第一章 集合與常用邏輯用語(yǔ)（考點(diǎn)串講）-人教B版2019必修第一冊(cè)高一數(shù)學(xué)考點(diǎn)總結(jié)

人教B版(2019)必修第一冊(cè)數(shù)學(xué)

期中考點(diǎn)大串講串講

01第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)考場(chǎng)練兵典例剖析010203目

錄考點(diǎn)透視01考點(diǎn)透視(1)集合中元素的三個(gè)特性：________、________、________．(2)元素與集合的關(guān)系是______或________，用符號(hào)____或____表示．(3)集合的表示法：________、________、________．(4)常見(jiàn)數(shù)集的記法集合非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)____N*(或N＋)____________考點(diǎn)1．集合與元素考點(diǎn)2.集合間的基本關(guān)系(1)子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A，B，如果集合A中______________都是集合B中的元素，就稱(chēng)集合A為集合B的子集，記作________(或B?A)．(2)真子集：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且________，就稱(chēng)集合A是集合B的真子集，記作________(或B

A)．(3)相等：若A?B，且________，則A＝B．(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.空集是__________的子集，是______________的真子集．考點(diǎn)3集合的基本運(yùn)算表示運(yùn)算集合語(yǔ)言圖形語(yǔ)言記法并集____________________________交集____________________________補(bǔ)集____________________________考點(diǎn)4.集合的運(yùn)算性質(zhì)(1)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A．(2)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A．(3)A∩(?UA)＝?，

A∪(?UA)＝U，

?U(?UA)＝A．

常用結(jié)論1．若有限集A中有n個(gè)元素，則A的子集有2n個(gè)，真子集有2n－1個(gè)，非空子集有2n－1個(gè)，非空真子集有2n－2個(gè)．2．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB．3．?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．考點(diǎn)5.命題的概念及結(jié)構(gòu)

充分條件與必要條件命題真命題假命題pq真命題p?q充分條件必要條件充分條件必要條件考點(diǎn)6.充要條件p?qq?pp?q充要條件充要條件充要條件p?q充要條件考點(diǎn)7.全稱(chēng)量詞與全稱(chēng)量詞命題所有的任意一個(gè)?全稱(chēng)量詞?x∈M，p(x)考點(diǎn)8.存在量詞與存在量詞命題存在一個(gè)至少有一個(gè)?存在量詞?x∈M，p(x)考點(diǎn)9.全稱(chēng)量詞命題的否定?x∈M，綈p(x)存在量詞考點(diǎn)10.存在量詞命題的否定?x∈M，

非p(x)全稱(chēng)量詞考點(diǎn)11.常見(jiàn)詞語(yǔ)的否定形式原詞語(yǔ)否定詞語(yǔ)原詞語(yǔ)否定詞語(yǔ)是不是至少有一個(gè)一個(gè)也沒(méi)有都是不都是至多有一個(gè)至少有兩個(gè)大于不大于至少有n個(gè)至多有(n－1)個(gè)小于不小于至多有n個(gè)至少有(n＋1)個(gè)任意的某個(gè)能不能所有的某些等于不等于02典例透析考點(diǎn)透視考點(diǎn)1

集合的概念B考點(diǎn)透視考點(diǎn)1

集合的概念考點(diǎn)透視反思感悟1．研究集合問(wèn)題時(shí)，首先要明確構(gòu)成集合的元素是什么，即弄清該集合是數(shù)集、點(diǎn)集，還是其他集合；然后再看集合的構(gòu)成元素滿(mǎn)足的限制條件是什么，從而準(zhǔn)確把握集合的含義．2．利用集合元素的限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù)時(shí)，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿(mǎn)足互異性．考點(diǎn)透視考點(diǎn)2集合間的基本關(guān)系【例題2】設(shè)集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A?B，則a＝(

)B考點(diǎn)透視考點(diǎn)2集合間的基本關(guān)系考點(diǎn)透視反思感悟1．判定兩集合關(guān)系的方法(1)化簡(jiǎn)集合，從表達(dá)式中尋找兩集合的關(guān)系．(2)用列舉法、圖示法、數(shù)軸表示各個(gè)集合，從元素或圖形中尋找關(guān)系．2．已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將兩個(gè)集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而求得參數(shù)范圍．注意：(1)合理利用數(shù)軸、Venn圖等直觀分析解決問(wèn)題．(2)求得參數(shù)后，一定要把端點(diǎn)值代入進(jìn)行驗(yàn)證，否則易增解或漏解．考點(diǎn)透視考點(diǎn)3集合的運(yùn)算【例題3】(2023·全國(guó)甲卷)設(shè)全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，則?U(M∪N)＝(

)A．{x|x＝3k，k∈Z}B．{x|x＝3k－1，k∈Z}C．{x|x＝3k－2，k∈Z}D．

?考點(diǎn)透視考點(diǎn)3集合的運(yùn)算A因?yàn)閁＝{x|x＝3k或x＝3k＋1或x＝3k＋2，k∈Z}，所以?U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}．故選A．考點(diǎn)透視考點(diǎn)4利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的值(范圍)【例題4】設(shè)集合A＝{x|m－3＜x＜2m＋6}，B＝{x|log2x＜2}，若A∪B＝A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

)A．?

B．[－3，－1]C．(－1，3) D．[－1，3]D考點(diǎn)透視考點(diǎn)4利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的值(范圍)考點(diǎn)透視反思感悟1．進(jìn)行集合運(yùn)算時(shí)，

首先看集合能否化簡(jiǎn)，能化簡(jiǎn)的先化簡(jiǎn)，再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算．2．?dāng)?shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用(1)離散型數(shù)集或抽象集合間的運(yùn)算，常借助Venn圖求解；(2)連續(xù)型數(shù)集的運(yùn)算，常借助數(shù)軸求解，運(yùn)用數(shù)軸時(shí)要特別注意端點(diǎn)是實(shí)心還是空心．考點(diǎn)透視考點(diǎn)5充分條件的判斷【例題5】給出下列三組命題：(1)p：兩個(gè)三角形相似，q：兩個(gè)三角形全等；(2)p：一個(gè)四邊形是矩形，q：這個(gè)四邊形的對(duì)角線相等；(3)p：x＋1＝0，q：(x＋1)(x－2)＝0.試分別指出哪些命題中的p是q的充分條件？(2)因?yàn)榫匦蔚膶?duì)角線相等，所以p?q，所以p是q的充分條件．(3)因?yàn)橛蓌＋1＝0可得(x＋1)(x－2)＝0，即p?q，所以p是q的充分條件．考點(diǎn)透視考點(diǎn)6必要條件的判斷解考點(diǎn)透視考點(diǎn)7利用充分條件、必要條件求參數(shù)的取值范圍考點(diǎn)透視考點(diǎn)7利用充分條件、必要條件求參數(shù)的取值范圍考點(diǎn)8.

充要條件的判斷解

(1)因?yàn)橛蓌≠0推不出x＋|x|>0，如當(dāng)x＝－1時(shí)，x＋|x|＝0，所以pq，所以p不是q的充要條件．(2)若關(guān)于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解，則a≠0，所以pq，所以p不是q的充要條件．(3)當(dāng)c＝0時(shí)，函數(shù)y＝ax2＋bx的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；當(dāng)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，0＝a×02＋b×0＋c，所以c＝0，所以p?q，所以p是q的充要條件．考點(diǎn)透視考點(diǎn)9.

充要條件的證明證明假設(shè)p：方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根是1，q：a＋b＋c＝0.①證明p?q，即證明必要性．∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一個(gè)根，∴a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.

【例題9】(2024·江蘇連云港灌南高級(jí)中學(xué)高一上第二次月考)求證：關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根是1的充要條件是a＋b＋c＝0.②證明q?p，即證明充分性．由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0，∴(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴x＝1是方程的一個(gè)根．故關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根是1的充要條件是a＋b＋c＝0.考點(diǎn)透視考點(diǎn)10.

探求充要條件【例題10】求關(guān)于x的方程x2－2mx＋m2－m＋3＝0的兩根都大于2的充要條件．考點(diǎn)透視考點(diǎn)11.

全稱(chēng)量詞命題與存在量詞命題的識(shí)別【例題11】判斷下列命題是全稱(chēng)量詞命題還是存在量詞命題，并用符號(hào)“?”或“?”表示下列命題：(1)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；(2)存在實(shí)數(shù)x，滿(mǎn)足x2≥2；(3)有些平行四邊形的對(duì)角線不互相垂直；(4)存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)y＝ax＋b的值隨x的增大而增大．解：(1)是全稱(chēng)量詞命題，表示為?圓內(nèi)接四邊形，其對(duì)角互補(bǔ)．(2)是存在量詞命題，表示為?x∈R，x2≥2.(3)是存在量詞命題，表示為?平行四邊形，其對(duì)角線不互相垂直．(4)是存在量詞命題，表示為?a∈R，函數(shù)y＝ax＋b的值隨x的增大而增大．考點(diǎn)透視考點(diǎn)12.

全稱(chēng)量詞命題與存在量詞,命題的真假判斷【例題12】判斷下列命題的真假：(1)任何實(shí)數(shù)都有平方根；(2)存在有理數(shù)x，使x2－2＝0；(3)?x∈R，x2－x＋1>0；(4)?x∈Z，3x＋4＝5.考點(diǎn)透視考點(diǎn)13.

含有量詞的命題的應(yīng)用【例題13】已知命題p：存在x∈R，x2＋3x＋a＝0.若p為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______________．答案解析考點(diǎn)透視考點(diǎn)14.

全稱(chēng)量詞命題的否定【例題14】寫(xiě)出下列命題的否定，并判斷其否定的真假．(1)不論m取何實(shí)數(shù)，方程x2＋x－m＝0必有實(shí)數(shù)根；(2)等圓的面積相等；(3)每個(gè)三角形至少有兩個(gè)銳角．考點(diǎn)透視考點(diǎn)14.

全稱(chēng)量詞命題的否定考點(diǎn)透視考點(diǎn)15存在量詞命題的否定考點(diǎn)透視考點(diǎn)15存在量詞命題的否定考點(diǎn)透視考點(diǎn)16含有量詞命題的否定的應(yīng)用【例題16】命題“存在x>a，使得2x＋a<3”是假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：因?yàn)槊}“存在x>a，使得2x＋a<3”是假命題，所以此命題的否定“對(duì)任意x>a，使得2x＋a≥3”是真命題，因?yàn)閷?duì)任意x>a有2x＋a>3a，所以3a≥3，解得a≥1.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a≥1}．解03考場(chǎng)練兵1．已知a∈{0，1，2，3}，且a?{1，2，3}，則a的值為(

)A．0 B．1C．2 D．3解析：因?yàn)閍∈{0，1，2，3}，且a?{1，2，3}，所以a的值為0.故選A.3．由大于－3且小于11的偶數(shù)所組成的集合是(

)A．{x|－3<x<11，x∈Z}B．{x|－3<x<11}C．{x|－3<x<11，x＝2k}D．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z}解析：由題意可知，滿(mǎn)足題設(shè)條件的只有D.4．若集合A＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，B＝{x∈R|x＋5>0}，則集合A與B的關(guān)系是(

)A．A∈B B．A?BC．B?A D．A＝B解析：∵A＝{y|y≥1}，B＝{x|x>－5}，∴A?B.故選B.5．(2024·江蘇連云港灌南高級(jí)中學(xué)高一上第二次月考)集合B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}，集合A滿(mǎn)足A?B，A?C，則滿(mǎn)足條件的集合A的個(gè)數(shù)是(

)A．8 B．2C．4 D．1解析：因?yàn)锳?B，A?C，所以集合A是{a，b}的子集，所以這樣的集合A共有22＝4個(gè)．6.(2024·遼寧六校協(xié)作體高一上期中)設(shè)集合A＝{1，2}，則滿(mǎn)足A∪B＝{1，2，3}的集合B的個(gè)數(shù)是(

)A．1 B．3C．4 D．8解析：因?yàn)锳＝{1，2}，A∪B＝{1，2，3}，所以B＝{3}或{1，3}或{2，3}或{1，2，3}．故選C.7．(2024·?？谑械谝恢袑W(xué)高一上期中)設(shè)集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，則(?RS)∪T＝(

)A．{x|－2<x≤1} B．{x|x≤－4}C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}解析：因?yàn)镾＝{x|x>－2}，所以?RS＝{x|x≤-2}，又T＝{x|－4≤x≤1}，所以(?RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．8．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，命題“?x∈A，x2－a≤0”是真命題的一個(gè)充分不必要條件是(

)A．a(chǎn)≥4 B．a(chǎn)≤4C．a(chǎn)≥5 D．a(chǎn)≤5解析：當(dāng)該命題是真命題時(shí)，只需a≥(x2)max，因?yàn)閤∈A＝{x|1≤x≤2}，又y＝x2在1≤x≤2上的最大值是4，所以a≥4.因?yàn)閍≥4a≥5，a≥5?a≥4，故選C.9．已知p：(a＋b)(a－b)＝0，q：a＝b，則p是q的(

)A．充分條件B．必要條件C．既是充分條件也是必要條件D．既不是充分條件也不是必要條件10．(多選)已知集合A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x|－2≤x≤2}，則下列關(guān)系式正確的是

(

)A．A∩B＝?B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}C．A∪(?RB)＝{x|x≤－1，或x>2}D．A∩(?RB)＝{x|2<x≤3}解析：∵A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x|－2≤x≤2}，∴A∩B＝{x|－1<x≤3}∩{x|－2≤x≤2}＝{x|－1<x≤2}，故A不正確；A∪B＝{x|－1<x≤3}∪{x|－2≤x≤2}＝{x|－2≤x≤3}，故B正確；∵?RB＝{x|x<－2，或x>2}，∴A∪(?RB)＝{x|－1<x≤3}∪