考場(chǎng)仿真卷04-2021年高考數(shù)學(xué)（理）模擬考場(chǎng)仿真演練卷(新課標(biāo)Ⅰ卷)（解析版）

絕密★啟用前

2021年高考數(shù)學(xué)（理）模擬考場(chǎng)仿真演練卷

第四模擬

本試卷共23題（含選考題）.全卷滿分15（）分.考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

I.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),用橡皮擦干凈

后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，洛答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題.每小題5分洪60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

A.2B.-2C.2iD.-2i

【答案】D

,MW.n.Ueizz-2i(1+z)(l—Z)—2Z2—2/—2i(l+i).,

(解析】因?yàn)閦=1+z,所以------=--------------=------=----;----=-2i.故選D.

z1+Z1+Z1+i

2.已知全集U={T,0J2,3},集合A={0J2},B={-l,0,l},則(g知()

A.{-1}B.{0,1}C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3}

【答案】D

【解析】易知6I={T3},則⑹⑷u8={T(H3}.故選D.

3.已知等差數(shù)列{4}滿足4%=3々，貝］{q}中一定為零的項(xiàng)是()

A.%B.a-）C.例D.%

【答案】A

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為d，由4a3=3/得4=一51,，。6=4+54=0，故選A.

4.A,B兩機(jī)關(guān)單位開(kāi)展節(jié)能活動(dòng)，活動(dòng)開(kāi)始后兩機(jī)關(guān)的用電量叱（。，嗎（。與時(shí)間f（天）的關(guān)系如圖所示,

則一定有（)

A.兩機(jī)關(guān)單位節(jié)能效果一樣好

B.A機(jī)關(guān)單位比8機(jī)關(guān)單位節(jié)能效果好

C.4機(jī)關(guān)單位的用電量在［0"。］上的平均變化率比4機(jī)關(guān)單位的用電量在［0,70］上的平均變化率大

D.A機(jī)關(guān)單位與B機(jī)關(guān)單位自節(jié)能以來(lái)用電量總是一樣大

【答案】B

【解析】由圖可知，活動(dòng)開(kāi)始后兩機(jī)關(guān)的用電量變化率不同，節(jié)能效果也就大同，故A錯(cuò)；在相同的時(shí)間

內(nèi)，A機(jī)關(guān)單位比8機(jī)關(guān)單位用電量減少的多，故B對(duì)；在［0/。］上兩機(jī)關(guān)的用電量都在減少，所以變化

率都為負(fù)值，A機(jī)關(guān)單位的用電量變化的嗝度更大，所以變化率反而更小，故C錯(cuò)；自節(jié)能以來(lái)，A機(jī)關(guān)單

位比8機(jī)關(guān)單位用電量大，在4天時(shí)用電量相等，故D錯(cuò).故選B.

5.世界著名的數(shù)學(xué)雜志《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》于1989年曾刊登過(guò)一個(gè)紅極一時(shí)的棋盤(pán)問(wèn)題.題中的正六邊形棋

盤(pán)，用三種全等（僅朝向和顏色不同）的菱形圖案全部填滿（如下圖），若在棋盤(pán)內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取

自白色區(qū)域的概率為（）

【答案】B

【解析】直接數(shù)出正六邊形共包含菱形48個(gè)，其中白色16個(gè)，則此點(diǎn)此點(diǎn)取自白色區(qū)域的概率

白色區(qū)域面積=16二1

正六邊形面積一48一十

6.在平行四邊形ABC。中，AB=2，AD=J^，點(diǎn)F為邊CD的中點(diǎn)、,若而.而=0,則麗.亞

（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【解析】：麗.麗=0，???WA8,如圖建立平面直角坐標(biāo)系，F(xiàn)（0,2）,C（l,2）,B（2,0）,

???衣=（1,2）,旃=（-2,2）,???旃./=-2+4=2,故選C

7.已知邊長(zhǎng)為3的正UA6c的頂點(diǎn)和點(diǎn)D都在球。的球面上.若A0=6,且AD_L平面A3C,則球。的

表面積為（）

A.32岳B.484C.24萬(wàn)D.12"

【答案】B

【解析】由題意知：球。為三棱錐。一ABC的外接球，?.?LJ4BC為邊長(zhǎng)為3的正三角形，?比48c的外接

圓半徑r=2x/9—2=6,又ADJ_平面ABC，AO=6,?.?球O的半徑

3V4

/?=Jr+f-AD>I=石3二2退，?二球O的表面積S=4萬(wàn)R2=48萬(wàn).故選B.

\（2）

8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的S=0,則空白判斷框中可填入的條件是（)

A./?>3?B.n>4?C.〃>5?D.〃>6?

【答案】C

【解析】模擬執(zhí)行程序框圖，

輸入5=160，〃=1,不滿足SW10,則S=80，〃=2,需不滿足判斷框，循環(huán)：

不滿足SW10,則S=40,〃=3,需不滿足判斷框，循環(huán)；

不滿足SW10,則S=20，〃=4,需不滿足判斷框，循環(huán)；

不滿足SW10,則S=10,〃=5,需不滿足判斷框，循環(huán)；

滿足5<10,則5=0，〃=6,需滿足判斷框，輸出5=0；

???判斷框中的條件應(yīng)為：〃>5?.故選C.

9.如圖，點(diǎn)M、N分別是正四面體ABCO棱48、8上的點(diǎn)，設(shè)直線MN與直線3C所成

的角為J，則（）

A.當(dāng)ND=2CN時(shí),。隨著x的增大而增大

B.當(dāng)ND=2CN時(shí),。隨著工的增大而減小

C.當(dāng)CN=2ND時(shí),。隨著x的增大而減小

D.當(dāng)CN=2ND時(shí),。隨著x的增大而增大

【答案】D

【解析】當(dāng)NZ)=2CN時(shí)，如下圖作NF〃BC交3。于尸點(diǎn)，所以直線MN與直線BC所成的角即為直線

MV與直線N尸所成的角，即NMNr=。，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為3,則CN=BF=1,FN=2,

可求得M尸—x+l,MN=/?—3/+7，所以在UFNM中,有

cos6>=.=-I1+--__-(XG[0,3]),令~則

2VX2-3X+72Vx~-3x+7x2-3x+7

/(x)=—5—7，X￡[0,3]時(shí)，/(x)=—5”■有正有負(fù)，函數(shù)有增有減，

(x-3x+7)~(x-3x+7)~

所以故A與B錯(cuò)誤；

當(dāng)CV=2NO時(shí)，如下圖作NE〃8C交B。于E點(diǎn)，所以直線MN與直線BC所成的角即為直線MV與

直線NE所成的角，即NMVE=6>.同樣設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為3,則CN=BF=2,FN=2,

,---------廣/…，9+7-73

可求得ME=Jf_2x+4，AN=BN=近，在壯ABN中,有cosNA5N二或不二萬(wàn)=,

23

所以MN?=x+7-2xxx>/7x-3x+7,即MN=y/￡-3x+7,

2yfl~

4-r19-5r

所以在UMNE中，有cos夕=/'=-Jl+2(xe[0,3]),

2x/x2-3x+72、k-3x+7

9-5x5X2-18X-8

令fM=，則小)=<0

X2-3X+7(X2-3X+7)2

所以/(X)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，即X增大，f(x)減小，即cos。減小，從而6增大，故D正確，C錯(cuò)誤.故

選D.

B

3x+l,x<1,/

10.已知函數(shù)/*）={2..，若〃〉加，且/（"）=/（用），設(shè)，=〃一機(jī)，則（）

x--l,x>l

A.，沒(méi)有最小值B./的最小值為逐-1

417

C.f的最小值為；D.，的最小值為二

312

【答案】B

【解析】如圖，作出函數(shù)/（幻的圖象，???/（〃）=/（加）且〃〉機(jī)，則加￡1,且九>1，

〃2_2〃>1L

.\3w4-l=/i2-1?即/n=----?由〈八21,J解得

3[0<n-l<4

if-21,2,413、217

:.n—m=n------=——(〃—3n—2)=——(zn—)+—,

333212

又?.”〈〃工百，當(dāng)〃=石時(shí)，（〃一加）而n=石一1?故選

2,〃為偶數(shù)

11.已知數(shù)列｛%｝與也｝滿足%+ba=(―3)"+1weN*?且4=2,下列

nn+l為奇數(shù)

正確的是（）

A.《一4二8B.a4-a2=18

C.{%+2-％“}是等差數(shù)列D.｛4向-4〃-J是等比數(shù)列

【答案】D

1

【解析】因?yàn)閿?shù)列｛%｝與他｝滿足%%+=(一3)"+1,令〃=1,b2at+"%=(-3)+1=-2,

2

由q=2,4=1,打=2,所以。2=_6,令〃=2,b3a2+b2ay=(-3)+1=10,tha2=-6,Z?3=l,b2=2,

3*9

所以%=8,所以q-q=6,故A錯(cuò)誤；令〃=3,b4a3+b3a4=(-3)+1=-26,由4=8也=1,"=2,

所以《=-42,所以4一4=-42+6=-36,故B錯(cuò)誤；由已知得①+%?+%A”+i=(-3產(chǎn)+1,即

2M2

生,+2a2向=3+1，%*+%3(―3)21+1,即202tl+%=(-3產(chǎn)+1=-3^+b

兩式相減得。2〃+1_%1

所以｛々"1—電1｝是以6為首項(xiàng)，9為公比的等比數(shù)列，故D正確；

由生e—%"T=6x9'i得

a2fl-I=4+（4-4）+（々5-4）+一.+（4”-1-42”-3）=2+6><（1+9+92+-+9”-2）

=2+6x-----

1a

2n,

由2%z+。2+?2?=-3-+l,得生“=—_X9"_2,

22

I7I1

所以42=-5'9向一日一-5x9〃-弓=—4x9”,

%向一？“+2-（%計(jì)2-4〃）=Mx9〃"+4x9〃不是常數(shù)，

｛%+「％｝不是等差數(shù)列，故C錯(cuò)誤.故選D.

12.第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，將在2022年2月4日在中華人民共和國(guó)北京市和張家口市聯(lián)合舉行.這

是中國(guó)歷史上第一次舉辦冬季奧運(yùn)會(huì)，北京成為奧運(yùn)史上第一個(gè)舉辦夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)和冬季奧林匹克

運(yùn)動(dòng)會(huì)的城市.同時(shí)中國(guó)也成為第一個(gè)實(shí)現(xiàn)奧運(yùn)“全滿貫”（先后舉辦奧運(yùn)會(huì)、殘奧會(huì)、青奧會(huì)、冬奧會(huì)、冬

殘奧會(huì)）國(guó)家.根據(jù)規(guī)劃，國(guó)家體育場(chǎng)（鳥(niǎo)巢）成為北京冬奧會(huì)開(kāi)、閉幕式的場(chǎng)館.國(guó)家體育場(chǎng)"鳥(niǎo)巢”的鋼

結(jié)構(gòu)鳥(niǎo)瞰圖如圖所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，若由外層橢圓長(zhǎng)軸一端點(diǎn)A和短軸一端點(diǎn)5

9

分別向內(nèi)層橢圓引切線4C,BD（如圖），且兩切線斜率之積等于一二，則橢圓的離心率為（）

D,正

2

【答案】B

【解析】若內(nèi)層橢圓方程為J由離心率相同，可設(shè)外層橢圓方程為

「，+/:、2=1(團(tuán)>1)，,4一〃肛0),8(0,mb),設(shè)切線AC為y=勺(X+rna),切線BD為

(may(mb)

y=k、(x+ma)

y=kx+i?ib,/.v2，整理得(/%；+b2)x2+2m/k*+m2a"k；-a2b2=0,由△=0知:

2b+F=1

⑵也3K2）2_4（〃2K2./）（蘇/好一々2加）=0,整理得林=與―二

a"1-m

y=kox+mb

-h2A49A2Q

同理,x2y2，可得公=—y"(52—1)，J(A/,)?===(一啟)2，即一7=77，故

2242

—+V=1aa16a16

a~b-

二、填空題：本題共4小題、每小題5分，共20分.

13.在一組樣本數(shù)據(jù)為（西,凹）,32,%），…，（天,券）（〃之2，x，w，…，Z不全相等）的散點(diǎn)圖中，若所有

樣本點(diǎn)（%,丫）（，=1,2「?,〃）都在直線〉=-3工一3上，則這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)r=

【答案】-1

【解析】因?yàn)?1<0,所以這兩個(gè)變量成負(fù)相關(guān)，故這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為負(fù)值，又所有樣本點(diǎn)

2

（4》改=1,2「一,〃）都在直線丁=一*一3上，則上|=1,所以r=—1.

14.設(shè)雙曲線C=\{a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為Fi,尸2,離心率為君.P是C上一點(diǎn),且KP_LF2P.

a2tr

若△尸F(xiàn)i尸2的面積為4,則。=

【答案】I

【詳解】法一：設(shè)|「月|=枷，仍后|=〃，尸為雙曲線右支上一點(diǎn),

2

則SjjP-FqrFj=-2inn=A,m-n=2a,n^+n=4c\

從而修=4+4,又。=3=區(qū),從而4=1.

a

.2

法二：由題意得，SPFF=-^—=4,得。2=4,

-12tan45

又e=￡=逐，且廿=標(biāo)+方2,所以a=i.

a

15.已知函數(shù)/（%）=2sin（s+”）（G>0,|。|<］）與函數(shù)y=g（幻的部分圖像如圖所示，且函數(shù)的

圖像可由函數(shù)的圖像向右平釁個(gè)單位長(zhǎng)度得到，則。，函數(shù)/*）在區(qū)間

7TJT

【解析】由題意可知將函數(shù)y=g（x）的圖像上的點(diǎn)（一一,0）向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度,

34

可得了（此的圖像在五點(diǎn)法作圖時(shí)的第一個(gè)點(diǎn)，坐標(biāo)為（一2+（,0）,即（-蕓,0），

由/（1）的部分圖像可知五點(diǎn)法作圖時(shí)的第二個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)為（學(xué),0），

12

71.八

---0+0=0co=2

J2,解得?/./(x)=2sin(2x+-),由一衛(wèi)得0《2工+工4生,

則

5,71(b=—6121263

——co+(p=乃

112甲6

則當(dāng)2x+5=3,工=5時(shí)，sin(2x+?)11m=1,當(dāng)2x+￡=?,x=得時(shí),sin(2x+=-^-?

o2ooo31262

故函數(shù)/（功在區(qū)間［—菅,￡］的值域?yàn)椋?石,2］.故答案為：2：［-石,2］

16.已知函數(shù)的定義域?yàn)?0,+8),其導(dǎo)函數(shù)為了'(刈，且滿足〃x)>0,/(x)+/\x)<0,若

0<X,<l<^,且%々=1?給出以下不等式：

①〃再)>e?㈤；

②七/(工2)〈工2/(41)；

③%/(內(nèi))>//(%)；

④/(%)>(1-石)/(西).

其中正確的有.(填寫(xiě)所有正確的不等式的序號(hào))

【答案】①②③

【解析】設(shè)F(x)=e"(x),則/'*)=1[/'(%)+/(%)]v0,由此可得F(x)單調(diào)遞減，所以

爐/(%)>儼/(9),即故①正確；

因?yàn)?3>0，(幻+/'3<0,所以ra)<o,所以/(%)單調(diào)遞減，所以〃々)<〃內(nèi))<?〃百)，

所以4/(w)〈w/(x)，故②正確；

對(duì)于③,由①分析可知/(%)>?、2一百/(巧)，欲使芭/(%)>巧/(9)，旦X/2=l，即/(5)>/2/(W)

成立，只需滿足/即可，即證七——>2\nx2(x2>\)t設(shè)m(6=x-2-21n%,則

e>XV7

2X2x

z(X1)

/n(x)=14-4r--=->0,則皿上)單調(diào)遞增，所以加(巧)>〃2(1)=0,故③正確；

XXX

對(duì)于④，假設(shè)/(電)>(1_玉)/(西)成立，因?yàn)闋t/(xj>e“2/(w),所以「?：/(3)>/(修)，所以

e"F〉i_%，?X,=-,則e2>],所以丁<2,矛盾，故④不正確?故答案為：①②③.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必

須作答.第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.(12分)在DABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c.C=y,A8邊上的高為JJ.

=25求DAbC的周長(zhǎng);

（1）若sABC

（2）求2+!的最大值.

ab

【解析】（1）依題意%恥=5。以m。=一。?6=26，可得。=4,（2分）

TT

因?yàn)镃=-,所以"=8.由余弦定理得。2+從一〃6=。2,

3

因此（4+份2=。2+3。〃=40,即a+力=2函.（5分）

故□力NC的周長(zhǎng)為2如+4.（6分）

（2）由（1）及正弦定理可得，

212b+a2b+a2sinB+sinA2sin|--A|+sinA

"sin（A+6）,（其中。為銳角，

abab2c5/3=---------T=-------------

忑

且tan6=1^）（10分）

2

由題意可知0<A<生，因此，當(dāng)A+6>=工時(shí)，2+!取得最大值

"2分）

32ab

18.（12分）如圖，三棱錐A—88中，CD_L平面ABC,AC=CB=-CD,ZACB=90°,點(diǎn)E,F分

別是A8，A￡>的中點(diǎn).

（1）求證：AC_L平面BCO；

（2）求直線A。與平面C斯所成角的正弦值.

【解析】（1）因?yàn)镈CJ■平面A8C，ACu平面ABC,

所以AC_LCD.

因?yàn)镹AC8=90。.

所以AC_LC8.（3分）

因?yàn)镃DcCB=C,

所以AC_L平面BCD.（5分）

（2）因?yàn)镃OJ_平面ABC,

所以C8J_CD.（6分）

以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線C8,CD，C4為x,y,z軸建立空間宜角坐標(biāo)系C一孫z.

設(shè)AC=8C=2,則。C=4.

因?yàn)辄c(diǎn)E，尸分別是AB，A。的中點(diǎn)，

所以A(0,0,2),8(2,0,0),C(0,0,0),0(0,4,0),E(l,0,l),尸(0,2,1).

所以Ab=（0,4,-2），&=（1,0,1），CF=（0,2,l）?（8分）

設(shè)平面CEF的法向量為?=J,y,z)，

iiCE=0,x+z=0,

則〈一即《

?CF=0,2y+z=0.

令y=1，則z=—2，x=2.

所以1=（2,1,-2）?（10分）

設(shè)直線AD與平面C即所成角為3.

所以4110=105(萬(wàn),而“=竺|=—?

1'71\n\\AD\3x2行15

所以直線與平面CE尸所成角的正弦值延.(12分)

15

19.(12分)單板滑雪型池比賽是冬奧會(huì)比賽中的一個(gè)項(xiàng)目，進(jìn)入決賽階段的名運(yùn)動(dòng)員按照預(yù)賽成績(jī)由低到高

的出場(chǎng)順序輪流進(jìn)行三次滑行，裁判員根據(jù)運(yùn)動(dòng)員的騰空高度、完成的動(dòng)作難度和效果進(jìn)行評(píng)分，最終取單

次最高分作為比賽成績(jī).現(xiàn)有運(yùn)動(dòng)員甲、乙二人在2021賽季單板滑雪U型池世界杯分站比賽成績(jī)?nèi)缦卤恚?/p>

運(yùn)動(dòng)員甲的三次滑行成績(jī)運(yùn)動(dòng)員乙的三次滑行成績(jī)

分站

第1次第2次第3次第1次第2次第3次

第1站80.2086.2084.0380.1188.400

第2站92.8082.1386.3179.3281.2288.60

第3站79.10087.5089.1075.3687.10

第4站84.0289.5086.7175.1388.2081.01

第5站80.0279.3686.0085.4087.0487.70

假設(shè)甲、乙二人每次比賽成績(jī)相互獨(dú)立.

（1）從上表5站中隨機(jī)選取1站，求在該站運(yùn)動(dòng)員甲的成績(jī)高于運(yùn)動(dòng)員乙的成績(jī)的概率；

（2）從上表5站中任意選取2站，用X表示這2站中甲的成績(jī)高于乙的成績(jī)的站數(shù)，求X的分布列和數(shù)

學(xué)期望；

（3）假如從甲、乙2人中推薦1人參加2022年北京冬奧會(huì)單板滑雪U型池比賽，根據(jù)以上數(shù)據(jù)信息，你推

薦誰(shuí)參加，并說(shuō)明理由.

（注：方差『=，［（為一工）~+■2—1）+…+（七,一，［，其中［為士，工2，…，血的平均數(shù)）

【解析】（1）設(shè)“該站運(yùn)動(dòng)員甲的成績(jī)高于該站運(yùn)動(dòng)員乙的成績(jī)”為事件A;

運(yùn)動(dòng)員乙第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成績(jī)分別為：

88.40、88.60、8910、88.20、87.70,（1

運(yùn)動(dòng)員甲第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成績(jī)分別為：86.20、92.80、87.50、89.50、86.00,

其中第2站和第4站甲的成績(jī)高于乙的成績(jī)

「.P（A）=|,（3分）

（2）X的可能取的值為04,2,則

p（X=0）=-^-=—

c~10

C2co1

P(X=2)=里支=—(5分)

C；10

所以X的分布列為

X012

331

P

lo510

3314

E(X)=0x—+lx-+2x—=-(7分)

105105

(3)推薦乙.

甲5站的平均成績(jī)?yōu)椋貉?1(86.20+92.80+87.50+89.50+86,00)=88.40

乙5站的平均成績(jī)?yōu)椋骸?1(88.40+88.60+89.10+88.20+87.70)=88.40(9分)

甲5站成績(jī)方差為：

[(88.40-86.20)2+(88.40-92.80)2+(88.40-87.50)2+(88.40-89.50)2+(88.40-86.(X))2]=6.396

乙5站成績(jī)方差為：

[(88.40-88.40)2+(88.40-88.60)2+(88.40-89.10)2+(88.40-88.20)2+(88.40-87.70)2]=0.212

(11分)

高乙說(shuō)明甲乙二人水平相當(dāng)，*表明乙的發(fā)揮比甲的更穩(wěn)定

所以預(yù)測(cè)乙的成績(jī)會(huì)更好.(12分)

20.(12分)已知焦點(diǎn)為尸的拋物線C:y2=2px(p>。)經(jīng)過(guò)圓。：(]一4)2+(丁一4)2=產(chǎn)(r>0)的圓心，

點(diǎn)E是拋物線C與圓。在第一象限的一個(gè)公共點(diǎn)且|斯|=2.

(1)分別求。與r的值；

(2)直線/：丁=履+2交。于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)G與點(diǎn)A關(guān)于1軸對(duì)稱(chēng)，直線AG分別與直線OD,OB交

于點(diǎn)M，N(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求證：=

【解析】（1）由已知得拋物線。過(guò)點(diǎn)。（4,4）,所以16=2px4,所以，=2.（1分）

即拋物線C的方程為丁=4x.（2分）

設(shè)點(diǎn)E（%,%）（%>0），則但尸|=飛+1=2,所以-=1,于是得%=匹=2,即￡（1,2）,（3分）

將點(diǎn)芯的坐標(biāo)代入圓。的方程，得產(chǎn)=0-41+（2-4『=13,所以r=

所以p=2,/*=舊；（5分）

（2）設(shè)A（x，yJ,B（X2，y2）,則G（%,-yj,顯然，入,多均不為0.

y=kx+2

聯(lián)立《消去y，得出2f+（水-4）x+4=0.

y2=4x

4一4左4

則X+/=①，=—②。

KK

由題意得AwO,且A=(4攵-4)2-16^=16—32女>0,即左<g,(7分)

因?yàn)?。?,4）,所以直線。。的方程為y=x,故M（x，xJ.

直線。8的方程為丁=M％,故N百，堊

x?I%

若要證14M=|MN|,只需證2%=%+后，即證鋁+X=2%，即證4%+冗2凹=2卬L

X2

x=g+2,

將代入上式，即證（仇+2）%+（依+2區(qū)=2%W，即證（2攵-2）苔9+2（%+/）=0

yz=kx2+2

③，（10分）

將①②代入③得（2左一2）x，+沿^=0,此等式顯然成立.

KK

所以2yM=乃+丁川恒成立，故|人根=|用'卜（12分）

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=sinx+-T.

（1）求函數(shù)/（幻在；,24的最大值;

4

（2）證明：函數(shù)g（x）=gx+2eT-/（R）在（0,2幻有兩個(gè)極值點(diǎn)m,超,并判斷辦+看與2萬(wàn)的大小關(guān)系.

【解析】(1)f,(x)=cosx-e~x,f"(x)=-sinx+e~x

當(dāng)—,2TT時(shí)，—sinxNO,"',。，則故f(x)在上單調(diào)遞增,

又技)=%)二1一夕2">0,所以/'(幻在(募，2乃)有唯一的零點(diǎn)九(2分)

當(dāng)(與J時(shí)，f\x)<0；當(dāng)xe(1,2;r)時(shí)，f(x)>0.

手，，上單調(diào)遞減，在(八2萬(wàn))上單調(diào)遞增,

故fJ)在

3尸

-y

且f-l+e<0,/(2幻=42”>0,所以/(%)在弓-，2萬(wàn)的最大值為"2”.(5分)

(2)g\x)=--cosx-e~x,

①當(dāng)xw0,/J時(shí),

y=-cos/,y=-夕"均單調(diào)遞增，所以g'(x)單調(diào)遞增,

又喈1&I_￡

=------------。，峭--e2>0,

22J2

所以g'(x)在o,g有唯一的零點(diǎn)工G

\L)

此時(shí)當(dāng)x?(V[)時(shí)，g'(x)<0：xe時(shí)，g'(x)>0,

VL)

7171

所以4是極小值點(diǎn)，不妨讓X］一11G.(7分)

4,2

(兀3^r?x

②當(dāng)-y,I0't,COSJCVO，單調(diào)遞增，所以g'(x)=■!■-COSX-［一」一e亍>0;

、Z2)222

故g(.r)在上單調(diào)遞增，沒(méi)有極值點(diǎn)；(8分)

③當(dāng)KC>^■,2%),gff(x)=sinx+e~x=f(x).由(1)知，/")在(與，，上單調(diào)遞減，在。,2乃)上單調(diào)

遞增,

3冗仔，2乃）,

且/＜0,/（2乃）＞0,故/*）有唯一的零點(diǎn)

（3兀1

則工￡15"”時(shí)，g〃⑴即g'。）單調(diào)遞減;工￡?0,2乃）時(shí)，g"（x）＞0,即g'（x）單調(diào)遞增,

又g傳卜。送，田=——^~—e4<0,gr(2;r)=~^~e2，T,

I4)

與,2期）有唯一的零點(diǎn)與e3乃7乃

所以g'（x）在XE,(10分)

24J

此時(shí)時(shí),g'（X）＞0；x￡(q,2萬(wàn))時(shí)，g'(x)<0,

3萬(wàn)In

所以乃是極大值點(diǎn)，即“2=芍右萬(wàn)’4

（71力■）（3萬(wàn)7萬(wàn)、

所以g（x）在（0,2l）有兩個(gè)極值點(diǎn)演,與，其中-

1

——cosx=e

且；x

,由于＞6』，所以8sxV8SW=以為（2萬(wàn)一工2）.

rx2

--cosx2=e

nn冗71

因?yàn)閄］G，2-2寸，方，且丁=。^工在上單調(diào)遞減,

79~24,2,

所以4>2乃一w,即X+w>2萬(wàn).

冗713乃51

也對(duì).）分）

（判斷極值點(diǎn)的時(shí)候玉e~3,2（12

（-）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.

22.［選修JI：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）

在直角坐標(biāo)系X0X中，點(diǎn)A是曲線G：（x-2『+y2=4上的動(dòng)點(diǎn)，滿足2礪二方的點(diǎn)8的軌跡是。2?

（1）以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求曲線G，G的極坐標(biāo)方程;

x=-l+Zcosa/、

（2）直線/的參數(shù)方程是《0為參數(shù)），點(diǎn)P的直角坐標(biāo)是（一1,0）,若直線/與曲線。2交于

y=tsma

M，N兩點(diǎn)，當(dāng)求cosa的值.

【解析】（1）把r+y2=02,x=pcos夕代入f-4x+4+y2=4,

化簡(jiǎn)得曲線G的極坐標(biāo)方程為夕=4cos8.（2分）

設(shè)動(dòng)點(diǎn)8極坐標(biāo)為（夕,。），則由2礪=35可知，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（22,8）,

代入曲線G的極坐標(biāo)方