2024-2025學年高中數(shù)學第一章三角函數(shù)1.4.1任意角的正弦函數(shù)余弦函數(shù)的定義4.2單位圓與周期性學案含解析北師大版必修4

PAGE4正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義與誘導(dǎo)公式4．1隨意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義4．2單位圓與周期性考綱定位重難突破1.了解單位圓的概念．2.理解隨意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義．3.理解三角函數(shù)的周期性.2.正、余弦函數(shù)值在各象限的符號的記憶．重點：1.隨意角的正弦、余弦函數(shù)的定義及應(yīng)用．難點：1.正弦、余弦函數(shù)的定義及應(yīng)用．2.周期函數(shù)的應(yīng)用.授課提示：對應(yīng)學生用書第6頁[自主梳理]1．單位圓的定義在直角坐標系中，以原點為圓心，以單位長為半徑的圓，稱為單位圓．2．隨意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)3．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)值的符號(1)圖示：隨意角的正弦值的符號，如圖①所示；隨意角的余弦值的符號，如圖②所示．(2)表格：α的終邊sinαcosαx軸正半軸01第一象限＋＋y軸正半軸10其次象限＋－x軸負半軸0－1第三象限－－y軸負半軸－10第四象限－＋4．終邊相同的角的正、余弦函數(shù)公式：sin(x＋k·2π)＝sin_x，k∈Z；cos(x＋k·2π)＝cos_x，k∈Z.5．周期函數(shù)(1)定義：一般地，對于函數(shù)f(x)，假如存在非零實數(shù)T，對定義域內(nèi)的隨意一個x值都有f(x＋T)＝f(x)，我們就把f(x)叫作周期函數(shù)，T稱為這個函數(shù)的周期．(2)規(guī)定：對于周期函數(shù)來說，假如全部的周期中存在著一個最小的正數(shù)，就稱它為最小正周期，今后提到的函數(shù)的周期，如未特殊指明，一般都是指它的最小正周期．(3)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的周期性正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，它們的最小正周期均是2π.[雙基自測]1．已知角α終邊經(jīng)過P(eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2))，則sinα＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(3),3) D．±eq\f(1,2)解析：P(eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2))為單位圓一點，所以sinα＝eq\f(1,2).答案：A2．已知點P(tanα，cosα)在第三象限，則角α的終邊在()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限解析：由題意得cosα＜0，且tanα＜0，所以角α的終邊在其次象限．答案：B3．α的終邊與單位圓的交點為P(eq\f(3,5)，－eq\f(4,5))，則sinα＝________，cosα＝________.解析：由正、余弦函數(shù)的定義知r＝1，sinα＝eq\f(y,r)＝－eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(\f(3,5),1)＝eq\f(3,5).答案：－eq\f(4,5)eq\f(3,5)授課提示：對應(yīng)學生用書第7頁探究一正弦、余弦函數(shù)的定義[典例1]已知角α的終邊上一點P(－eq\r(3)，m)，且sinα＝eq\f(\r(2),4)m，求sinα與cosα的值．[解析]由已知，有eq\f(\r(2),4)m＝eq\f(m,\r(3＋m2))，解得m＝0或m＝±eq\r(5).(1)當m＝0時，cosα＝－1，sinα＝0；(2)當m＝eq\r(5)時，cosα＝－eq\f(\r(6),4)，sinα＝eq\f(\r(10),4)；(3)當m＝－eq\r(5)時，cosα＝－eq\f(\r(6),4)，sinα＝－eq\f(\r(10),4).一般依據(jù)三角函數(shù)的定義求解此類問題，當角的終邊上的點的坐標以參數(shù)的形式給出時，要依據(jù)問題的實際狀況對參數(shù)進行分類探討．1．已知角θ的終邊與函數(shù)y＝－2|x|的圖像重合，求sinθ和cosθ的值．解析：若角θ是第三象限的角，在角θ的終邊上取一點(－1，－2)，則r＝eq\r(－12＋－22)＝eq\r(5).由三角函數(shù)的定義，知sinθ＝eq\f(－2,\r(5))＝－eq\f(2\r(5),5)，cosθ＝－eq\f(\r(5),5).若角θ是第四象限的角，在角θ的終邊上取一點(1，－2)，則r＝eq\r(12＋－22)＝eq\r(5).由三角函數(shù)的定義，知sinθ＝eq\f(－2,\r(5))＝－eq\f(2\r(5),5)，cosθ＝eq\f(1,\r(5))＝eq\f(\r(5),5).探究二有關(guān)三角函數(shù)值的符號問題[典例2](1)α是其次象限角，推斷sinαcosα的正負；(2)若sinαcosα＜0，推斷α是第幾象限角．[解析](1)∵α是其次象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinαcosα＜0.(2)由sinαcosα＜0知有兩種可能：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＞0，,cosα＜0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＜0，,cosα＞0.))故α在其次象限或第四象限．1．三角函數(shù)值的符號在以后學習中常常用到，必需記熟，可依據(jù)定義記，也可按以下口訣記憶：一全正，二正弦，三正切(正切后面學到)，四余弦(是正的)．2．對于確定α角所在象限問題，應(yīng)首先界定題目中全部三角函數(shù)的符號，然后依據(jù)上述三角函數(shù)的符號來確定角α所在的象限，則它們的公共象限即為所求．2．已知角α滿意sinα＜0，且tanα＞0.(1)求角α的集合；(2)試推斷sineq\f(α,2)·coseq\f(α,2)·taneq\f(α,2)的符號．解析：(1)由sinα＜0，知角α的終邊在第三、四象限或在y軸的非正半軸上；又tanα＞0，所以角α的終邊在第三象限，故角α的集合為{α|2kπ＋π＜α＜2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z}．(2)由2kπ＋π＜α＜2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，得kπ＋eq\f(π,2)＜eq\f(α,2)＜kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z，當k＝2m，m∈Z時，角eq\f(α,2)的終邊在其次象限，此時sineq\f(α,2)＞0，coseq\f(α,2)＜0，taneq\f(α,2)＜0，所以sineq\f(α,2)·coseq\f(α,2)·taneq\f(α,2)的符號為正；當k＝2m＋1，m∈Z時，角eq\f(α,2)的終邊在第四象限，此時sineq\f(α,2)＜0，coseq\f(α,2)＞0，taneq\f(α,2)＜0，所以sineq\f(α,2)·coseq\f(α,2)·taneq\f(α,2)的符號為正．因此，sineq\f(α,2)·coseq\f(α,2)·taneq\f(α,2)的符號為正．探究三利用正弦、余弦函數(shù)值的周期性求值[典例3]求下列三角函數(shù)值．(1)cos(－1050°)；(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,4))).[解析](1)∵－1050°＝－3×360°＋30°，∴－1050°的角與30°的角終邊相同．∴cos(－1050)°＝cos30°＝eq\f(\r(3),2).(2)∵－eq\f(31π,4)＝－4×2π＋eq\f(π,4)，∴角－eq\f(31π,4)與角eq\f(π,4)的終邊相同．∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,4)))＝sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2).利用公式sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα(k∈Z)，可以把隨意角的正弦、余弦函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為0～2π間的角的正弦、余弦函數(shù)值問題．從該公式可以看出，在求三角函數(shù)值的時候，2π，360°的整數(shù)倍可以干脆去掉，從而便利化簡或計算．3．求下列各式的值：(1)coseq\f(25π,3)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))；(2)sin810°＋cos765°＋sin1125°＋cos360°.解析：(1)原式＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8π＋\f(π,3)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,4)))＝coseq\f(π,3)＋sineq\f(π,4)＝eq\f(1＋\r(2),2).(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋cos(2×360°＋45°)＋sin(3×360°＋45°)＋cos(0°＋360°)＝sin90°＋cos45°＋sin45°＋cos0°＝2＋eq\r(2).因不會挖掘隱含條件致誤[典例]已知sineq\f(θ,2)＝eq\f(3,5)，coseq\f(θ,2)＝－eq\f(4,5)，試確定θ是第幾象限角．[解析]因為sineq\f(θ,2)＝eq\f(3,5)>0，coseq\f(θ,2)＝－eq\f(4,5)<0，所以eq\f(θ,2)是其次象限角．又因為sineq\f(θ,2)＝eq\f(3,5)<eq\f(\r(2),2)＝sineq\f(3,4)π.所以2kπ＋eq\f(3,4)π<eq\f(θ,2)<2kπ＋π(k∈Z)，所以4kπ＋eq\f(3,2)π<θ<4kπ＋2π(k∈Z)，所以θ是第四象限角．[錯因與防范](1)在解答過程中，往往只由sineq