六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第17講：工程問(wèn)題（教師版）（人教版）

第十八講工程問(wèn)題工程問(wèn)題指的是與工程建造有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。然而其內(nèi)容已不僅是工程方面的，還包括水管注水、行路等許多方面。工程問(wèn)題常涉及到工作量、工作效率和工作時(shí)間，且這三者之間具有如下關(guān)系式：工作量=工作效率×工作時(shí)間工作時(shí)間=工作量÷工作效率工作效率=工作量÷工作時(shí)間工作量指工作的多少，它可以是全部工作量，一般用單位“1”表示；也可是部分工作量，常用分?jǐn)?shù)表示。例如，工程的一半表示成，工程的三分之一表示成。工作效率指工作的快慢，也就是單位時(shí)間里所干的工作量。工作效率的單位是一個(gè)復(fù)合單位，用“工作量／天”或“工作量／時(shí)”等表示。但在不引起誤會(huì)的情況下，一般不寫(xiě)工作效率的單位。工程問(wèn)題可分為兩類(lèi)：一類(lèi)是已知具體工作量，另一類(lèi)是未給具體工作量。在解答工程問(wèn)題時(shí)，我們要遵循以下原則：一是工作量沒(méi)有具體給出的，可設(shè)工作量為單位“1”；二是由于工作總量為“1”，那么，參與這項(xiàng)工作的每個(gè)人（隊(duì)）單獨(dú)做的工作效率可用此人（隊(duì)）單獨(dú)做的工作時(shí)間的倒數(shù)表示。解題過(guò)程中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，解答工程問(wèn)題，常常是圍繞找工作效率進(jìn)行中，有些工作效率可以通過(guò)工作時(shí)間得到，而有些則要根據(jù)“工程”進(jìn)程變化規(guī)律得到。在解題時(shí)，我們要弄清原來(lái)的、現(xiàn)在的之間的關(guān)系，以?xún)烧哧P(guān)系為突破口解答問(wèn)題。由于工程問(wèn)題是研究工作量、工作效率和工作時(shí)間三者間關(guān)系的問(wèn)題。因此我們就要從題目中發(fā)掘出三者之中的兩者，特別是找出工作效率，這往往是解題的關(guān)鍵，也是本講的重點(diǎn)內(nèi)容。例1：甲、乙、丙三人合修一堵圍墻，甲、乙合修6天完成了，乙、丙合修2天完成余下工程的，剩下的再由甲、乙、丙三人合修5天完成，現(xiàn)領(lǐng)工資共180元，按工作量分配，甲、乙、丙應(yīng)各領(lǐng)多少元？思路剖析此題看上去有點(diǎn)復(fù)雜，其實(shí)問(wèn)題的關(guān)鍵在于求出甲、乙、丙三個(gè)各自的工作效率。由已知條件，甲、乙合作6天完成了，故可求出甲、乙兩人的工作效率和，即，同樣可求出乙、丙兩人工作效率以及甲、乙、丙三人工作效率的和。從而可求出甲、乙、丙三人各自的工作效率，進(jìn)而根據(jù)他們各自完成的工作天數(shù)（即工作量）求出他們應(yīng)領(lǐng)到的工資。解答因?yàn)榧住⒁液闲蘖?天完成工作的，所以甲、乙兩人的工作效率和為。剩下的工作量為，剩下工作量的為，由乙、丙兩天完成，所以乙、丙的工作效率和為。最后剩下的工作量為，由甲、乙、丙三人5天完成，所以甲、乙、丙三個(gè)的工作效率和為。因此，甲的工作效率為。因此，甲的工作效率為，丙的工作效率為，乙的工作效率為。進(jìn)而，甲完成的工作量為，乙完成的工作量為，丙完成的工作量為。所以，甲應(yīng)領(lǐng)工資，乙應(yīng)領(lǐng)工資，丙應(yīng)領(lǐng)工資例2：一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)完成要30天，乙單獨(dú)完成要45天，丙單獨(dú)完成要90天?，F(xiàn)由甲、乙、丙三個(gè)合作完成此工程。在工作過(guò)程中甲休息了2天，乙休息了3天，丙沒(méi)有休息，最后把這項(xiàng)工程完成了。問(wèn)這項(xiàng)工程前后一共用了多少天？思路剖析本題實(shí)際上是求丙一共工作了天數(shù)，解題的關(guān)鍵在于怎樣處理三個(gè)人工作時(shí)間不一致的問(wèn)題。我們可進(jìn)行如下處理：以丙的工作天數(shù)為所求，把甲、乙兩人看作未休息，在工作總量上加上甲、乙丙人未休息所作的工作量，這樣就可以看作三個(gè)人的工作時(shí)間相同，即丙的工作時(shí)間，從而求出這個(gè)數(shù)。解答把這項(xiàng)工程看作“1”，指甲休息2天，乙休息3天的工作量加在總工作量上，看成三人的工作時(shí)間與丙相同。答：完成這項(xiàng)工程前后一共用了17天。例3：一項(xiàng)工程，乙隊(duì)先單獨(dú)做4天，繼而甲、丙兩隊(duì)合做6天，剩下的工程甲隊(duì)又獨(dú)做9天才全部完成。已知乙隊(duì)完成的是甲隊(duì)完成的，丙隊(duì)完成的是乙隊(duì)完成的2倍。甲、乙、丙三隊(duì)獨(dú)做，各需要多少天完成？思路剖析已知乙隊(duì)完成的是甲隊(duì)完成的，丙隊(duì)完成的是乙隊(duì)完成的2倍，按“甲、乙、丙三隊(duì)共同完成一項(xiàng)工程”為等量關(guān)系列方程分別求出甲、乙、丙各完成全部工程的幾分之幾。然后用甲、乙、丙完成任務(wù)的幾分之幾：即甲、乙、丙各自的工作量，分別除以各自的工作時(shí)間，就可得到他們各自的工作效率，進(jìn)而求出甲、乙、丙三隊(duì)獨(dú)做各需要多少天。解答設(shè)甲隊(duì)完成了x，則乙隊(duì)完成了，丙隊(duì)完成了。因此，甲隊(duì)獨(dú)做時(shí)間為：，乙單獨(dú)做時(shí)間為：，丙隊(duì)獨(dú)做時(shí)間為：。答：甲、乙、丙獨(dú)做分別需要30、24、18天。例4：一個(gè)水池裝了一根進(jìn)水管和3根粗細(xì)相同的出水管。單開(kāi)一根進(jìn)水管20分鐘可將水池注滿(mǎn)，單開(kāi)一根出水管45分鐘可將水池的水放完?，F(xiàn)在水池中有池水，4根水管一起打開(kāi)，多少分鐘后水池的水還剩下？思路剖析由題目條件知，水池原有水，減至，所以水池的水減少了，因此我們要從“放水”這個(gè)角度來(lái)考慮問(wèn)題。由于既有進(jìn)水，又有出水，所以放水的工作效率應(yīng)為放水效率與進(jìn)水效率的差。解答因?yàn)橐桓M(jìn)水管20分鐘可將水池注滿(mǎn)，所以它的進(jìn)水效率為。一根出水管45分鐘可將水池水放完。所以一根出水管放水效率為。水池原有水，后減少到，所以放水量為。4根水管齊開(kāi)，流水的工作效率為。所以，花費(fèi)的時(shí)間為。答：需16分鐘。例5：2個(gè)蟹將和4個(gè)蝦兵能打掃龍宮的，8個(gè)蟹將和10蝦兵在同樣的時(shí)間里就能打掃完全部龍宮，如果單讓蟹將去打掃與單讓蝦兵去打掃進(jìn)行比較，那么要打掃完全部龍宮，蝦兵比蟹將要多幾個(gè)？思路剖析我們把打掃完全部龍宮的工作量看作“1”，那么由題目知，2個(gè)蟹將和4個(gè)蝦兵完成，8個(gè)蟹將和10個(gè)蝦兵完成“1”。兩相比較可知，當(dāng)把第一個(gè)條件轉(zhuǎn)化成2×4個(gè)蟹將和4×4個(gè)蝦兵完成，就能消去蟹將，得出（4×4－10）個(gè)蝦兵完成。這既可看作（4×4－10）個(gè)蝦兵能打掃完全部龍宮的，也可看作（4×4－10）個(gè)蝦兵占所需蝦兵總數(shù)的。根據(jù)后者就可以比較簡(jiǎn)捷地求出單讓蝦兵打掃需要多少個(gè)，進(jìn)而求出單讓蟹將打掃需要多少個(gè)，使問(wèn)題得到解決。解答單讓蝦兵打掃所需要的個(gè)數(shù)為單讓蟹將打掃所需要的個(gè)數(shù)為所以，蝦兵與蟹將要多30－12=18（個(gè)）。例6：一比工人到甲、乙兩上工地進(jìn)行清理工作，甲工地的工作量是乙工地工作量的倍。上午去甲工地，其他工人到乙工地，到傍晚時(shí)，甲工地的工作已做完，乙工地的工作還需4名工人再做一天。那么這批工人有多少人？思路剖析題目本身比較復(fù)雜，涉及的“量”與“關(guān)系”比較多，然而解題的關(guān)鍵在于抓住“甲工地的工作做完，乙工地的工作還需4名工人再做1天”找到乙工地剩余工作量相當(dāng)于甲工地的幾分之幾。解答根據(jù)上午去甲工地人數(shù)是去乙工地人數(shù)的3倍，可知上午去甲工地人數(shù)是這批工人的，去乙工地人數(shù)是這批工人的。又下午去甲工地人數(shù)是這批工人，可知去乙工地人數(shù)是這批工人的。由此可知，甲工地上、下午所完成的工作量之比是，即上午完成甲工地總工作量的，下午完成甲工地總工作量的。這樣，上午乙工地完成的工作量相當(dāng)于甲工地的，下午乙工地完成的工作量相當(dāng)于甲工地的，這樣乙工地剩余的工作量相當(dāng)于甲工地的。因?yàn)橐夜さ厥Ｏ碌墓ぷ髁窟€需要4名工人再做1天，所以這批工人數(shù)是。例7：一個(gè)空水池有甲、乙兩根進(jìn)水管和一根排水管，單開(kāi)甲管需5分鐘注滿(mǎn)水池，單開(kāi)乙管需10分鐘注滿(mǎn)水池，滿(mǎn)池水如果單開(kāi)排水管需要6分鐘流盡。某次池中無(wú)水，打開(kāi)甲管若干分鐘后，發(fā)現(xiàn)排水管未關(guān)上，隨即關(guān)上排水管，同時(shí)打開(kāi)乙管。又過(guò)了同樣時(shí)間，水池的注了水。如果繼續(xù)注滿(mǎn)水池，前后一共花了多少時(shí)間？思路剖析一方面，可以根據(jù)：，列出方程來(lái)求解。另外，由題目知甲、乙管及排水管的工效率以及兩上階段所用時(shí)間相等，可求出工作效率和，進(jìn)而求解。解答☆解法一：設(shè)打甲管未發(fā)現(xiàn)排水管關(guān)上這段時(shí)間為x分鐘，列出方程得：那么注滿(mǎn)水池共需☆解法二：由題目知：甲管的工作效率為，排水管的工作效率為，那么在單開(kāi)甲管，沒(méi)有發(fā)現(xiàn)排水管未關(guān)上這段時(shí)間內(nèi)，每分鐘只能注入：的水；又關(guān)上排水管，同時(shí)打開(kāi)乙管后每分鐘注入：的水。我們又知道這段時(shí)間相等。所以，可以認(rèn)為用的工作效率之和注水若干分鐘后，水池注入，以后繼續(xù)注水時(shí)間為。因此，注滿(mǎn)水池，前后一共花了1.5+2.5=4(分鐘)。答：注滿(mǎn)水池共用4分鐘。例8：一件工作，甲做了5小時(shí)以后由乙來(lái)做，3小時(shí)可以完成。乙做9小時(shí)后由甲來(lái)做，也是3小時(shí)可以完成，那么甲做1小時(shí)后由乙來(lái)做，多少小時(shí)可以完成？思路剖析我們根據(jù)題目條件可以利用下面兩個(gè)等式來(lái)解題：甲5小時(shí)的工作量+乙3小時(shí)的工作量=“1”（1）甲3小時(shí)的工作量+乙9小時(shí)的工作量=“1”（2）比較（1）式、（2）式可得：甲的工作效率是乙的3倍。因此，甲做了5小時(shí)工作后，由乙接做3小時(shí)可以完成?？梢钥醋骷讍为?dú)做6小時(shí)完成全部工作，所以甲的工作效率為，那么乙的工作效率為。解答☆解法一：因甲的工作效率是乙的（9－3）÷（5－3）=3（倍），甲的工作效率是。所以，乙要完成全部工作還需☆解法二：因甲的工作效率是乙的（9－3）÷（5－3）=3（倍），乙的工作效率是。所以，乙要完成全部工作還需。點(diǎn)津工程問(wèn)題往往數(shù)量關(guān)系復(fù)雜，題型多樣，富于變化，這就要求我們?cè)诮獯疬^(guò)程中抓住關(guān)鍵，即工作效率或工作效率和，這也是不易掌握、容易出錯(cuò)的地方。有的時(shí)候工作效率是在題目中直接給出來(lái)的，如例2、例4等，而有時(shí)工作效率并未直接給出，需要我們根據(jù)題意自己確定，如例1等。這就要求我們費(fèi)一番腦筋，認(rèn)真分析數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而求解。在學(xué)習(xí)本講知識(shí)時(shí)，還需注意多從不同角度入手考慮問(wèn)題，試著一題多解，逐步提高解題能力。A1．有一項(xiàng)工作，甲單獨(dú)工作需要6天完成，乙單獨(dú)工作需要30天完成。（1）請(qǐng)問(wèn)：甲、乙二人合作需要幾天完成？（2）如果甲先單獨(dú)工作了3天，乙才參加工作，請(qǐng)問(wèn)：乙參加進(jìn)來(lái)后幾天完成這項(xiàng)工作？（3）如果甲、乙合做這項(xiàng)工作，但是中途甲休息了一天，請(qǐng)問(wèn)：完成這項(xiàng)工作一共用了幾天時(shí)間？分析與解答：（1）因甲單獨(dú)6天完成這項(xiàng)工作，所以甲的工作效率為，同樣乙的工作效率為甲、乙兩人合做的工作效率就應(yīng)為+=所以甲、乙合做需要的天數(shù)為1÷=5（天）（2）甲先做3天，完成的工作量為×3=,剩余工作量為。甲、乙合做完成乘余工作所用的時(shí)間應(yīng)為÷（+）=÷=（3）甲、乙共同工作，但甲中途休息了一天，可以這樣考慮：假設(shè)甲不休息，那么甲、乙兩人完成的總的工作量為1+=因此完成這件工作所花費(fèi)的時(shí)間應(yīng)為（1+）÷（+）==2．一件工作，甲、乙兩人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲離開(kāi)了，由乙繼續(xù)做了40天才完成。請(qǐng)問(wèn)：如果這件工作由甲或乙單獨(dú)完成各需要多少天？解答：共做了6天后，原來(lái)，甲做24天，乙做24天，現(xiàn)在，甲做0天，乙做40=（24+16）天。這說(shuō)明原來(lái)甲24天做的工作，可由乙做16天來(lái)代替。因此甲的工作效率是乙的工作效率的=如果乙獨(dú)做，所需時(shí)間是30+30×=50（天）如果甲獨(dú)做，所需時(shí)間是50÷=75（天）答：甲單獨(dú)做需要75天，乙單獨(dú)做需要50天。3．一件工作，甲5小時(shí)先完成了，乙6小時(shí)又完成了剩下任務(wù)的一半，最后余下的部分由甲、乙二人合作，請(qǐng)問(wèn)：還需要多少時(shí)間才能完成？分析：這道題是工程問(wèn)題與分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的復(fù)合題。解題時(shí)先要分別求出甲、乙工作效率，再把余下的工作量轉(zhuǎn)化為占單位“1”（總工作量）的幾分之幾？解：甲工作效率：÷5=乙工作效率：(1-)×÷6=余下部分甲、乙合作需要幾小時(shí)：(1-)×(1-)÷(+)=(小時(shí))答：還需要小時(shí)才能完成任務(wù)。4．某工程先由甲獨(dú)做63天，再由乙單獨(dú)做28天即可完成；如果由甲、乙兩人合作，需48天完成?，F(xiàn)在甲先單獨(dú)做42天，然后再由乙來(lái)單獨(dú)完成，請(qǐng)問(wèn)：乙還需要做多少天？分解與解答：先對(duì)比如下：甲做63天，乙做28天；甲做48天，乙做48天。就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的工作效率是乙的工作效率的=(倍)甲先單獨(dú)做42天，比63天少做了63-42=21（天），相當(dāng)于乙要做21×=28（天）因此，乙還要做28+28=56（天）。答：乙還需要做56天。5．一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)干20天可以完成，甲隊(duì)做了8天后，由于另有任務(wù)，剩下的工作由乙隊(duì)單獨(dú)做15天完成。請(qǐng)問(wèn)：乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工作需多少天？分析與解答：甲隊(duì)單獨(dú)干20天可完成,每天完成工程的，現(xiàn)在甲隊(duì)干了8天，完成了全部工程的×8=，這時(shí)工程余下1-=余下的工程隊(duì)單獨(dú)干了15天完成，由此可知，乙隊(duì)每天完成了全部工程的÷15=即：乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需的時(shí)間為答：乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需25天。B6．有甲、乙兩項(xiàng)工作，張明單獨(dú)完成甲工作要10天，單獨(dú)完成乙工作要15天；李紅單獨(dú)完成甲工作要8天，單獨(dú)完成乙工作要20天。如果每項(xiàng)工作都可以由兩人合作，那么這兩項(xiàng)工作都完成最少需要多少天？分解與解答：很明顯，李紅做甲工作的工作效率高，張明做乙工作的工作效率高。因此讓李紅先做甲，張明先做乙。設(shè)乙的工作量為60份（15與20的最小公倍數(shù)），張明每天完成4份，李紅每天完成3份。8天，李紅就能完成甲工作。此時(shí)張明還余下乙工作（60-4×8）份。由張明、李紅合作需要（60-4×8）÷（4+3）=4（天）。8+4=12（天）答：這兩項(xiàng)工作都完成最少需要12天。7．師傅和徒弟二人合作生產(chǎn)一批零件，6天可以完成任務(wù)。師傅先做5天后，因事外出，由徒弟接著做3天。共完成任務(wù)的。如果每人單獨(dú)做這批零件各需幾天？分析：設(shè)一批零件為單位“1”，其中6天完成任務(wù)，用表示師徒的工效和，要求每人單獨(dú)做各需幾天，首先要求出各自的工效，關(guān)鍵在于把師傅先做5天，接著徒弟做3天轉(zhuǎn)化為師徒二人合作3天，師傅再做2天。解：師傅工效：(-×3)÷2=徒弟工效：-=師傅單獨(dú)做需幾天：1÷=10（天）徒弟單獨(dú)做需幾天：1÷=15（天）答：如果單獨(dú)做，師傅需10天，徒弟需15天。8．一件工作甲先做6小時(shí)，乙接著做12小時(shí)可以完成。甲先做8小時(shí)，乙接著做6小時(shí)也可以完成。如果甲做3小時(shí)后由乙接著做，還需要多少小時(shí)完成？分析：設(shè)一件工作為單位“1”。甲做6小時(shí)，乙再做12小時(shí)完成或者甲先做8小時(shí)，乙再做6小時(shí)都可完成，用圖表示它們的關(guān)系如下：

由圖不難看出甲2小時(shí)工作量＝乙6小時(shí)工作量，∴甲1小時(shí)工作量＝乙3小時(shí)工作量?？捎谩按鷵Q方法”解答這個(gè)問(wèn)題。解答：①若由乙單獨(dú)做共需幾小時(shí)：6×3＋12＝30（小時(shí)）。②若由甲單獨(dú)做需幾小時(shí)：8＋6÷3＝10（小時(shí)）。③甲先做3小時(shí)后乙接著做還需幾小時(shí)：（10－3）×3＝21（小時(shí)）。答：乙還需21小時(shí)完成。9．加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成。現(xiàn)在由甲先做16天，然后乙再做12天，還剩下這批零件的沒(méi)有完成。已知甲每天比乙多加工3個(gè)零件，請(qǐng)問(wèn)：這批零件一共多少個(gè)？分析：欲求這批零件共多少個(gè)，由題中條件只需知道甲、乙二人每天共做多少個(gè)即可，然后這就轉(zhuǎn)化為求甲、乙兩人單獨(dú)做各需多少天，有了這個(gè)結(jié)論后，只需算出3個(gè)零件相當(dāng)于總數(shù)的幾分之幾即可。由條件知甲做16天，乙做12天完成工程的，也即相當(dāng)于甲乙二人合做12天，另外加上甲又做4天共完成這批零件的；又知道甲乙二人合做24天可以完成，因此甲單獨(dú)做所用天數(shù)可求出，那么乙單獨(dú)做所用天數(shù)也就迎刃而解。解答：①甲、乙合作12天，完成了總工程的幾分之幾？×12=②甲1天能完成全工程的幾分之幾？③乙1天可完成全工程的幾分之幾？④這批零件共多少個(gè)？(個(gè))答：這批零件共360個(gè)。10．一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做20天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做30天完成?，F(xiàn)在他們兩隊(duì)一起做，其間甲隊(duì)休息了3天，乙隊(duì)休息了若干天.從開(kāi)始到完成共用了16天。請(qǐng)問(wèn)：乙隊(duì)休息了多少天？解一：①如果16天兩隊(duì)都不休息，可以完成的工作量是16×（+）=②由于兩隊(duì)休息期間未做的工作量是③乙隊(duì)休息期間未做的工作量是④乙隊(duì)休息的天數(shù)是答：乙隊(duì)休息了5天半。解二：設(shè)全部工作量為60份。甲每天完成3份，乙每天完成2份。兩隊(duì)休息期間未做的工作量是（3+2）×16-60=20（份）。因此乙休息天數(shù)是（20-3×3）÷2=5.5（天）。解三：甲隊(duì)做2天，相當(dāng)于乙隊(duì)做3天。甲隊(duì)休息3天，相當(dāng)于乙隊(duì)休息4.5天。如果甲隊(duì)16天都不休息，只余下甲隊(duì)4天工作量，相當(dāng)于乙隊(duì)6天工作量，乙休息天數(shù)是。16-6-4.5=5.5（天）C甲、乙、丙三人合修一堵圍墻，甲、乙合修6天完成了，乙、丙合修2天完成余下工程的，剩下的再由甲、乙、丙三人合修5天完成?，F(xiàn)領(lǐng)工資共180元，按工作量分配，請(qǐng)問(wèn)：甲、乙、丙應(yīng)各得多少元？分析：這道題稍微復(fù)雜一點(diǎn)，請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)審題，問(wèn)題的關(guān)鍵是要求出甲、乙、丙三人各自的工作效率。由已知條件，甲、乙合修6天完成了，故可求出甲、乙兩人的工作效率的和。同樣可求出乙、丙工作效率的和及甲、乙、丙三人工作效率的和，從而可分別求出甲、乙、丙各自的工作效率，進(jìn)而根據(jù)他們各自的工作天數(shù)求出他們應(yīng)得的工資。解：因甲、乙合修了6天完成工作的，所以甲、乙兩人工作效率的和為。剩下工作量為，剩下工作量的為，由乙、丙2天完成，所以乙、丙的工作效率的和為。最后剩下工作量為，由甲、乙、丙三人5天完成，所以甲、乙、丙三人的工作效率的和為。從而甲的工作效率為。丙的工作效率為。乙的工作效率為。甲完成的工作量為。乙完成的工作量為。丙完成的工作量為。然后，根據(jù)“按比分配”的方法進(jìn)行計(jì)算。因此，甲應(yīng)得工資為（元）。乙應(yīng)得工資為（元）。丙應(yīng)得工資為（元）。答：甲應(yīng)得工資33元，乙應(yīng)得工資91元，丙應(yīng)得工資56元。一項(xiàng)工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成。如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙兩人合作1天。請(qǐng)問(wèn)：這項(xiàng)工程由甲獨(dú)做需要多少天？分析與解答：丙2天的工作量，相當(dāng)乙4天的工作量。丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），“甲、乙合作1天”，與“乙做4天”的工作量相等。也就是甲做1天，相當(dāng)于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍。乙做13天，甲只要天；丙做13天，乙要26天，而甲只要天。他們共同做13天的工作量，由甲單獨(dú)完成，甲需要（天）答：甲獨(dú)做需要26天。說(shuō)明：事實(shí)上，當(dāng)我們算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3：2：1，就知甲做1天，相當(dāng)于乙、丙合作1天。三人合作需13天，其中乙、丙兩人完成的工作量，可轉(zhuǎn)化為甲再做13天來(lái)完成。小學(xué)算術(shù)要充分利用給出數(shù)據(jù)的特殊性。第二種解題思路是“比例”靈活運(yùn)用的典型，如果你心算較好，很快就能得出答案。師徒三人合作承包一項(xiàng)工程，8天能夠全部完成。已知師傅單獨(dú)做所需的天數(shù)與兩個(gè)徒弟合作所需天數(shù)相同。師傅與徒弟甲合作所需的天數(shù)的4倍與徒弟乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需的天數(shù)相同。請(qǐng)問(wèn)：兩徒弟單獨(dú)完成這項(xiàng)工程各需多少天？分析與解答：因?yàn)閹熗饺撕献?天能夠完成，所以師徒三人合作的工作效率為。又由于師傅單獨(dú)完成與兩徒弟合作完成這項(xiàng)工程所需的天數(shù)相等，所以師傅的工作效率為。因?yàn)閹煾蹬c徒弟甲合作完成這項(xiàng)工程所需天數(shù)的4倍與徒弟乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需的天數(shù)相等，所以師傅與徒弟甲合作的工作效率是徒弟乙的工作效率的4倍。由此可知師徒三人合作的工作效率是徒弟乙的工作效率的5倍。所以徒弟乙的工作效率為：因此，徒弟乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需：（天）徒弟甲單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需：答：若單獨(dú)完成這項(xiàng)工程，甲需天，乙需40天。一個(gè)水池有兩個(gè)排水管甲和乙，一個(gè)進(jìn)水管丙，如果同時(shí)開(kāi)放甲、丙兩管，20小時(shí)可將滿(mǎn)池水排空；如果同時(shí)開(kāi)放乙、丙兩管，30小時(shí)可將滿(mǎn)池水排空，若單獨(dú)開(kāi)丙管，60小時(shí)可將空池注滿(mǎn)。請(qǐng)問(wèn)：如果同時(shí)打開(kāi)甲、乙、丙三水管，要排空水池中的滿(mǎn)池水，需要幾小時(shí)？分析與解答：由于題中告訴我們?nèi)齻€(gè)條件：①同時(shí)開(kāi)啟排水管甲和進(jìn)水管丙，用20小時(shí)可將滿(mǎn)池水排空，由此可知，甲水管工作20小時(shí)與丙水管工作20小時(shí)的工作量之差恰好是滿(mǎn)池水。②已知同時(shí)開(kāi)啟排水管乙和進(jìn)水管丙，用30小時(shí)可將滿(mǎn)池水排空，由此可知乙、丙兩水管同時(shí)工作30小時(shí)的工作量之差也恰好是滿(mǎn)池水。③已知丙水管工作60小時(shí)，可將空池注滿(mǎn)水，故其工作效率為。利用上述三個(gè)條件我們可以求得甲、乙兩水管的工作效率，進(jìn)而計(jì)算出同時(shí)開(kāi)啟甲、乙、丙三水管將滿(mǎn)池水排空所用的時(shí)間。由條件①和條件②計(jì)算甲的工作效率為：由條件②和條件③計(jì)算乙的工作效率為：所以同時(shí)開(kāi)啟甲、乙、丙三水管將滿(mǎn)池水排空所用的時(shí)間為：（小時(shí)）答：同時(shí)開(kāi)啟甲、乙、丙三水管將滿(mǎn)池水排空需10小時(shí)。說(shuō)明：這個(gè)問(wèn)題也可以用下面的方法來(lái)計(jì)算：由甲、丙同時(shí)開(kāi)啟20小時(shí)，可將滿(mǎn)池水排空，知甲、乙合作的工作效率為；由乙、丙同時(shí)開(kāi)啟30小時(shí)，可將滿(mǎn)池水排空，知乙、丙合作的工作效率為；又單獨(dú)開(kāi)啟丙水管，60小時(shí)可將水池注滿(mǎn)水，知丙的工作效率為。所以甲、乙、丙三水管同時(shí)開(kāi)的工作效率為：。所以甲、乙、丙三水管同時(shí)開(kāi)啟將滿(mǎn)池水排空所用的時(shí)間為：（小時(shí)）。一個(gè)水池，地下水從四壁滲入池中，每小時(shí)滲入水量是固定的。打開(kāi)A管，8小時(shí)可將滿(mǎn)池水排空，打開(kāi)C管，12小時(shí)可將滿(mǎn)池水排空。如果打開(kāi)A，B兩管，4小時(shí)可將水排空。請(qǐng)問(wèn)：打開(kāi)B，C兩管，要幾小時(shí)才能將滿(mǎn)池水排空？分析與解答：設(shè)滿(mǎn)水池的水量為“1”。A管每小時(shí)排出小時(shí)滲入水量，A管4小時(shí)排出小時(shí)滲入水量。因?yàn)锳，B合開(kāi)時(shí)，4小時(shí)將滿(mǎn)池水排完，所以B管4小時(shí)的排水量為，每小時(shí)排水量為。C管每小時(shí)排水量是小時(shí)的滲水量。因此，B，C兩管齊開(kāi)，每小時(shí)排水量是小時(shí)的滲入量。B，C兩管齊開(kāi)，排光滿(mǎn)水池的水，所需時(shí)間是（小時(shí)）=4小時(shí)48分。答：B，C兩管齊開(kāi)要4小時(shí)48分才將滿(mǎn)池水排完。說(shuō)明：本題水池原有水（滿(mǎn)池）和滲入水量也要分開(kāi)考慮。由于不知具體數(shù)量，像工程問(wèn)題不知工作量的具體數(shù)量一樣，這里把兩種水量分別設(shè)成“1”。但這兩種量要避免混淆。事實(shí)上，也可以整數(shù)化，把原有水設(shè)為8與12的最小公倍數(shù)24。蓄水池有甲、丙兩條進(jìn)水管，和乙、丁兩條排水管。要灌滿(mǎn)一池水，單開(kāi)甲管需3小時(shí)，單開(kāi)丙管需要5小時(shí)。要排光一池水，單開(kāi)乙管需要4小時(shí)，單開(kāi)丁管需要6小時(shí)?，F(xiàn)在池內(nèi)有池水。如果按甲、乙、丙、丁、甲、乙、…的順序輪流打開(kāi)1小時(shí)，請(qǐng)問(wèn)：多少時(shí)間后水開(kāi)始溢出水池？分析與解答：甲、乙、丙、丁各管各開(kāi)1小時(shí)后，水池中的水就增加。我們注意到，每次四個(gè)水管輪流打開(kāi)后，水池中的水不能超過(guò)池的，否則開(kāi)甲管的過(guò)程中水池里的水就會(huì)溢出。因?yàn)?，所以甲、乙、丙、丁這樣循環(huán)4次后，水池中的水還不到。循環(huán)5次以后（20小時(shí)），池中的水已有。這樣，再開(kāi)甲管小時(shí)后，水就開(kāi)始溢出了。答：小時(shí)后水池開(kāi)始溢水。說(shuō)明：此題與廣為流傳的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉進(jìn)了枯井的青蛙，它要往上爬30分米才能到達(dá)井口，每小時(shí)它總是爬3分米，又滑下2分米。請(qǐng)問(wèn)：這只青蛙需要多少小時(shí)才能爬到井口？看起來(lái)它每小時(shí)只往上爬3-2=1（分米），但爬了27小時(shí)后，它再爬1小時(shí)，往上爬了3分米已到達(dá)井口。因此，答案是28小時(shí)，而不是30小時(shí)。一件工作，甲單獨(dú)工做9天可以完成，乙單獨(dú)工做6天可以完成?，F(xiàn)在甲先單獨(dú)做了3天，余下的工作由乙繼續(xù)完成。請(qǐng)問(wèn)：乙需要單獨(dú)做幾天可以完成剩余的工作？分析與解答一：甲做了3天，完成的工作量是3/9=1/3，乙還需要完成的工作量是1-1/3=2/3。乙每天能完成的工作量（工作效率）是，完成余下工作量所需時(shí)間是+=4（天）答：乙需要單獨(dú)做4天可完成剩余工作.分析與解答二：9與6的最小公倍數(shù)是18。假設(shè)全部工作量是18份。甲每天完成2份，乙每天完成3份。乙完成余下工作所需時(shí)間是（18-2×3）÷3=4（天）分析與解答三：甲與乙的工作效率之比是6∶9=2∶3甲做了3天，相當(dāng)于乙做了2天，乙完成余下工作所需時(shí)間是6-2=4（天）某服裝公司預(yù)計(jì)30天完成一批服裝加工任務(wù)。先由18名工人工作了12天。完成了任務(wù)的，現(xiàn)因任務(wù)緊急，需要提前6天完成全部加工任務(wù)。請(qǐng)問(wèn)：需要增加多少名工人？分析：要想求出增加的工人人數(shù)，就必須知道還剩多少工作量，還剩多少時(shí)間以及每個(gè)工人的工作效率。這三個(gè)量都可由已知條件中獲得。分析：由18人修12天完成了全部工程的，可通過(guò)18×12求出用一天完成工作量共需要的總?cè)藬?shù)，也可通過(guò)18×12求出用一個(gè)完成工作量共需要的總天數(shù)，所以由÷(18×12)求出1人1天完成全工程的幾分之幾(即一人的工效)。解答：①1人1天完成全部工程的幾分之幾（即一人的工效）：÷（18×12）=②剩余工作量若要提前6天完成共需多少人：（1-）÷[×（30-12-6）]=÷＝36（人）③需增加幾人：36－18＝18（人）答：還要增加18人。說(shuō)明：本題有更簡(jiǎn)單的解法如下：18名工人12天完，接著又干12天又完成（一共用了24天），剩下由增加的工人在12天完成，顯然增加的工人人數(shù)也為18人。一件工程，甲隊(duì)單獨(dú)做10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做30天完成?，F(xiàn)在兩隊(duì)合作，其間甲隊(duì)休息了2天，乙隊(duì)休息了8天（不存在兩隊(duì)同一天休息的情況）。請(qǐng)問(wèn)：開(kāi)始到完工共用了多少天時(shí)間？分析與解答一：“甲隊(duì)休息了2天，乙隊(duì)休息了8天”的意思就是：甲隊(duì)單獨(dú)做8天，乙隊(duì)單獨(dú)做2天，共完成工作量×8+×2=余下的工作量是兩隊(duì)共同合作的，需要的天數(shù)是（1-）÷（+）=12+8+1=11（天）答：從開(kāi)始到完工共用了11天。分析與解答二：設(shè)全部工作量為30份。甲每天完成3份，乙每天完成1份。在甲隊(duì)單獨(dú)做8天，乙隊(duì)單獨(dú)做2天之后，還需兩隊(duì)合作（30-3×8-1×2）÷（3+1）=1（天）分析與解答三：甲隊(duì)做1天相當(dāng)于乙隊(duì)做3天。在甲隊(duì)單獨(dú)做8天后，還余下（甲隊(duì)）10-8=2（天）工作量。相當(dāng)于乙隊(duì)要做2×3=6（天）。乙隊(duì)單獨(dú)做2天后，還余下（乙隊(duì)）6-2=4（天）工作量。4=3+1，其中3天可由甲隊(duì)1天完成，因此兩隊(duì)只需再合作1天。從開(kāi)始到完工共用了11天。一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)完成需12天，乙單獨(dú)完成需9天。若甲先做若干天后乙接著做，共用10天完成，請(qǐng)問(wèn)：甲單獨(dú)工做了幾天？分析：解答工程問(wèn)題時(shí)，除了用一般的算術(shù)方法解答外，還可以根據(jù)題目的條件，找到等量關(guān)系，列方程解題。解答：設(shè)甲做了x天。那么，甲完成工作量，乙做的天數(shù)10-X。乙完成工作量（10-X）×，因此+（10-X）×=1+=1等式的兩邊同乘36，得到：3x＋40－4x＝36，x＝4答：甲單獨(dú)做了4天。一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做要12小時(shí)完成，乙單獨(dú)做要18小時(shí)完成。若甲先做1小時(shí)，然后乙接替甲做1小時(shí)，再由甲接替乙做1小時(shí)，……，兩人如此交替工作，請(qǐng)問(wèn)：完成任務(wù)時(shí)，共用了多少小時(shí)？分析：要想求出共用多少小時(shí)？可以設(shè)想把這些小時(shí)重新分配：甲做1小時(shí)，乙做1小時(shí)，他們相當(dāng)于合作1小時(shí)，也即是每2小時(shí)，相當(dāng)于合做1小時(shí)。這樣先大致算一下一共進(jìn)行了多少個(gè)這樣的2小時(shí)，余下部分問(wèn)題就好解決了。解答：①若甲、乙兩人合作共需多少小時(shí)？1÷（+）=1÷=（小時(shí)）②甲、乙兩人各單獨(dú)做7小時(shí)后，還剩多少？1-7×（+）=1-=③余下的由甲獨(dú)做需多少小時(shí)？÷=（小時(shí)）④共用了多少小時(shí)？7×2+=（小時(shí)）答：共用了小時(shí)甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比原來(lái)自己?jiǎn)为?dú)做時(shí)提高，乙的工作效率比單獨(dú)做時(shí)提高。甲、乙兩個(gè)合作6小時(shí)，完成全部工作的。第二天乙又單獨(dú)做了6小時(shí)，還留下這件工作的尚未完成。請(qǐng)問(wèn)：如果這件工作始終由甲一個(gè)人單獨(dú)來(lái)做，需要多少小時(shí)？分析與解答：①乙6小時(shí)單獨(dú)工作完成的工作量是1--=②乙每小時(shí)完成的工作量是÷6=③兩人合作6小時(shí)，甲完成的工作量是-×（1+）×6=④甲單獨(dú)做時(shí)每小時(shí)完成的工作量÷6÷（1+）=⑤甲單獨(dú)做這件工作需要的時(shí)間是1÷=33（小時(shí)）答：甲單獨(dú)完成這件工作需要33小時(shí)。1．一項(xiàng)工程，甲2小時(shí)完成了，乙5小時(shí)完成了剩下的，余下的部分由甲、乙合作完成，甲共工作了______小時(shí)。解：甲的工作效率為，乙的工作效率為，甲、乙的工作效率和為。又因余下的工作量為，進(jìn)而甲、乙合作的時(shí)間為。所以，甲共工作了。2．一個(gè)水池，甲、乙兩管同時(shí)開(kāi)，5小時(shí)灌滿(mǎn)，乙、丙兩管同時(shí)開(kāi)，4小時(shí)灌滿(mǎn)。如果乙管先開(kāi)6小時(shí)，還需要甲、丙兩管同時(shí)開(kāi)2小時(shí)才能灌滿(mǎn)（這時(shí)乙管關(guān)閉），那么乙管單獨(dú)開(kāi)灌滿(mǎn)水池要______小時(shí)。解：把“乙管先開(kāi)6小時(shí)，甲、丙管同時(shí)開(kāi)2小時(shí)”，轉(zhuǎn)化為“甲、乙合開(kāi)2小時(shí)，乙、丙合開(kāi)2小時(shí)，然后乙單獨(dú)開(kāi)2小時(shí)”，這樣就可求出乙管單獨(dú)開(kāi)灌滿(mǎn)水池所需時(shí)間。3．甲、乙兩車(chē)同時(shí)從A、B兩地相對(duì)開(kāi)出，經(jīng)8小時(shí)相遇，相遇后兩車(chē)?yán)^續(xù)前進(jìn)，甲車(chē)又用了6小時(shí)到達(dá)B地，乙車(chē)要______小時(shí)才能從B地到達(dá)A地。解：設(shè)乙8小時(shí)走的路程為S，甲只需6小時(shí)走完，故甲的速度是每小時(shí)，乙的速度是每小時(shí)。甲走完AB需要8+6=14（小時(shí)），則AB路程為。從而可知，乙走完BA即AB需要