岳陽縣第一中學(xué)物理奧賽教案第三講能量和動量

湖南省岳陽縣第一中學(xué)2014年物理奧賽教案第三講能量和動量知識要點：功和功率。動能和動能定理。重力勢能。引力勢能。質(zhì)點及均勻球殼殼內(nèi)和殼外的引力勢能公式（不要求導(dǎo)出）。彈簧的彈性勢能。功能原理。機械能守恒定律。碰撞。沖量。動量。動量定理。動量守恒定律。反沖運動及火箭。一、功和功率1、功功的定義式：物體(可看作質(zhì)點)在恒力的作用下產(chǎn)生了位移，則力F對物體所做的功為：W=FScos功有正負(fù)之分，正功和負(fù)功的物理意義必須從與做功相聯(lián)系的能量轉(zhuǎn)化角度去理解。注意：當(dāng)不能把物體當(dāng)作質(zhì)點處理時，物體的位移與力的作用點的位移是不相等的，這時公式中的S理解為力的作用點的位移。特別是在繩子牽引之類的問題，要注意作用點的位移。功的定義式中力應(yīng)為恒力。如F為變力，則可以采用如下方法處理：(1)微元法，即把變力做功轉(zhuǎn)化為恒力做功，如討論向心力對物體不做功時就用這個方法；(2)圖像法，即作出力F與位移變化的圖像，求出圖線與位移軸之間所圍的面積。一般用在作出的圖線是直線的情況下；(3)等效法，即用機械能的增量或者pt等效代換變力的。有兩種類型的做功值得注意：一是恒力(保守力)做功的特點：只與運動的初末位置有關(guān)，與具體過程無關(guān)；如重力、勻強電場中的電場力等；一是耗散力：與具體路徑有關(guān)，如摩擦力。當(dāng)摩擦力大小一定時，摩擦力的功為fs?！鱤△sab如果物體的運動軌跡ab是一條曲線，力也是一個變力，則必須將ab分成很多無限小的小段，然后求每小段的功之和。這種求和一般要用到積分的知識，但在某些情況下也有比較簡單的結(jié)果，例如，質(zhì)量為m的物體在重力的作用下從a點運動到b點，如圖所示，取任意一個小段△△h△sabW(a→b)==mg=mgh(a→b)可見，重力做功僅僅取決于質(zhì)點初位置和終止位置，而與其運動路線無關(guān)?！镒⒁猓汗Φ亩x式中S怎么取值？在求解功的問題時，有時遇到力的作用點位移與受力物體的（質(zhì)心）位移不等，S是取力的作用點的位移，還是取物體（質(zhì)心）的位移呢？我們先看下面一些事例。1、如圖所示，人用雙手壓在臺面上推講臺，結(jié)果雙手前進(jìn)了一段位移而講臺未移動。試問：人是否做了功？2、第二個圖中，柔軟繩子盤在一根光滑的直桿上，現(xiàn)用手握住繩子的一端，以恒定的水平速度v將繩子拉直。忽略地面阻力。求拉力做功時，S是否可以取繩子質(zhì)心的位移？3、人登靜止的樓梯，從一樓到二樓。樓梯是否做功？4、如圖所示，雙手用等大反向的力F壓固定汽缸兩邊的活塞，活塞移動相同距離S，汽缸中封閉氣體被壓縮。施力者（人）是否做功？在以上四個事例中，S若取作用點位移，只有第1、2、4例是做功的（注意第3例，樓梯支持力的作用點并未移動，而只是在不停地交換作用點），S若取物體（受力者）質(zhì)心位移，只有第2、3例是做功的，而且，盡管第2例都做了功，數(shù)字并不相同。所以，用不同的判據(jù)得出的結(jié)論出現(xiàn)了本質(zhì)的分歧。面對這些似是而非的“疑難雜癥”，我們先回到“做功是物體能量轉(zhuǎn)化的量度”這一根本點。第1例，手和講臺面摩擦生了熱，內(nèi)能的生成必然是由人的生物能轉(zhuǎn)化而來，人肯定做了功。S宜取作用點的位移；第2例，求拉力的功，S取作用點位移為佳；第3例，樓梯不需要輸出任何能量，不做功，S取作用點位移；第4例，氣體內(nèi)能的增加必然是由人輸出的，壓力做功，S取作用點位移。但是，如果分別以上四例中的受力者用動能定理，第1例，人對講臺不做功，S取物體質(zhì)心位移；第2例，動能增量對應(yīng)S取L/2時的值——物體質(zhì)心位移；第4例，氣體宏觀動能無增量，S取質(zhì)心位移。（第3例的分析暫時延后。）以上分析在援引理論知識方面都沒有錯，如何使它們統(tǒng)一？原來，功的概念有廣義和狹義之分。在力學(xué)中，功的狹義概念僅指機械能轉(zhuǎn)換的量度；而在物理學(xué)中功的廣義概念指除熱傳遞外的一切能量轉(zhuǎn)換的量度。所以功也可定義為能量轉(zhuǎn)換的量度。一個系統(tǒng)總能量的變化，常以系統(tǒng)對外做功的多少來量度。能量可以是機械能、電能、熱能、化學(xué)能等各種形式，也可以多種形式的能量同時發(fā)生轉(zhuǎn)化。由此可見，上面分析中，第一個理論對應(yīng)的廣義的功，第二個理論對應(yīng)的則是狹義的功，它們都沒有錯誤，只是在現(xiàn)階段的教材中還沒有將它們及時地區(qū)分開來而已。而且，我們不難歸納：求廣義的功，S取作用點的位移；求狹義的功，S取物體（質(zhì)心）位移。那么我們在解題中如何處理呢？這里給大家?guī)c建議：1、抽象地講“某某力做的功”一般指廣義的功；2、講“力對某物體做的功”常常指狹義的功；3、動能定理中的功肯定是指狹義的功。思考：足夠長的水平傳送帶維持勻速v運轉(zhuǎn)。將一袋貨物無初速地放上去，在貨物達(dá)到速度v之前，與傳送帶的摩擦力大小為f，對地的位移為S。試問：求摩擦力的功時，是否可以用W=fS？提示：按一般的理解，這里應(yīng)指廣義的功（對應(yīng)傳送帶引擎輸出的能量），所以“位移”取作用點的位移。注意，在此處有一個隱含的“交換作用點”的問題，仔細(xì)分析，不難發(fā)現(xiàn)，每一個（相對皮帶不動的）作用點的位移為2S。（另解：求貨物動能的增加和與皮帶摩擦生熱的總和。）故不能用W=fS。思考：如圖所示，人站在船上，通過拉一根固定在鐵樁的纜繩使船靠岸。試問：纜繩是否對船和人的系統(tǒng)做功？解：分析同上面的“第3例”。2、功率力所做的功與所用時間的比值，稱為該力在這段時間內(nèi)的平均功率，記為：P=W/t若將W=Fscos代入上式得：P=Fvcos討論：若式中v用平均速度，則P為平均功率；若v為瞬時速度，則P為瞬時功率，其中為F與v的夾角。【例1】用錘子擊釘，設(shè)木板對釘子的阻力跟釘子進(jìn)入木板的深度成正比，每次擊釘對釘子做的功相同，已知擊第一次時，釘子進(jìn)入板內(nèi)1cm，則擊第二次時，釘子進(jìn)入木板的深度為多少？(0.41cm)解析：【例2】一支灌溉水槍需均勻噴撒半徑為12米的農(nóng)田，已知從4米深井里每分鐘抽出80升水噴出，試求水泵的電機功率。(131W)解析：二、動能定理對于單個質(zhì)點，合外力對物體所做的功等于物體動能的增量，即W合＝Ek2-Ek1若研究對象是物體系，則動能定理可表示為：物體系動能增量，等于作用于物體系的所有引力和內(nèi)力所做功的代數(shù)和。表示為ΣEk2-ΣEk1=ΣW外+ΣW內(nèi)這里特別要注意到對質(zhì)點系也要考慮內(nèi)力做功的代數(shù)和，如內(nèi)力是滑動摩擦力，這對滑動摩擦力所做的功總是負(fù)功，其絕對值恰等于滑動摩擦力與相對位移的乘積。即等于系統(tǒng)損失的機械能。而如內(nèi)力是靜摩擦力，則這對摩擦力所做的功總是等于零。應(yīng)用動能定理要注意全過程分析與分階段分析。【例3】總質(zhì)量為M的列車，沿水平直線軌道勻速前進(jìn)，其末節(jié)質(zhì)量為m的車廂中途脫節(jié)，司機發(fā)覺時，機車已行駛了L距離，于是立即關(guān)閉油門，撤去牽引力，設(shè)運動的阻力與質(zhì)量成正比，且關(guān)閉油門前牽引力恒定，求最終拖車和卡車相隔的距離。(eq\f(ML,M-m))mmF2L【例4】mmF2L(1)鋼球第一次相碰時，在與F垂直的方向上鋼球?qū)Φ氐乃俣取?2)經(jīng)若干次碰撞后，最后兩球一直處于接觸狀態(tài)下運動，那么因碰撞而失去的總能量是多少？(eq\r(\f(FL,m)),FL)解析：【例5】一質(zhì)量為m的小物體，放在半徑為R的光滑半球頂上，初始時，它們間相對靜止，如圖所示，現(xiàn)使半球面以加速度a=g/4勻加速向右運動，求物體離開球面時，離半球底面的距離h。(0.81R)解析：【例6】一固定的斜面，傾角為=45o，斜面長為L＝2.00m，在斜面下端有一斜面與垂直的擋板，一質(zhì)量為m的質(zhì)點，從斜面的最高點沿斜面下滑，初速度為0，質(zhì)點沿斜面下滑到斜面最底端與檔板發(fā)生彈性碰撞。已知質(zhì)點與斜面間的動摩擦因數(shù)為=0.20，試求此質(zhì)點從開始運動到與擋板發(fā)生第11次碰撞的過程中運動的總路程。(1998年第15屆預(yù)賽試題)(9.86m)解析：三、機械能、功能關(guān)系1、勢能由相互作用的物體之間的相對位置或物體內(nèi)部各部分間相對位置決定的能叫勢能。勢能屬于一個系統(tǒng)，系統(tǒng)能夠具有勢能的條件是，系統(tǒng)內(nèi)存在一種保守力，該力做功只與系統(tǒng)內(nèi)部物體的相對位置有關(guān)，而與物體位置變化的途徑無關(guān)，故勢能總與一種力對應(yīng)。如重力對應(yīng)重力勢能，彈力對應(yīng)彈性勢能，分子力對應(yīng)分子勢能，電場力對應(yīng)電勢能等。2、重力勢能物體由于被舉高而具有的能量，叫重力勢能。EP=mgh.EP的大小是相對的，式中h是物體重心離零勢面的高度。勢能是屬于物體和地球所共有。引力勢能：EP=-eqG\f(Mm,r)3、彈性勢能物體因內(nèi)部發(fā)生彈性形變而具有的勢能，叫彈性勢能。其表達(dá)式為EP=eq\f(1,2)kx2.4、機械能系統(tǒng)內(nèi)各物體的動能和勢能的總和叫機械能。是物體由于機械運動而具有的能。它屬于一個系統(tǒng)。5、機械能守恒定律在只有重力(或彈力)做功的條件下，系統(tǒng)的動能和勢能可以互相轉(zhuǎn)換，但總的機械能保持不變。定律的適用條件是：既沒有外力做功又沒有耗散內(nèi)力做功，即只有重力或彈簧的彈力做功。系統(tǒng)可以受別的力，也可以有保守力做功。6、功能關(guān)系除重力或彈力外別的力(包括外力和耗散力)對系統(tǒng)做的功等于系統(tǒng)機械能的變化量。即對一個物體系而，設(shè)外力做的功為W外，內(nèi)部非保守力做的功為W內(nèi)非保，那么有W外+W內(nèi)非保=EP+Ek功能原理適用于既有外力做功又有內(nèi)部非保守力做的情況?！纠?】勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧水平放置，左端固定，右端連接一個質(zhì)量為m的木塊，開始時木塊靜止平衡于某一位置，木塊與水平面之間的動摩擦因數(shù)為，然后加一個水平向右的恒力于木塊上。FmFmk(2)用這個力F拉木塊，當(dāng)木塊的速度再次為零時，彈簧可能的伸長量是多少？(eq\f(mg,k)≤x≤eq\f(3mg,k))解析：【例8】如圖所示，露天娛樂場的空中列車由多節(jié)質(zhì)量均為m的相同車廂組成，列車先沿光滑水平軌道行駛，然后滑上一的半徑為R的空中圓形光滑軌道，若列車全長L=4πR，R遠(yuǎn)大于每一節(jié)車廂的長度和高度，整個列車剛好能通過光滑圓軌道，兩節(jié)車廂間的相互作用力遠(yuǎn)小于一節(jié)車廂的重力，求第一節(jié)車廂到達(dá)最高點時對軌道的壓力。(mg/2)解析：LLABO【例9】如圖所示，長為L的細(xì)繩上端固定在天花板上靠近墻壁的O點，下端系一質(zhì)量為m的小球，豎直懸掛起來，A點是平衡時小球的位置，現(xiàn)保持繩繃直，將小球從A點拉開到繩水平的位置B，然后在OA連線上于墻上固定一細(xì)長的釘子于某點，問下列兩種情況下，釘子到懸點O的距離各是多少？(LLABO(1)將球釋放后，繩被釘子擋住，以釘子O1為圓心做圓周運動。(2)將球釋放后，繩被釘子O2擋住，小球剛好能擊中釘子。解：【例10】如圖所示，A、B、C三物塊質(zhì)量均為m，置于光滑水平臺面上。B、C間夾有原已完全壓緊不能再壓縮的彈簧，兩物塊用細(xì)繩相連，使彈簧不能伸展。物塊A以初速度v0沿B、C連線方向向B運動，相碰后，A與B粘合在一起。然后連接B、C的細(xì)繩因受擾動而突然斷開，彈簧伸展，從而使C與A、B分離。脫離彈簧后C的速度為v0.(1)求彈簧所釋放的勢能△E．mmmABmmmABCv0(3)若情況(2)中的彈簧與情況(1)中的彈簧相同，為使物塊C在脫離彈簧后的速度仍為2v0，則A的初速v應(yīng)為多大？(1)；(2)；(3)v3=4v0.四、沖量和動量1、沖量沖量是力對時間的積累效應(yīng)，如果一個恒力F作用在一個物體上，作用時間為t，那么力在這段時間內(nèi)的沖量為：I=Ft。方向與力F的方向相同。如果作用力是一個變力，由必須將時間分成很多無限小的小段，分別計算出每一小段時間內(nèi)的沖量，然后求這些沖量之和，這里要注意的是，沖量是一個矢量，應(yīng)該求各小段時間內(nèi)沖量的矢量和。2、質(zhì)點動量定理I=mv2-mv1式中v1、v2分別為起始時刻和終了時刻的速度。注意這是一個矢量方程式，通?？梢苑址较蛄惺剑蠭x=mvx2-mvx1Iy=mvy2-mvy1Iz=mvz2-mvz1注意：動量定理與動能定理在解題中的應(yīng)用，如下題：太空飛船在宇宙飛行時，和其它天體的萬有引力可以忽略，但是，飛船會定時遇到太空垃圾的碰撞而受到阻礙作用。設(shè)單位體積的太空均勻分布垃圾n顆，每顆的平均質(zhì)量為m，垃圾的運行速度可以忽略。飛船維持恒定的速率v飛行，垂直速度方向的橫截面積為S，與太空垃圾的碰撞后，將垃圾完全粘附住。試求飛船引擎所應(yīng)提供的平均推力F。分析：太空垃圾的分布并不是連續(xù)的，對飛船的撞擊也不連續(xù)，如何正確選取研究對象，是本題的前提。建議充分理解“平均”的含義，這樣才能相對模糊地處理垃圾與飛船的作用過程、淡化“作用時間”和所考查的“物理過程時間”的差異。物理過程需要人為截取，對象是太空垃圾。先用動量定理推論解題。取一段時間Δt，在這段時間內(nèi)，飛船要穿過體積ΔV=S·vΔt的空間，遭遇nΔV顆太空垃圾，使它們獲得動量ΔP，其動量變化率即是飛船應(yīng)給予那部分垃圾的推力，也即飛船引擎的推力。=====nmSv2如果用動能定理，能不能解題呢？同樣針對上面的物理過程，由于飛船要前進(jìn)x=vΔt的位移，引擎推力須做功W=x，它對應(yīng)飛船和被粘附的垃圾的動能增量，而飛船的ΔEk為零，所以：W=ΔMv2即：vΔt=（nmS·vΔt）v2得到：=nmSv2兩個結(jié)果不一致，不可能都是正確的。分析動能定理的解題，我們不能發(fā)現(xiàn)，垃圾與飛船的碰撞是完全非彈性的，需要消耗大量的機械能，因此，認(rèn)為“引擎做功就等于垃圾動能增加”的觀點是錯誤的。但在動量定理的解題中，由于I=t，由此推出的=P/t必然是飛船對垃圾的平均推力，再對飛船用平衡條件，的大小就是引擎推力大小了。這個解沒有毛病可挑，是正確的?！纠?1】一枚質(zhì)量為M的火箭，依靠向正下方噴氣在空中保持靜止，如果噴出氣體的速度為v，那么火箭發(fā)動機的功率是多少？(eq\f(1,2)Mgv)解析：LLh【例12】如圖所示，長為L、線密度為ρ的鏈條由圖示位置從靜止開始自由下落(底端距地面為h)，試求鏈條落地過程中地面的支持力。[2h+3(L-x)]ρg解析：擴展：長為L、總質(zhì)量為m的柔軟繩索放在水平臺上，用手將繩索的一端以恒定速率v0向上提起，求當(dāng)提起高度為x時手的提力。(F=eq\f(mg,L)x+eq\f(m,L)v02)x【例13】一根均勻柔軟繩長為L，質(zhì)量為m，對折后兩端固定在一個釘子上。其中一端突然從釘子上脫落，求下落的繩端點離釘子的距離為x時，釘子對繩子另一端的作用力是多少？eq\f(1,2)mg(1+\f(3x,L))x解析：3、質(zhì)點系動量定理對質(zhì)點系同樣有：I外=P2-P1即質(zhì)點系所有外力提供的總沖量等于質(zhì)點系總動量的增量?！纠?4】質(zhì)量為M的金屬塊和質(zhì)量為m的木塊用細(xì)線連在一起，從靜止開始以加速度a在水中加速下沉，經(jīng)時間t1，細(xì)線斷了，求：(1)再經(jīng)時間t2，木塊剛好停止下沉，此時金屬塊下沉的速度v為多大？(2)細(xì)線斷開后，再時間t3，金屬塊下沉速度為v1，木塊此時的速度u多大？(設(shè)題目所求范圍內(nèi)，金屬塊與木塊既沒有沉入水底，也沒有浮出水面，不計水的阻力)eq\f((M+m)a(t1+t2),M),eq\f((M+m)a(t1+t2)-Mv,m)解析：ABCm1m2m3【例15】質(zhì)量為別為m1、m2ABCm1m2m3(vA=eq\f(Jm2cos,m2(m1+m2+m3)+m1m3sin2)，方向沿AB方向)解析：ACDB2【例16】如圖所示，四個質(zhì)量均為m的質(zhì)點，用同樣長且不可伸長的輕繩聯(lián)結(jié)成菱形ABCD，靜止放在水平光滑的桌面上。若突然給質(zhì)點A一個歷時極時沿CA方向的沖擊，當(dāng)沖擊結(jié)束的時刻，質(zhì)點A的速度為V，其他質(zhì)點也獲得一定速度，∠BAD=2ACDB2(mV+2mVD1+mVC=eq\f(4mV,1+2sin2))解析：4、動量守恒定律當(dāng)質(zhì)點系所受外力的總沖量為零時，質(zhì)點系的動量守恒，即P1=P2注意：動量守恒定律是一個矢量式，同樣可以分方向列式。5、彈性碰撞碰撞是兩個質(zhì)點之間的相互作用，因為一般碰撞過程很短暫，兩質(zhì)點互相碰撞的力相對其它作用力來說要大得多，因此常可忽略碰撞期間其它力的作用，于是由相互碰撞的兩個質(zhì)點組成的動量守恒。對于彈性碰撞，除了動量守恒外，碰撞過程中動能也保持不變。因此有m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2'eq\f(1,2)m1v12+eq\f(1,2)m2v22=eq\f(1,2)m1v1'2+eq\f(1,2)m2v2'2以上兩個方程可得：①v2-v1=v1'-v2'，此式說明，碰撞前m2趨近于m1的速度等于碰撞后m1遠(yuǎn)離m2的速度，即碰撞前后兩物體的相對速度不變。②碰后速度分別為v1'=eq\f((m1-m2)v1+2m2v2,m1+m2)，v2'=eq\f((m2-m1)v2+2m1v1,m1+m2)討論：(1)當(dāng)m1=m2時，v1'=v2，v2'=v1.即兩球碰后交換速度。(2)當(dāng)m2>>m1，且v2=0時，v1'=-v1，v2'=0，即m1被彈回。(3)當(dāng)m1>>m2，且v2=0時時，v1'≈v1，v2'≈2v1，即m1速度不變，m2以2倍v1前進(jìn)。對于非彈性碰撞，如果碰撞后兩個物體的速度相同(即一起運動)，這種碰撞叫完全非彈性碰撞，由動量守恒有，碰撞后速度為v1'=v2'=eq\f(m1v1+m2v2,m1+m2)為了區(qū)別碰撞的性質(zhì)，引入恢復(fù)系數(shù)e，定義為分離速度和接近速度的比值：e=eq\f(v2'-v1',v1-v2)將此定義與動量守恒結(jié)合起來，可得：v1'=v1-(1+e)eq\f(m2(v1-v2),m1+m2)，v2'=v2-(1+e)eq\f(m1(v2-v1),m1+m2)完全彈性碰撞中，e=1，完全非彈性碰撞中，e=0，當(dāng)0<e<1時，稱為非完全彈性碰撞，一般碰撞后質(zhì)點系機械能的損失為：△E=eq\f(1,2)(1-e2)\f(m1m2,m1+m2)(v1-v2)2由上式可看出，e越小，碰撞前相對速度越大，碰撞中能量損失就越多。6、范性過程范性過程是指兩個物體碰撞后連在一起運動了，其它還有一些類型的兩個物體的相互作用，其特征和范性碰撞類似，即相互作用后兩個物體速度相同了。范性過程可長可短，范性過程中兩個物體的相互作用力可以是各種性質(zhì)的力，例如：彈力、摩擦力、萬有引力、庫侖力等。范性過程中動量守恒，動能不守恒。7、動量守恒定律的推廣由于一個質(zhì)點在不受外力的作用時，它的總動量是守恒的，所以一個質(zhì)點系的內(nèi)力不能改變它質(zhì)心的運動狀態(tài)，這個討論包含三層含意：(1)如果一個質(zhì)點系的質(zhì)心原來是不動的，那么在無外力作用的條件下，它的質(zhì)心始終不動，即位置不變。(2)如果一個質(zhì)點系的質(zhì)心原來是運動的，那么在無外力作用的條件下，這個質(zhì)心系的將以原來的速度做勻速直線運動。(3)如果一個質(zhì)點系的質(zhì)心在某一外力作用下做某種運動，那么內(nèi)力不能改變質(zhì)心的這種運動。比如某一物體原來做拋體運動，如果突然炸成兩塊，那么這兩塊物體的質(zhì)心仍然繼續(xù)做原來的拋體運動。BRA【例17】如果一個質(zhì)量為mA的半圓形槽A原來靜止在水平面上，圓槽半徑為R，將一個質(zhì)量為mB的滑塊B由靜止釋放，若不計一切摩擦，問A的最大位移為多少？eq\f(2mB,mA+mB)RBRA解析：【例18】如圖，甲、乙兩小孩子各乘一輛冰車在水平冰面上游戲。甲和他的冰車質(zhì)量共為M=30kg，乙和他的冰車質(zhì)量也是M=30kg。游戲時，甲推著一個質(zhì)量為m=15kg的箱子，和他一起以大小為v0=2.0m/s的速度滑行，乙以同樣大小的速度迎面滑來。為了避免相撞，甲突然將箱子沿冰面推給乙，箱子滑到乙處時乙迅速把它抓住。若不考慮冰面的摩擦力，求(1)甲至少要以多大的速度(相對于地面)將箱子推出，才能避免與乙相撞。(5.2m/s)(2)甲在推出箱子時對箱子做了多少功？(1.7102J)解析：vA【例19】如圖所示，在光滑水平面上有一靜止的劈形木塊A，質(zhì)量為M，一質(zhì)量為m的小球，沿水平方向以速度v碰撞木塊A，碰后小球被豎直向上彈起，若碰撞中沒有機械能的損失，求小球被彈起的高度。(eq\f(v2,2g)×\f(M-m,M))vA123VN【例20】如圖所示,在光滑的水平面上沿著一條直線有一定間隔地排列著1、2、3、.、N共N個大小相同的小球,除第一個小球的質(zhì)量為3M外,其它球的質(zhì)量均為m,當(dāng)給小球1一個沖量得到速度V去對心碰撞球2,若在碰撞時均無機械能損失,求各球不能再碰撞時,球1,球2,球N的速度各為多大?（123VN解析：ⅠⅡⅢv0m1m2m3【例21】如圖所示，一水平放置的圓環(huán)形剛性窄槽固定在桌面上，槽內(nèi)嵌著三個大小相同的剛性小球，它們的質(zhì)量分別是m1、m2、m3，m2=m3=2m1，小球與槽的兩壁剛好接觸且無摩擦，開始進(jìn)，三個小球處于等間距的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個位置，m2、m3靜止，m1以初速度v0=πR/2(vⅠⅡⅢv0m1m2m3解析：ABC【例22】質(zhì)量為M的滑塊有兩段長度為L且相互連通的光滑直軌道AB和BC，開始時靜置于光滑水平面上，連接處是光滑圓弧，AB與水平面成ABC解析：eq\r(\f(L,\r(3)(M+m)g))(\r(4M+3m)+\r(M))【例23】有一塊質(zhì)量和線度足夠大的水平板，繞豎直軸以勻角速度轉(zhuǎn)動。在板上方h高處有一群相同的小球(可視為質(zhì)點)，它們以板的旋轉(zhuǎn)軸為中心、R為半徑均勻地在水平面內(nèi)排成一個圓圈?，F(xiàn)讓這群小球同時由靜止開始下落，設(shè)每個球與平板發(fā)生碰撞的時間非常短，而且碰撞前后小球在豎直方向上速度的大小不變，僅是方向反向，而在水平方向上則會產(chǎn)生摩擦，動摩擦因數(shù)為。(1)試求這群小球第二次和第一次與平板碰撞時，單位長度上小球個數(shù)之比k1；(2)如果R<(g為重力加速度)，而且k1=，試這群小球第三次和第一次與平板碰撞時，單位長度上小球個數(shù)之比k2。解析：k1=k2=2/=R/R2=1/2mm2mLLv2【例24】如圖所示，兩根長度均為L的剛性輕桿，一端通過質(zhì)量為m的球形鉸鏈連接，另一端分別與質(zhì)量為m和2m的小球相連。將此裝置的兩桿合攏，鉸鏈在上、豎直地放在水平桌面上，然后輕敲一下，使兩小球向兩邊滑動，但兩桿始終保持在豎直平面內(nèi)。忽略一切摩擦，試求：兩桿夾角為90°時，質(zhì)量為2m的小球的速度v2。mm2mLLv2解析：【例25】如圖所示，一個質(zhì)量為M，半徑為R的光滑均質(zhì)半球，靜置于光滑水平桌面上，在球頂有一個質(zhì)量為m的質(zhì)點，由靜止開始沿球面下滑。試求：mMRmMR(2)當(dāng)質(zhì)點m滑到方位角θ時（未脫離半球），質(zhì)點的速度v的大小、方向怎樣？(3)角時，小球繞球心的角速度。解析：(1)+=1；(2)v1=(3)ω==第三講能量和動量知識要點：功和功率。動能和動能定理。重力勢能。引力勢能。質(zhì)點及均勻球殼殼內(nèi)和殼外的引力勢能公式（不要求導(dǎo)出）。彈簧的彈性勢能。功能原理。機械能守恒定律。碰撞。沖量。動量。動量定理。動量守恒定律。反沖運動及火箭。一、功和功率1、功功的定義式：物體(可看作質(zhì)點)在恒力的作用下產(chǎn)生了位移，則力F對物體所做的功為：W=FScos功有正負(fù)之分，正功和負(fù)功的物理意義必須從與做功相聯(lián)系的能量轉(zhuǎn)化角度去理解。注意：當(dāng)不能把物體當(dāng)作質(zhì)點處理時，物體的位移與力的作用點的位移是不相等的，這時公式中的S理解為力的作用點的位移。特別是在繩子牽引之類的問題，要注意作用點的位移。功的定義式中力應(yīng)為恒力。如F為變力，則可以采用如下方法處理：(1)微元法，即把變力做功轉(zhuǎn)化為恒力做功，如討論向心力對物體不做功時就用這個方法；(2)圖像法，即作出力F與位移變化的圖像，求出圖線與位移軸之間所圍的面積。一般用在作出的圖線是直線的情況下；(3)等效法，即用機械能的增量或者pt等效代換變力的。有兩種類型的做功值得注意：一是恒力(保守力)做功的特點：只與運動的初末位置有關(guān)，與具體過程無關(guān)；如重力、勻強電場中的電場力等；一是耗散力：與具體路徑有關(guān)，如摩擦力。當(dāng)摩擦力大小一定時，摩擦力的功為fs?！鱤△sab如果物體的運動軌跡ab是一條曲線，力也是一個變力，則必須將ab分成很多無限小的小段，然后求每小段的功之和。這種求和一般要用到積分的知識，但在某些情況下也有比較簡單的結(jié)果，例如，質(zhì)量為m的物體在重力的作用下從a點運動到b點，如圖所示，取任意一個小段△△h△sabW(a→b)==mg=mgh(a→b)可見，重力做功僅僅取決于質(zhì)點初位置和終止位置，而與其運動路線無關(guān)?！镒⒁猓汗Φ亩x式中S怎么取值？在求解功的問題時，有時遇到力的作用點位移與受力物體的（質(zhì)心）位移不等，S是取力的作用點的位移，還是取物體（質(zhì)心）的位移呢？我們先看下面一些事例。1、如圖所示，人用雙手壓在臺面上推講臺，結(jié)果雙手前進(jìn)了一段位移而講臺未移動。試問：人是否做了功？2、第二個圖中，柔軟繩子盤在一根光滑的直桿上，現(xiàn)用手握住繩子的一端，以恒定的水平速度v將繩子拉直。忽略地面阻力。求拉力做功時，S是否可以取繩子質(zhì)心的位移？3、人登靜止的樓梯，從一樓到二樓。樓梯是否做功？4、如圖所示，雙手用等大反向的力F壓固定汽缸兩邊的活塞，活塞移動相同距離S，汽缸中封閉氣體被壓縮。施力者（人）是否做功？在以上四個事例中，S若取作用點位移，只有第1、2、4例是做功的（注意第3例，樓梯支持力的作用點并未移動，而只是在不停地交換作用點），S若取物體（受力者）質(zhì)心位移，只有第2、3例是做功的，而且，盡管第2例都做了功，數(shù)字并不相同。所以，用不同的判據(jù)得出的結(jié)論出現(xiàn)了本質(zhì)的分歧。面對這些似是而非的“疑難雜癥”，我們先回到“做功是物體能量轉(zhuǎn)化的量度”這一根本點。第1例，手和講臺面摩擦生了熱，內(nèi)能的生成必然是由人的生物能轉(zhuǎn)化而來，人肯定做了功。S宜取作用點的位移；第2例，求拉力的功，S取作用點位移為佳；第3例，樓梯不需要輸出任何能量，不做功，S取作用點位移；第4例，氣體內(nèi)能的增加必然是由人輸出的，壓力做功，S取作用點位移。但是，如果分別以上四例中的受力者用動能定理，第1例，人對講臺不做功，S取物體質(zhì)心位移；第2例，動能增量對應(yīng)S取L/2時的值——物體質(zhì)心位移；第4例，氣體宏觀動能無增量，S取質(zhì)心位移。（第3例的分析暫時延后。）以上分析在援引理論知識方面都沒有錯，如何使它們統(tǒng)一？原來，功的概念有廣義和狹義之分。在力學(xué)中，功的狹義概念僅指機械能轉(zhuǎn)換的量度；而在物理學(xué)中功的廣義概念指除熱傳遞外的一切能量轉(zhuǎn)換的量度。所以功也可定義為能量轉(zhuǎn)換的量度。一個系統(tǒng)總能量的變化，常以系統(tǒng)對外做功的多少來量度。能量可以是機械能、電能、熱能、化學(xué)能等各種形式，也可以多種形式的能量同時發(fā)生轉(zhuǎn)化。由此可見，上面分析中，第一個理論對應(yīng)的廣義的功，第二個理論對應(yīng)的則是狹義的功，它們都沒有錯誤，只是在現(xiàn)階段的教材中還沒有將它們及時地區(qū)分開來而已。而且，我們不難歸納：求廣義的功，S取作用點的位移；求狹義的功，S取物體（質(zhì)心）位移。那么我們在解題中如何處理呢？這里給大家?guī)c建議：1、抽象地講“某某力做的功”一般指廣義的功；2、講“力對某物體做的功”常常指狹義的功；3、動能定理中的功肯定是指狹義的功。思考：足夠長的水平傳送帶維持勻速v運轉(zhuǎn)。將一袋貨物無初速地放上去，在貨物達(dá)到速度v之前，與傳送帶的摩擦力大小為f，對地的位移為S。試問：求摩擦力的功時，是否可以用W=fS？提示：按一般的理解，這里應(yīng)指廣義的功（對應(yīng)傳送帶引擎輸出的能量），所以“位移”取作用點的位移。注意，在此處有一個隱含的“交換作用點”的問題，仔細(xì)分析，不難發(fā)現(xiàn)，每一個（相對皮帶不動的）作用點的位移為2S。（另解：求貨物動能的增加和與皮帶摩擦生熱的總和。）故不能用W=fS。思考：如圖所示，人站在船上，通過拉一根固定在鐵樁的纜繩使船靠岸。試問：纜繩是否對船和人的系統(tǒng)做功？解：分析同上面的“第3例”。2、功率力所做的功與所用時間的比值，稱為該力在這段時間內(nèi)的平均功率，記為：P=W/t若將W=Fscos代入上式得：P=Fvcos討論：若式中v用平均速度，則P為平均功率；若v為瞬時速度，則P為瞬時功率，其中為F與v的夾角?！纠?】用錘子擊釘，設(shè)木板對釘子的阻力跟釘子進(jìn)入木板的深度成正比，每次擊釘對釘子做的功相同，已知擊第一次時，釘子進(jìn)入板內(nèi)1cm，則擊第二次時，釘子進(jìn)入木板的深度為多少？解析：木板對釘子阻力的大小隨進(jìn)入深度的增加而增大，因而為變力，但該變力與進(jìn)入深度成正比，因而可得用圖象法處理這個變力的功。設(shè)木板對釘子的阻力為f=kx，x為釘子進(jìn)入木板的深度，k為比例系數(shù)，作出f-x圖象如圖所示。第一次釘進(jìn)x1，則有fxx1x2W1＝eq\f(0+kx1,2)x1=eq\f(1,2)kx12fxx1x2第二次擊釘后，釘子進(jìn)入深度為x2，則有W2＝eq\f(kx1+kx2,2)(x2-x1)=eq\f(1,2)k(x22-x12)由W1＝W2，代入數(shù)據(jù)得：x2=eq\r(2)x1=1.41cm所以擊第二次釘后釘子進(jìn)入的深度為△x=x2-x1=0.41cm【例2】一支灌溉水槍需均勻噴撒半徑為12米的農(nóng)田，已知從4米深井里每分鐘抽出80升水噴出，試求水泵的電機功率。解析：在一段時間內(nèi)，水泵的電機所做的功，一部分使這段時間內(nèi)的水從井口提升到陸地上增加這部分水的勢能，另一方面使這部分水以一定的動能噴出。水從水管噴出后做斜上拋運動，當(dāng)噴射角=45o時，斜拋運動的射程最大，即有R＝v0cost0=v0sin-gt/2把=45o代入得：v0=eq\r(gR)因而，噴射水的功率為P2＝eq\f(\f(1,2)mv02,t)eq\f(\f(1,2)×80×1×(12×9.8),60)=78.4W所以水泵的電機功率為P＝P1+P2＝131W二、動能定理對于單個質(zhì)點，合外力對物體所做的功等于物體動能的增量，即W合＝Ek2-Ek1若研究對象是物體系，則動能定理可表示為：物體系動能增量，等于作用于物體系的所有引力和內(nèi)力所做功的代數(shù)和。表示為ΣEk2-ΣEk1=ΣW外+ΣW內(nèi)這里特別要注意到對質(zhì)點系也要考慮內(nèi)力做功的代數(shù)和，如內(nèi)力是滑動摩擦力，這對滑動摩擦力所做的功總是負(fù)功，其絕對值恰等于滑動摩擦力與相對位移的乘積。即等于系統(tǒng)損失的機械能。而如內(nèi)力是靜摩擦力，則這對摩擦力所做的功總是等于零。應(yīng)用動能定理要注意全過程分析與分階段分析?！纠?】總質(zhì)量為M的列車，沿水平直線軌道勻速前進(jìn)，其末節(jié)質(zhì)量為m的車廂中途脫節(jié)，司機發(fā)覺時，機車已行駛了L距離，于是立即關(guān)閉油門，撤去牽引力，設(shè)運動的阻力與質(zhì)量成正比，且關(guān)閉油門前牽引力恒定，求最終拖車和卡車相隔的距離。解析：脫鉤后機車先估勻加速運動，后做勻減速運動到靜止，拖車一下減速到靜止。如果分別知道脫鉤后兩車運動的距離，就能求出最終拖車和卡車相隔的距離。法一：畫出運動過程草圖，用動能定理分別對機車和拖車列出方程對機車：FL-K(M-m)gS1=0-eq\f(1,2)(M-m)v2對末節(jié)車廂：-KmgS2=0-eq\f(1,2)mv2由脫節(jié)前列車勻速運動得：F-KMg=0聯(lián)立解得：△S=S1-S2=eq\f(ML,M-m)法二：牛頓運動定律法法三：圖象法法四：能量守恒法若末節(jié)車廂脫鉤時關(guān)閉油門，則兩部分停止時的距離為零，脫鉤后牽引力的功為W=FL=kMgLW全部用于增大機車向前運動的距離，故由功能關(guān)系得kMgL=K(M-m)△S，得：△S=S1-S2=eq\f(ML,M-m)mmF2L【例4】mmF2L(1)鋼球第一次相碰時，在與F垂直的方向上鋼球?qū)Φ氐乃俣取?2)經(jīng)若干次碰撞后，最后兩球一直處于接觸狀態(tài)下運動，那么因碰撞而失去的總能量是多少？axmFaxmFTay(1)設(shè)m沿F的方向運動x長度時，鋼球第一次相撞，此時力F的作用點拉過(x+L)，兩球第一次接觸時，除有水平方向的速度外，還有繞O點的瞬時速度，即所示的vy，由動能定理得：F(L+x)=2eq\f(1,2)m(vx2+vy2)=mvx2+mvy2對系統(tǒng)，在力F方向上根據(jù)牛頓第二定律和運動學(xué)關(guān)系得：F=2maxvx2=2axx聯(lián)立得：vy=eq\r(\f(FL,m))(2)最后兩球一起處于靜止?fàn)顟B(tài)，因而失了垂直于F方向的速度，故△Ek=2eq\f(1,2)mvy2=FL【例5】一質(zhì)量為m的小物體，放在半徑為R的光滑半球頂上，初始時，它們間相對靜止，如圖所示，現(xiàn)使半球面以加速度a=g/4勻加速向右運動，求物體離開球面時，離半球底面的距離h。解析：物體沿球面滑下，當(dāng)物體與半球面之間的相互作用力為零時，物體將要脫離半球面，如在半球面為參考系，物體將要脫離球面時，受重力和慣性力F=ma作用，如圖所示，將要脫離時，根據(jù)牛頓第二定律有mgFmgcos-Fsin=meq\f(v2,R)mgF由慣性系中的動能定理得mg(R-h)+FRsin=eq\f(1,2)mv2由幾何關(guān)系得：cos=h/R,sin=eq\r(\f(R2-h2,R))聯(lián)立解得：153h2-192Rh+55R2=0h1=0.81R，h2=0.44R根據(jù)物理過程可知，當(dāng)m位于h2=0.44R時，物體早已脫離半球面的約束了，所以h2是增根，應(yīng)該舍去。【例6】一固定的斜面，傾角為=45o，斜面長為L＝2.00m，在斜面下端有一斜面與垂直的擋板，一質(zhì)量為m的質(zhì)點，從斜面的最高點沿斜面下滑，初速度為0，質(zhì)點沿斜面下滑到斜面最底端與檔板發(fā)生彈性碰撞。已知質(zhì)點與斜面間的動摩擦因數(shù)為=0.20，試求此質(zhì)點從開始運動到與擋板發(fā)生第11次碰撞的過程中運動的總路程。(1998年第15屆預(yù)賽試題)解析：由于碰撞時無動能損失，故運動過程中只有重力和摩擦力做功。每次碰撞后質(zhì)點上滑的最大高度都比原來小，如果找出高度遞減的規(guī)律，即可利用數(shù)學(xué)知識求出運動的總路程。質(zhì)點在斜面上滑動的過程中，受到摩擦力大小為：f=mgcos設(shè)質(zhì)點第一第一次與擋板碰撞時的速率為v1，由動能定理得到mgLsin-mgLcos=eq\f(1,2)mv12……①質(zhì)點與擋板碰撞后以速率v1開始沿斜面上滑，設(shè)上滑的最大距離為L1，則有mgLsin+mgL1cos=eq\f(1,2)mv12……②由①②得：eq\f(L1,L)=eq\f(sin-cos,sin+cos)=eq\f(2,3)同理可得出第二次碰后上滑的最大距離L2與L1的關(guān)系是：eq\f(L2,L1)=eq\f(2,3)所以，L2=(eq\f(2,3))2L第10次上碰后滑上的最大距離為L10=(eq\f(2,3))10L因此第11碰撞前運動的總距離為S=L+2L1+2L2+……+2L10=L+2L[(eq\f(2,3))1+(eq\f(2,3))2+……+(eq\f(2,3))10]=L{1+eq2\f(2,3)[\f(\f(2,3)10-1,\f(2,3)-1)]}=9.86m三、機械能、功能關(guān)系1、勢能由相互作用的物體之間的相對位置或物體內(nèi)部各部分間相對位置決定的能叫勢能。勢能屬于一個系統(tǒng)，系統(tǒng)能夠具有勢能的條件是，系統(tǒng)內(nèi)存在一種保守力，該力做功只與系統(tǒng)內(nèi)部物體的相對位置有關(guān)，而與物體位置變化的途徑無關(guān)，故勢能總與一種力對應(yīng)。如重力對應(yīng)重力勢能，彈力對應(yīng)彈性勢能，分子力對應(yīng)分子勢能，電場力對應(yīng)電勢能等。2、重力勢能物體由于被舉高而具有的能量，叫重力勢能。EP=mgh.EP的大小是相對的，式中h是物體重心離零勢面的高度。勢能是屬于物體和地球所共有。引力勢能：EP=-eqG\f(Mm,r)3、彈性勢能物體因內(nèi)部發(fā)生彈性形變而具有的勢能，叫彈性勢能。其表達(dá)式為EP=eq\f(1,2)kx2.4、機械能系統(tǒng)內(nèi)各物體的動能和勢能的總和叫機械能。是物體由于機械運動而具有的能。它屬于一個系統(tǒng)。5、機械能守恒定律在只有重力(或彈力)做功的條件下，系統(tǒng)的動能和勢能可以互相轉(zhuǎn)換，但總的機械能保持不變。定律的適用條件是：既沒有外力做功又沒有耗散內(nèi)力做功，即只有重力或彈簧的彈力做功。系統(tǒng)可以受別的力，也可以有保守力做功。6、功能關(guān)系除重力或彈力外別的力(包括外力和耗散力)對系統(tǒng)做的功等于系統(tǒng)機械能的變化量。即對一個物體系而，設(shè)外力做的功為W外，內(nèi)部非保守力做的功為W內(nèi)非保，那么有W外+W內(nèi)非保=EP+Ek功能原理適用于既有外力做功又有內(nèi)部非保守力做的情況?！纠?】勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧水平放置，左端固定，右端連接一個質(zhì)量為m的木塊，開始時木塊靜止平衡于某一位置，木塊與水平面之間的動摩擦因數(shù)為，然后加一個水平向右的恒力于木塊上。FmFmk(2)用這個力F拉木塊，當(dāng)木塊的速度再次為零時，彈簧可能的伸長量是多少？解析：設(shè)物體的初始位置為x0，在向右的恒力F作用下，物體到達(dá)x處速度再次為零，在此過程中，外部有力F做功，內(nèi)部有非保守力f做功，木塊的動能增量為零，所以根據(jù)物體系的功能原理有F(x-x0)-mg(x-x0)=eq\f(1,2)kx2-eq\f(1,2)kx02F-mg=eq\f(1,2)k(x+x0)可得：x=eq\f(2(F-mg),k)-x0因為木塊一開始靜止，所以要求：eq-\f(mg,k)≤x0≤eq\f(mg,k)可見，當(dāng)木塊再次靜止時，彈簧可能的伸長是eq\f(mg,k)≤x≤eq\f(3mg,k)【例8】如圖所示，露天娛樂場的空中列車由多節(jié)質(zhì)量均為m的相同車廂組成，列車先沿光滑水平軌道行駛，然后滑上一的半徑為R的空中圓形光滑軌道，若列車全長L=4πR，R遠(yuǎn)大于每一節(jié)車廂的長度和高度，整個列車剛好能通過光滑圓軌道，兩節(jié)車廂間的相互作用力遠(yuǎn)小于一節(jié)車廂的重力，求第一節(jié)車廂到達(dá)最高點時對軌道的壓力。解析：車廂剛好分布軌道時，列車在軌道上勢能最大，此時速度最小，設(shè)最小速度為v，要列車安全通過軌道，在最高點的一節(jié)列車須滿足mg=eqm\f(v2,R)得：v2=gR列車的總質(zhì)量為M，由機械能守恒得：eq\f(1,2)MgR=eq\f(1,2)M(v02-v2)故列車的初速度為：v0=eq\r(2gR)第一節(jié)車廂到最高點速度為v1，由機械能守恒得eq\f(1,4)MgR=eq\f(1,2)M(v02-v12)得：v12=eq\f(3,2)gR第一節(jié)車廂在最高點有：mg+N=eqm\f(v12,R)故：N=eqm\f(v12,R)-mg=mg/2LLABO【例9LLABO(1)將球釋放后，繩被釘子擋住，以釘子O1為圓心做圓周運動。(2)將球釋放后，繩被釘子O2擋住，小球剛好能擊中釘子。解析：(1)取小球、地球為一系統(tǒng)，設(shè)釘子到懸點的距離O1O=x1，小球繞O1剛好能做圓周運動，其半徑為R1，以小球圓周運動的最高點C為重力勢能零點，則小球從A擺動到C的過程中，機械能守恒有mg(L-2R1)=eq\f(1,2)mvc2，mg=eqm\f(vc2,R)，x1=L-R1得x1=3L/5即釘子到懸點的距離至少為3L/5。(2)取小球、地球為一系統(tǒng)，設(shè)小球繞O2剛好能擊中釘子，且繞釘子做圓周運動時半徑為R2，釘子到懸點的距離為O2O=x2，當(dāng)小球做圓周運動到D點時速為vd，O2D與O2O間夾角為，這時繩中拉力剛好為零，并取D點為重力勢能零點，則小球從B擺動到D的過程中機械能守恒mg(L-R2-R2cos)=eq\f(1,2)mvd2，mgcos=eqm\f(vd2,R)此后小球做斜上拋運動，設(shè)從D到擊中O2的時間為t，則有-R2cos=vdsint-gt2/2R2sin=vdcost由此解得：R2=x2=L-R2=L-即釘子O2到懸點O的距離為L-【例10】如圖所示，A、B、C三物塊質(zhì)量均為m，置于光滑水平臺面上。B、C間夾有原已完全壓緊不能再壓縮的彈簧，兩物塊用細(xì)繩相連，使彈簧不能伸展。物塊A以初速度v0沿B、C連線方向向B運動，相碰后，A與B粘合在一起。然后連接B、C的細(xì)繩因受擾動而突然斷開，彈簧伸展，從而使C與A、B分離。脫離彈簧后C的速度為v0.(1)求彈簧所釋放的勢能△E．mmmABmmmABCv0(3)若情況(2)中的彈簧與情況(1)中的彈簧相同，為使物塊C在脫離彈簧后的速度仍為2v0，則A的初速v應(yīng)為多大？參考答案：(1)；(2)；(3)v3=4v0.四、沖量和動量1、沖量沖量是力對時間的積累效應(yīng)，如果一個恒力F作用在一個物體上，作用時間為t，那么力在這段時間內(nèi)的沖量為I=Ft方向與力F的方向相同。如果作用力是一個變力，由必須將時間分成很多無限小的小段，分別計算出每一小段時間內(nèi)的沖量，然后求這些沖量之和，這里要注意的是，沖量是一個矢量，應(yīng)該求各小段時間內(nèi)沖量的矢量和。2、質(zhì)點動量定理I=mv2-mv1式中v1、v2分別為起始時刻和終了時刻的速度。注意這是一個矢量方程式，通常可以分方向列式，有Ix=mvx2-mvx1Iy=mvy2-mvy1Iz=mvz2-mvz1注意：動量定理與動能定理在解題中的應(yīng)用，如下題：太空飛船在宇宙飛行時，和其它天體的萬有引力可以忽略，但是，飛船會定時遇到太空垃圾的碰撞而受到阻礙作用。設(shè)單位體積的太空均勻分布垃圾n顆，每顆的平均質(zhì)量為m，垃圾的運行速度可以忽略。飛船維持恒定的速率v飛行，垂直速度方向的橫截面積為S，與太空垃圾的碰撞后，將垃圾完全粘附住。試求飛船引擎所應(yīng)提供的平均推力F。分析：太空垃圾的分布并不是連續(xù)的，對飛船的撞擊也不連續(xù)，如何正確選取研究對象，是本題的前提。建議充分理解“平均”的含義，這樣才能相對模糊地處理垃圾與飛船的作用過程、淡化“作用時間”和所考查的“物理過程時間”的差異。物理過程需要人為截取，對象是太空垃圾。先用動量定理推論解題。取一段時間Δt，在這段時間內(nèi)，飛船要穿過體積ΔV=S·vΔt的空間，遭遇nΔV顆太空垃圾，使它們獲得動量ΔP，其動量變化率即是飛船應(yīng)給予那部分垃圾的推力，也即飛船引擎的推力。=====nmSv2如果用動能定理，能不能解題呢？同樣針對上面的物理過程，由于飛船要前進(jìn)x=vΔt的位移，引擎推力須做功W=x，它對應(yīng)飛船和被粘附的垃圾的動能增量，而飛船的ΔEk為零，所以：W=ΔMv2即：vΔt=（nmS·vΔt）v2得到：=nmSv2兩個結(jié)果不一致，不可能都是正確的。分析動能定理的解題，我們不能發(fā)現(xiàn)，垃圾與飛船的碰撞是完全非彈性的，需要消耗大量的機械能，因此，認(rèn)為“引擎做功就等于垃圾動能增加”的觀點是錯誤的。但在動量定理的解題中，由于I=t，由此推出的=必然是飛船對垃圾的平均推力，再對飛船用平衡條件，的大小就是引擎推力大小了。這個解沒有毛病可挑，是正確的?！纠?1】一枚質(zhì)量為M的火箭，依靠向正下方噴氣在空中保持靜止，如果噴出氣體的速度為v，那么火箭發(fā)動機的功率是多少？解析：選取在△t時間內(nèi)噴出的氣體為研究對象，設(shè)火箭推氣體的力為F，根據(jù)動量定理，有F△t=△mv因為火箭靜止空中，所以根據(jù)牛頓第三定律有F=Mg得：Mg△t=△mv△t=△mv/Mg對同樣這一部分氣體，用動能定理有：W=eq\f(1,2)△mv2P=eq\f(W,△t)=eq\f(\f(1,2)△mv2,△mv/Mg)=eq\f(1,2)Mgv常見錯誤解法：P=Fv=Mgv，這種解法忽略了火箭中噴出來折是逐漸加速的氣體，且其平均速度為v/2?！纠?2】如圖所示，長為L、線密度為ρ的鏈條由圖示位置從靜止開始自由下落(底端距地面為h)，試求鏈條落地過程中地面的支持力。LhLhv2=2g(h+L-x)地面支持力為N=N1+N2其中N1為已下落部分的重力，N1=(L-x)ρgN2為空中微段觸地時對地面的沖擊力，設(shè)微段長為△L，經(jīng)時間△t速度由v變?yōu)?，由動量定理得：N2△t=△mv=ρv×△t×v=ρv2△t故N2=ρv2得：N=N1+N2=[2h+3(L-x)]ρg為所求。擴展：長為L、總質(zhì)量為m的柔軟繩索放在水平臺上，用手將繩索的一端以恒定速率v0向上提起，求當(dāng)提起高度為x時手的提力。解法一：用動量定理求解以整根繩索為體系，它共受三個力：重力mg、臺面支持力N和手的提力F。取x軸向上，體系的動量只有鉛直方向分量，在t時刻，設(shè)繩索提起x長度的繩索，體系的動量為：P(t)=meq\f(x,L)v0在t+dt時刻，繩索被提起的長度為x+dx，體系的動量為P(t+dt)=eq\f(m,L)(x+dx)v0根據(jù)動量定理：(F+N-mg)dt=P(t+dt)-P(t)=eq\f(m,L)v0dx……①而dx/dt=v0……②N只與留在上的繩索質(zhì)量有關(guān)：N=eq\f(L-x,L)mg③把②③代入①得：F=eq\f(mg,L)x+eq\f(m,L)v02解法二：用質(zhì)心運動定理求解仍以臺面為x坐標(biāo)軸的原點，當(dāng)繩索提起x時，提起的繩索的質(zhì)心在x/2處，留在臺面上繩索的質(zhì)心在x=0處的體系質(zhì)心坐標(biāo)為xc=eq\f(\f(m,L)(L-x)0+\f(m,L)x\f(x,2),m)=eq\f(x2,2L)質(zhì)心速度為：vc=eq\f(dxc,dt)=eq\f(x,L)\f(dx,dt)=eq\f(x,L)v0體系共受三個力，提力F、重力mg、臺面支持力eq\f(L-x,L)mg，由質(zhì)心運動定理有F+m(L-x)g/L-mg=mac=整理得：F=eq\f(mg,L)x+eq\f(m,L)v02x【例13】一根均勻柔軟繩長為L，質(zhì)量為m，對折后兩端固定在一個釘子上。其中一端突然從釘子上脫落，求下落的繩端點離釘子的距離為x時，釘子對繩子另一端的作用力是多少？x解析：法一：微元法如圖所示，當(dāng)左邊繩離釘子的距離為x時，左邊繩長為eq\f(L+x,2)-x=eq\f(1,2)(L-x),速度為v=eq\r(2gx),右邊繩長為(L+x)/2，又經(jīng)過一段很短的時間△t以后，左邊繩子又有長度為eq\f(1,2)v△t的一小段繩子。這一小段繩子受到兩個力：上面繩子對它的拉力T和它本身的重力eq\f(1,2)v△tg(=m/L為繩子的線密度)，根據(jù)動量定理，設(shè)向上方向為正：(T-eq\f(1,2)v△tg)△t=0-(-eq\f(1,2)v△tv)由于△t取得很短，因此這一小段繩子的重相對于T來說是很小的，可以忽略，所以有：T=eq\f(1,2)v2=gx因此釘子對右邊繩端的作用力為F=eq\f(1,2)(L+x)g+T=eq\f(1,2)mg(1+\f(3x,L))法二：整體分析法此題也可以分析整根繩子，整根繩子受到兩個力作用，重力mg和釘子的拉力F，在t時刻(即左端下落了x的時刻)，全繩的動量為P(t)=-eq\f(1,2)(L-x)v在t+△t時刻，全繩的動量為P(t+△t)=-eq\f(1,2)(L-x+△x)(v+△v)在△t時間內(nèi)全繩動量的增量為△P=P(t+△t)-P(t)=-eq\f(1,2)(L-x+△x)(v+△v)-eq\f(1,2)(L-x)v=eq\f(1,2)△xv-eq\f(1,2)(L-x)△v+eq\f(1,2)△x△v忽略高階小量△x△v，再用動量定理(F-mg)△t=P(t+△t)-P(t)=eq\f(1,2)△xv-eq\f(1,2)(L-x)△v=eq\f(1,2)(v△x+x△v-L△v)兩邊除以△t，并注意eq\f(△x,△t)=v=\r(2gx)，eq\f(△v,△t)=g可得F=mg+eq\f(1,2)(v2+xg-Lg)=eq\f(1,2)mg(1+\f(3x,L))當(dāng)繩子剛拉直時，F(xiàn)=2mg★注：本題亦可用質(zhì)心法求解。3、質(zhì)點系動量定理對質(zhì)點系同樣有：I外=P2-P1即質(zhì)點系所有外力提供的總沖量等于質(zhì)點系總動量的增量。【例14】質(zhì)量為M的金屬塊和質(zhì)量為m的木塊用細(xì)線連在一起，從靜止開始以加速度a在水中加速下沉，經(jīng)時間t1，細(xì)線斷了，求：(1)再經(jīng)時間t2，木塊剛好停止下沉，此時金屬塊下沉的速度v為多大？(2)細(xì)線斷開后，再時間t3，金屬塊下沉速度為v1，木塊此時的速度u多大？(設(shè)題目所求范圍內(nèi)，金屬塊與木塊既沒有沉入水底，也沒有浮出水面，不計水的阻力)解析：以金屬和木塊整體作為研究對象，由牛頓第二定律對系統(tǒng)得：F=(M+m)a(1)取豎直向下為正方向，在(t1+t2)這段時間內(nèi)對系統(tǒng)應(yīng)用動量定理，有F(t1+t2)=Mv兩式得：v=eq\f((M+m)a(t1+t2),M)(2)取向下為正方向，在(t1+t3)這段時間內(nèi)對系統(tǒng)應(yīng)用動量定理，有F(t1+t2)=Mv1+mu得：u=eq\f((M+m)a(t1+t2)-Mv,m)u>0表示木塊在下沉，u<0表示木塊在上浮。ABCm1m2m3【例15】質(zhì)量為別為m1、m2、ABCm1m2m3解析：設(shè)受沖擊后A、B、C三個質(zhì)點的速度分別為vA、vB、vC，根據(jù)質(zhì)點系動量定理有J=m1vA+m2vB+m3vC因為軟繩作用力的方向一定是沿繩的，所以vA必然沿AB方向，vC必然沿BC方向，可以設(shè)vB的方向與BC方向成角，將上述矢量式分解成沿BC方向(x方向)和垂直于BC方向(y方向)的兩個分量式(也可以取其它的正交方向)。x方向：J=m1vAcos+m2vBcos+m3vCy方向：0=-m1vAsin+m2vBsin由于繩不可伸長，所以又有：vA=vBcos(+)vC=vBcos聯(lián)立以上四個方程得：vA=eq\f(Jm2cos,m2(m1+m2+m3)+m1m3sin2)，方向沿AB方向。ACDB2【例16】如圖所示，四個質(zhì)量均為m的質(zhì)點，用同樣長且不可伸長的輕繩聯(lián)結(jié)成菱形ABCD，靜止放在水平光滑的桌面上。若突然給質(zhì)點A一個歷時極時沿CA方向的沖擊，當(dāng)沖擊結(jié)束的時刻，質(zhì)點A的速度為V，其他質(zhì)點也獲得一定速度，∠BAD=2ACDB2ACDB2VVB1VB2VDACDB2VVB1VB2VD1VD2VCVB1=VD1……①VB2=VD2……②由于繩子不可伸長，A沿AD的分速度和D沿DA的分速度一定相等，C沿CD的分速度和D沿CD的分速度也相等，即：Vcos=VD1cos+VD2sin……③VCcos=VD1cos-VD2sin……④另外，設(shè)繩子AD給質(zhì)點D的沖量大小為I1，繩子DC給質(zhì)點C的沖量大小為I2，注意到繩子DC給質(zhì)點D的沖量的大小同樣也是I2(各沖量方向均沿繩子的方向)。由對稱性還可以判定，繩子AB給質(zhì)點B的沖量的大小也是I1，繩子BC給質(zhì)點B和C的沖量的大小都是I2，根據(jù)動量定理，可分別列出關(guān)于質(zhì)點D平行和垂直于V的方向以及質(zhì)點C平行于V方向的關(guān)系式如下：mVD1=I1cos-I2cos……⑤mVD2=I1sin+I2sin……⑥mVC=2I2cos……⑦由③-⑦式可解出：VD1=eq\f(V,1+2sin2)，VD2=eq\f(Vsin,1+2sin2)，VC=eq\f(Vcos2,1+2sin2)由以上結(jié)果和①②兩式，此系統(tǒng)的總動量為P=mV+2mVD1+mVC=eq\f(4mV,1+2sin2)方向沿CA方向。4、動量守恒定律當(dāng)質(zhì)點系所受外力的總沖量為零時，質(zhì)點系的動量守恒，即P1=P2注意：動量守恒定律是一個矢量式，同樣可以分方向列式。5、彈性碰撞碰撞是兩個質(zhì)點之間的相互作用，因為一般碰撞過程很短暫，兩質(zhì)點互相碰撞的力相對其它作用力來說要大得多，因此常可忽略碰撞期間其它力的作用，于是由相互碰撞的兩個質(zhì)點組成的動量守恒。對于彈性碰撞，除了動量守恒外，碰撞過程中動能也保持不變。因此有m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2'eq\f(1,2)m1v12+eq\f(1,2)m2v22=eq\f(1,2)m1v1'2+eq\f(1,2)m2v2'2以上兩個方程可得：①v2-v1=v1'-v2'，此式說明，碰撞前m2趨近于m1的速度等于碰撞后m1遠(yuǎn)離m2的速度，即碰撞前后兩物體的相對速度不變。②碰后速度分別為v1'=eq\f((m1-m2)v1+2m2v2,m1+m2)，v2'=eq\f((m2-m1)v2+2m1v1,m1+m2)討論：(1)當(dāng)m1=m2時，v1'=v2，v2'=v1.即兩球碰后交換速度。(2)當(dāng)m2>>m1，且v2=0時，v1'=-v1，v2'=0，即m1被彈回。(3)當(dāng)m1>>m2，且v2=0時時，v1'≈v1，v2'≈2v1，即m1速度不變，m2以2倍v1前進(jìn)。對于非彈性碰撞，如果碰撞后兩個物體的速度相同(即一起運動)，這種碰撞叫完全非彈性碰撞，由動量守恒有，碰撞后速度為v1'=v2'=eq\f(m1v1+m2v2,m1+m2)為了區(qū)別碰撞的性質(zhì)，引入恢復(fù)系數(shù)e，定義為分離速度和接近速度的比值：e=eq\f(v2'-v1',v1-v2)將此定義與動量守恒結(jié)合起來，可得：v1'=v1-(1+e)eq\f(m2(v1-v2),m1+m2)，v2'=v2-(1+e)eq\f(m1(v2-v1),m1+m2)完全彈性碰撞中，e=1，完全非彈性碰撞中，e=0，當(dāng)0<e<1時，稱為非完全彈性碰撞，一般碰撞后質(zhì)點系機械能的損失為：△E=eq\f(1,2)(1-e2)\f(m1m2,m1+m2)(v1-v2)2由上式可看出，e越小，碰撞前相對速度越大，碰撞中能量損失就越多。6、范性過程范性過程是指兩個物體碰撞后連在一起運動了，其它還有一些類型的兩個物體的相互作用，其特征和范性碰撞類似，即相互作用后兩個物體速度相同了。范性過程可長可短，范性過程中兩個物體的相互作用力可以是各種性質(zhì)的力，例如：彈力、摩擦力、萬有引力、庫侖力等。范性過程中動量守恒，動能不守恒。7、動量守恒定律的推廣由于一個質(zhì)點在不受外力的作用時，它的總動量是守恒的，所以一個質(zhì)點系的內(nèi)力不能改變它質(zhì)心的運動狀態(tài)，這個討論包含三層含意：(1)如果一個質(zhì)點系的質(zhì)心原來是不動的，那么在無外力作用的條件下，它的質(zhì)心始終不動，即位置不變。(2)如果一個質(zhì)點系的質(zhì)心原來是運動的，那么在無外力作用的條件下，這個質(zhì)心系的將以原來的速度做勻速直線運動。(3)如果一個質(zhì)點系的質(zhì)心在某一外力作用下做某種運動，那么內(nèi)力不能改變質(zhì)心的這種運動。比如某一物體原來做拋體運動，如果突然炸成兩塊，那么這兩塊物體的質(zhì)心仍然繼續(xù)做原來的拋體運動。BRA【例17】如果一個質(zhì)量為mA的半圓形槽A原來靜止在水平面上，圓槽半徑為R，將一個質(zhì)量為mBRA解析：由水平方向動量守恒和機械能守恒定律可知，B瑄能到達(dá)槽A右邊的最高端，而且這一瞬間A、B相對靜止，因為A、B組成的體系原來在水平方向的動量為零，所以它的質(zhì)心位置應(yīng)該不變。初始狀態(tài)A、B的質(zhì)心離圓槽最低點的水平距離為s=eq\f(mB,mA+mB)R，所以B滑動槽A的右邊最高點時，A的位移為BxABAx2s=eq\f(2mB,mA+mBxABAx討論：如果原來A、B一起以速度v向右運動，用膠水將B粘在槽A左上端，某一時刻膠水突然失效，B開始滑落，仍然忽略一切摩擦，設(shè)從B脫落到B再次與A相對靜止的時間是t，那么這段時間內(nèi)A運動了多少距離？B脫離后，A開始做變加速運動，但A、B兩物體的質(zhì)心仍然以速度v向右運動，所以在t內(nèi)A運動的距離為L=vt-eq\f(2mB,mA+mB)R【例18】如圖，甲、乙兩小孩子各乘一輛冰車在水平冰面上游戲。甲和他的冰車質(zhì)量共為M=30kg，乙和他的冰車質(zhì)量也是M=30kg。游戲時，甲推著一個質(zhì)量為m=15kg的箱子，和他一起以大小為v0=2.0m/s的速度滑行，乙以同樣大小的速度迎面滑來。為了避免相撞，甲突然將箱子沿冰面推給乙，箱子滑到乙處時乙迅速把它抓住。若不考慮冰面的摩擦力，求(1)甲至少要以多大的速度(相對于地面)將箱子推出，才能避免與乙相撞。(2)甲在推出箱子時對箱子做了多少功？解析：設(shè)甲推出箱子后，箱子速度為v，甲的速度為v1，乙接住箱子后的速度為v2，要使甲、乙避免相撞，至少應(yīng)滿足：v1=v2(1)以甲開始推箱子時速度v0方向為參考方向甲推箱子過程中，甲(包括冰車)與箱子構(gòu)成的系統(tǒng)水平方向上動量守恒，得(M+m)v0=Mv1+mv乙接住箱子過程中，乙(包括冰車)和箱子構(gòu)成的系統(tǒng)水平方向動量守恒，得mv-Mv0=(M+m)v2聯(lián)立上面三式得：v=代入數(shù)值得：v=5.2m/s(2)對箱子運用動能定理得W=eq\f(1,2)mv2-\f(1,2)mv02=1.7102JvA【例19】如圖所示，在光滑水vA解析：對小球和劈形木塊A組成的系統(tǒng)，滿足水平方向動量守恒系統(tǒng)機械能守恒，所以可以寫出：eq\f(1,2)mv2=eq\f(1,2)MvA2+mgh解得：小球被彈起的高度為：h=eq\f(v2,2g)×\f(M-m,M)123VN【例20】如圖所示,在光滑的水平面上沿著一條直線有一定間隔地排列著1、2、3、.123VN解析：球1碰球2，由動量守恒定律得：3mV=3mV1+mV2……=1\*GB3①由題意知球1碰球2過程機械能守恒，則有：（3m）V2/2=（3m）V12/2+mV22/2……=2\*GB3②聯(lián)立=1\*GB3①、=2\*GB3②兩式解得V1=V/2，V2=3V/2球2以速度V2去碰球3，根據(jù)動量守恒定律及機械能守恒定律得：mV2=mV2'+mV3……=3\*GB3③mV22/2=mV2'2/2+mV32/2……=4\*GB3④由=3\*GB3③=4\*GB3④兩式解得：V2'=0，V3=3V/2依次類推，第N個球的速度VN=3V/2由上面的論述可知，球1與球2每碰一次，球1的速度減為原來的1/2，共要碰（N-1）次，則球1的最終速度V1'=V/2N-1球2的最終速度V2"=（）N-1VⅠⅡⅢv0m1m2m3【例21】如圖所示，一水平放置的圓環(huán)形剛性窄槽固定在桌面上，槽內(nèi)嵌著三個大小相同的剛性小球，它們的質(zhì)量分別是m1、m2、m3，m2=m3=2m1，小球與槽的兩壁剛好接觸且無摩擦，開始進(jìn)，三個小球處于等間距的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個位置，m2、m3靜止，m1以初速度v0=πR/2(vⅠⅡⅢv0m1m2m3解析：答案：T=20s【例22】質(zhì)量為M的滑塊有兩段長度為L且相互連通的光滑直軌道AB和BC，開始時靜置于光滑水平面上，連接處是光滑圓弧，AB與水平面成=60角，BC為水平方向，如圖所示。將一質(zhì)量為m的光滑小球放入A，讓它自由靜止開始下滑。試求：小球經(jīng)過多少時間后由C滑出？(設(shè)小球在B處拐彎時間可忽略)。解析：(1)當(dāng)小球從A滑到B時，取滑塊作為參照系，小球受到了三個力：重力mg、彈力N和慣性力maM作用，有對小球：mgsin+maMco=ma'ABCN+maMsinABC對滑塊：Nsin=MaM聯(lián)立以上三式可得：a'=eq\f((M+m)sin,M+msin2)g=eq\f(2\r(3)(M+m),4M+3m)g利用勻變速運動公式：t1=eq\r(\f(2L,a'))=eq\r(\f((4M+3m)L,\r(3)(M+m)g))(2)小于滑到B點轉(zhuǎn)彎時，對滑塊有一個比較大的作用力，因此小球在BC段運動時，相對于滑塊的速度v'不再是小球在AB段相對滑塊的末速度eq\r(2a'L)，為求v'，可設(shè)小球在BC段相對地面的速度是v，滑塊的速度是vM，則NmaMaMmga'mgLsinNmaMaMmga'可求得：v'=v+vM=eq\r(2(M+m)gLsin/M)=eq\r(\r(3)(M+m)gL/M)t2=eq\f(L,v')=eq\r(\f(ML,\r(3)(M+m)g))所以總時間為t=t1+t2=eq\r(\f(L,\r(3)(M+m)g))(\r(4M+3m)+\r(M))【例23】有一塊質(zhì)量和線度足夠大的水平板，繞豎直軸以勻角速度轉(zhuǎn)動。在板上方h高處有一群相同的小球(可視為質(zhì)點)，它們以板的旋轉(zhuǎn)軸為中心、R為半徑均勻地在水平面內(nèi)排成一個圓圈?，F(xiàn)讓這群小球同時由靜止開始下落，設(shè)每個球與平板發(fā)生碰撞的時間非常短，而且碰撞前后小球在豎直方向上速度的大小不變，僅是方向反向，而在水平方向上則會產(chǎn)生摩擦，動摩擦因數(shù)為。(1)試求這群小球第二次和第一次與平板碰撞時，單位長度上小球個數(shù)之比k1；(2)如果R<(g為重力加速度)，而且k1=，試這群小球第三次和第一次與平板碰撞時，單位長度上小球個數(shù)之比k2。解析：(1)設(shè)總共有N個小球，第一次碰撞前單位長度內(nèi)小球