2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)單元素養(yǎng)評(píng)價(jià)第1章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用含解析蘇教版選修2-2

PAGE單元素養(yǎng)評(píng)價(jià)(一)(第1章)(120分鐘150分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.自變量x從x0改變到x1時(shí),函數(shù)值的增量與相應(yīng)自變量的增量之比是函數(shù)()A.從x0到x1的平均改變率B.在x=x1處的改變率C.在x=x1處的改變量D.在區(qū)間[x0,x1]上的導(dǎo)數(shù)【解析】選A.QUOTE=QUOTE表示函數(shù)從x0到x1的平均改變率.2.函數(shù)f(x)=(x+2a)(x-a)2的導(dǎo)數(shù)為 ()A.2(x2-a2) B.2(x2+a2)C.3(x2-a2) D.3(x2+a2)【解析】選C.f′(x)=(x-a)2+(x+2a)[2(x-a)]=3(x2-a2).3.曲線y=QUOTEx2-2x在點(diǎn)QUOTE處的切線的傾斜角為 ()A.30°B.45°C.60°D.135°【解析】選D.y′=x-2,所以斜率k=1-2=-1,因此傾斜角為135°.4.已知函數(shù)f(x)=x·cosx,則f′QUOTE= ()A.0 B.-1 C.-QUOTE D.QUOTE【解析】選D.f′(x)=cosx-xsinx,所以f′QUOTE=cosQUOTEπ-QUOTEπ·sinQUOTEπ=QUOTEπ.5.函數(shù)f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+π在R上既有極大值又有微小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ()A.a<-1 B.a>2C.-1<a<2 D.a<-1或a>2【解析】選D.f′(x)=3x2+6ax+3(a+2)=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則Δ=(6a)2-4×3×3(a+2)>0,得a<-1或a>2.6.已知f(x)=2x4+3x3-3x2-6x+a,g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則g(x)的單調(diào)增區(qū)間是()A.(-∞,-1) B.QUOTEC.QUOTE D.(-∞,-1),QUOTE【解析】選D.g(x)=f′(x)=8x3+9x2-6x-6,g′(x)=24x2+18x-6,令g′(x)=0得x=-1或x=QUOTE,令g′(x)>0得x<-1或x>QUOTE,則g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-1),QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】若f(x)=x2-2x-4lnx,則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)___________.

【解析】f′(x)=2x-2-QUOTE=QUOTE=QUOTE,由f′(x)>0得x>2.答案:(2,+∞)7.若函數(shù)f(x)=QUOTE在區(qū)間(m,2m+1)上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ()A.(-1,0) B.[-1,0)C.(-1,0] D.[-1,0]【解析】選C.f′(x)=QUOTE,令f′(x)>0,得-1<x<1,即函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-1,1).又f(x)在(m,2m+1)上單調(diào)遞增,所以QUOTE解得-1<m≤0.8.已知函數(shù)f(x)=xcosx-sinx,若存在實(shí)數(shù)x∈[0,2π],使得f(x)<t成立,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是 ()A.(-∞,-π) B.(-π,+∞)C.(0,π) D.(π,2π)【解析】選B.因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)x∈[0,2π],使得f(x)<t成立,所以t>QUOTE,f′(x)=cosx+x(-sinx)-cosx=-x·sinx,令f′(x)=0得x=0或x=π或x=2π.列表x0(0,π)π(π,2π)2πf′(x)0-0+0f(x)0↘微小值↗2π當(dāng)x=π時(shí),f(x)有微小值也是f(x)的最小值,所以f(x)min=f(π)=-π.故t>-π.二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)的得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是 ()A.(cosx)′=-sinx B.QUOTE′=cosQUOTEC.QUOTE′=-QUOTE D.(e2x)′=e2x【解析】選AC.A中,(cosx)′=-sinx,B中QUOTE′=0,C中QUOTE′=-QUOTE,D中(e2x)′=2e2x.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知f(x),g(x)都是定義在R上的函數(shù),且滿意以下條件:①f(x)=ax·g(x)(a>0,a≠1);②g(x)≠0;③f(x)·g′(x)>f′(x)·g(x),若QUOTE+QUOTE=QUOTE,則logax>1成立的x的取值范圍是__________________.【解題指南】依據(jù)題目中所給的條件推斷a的取值范圍,求出a的值,最終解不等式.【解析】由①②,QUOTE=ax,由③,QUOTE′=QUOTE<0,即axlna<0,所以0<a<1.又QUOTE+QUOTE=QUOTE,即a+QUOTE=QUOTE,a=QUOTE或a=2(舍),從而logax>1=logaa,0<x<a,故0<x<QUOTE.答案:QUOTE10.使函數(shù)y=xsinx+cosx是增函數(shù)的區(qū)間可能是 ()

A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選AD.y′=sinx+xcosx-sinx=xcosx,當(dāng)y′>0時(shí)為增函數(shù),結(jié)合選項(xiàng)知0<x<QUOTE或QUOTE<x<2π.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=QUOTEax3+QUOTEax2-2ax+2a+1的圖象經(jīng)過(guò)四個(gè)象限,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________.

【解析】f′(x)=ax2+ax-2a=a(x-1)(x+2),由f(x)的圖象經(jīng)過(guò)四個(gè)象限知,若a>0,則QUOTE此時(shí)無(wú)解;若a<0,則QUOTE所以-QUOTE<a<-QUOTE.答案:QUOTE11.設(shè)函數(shù)f(x)=QUOTEx-lnx(x>0),則y=f(x) ()A.在區(qū)間QUOTE內(nèi)有零點(diǎn)B.在區(qū)間(1,e)內(nèi)有零點(diǎn)C.在區(qū)間QUOTE內(nèi)無(wú)零點(diǎn)D.在區(qū)間(1,e)內(nèi)無(wú)零點(diǎn)【解析】選BC.因?yàn)閒(x)=QUOTEx-lnx(x>0),所以f(e)=QUOTEe-1<0,f(1)=QUOTE>0,fQUOTE=QUOTE+1>0,所以f(x)在(1,e)內(nèi)有零點(diǎn),在QUOTE內(nèi)無(wú)零點(diǎn).12.設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且函數(shù)y=(1-x)f′(x)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論中肯定成立的是 ()A.函數(shù)f(x)有極大值f(2)B.函數(shù)f(x)有極大值f(-2)C.函數(shù)f(x)微小值f(-2)D.函數(shù)f(x)有微小值f(2)【解析】選BD.由題圖可知,當(dāng)x<-2時(shí),f′(x)>0;當(dāng)-2<x<1時(shí),f′(x)<0;當(dāng)1<x<2時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x>2時(shí),f′(x)>0.由此可以得到函數(shù)在x=-2處取得極大值,在x=2處取得微小值.三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上)13.已知函數(shù)f(x)=x2+2cosx,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(π,f(π))處的切線方程為_(kāi)______________.

【解析】f′(x)=2x-2sinx,則f′(π)=2π-0=2π,又f(π)=π2-2,所以切線方程為y-(π2-2)=2π(x-π),即y=2πx-π2-2.答案:y=2πx-π2-2【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=QUOTEx3-QUOTEx2+x(a>0),則f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率最大時(shí)的切線方程是____________.

【解析】f′(x)=x2-QUOTEx+1,故f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率k=2-QUOTE,明顯當(dāng)a=1時(shí),a+QUOTE最小,k最大為0,又f(1)=QUOTE,所以切線方程為y=QUOTE.答案:y=QUOTE14.周長(zhǎng)為20cm的矩形,繞一條邊旋轉(zhuǎn)成一個(gè)圓柱,則圓柱體積的最大值為【解析】設(shè)矩形的長(zhǎng)為x,則寬為10-x(0<x<10),由題意可知所求圓柱的體積V=πx2(10-x)=10πx2-πx3,所以V′(x)=20πx-3πx2.由V′(x)=0得x=0(舍去),x=QUOTE,且當(dāng)x∈QUOTE時(shí),V′(x)>0,當(dāng)x∈QUOTE時(shí),V′(x)<0,所以當(dāng)x=QUOTE時(shí),V(x)取得最大值為QUOTEπcm3.答案:QUOTEπcm315.(2024·北京高考)設(shè)函數(shù)f(x)=ex+ae-x(a為常數(shù)).若f(x)為奇函數(shù),則a=____________;若f(x)是R上的增函數(shù),則a的取值范圍是____________.

【解析】①明顯f(0)有意義,又f(x)為奇函數(shù),所以f(0)=0,得a=-1.②因?yàn)閒(x)是R上的增函數(shù),所以f′(x)=ex-ae-x=QUOTE≥0恒成立,即g(x)=(ex)2≥a恒成立,又因?yàn)間(x)>0,且當(dāng)x趨向于-∞時(shí),g(x)趨向于0,所以0≥a,即a的取值范圍是(-∞,0].答案:-1(-∞,0]16.(2024·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A在曲線y=lnx上,且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-e,-1)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則點(diǎn)A的坐標(biāo)是____________.

【解析】設(shè)點(diǎn)A(x0,y0),則y0=lnx0.又y′=QUOTE,當(dāng)x=x0時(shí),y′=QUOTE,曲線y=lnx在點(diǎn)A處的切線為y-y0=QUOTE(x-x0),即y-lnx0=QUOTE-1,代入點(diǎn)(-e,-1),得-1-lnx0=QUOTE-1,即x0lnx0=e,考查函數(shù)H(x)=xlnx,當(dāng)x∈(0,1)時(shí),H(x)<0,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),H(x)>0,且H′(x)=lnx+1,當(dāng)x>1時(shí),H′(x)>0,H(x)單調(diào)遞增,留意到H(e)=e,故x0lnx0=e存在唯一的實(shí)數(shù)根x0=e,此時(shí)y0=1,故點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(e,1).答案:(e,1)四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17.(10分)已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+bx在區(qū)間(-2,1)內(nèi)x=-1時(shí)取微小值,x=QUOTE時(shí)取極大值.(1)求函數(shù)y=f(x)在x=-2時(shí)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切線方程.(2)求函數(shù)y=f(x)在[-2,1]上的最大值與最小值.【解析】(1)f′(x)=-3x2+2ax+b.又x=-1,x=QUOTE分別對(duì)應(yīng)函數(shù)取得微小值、極大值,所以-1,QUOTE為方程-3x2+2ax+b=0的兩個(gè)根.所以QUOTEa=-1+QUOTE,-QUOTE=(-1)×QUOTE.于是a=-QUOTE,b=2,則f(x)=-x3-QUOTEx2+2x.當(dāng)x=-2時(shí),f(-2)=2,即(-2,2)在曲線上.又切線斜率k=f′(-2)=-8,所求切線方程為y-2=-8(x+2),即為8x+y+14=0.(2)列表如下:x-2(-2,-1)-11f′(x)-0+0-f(x)2↘-QUOTE↗↘則f(x)在[-2,1]上的最大值為2,最小值為-QUOTE.18.(12分)已知函數(shù)f(x)=lnx+QUOTE,a為常數(shù).(1)若a=QUOTE,求函數(shù)f(x)在[1,e]上的值域.(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),e≈2.72)(2)若函數(shù)g(x)=f(x)+x在[1,2]上為單調(diào)減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)由題意f′(x)=QUOTE-QUOTE,當(dāng)a=QUOTE時(shí),f′(x)=QUOTE-QUOTE=QUOTE.因?yàn)閤∈[1,e],所以f(x)在[1,2)上為減函數(shù),[2,e]上為增函數(shù),又f(2)=ln2+QUOTE,f(1)=QUOTE,f(e)=1+QUOTE,比較可得f(1)>f(e),所以f(x)的值域?yàn)镼UOTE.(2)由題意得g′(x)=QUOTE-QUOTE+1≤0在x∈[1,2]上恒成立,所以a≥QUOTE+(x+1)2=x2+3x+QUOTE+3恒成立,設(shè)h(x)=x2+3x+QUOTE+3(1≤x≤2),所以當(dāng)1≤x≤2時(shí),h′(x)=2x+3-QUOTE>0恒成立,所以h(x)max=h(2)=QUOTE,所以a≥QUOTE,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是QUOTE.19.(12分)已知函數(shù)f(x)=ax3+cx+d(a≠0)是R上的奇函數(shù),當(dāng)x=1時(shí),f(x)取得極值-2.(1)求函數(shù)f(x)的解析式.(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極大值.【解析】(1)因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),即-ax3-cx+d=-ax3-cx-d,所以d=-d,所以d=0(或由f(0)=0得d=0).所以f(x)=ax3+cx,f′(x)=3ax2+c,又當(dāng)x=1時(shí),f(x)取得極值-2,所以QUOTE即QUOTE解得QUOTE所以f(x)=x3-3x.(2)f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),令f′(x)=0,得x=±1,當(dāng)-1<x<1時(shí),f′(x)<0,函數(shù)f(x)為減函數(shù);當(dāng)x<-1或x>1時(shí),f′(x)>0,函數(shù)f(x)為增函數(shù);所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-∞,-1)和(1,+∞);單調(diào)減區(qū)間為(-1,1).因此,f(x)在x=-1處取得極大值,且極大值為f(-1)=2.20.(12分)(2024·全國(guó)Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-x.(1)當(dāng)a=1時(shí),探討f(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥QUOTEx3+1,求a的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)a=1時(shí),fQUOTE=ex+x2-x,f′QUOTE=ex+2x-1,由于f″QUOTE=ex+2>0,故f′QUOTE單調(diào)遞增,留意到f′QUOTE=0,故當(dāng)x∈QUOTE時(shí),f′QUOTE<0,fQUOTE單調(diào)遞減,當(dāng)x∈QUOTE時(shí),f′QUOTE>0,fQUOTE單調(diào)遞增.(2)由fQUOTE≥QUOTEx3+1得,ex+ax2-x≥QUOTEx3+1,其中x≥0,①當(dāng)x=0時(shí),不等式為:1≥1,明顯成立,符合題意;②當(dāng)x>0時(shí),分別參數(shù)a得,a≥-QUOTE,記gQUOTE=-QUOTE,g′QUOTE=-QUOTE,令hQUOTE=ex-QUOTEx2-x-1QUOTE,則h′QUOTE=ex-x-1,h″QUOTE=ex-1≥0,故h′QUOTE單調(diào)遞增,h′QUOTE≥h′QUOTE=0,故函數(shù)hQUOTE單調(diào)遞增,hQUOTE≥hQUOTE=0,由hQUOTE≥0可得:ex-QUOTEx2-x-1≥0恒成立,故當(dāng)x∈QUOTE時(shí),g′QUOTE>0,gQUOTE單調(diào)遞增;當(dāng)x∈QUOTE時(shí),g′QUOTE<0,gQUOTE單調(diào)遞減,因此,QUOTE=gQUOTE=QUOTE,綜上可得,實(shí)數(shù)a的取值范圍是QUOTE.21.(12分)某藝術(shù)品公司欲生產(chǎn)一款迎新春工藝禮品,該禮品是由玻璃球面和該球的內(nèi)接圓錐組成,圓錐的側(cè)面用于藝術(shù)裝飾,如圖1.為了便于設(shè)計(jì),可將該禮品看成是由圓O及其內(nèi)接等腰三角形ABC繞底邊BC上的高所在直線AO旋轉(zhuǎn)180°而成,如圖2.已知圓O的半徑為10cm,設(shè)∠BAO=θ,0<θ<QUOTE,圓錐的側(cè)面積為Scm2.(1)求S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式.(2)為了達(dá)到最佳欣賞效果,要求圓錐的側(cè)面積S最大.求S取得最大值時(shí)腰AB的長(zhǎng)度.【解析】(1)設(shè)AO交BC于點(diǎn)D,過(guò)O作OE⊥AB,垂足為E,在△AOE中,AE=10cosθ,AB=2AE=20cosθ,在△ABD中,BD=AB·sinθ=20cosθ·sinθ,所以S=QUOTE·2π·20sinθcosθ·20cosθ=400πsinθcos2θQUOTE.(2)要使側(cè)面積最大,由(1)得:S=400πsinθcos2θ=400π(sinθ-sin3θ),設(shè)f(x)=x-x3(0<x<1),則f′(x)=1-3x2,由f′(x)=1-3x2=0得:x=QUOTE,當(dāng)x∈QUOTE時(shí),f′(x)>0,當(dāng)x∈QUOTE時(shí),f′(x)<0,所以f(x)在區(qū)間QUOTE上單調(diào)遞增,在區(qū)間QUOTE上單調(diào)遞減,所以f(x)在x=QUOTE時(shí)取得極大值,也是最大值;所以當(dāng)sinθ=QUOTE時(shí),側(cè)面積S取得最大值,此時(shí)等腰三角形的腰長(zhǎng)AB=20cosθ=20QUOTE=20QUOTE=QUOTE.答:側(cè)面積S取得最大值時(shí),等腰三角形的腰AB的長(zhǎng)度為QUOTEcm.22.(12分)(2024·江蘇高考)設(shè)函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,c∈R,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值.(2)若a≠b,b=c,且f(x)和f′(x)的零點(diǎn)均在集合{-3,1,3}中,求f(x)的微小值.(3)若a=0,0<b≤1,c=1,且f(x)的極大值為M,求證:M≤QUOTE.【解析】(1)因?yàn)閍