和定理性質(zhì)：（1）．（2）．（3）如果和互斥，則．加法定理乘法定理或6．條件概率：7．事件的獨(dú)立：（1）定義：（2）獨(dú)立的充要條件：或（3）性質(zhì)：事件A、B相互獨(dú)立，則事件與B、A與、與也是相互獨(dú)立的．8．全概率公式：9．貝葉斯公式：（）10．二項分布：若X~，則（）11．期望：（1）定義：E(X)=（2）性質(zhì)：E(C)=C，E(aX+b)=aE(X)+b12．方差：（1）定義：D(X)=常用式：（2）性質(zhì)：，，三、重點例題剖析（一）基礎(chǔ)題1.設(shè)A，B，C為三個事件，試用A，B，C的運(yùn)算關(guān)系式表示下列事件：（1）A發(fā)生，B，C都不發(fā)生；（2）A與B發(fā)生，C不發(fā)生；（3）A，B，C都發(fā)生；（4）A，B，C至少有一個發(fā)生；（5）A，B，C都不發(fā)生；（6）A，B，C不都發(fā)生；（7）A，B，C至多有2個發(fā)生；（8）A，B，C至少有2個發(fā)生.解（1）A.（2）AB.（3）ABC.（4）A∪B∪C=C∪B∪A∪BC∪AC∪AB∪ABC=.(5)=.(6).(7)BC∪AC∪AB∪C∪A∪B∪==∪∪.(8)AB∪BC∪CA=AB∪AC∪BC∪ABC.2.一個袋內(nèi)裝有大小相同的7個球，其中4個是白球，3個是黑球，從中一次抽取3個，計算至少有兩個是白球的概率.解設(shè)Ai={恰有i個白球}（i=2,3），顯然A2與A3互斥.故3.某地某天下雪的概率為0.3，下雨的概率為0.5，既下雪又下雨的概率為0.1,求：(1)在下雨條件下下雪的概率；(2)這天下雨或下雪的概率.解設(shè)A={下雨}，B={下雪}.(1).(2).4.有甲、乙兩批種子，發(fā)芽率分別為0.8和0.7，在兩批種子中各隨機(jī)取一粒，求：(1)兩粒都發(fā)芽的概率；(2)至少有一粒發(fā)芽的概率；(3)恰有一粒發(fā)芽的概率.解設(shè)Ai={第i批種子中的一粒發(fā)芽}，（i=1,2）(1).(2).(3).5.設(shè)A，B為隨機(jī)事件，且P（A）=0.7,P(AB)=0.3，求P（）.解P（）=1P（AB）=1[P(A)P(AB)]=1[0.70.3]=0.6.6.設(shè)A，B，C為三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件發(fā)生的概率.解P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)=++=.7.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，現(xiàn)隨機(jī)地挑選一人，此人恰為色盲，問此人是男人的概率（假設(shè)男人和女人各占人數(shù)的一半）.解設(shè)A={此人是男人}，B={此人是色盲}，則由貝葉斯公式.8.設(shè)兩個相互獨(dú)立的事件A和B都不發(fā)生的概率為1/9，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等，求P（A）.解①②故故③由A,B的獨(dú)立性，及①、③式有故故或（舍去）即P（A）=.9.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P{X=k}=a/N，k=1，2，…，N，試確定常數(shù)a.解由分布律的性質(zhì)知即.10.一袋中有5只乒乓球，編號為1，2，3，4，5，在其中同時取3只，以X表示取出的3只球中的最大號碼，寫出隨機(jī)變量X的分布律.解故所求分布律為X345P0.10.30.611.射手向目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行了3次射擊，每次擊中率為0.8，求3次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)的分布律及分布函數(shù)，并求3次射擊中至少擊中2次的概率.解設(shè)X表示擊中目標(biāo)的次數(shù).則X=0，1，2，3.故X的分布律為X0123P0.0080.0960.3840.512分布函數(shù).12.設(shè)事件A在每一次試驗中發(fā)生的概率為0.3，當(dāng)A發(fā)生不少于3次時，指示燈發(fā)出信號，（1）進(jìn)行了5次獨(dú)立試驗，試求指示燈發(fā)出信號的概率；（2）進(jìn)行了7次獨(dú)立試驗，試求指示燈發(fā)出信號的概率.解（1）設(shè)X表示5次獨(dú)立試驗中A發(fā)生的次數(shù)，則X~6（5，0.3）.(2)令Y表示7次獨(dú)立試驗中A發(fā)生的次數(shù)，則Y~b（7，0.3）.13.進(jìn)行某種試驗，成功的概率為，失敗的概率為.以X表示試驗首次成功所需試驗的次數(shù)，試寫出X的分布律，并計算X取偶數(shù)的概率.解.14.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X1012P1/81/21/81/4求E（X），E（X2），E（2X+3）.解(1)(2)(3).15.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f（x）=求E（X），D（X）.解故（二）提高題1.從52張撲克牌中任意取出13張，問有5張黑桃，3張紅心，3張方塊，2張梅花的概率是多少？解p=.2.對一個五人學(xué)習(xí)小組考慮生日問題：（1）求五個人的生日都在星期日的概率；（2）求五個人的生日都不在星期日的概率；（3）求五個人的生日不都在星期日的概率.解(1)設(shè)A1={五個人的生日都在星期日}，基本事件總數(shù)為75，有利事件僅1個，故P（A1）==（）5（亦可用獨(dú)立性求解，下同）(2)設(shè)A2={五個人生日都不在星期日}，有利事件數(shù)為65，故P（A2）==()5(3)設(shè)A3={五個人的生日不都在星期日}P（A3）=1P(A1)=1()53.甲、乙兩個籃球運(yùn)動員，投籃命中率分別為0.7及0.6，每人各投了3次，求二人進(jìn)球數(shù)相等的概率.解設(shè)Ai={甲進(jìn)i球}，i=0,1,2,3,Bi={乙進(jìn)i球},i=0,1,2,3,則=0.32076.4.從5雙不同的鞋子中任取4只，求這4只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙的概率.解.5.按以往概率論考試結(jié)果分析，努力學(xué)習(xí)的學(xué)生有90%的可能考試及格，不努力學(xué)習(xí)的學(xué)生有90%的可能考試不及格.據(jù)調(diào)查，學(xué)生中有80%的人是努力學(xué)習(xí)的，試問：（1）考試及格的學(xué)生有多大可能是不努力學(xué)習(xí)的人？（2）考試不及格的學(xué)生有多大可能是努力學(xué)習(xí)的人？解設(shè)A={被調(diào)查學(xué)生是努力學(xué)習(xí)的}，則={被調(diào)查學(xué)生是不努力學(xué)習(xí)的}.由題意知P（A）=0.8，P（）=0.2，又設(shè)B={被調(diào)查學(xué)生考試及格}.由題意知P（B|A）=0.9，P（|）=0.9，故由貝葉斯公式知(1).即考試及格的學(xué)生中不努力學(xué)習(xí)的學(xué)生僅占2.702%(2).即考試不及格的學(xué)生中努力學(xué)習(xí)的學(xué)生占30.77%.6.證明：若P（A｜B）=P(A｜)，則A，B相互獨(dú)立.證即亦即因此故A與B相互獨(dú)立.7.甲、乙、丙三人獨(dú)立地向同一飛機(jī)射擊，設(shè)擊中的概率分別是0.4,0.5,0.7，若只有一人擊中，則飛機(jī)被擊落的概率為0.2；若有兩人擊中，則飛機(jī)被擊落的概率為0.6；若三人都擊中，則飛機(jī)一定被擊落，求：飛機(jī)被擊落的概率.解設(shè)A={飛機(jī)被擊落}，Bi={恰有i人擊中飛機(jī)}，i=0,1,2,3由全概率公式，得=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7=0.458.8.將3個球隨機(jī)地放入4個杯子中去，求杯中球的最大個數(shù)分別為1，2，3的概率.解設(shè)={杯中球的最大個數(shù)為i},i=1,2,3.將3個球隨機(jī)放入4個杯子中，全部可能放法有43種，杯中球的最大個數(shù)為1時，每個杯中最多放一球，故而杯中球的最大個數(shù)為3，即三個球全放入一個杯中，故因此或.9.設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件，A，B和C滿足條件：ABC=，P(A)=P(B)=P(C)<1/2，且P（A∪B∪C）=9/16，求P（A）.解由故或,按題設(shè)P（A）<,故P（A）=.10.設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取兩件，已知所取兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解設(shè)A={兩件中至少有一件是不合格品}，B={另一件也是不合格品}.11.已知100個產(chǎn)品中有10個次品，求任意取出的5個產(chǎn)品中的次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望、方差.解設(shè)任取出的5個產(chǎn)品中的次品數(shù)為X，則X的分布律為X012345P故.12.甲、乙兩人投籃，投中的概率分別為0.6,0.7,今各投3次，求：（1）兩人投中次數(shù)相等的概率；（2）甲比乙投中次數(shù)多的概率.解分別令X、Y表示甲、乙投中次數(shù)，則X~b（3，0.6）,Y~b(3,0.7)(1)(2)13.已知在五重貝努里試驗中成功的次數(shù)X滿足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}.解設(shè)在每次試驗中成功的概率為p，則故所以.14.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X101Pp1p2p3且已知E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求P1，P2，P3.解因……①,又……②,……③由①②③聯(lián)立解得15.袋中有N只球，其中的白球數(shù)X為一隨機(jī)變量，已知E（X）=n，問從袋中任取1球為白球的概率是多少？解記A={從袋中任取1球為白球}，則16.設(shè)某種儀器內(nèi)裝有三只同樣的電子管，電子管使用壽命X的密度函數(shù)為f(x)=求：（1）在開始150小時內(nèi)沒有電子管損壞的概率；（2）在這段時間內(nèi)有一只電子管損壞的概率.解（1）(2).17.設(shè)隨機(jī)變量X在[2，5]上服從均勻分布.現(xiàn)對X進(jìn)行三次獨(dú)立觀測，求至少有兩次的觀測值大于3的概率.解X~U[2,5]，即故所求概率為.18.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f（x）=求（1）系數(shù)c；（2）E（X）；（3）D（X）.解(1)由得.(2)(3)故四、測試題（一）選擇題：1.一批產(chǎn)品共10件，其中有2件次品，從這批產(chǎn)品中任取3件，則取出的3件中恰有一件次品的概率為（）.A.B.C.D.2.設(shè)事件A與B互不相容，且P(A)>0,P(B)>0,則有（）.A.P(AB)=P(A)+P(B)B.P(AB)=P(A)P(B)C.A=D.P(A|B)=P(A)3.設(shè)P（A）＝，P（B）＝，P（AB）＝，則事件A與B（）.A.相互獨(dú)立B.相等C.互不相容D.互為對立事件4.設(shè)事件{X=K}表示在n次獨(dú)立重復(fù)試驗中恰好成功K次，則稱隨機(jī)變量X服從（）.A.兩點分布B.二項分布C.泊松分布D.均勻分布5.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的泊松分布，則下列結(jié)論中正確的是（）.A.E（X）=0.5，D（X）=0.5B.E（X）=0.5，D（X）=0.25C.E（X）=2，D（X）=4D.E（X）=2，D（X）=26.若隨機(jī)變量X的概率密度為，則X~().A.N(-1,2)B.N(-1,4)C.N(-1,8)D.N(-1,16)7．設(shè)隨機(jī)變量X在[-1，2]上服從均勻分布，則隨機(jī)變量X的概率密度f(x)為（）.A. B.C. D.8.設(shè)隨機(jī)變量X~B，則P{X1}=（）.A.B.C. D.9.已知隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的泊松分布，則隨機(jī)變量X的方差為().A.-2B.0 C. D.10.同時拋擲3枚均勻的硬幣，則恰好有兩枚正面朝上的概率為().A.0.12B.0.25 C.0.375 D（二）填空題：11.一袋中有7個紅球和3個白球，從袋中有放回地取兩次球，每次取一個，則第一次取得紅球且第二次取得白球的概率p=________.12.某人工作一天出廢品的概率為0.2，則工作四天中僅有一天出廢品的概率為___________.13.設(shè)A，B為兩個隨機(jī)事件，且A與B相互獨(dú)立，P（A）=0.3，P（B）=0.4，則P（A）=__________.14.設(shè)隨機(jī)變量X~N（2，22），則P{0<X≤4}=_____