2014-2015學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明第4課時(shí)課時(shí)作業(yè)新人教A版選修2-2

PAGEPAGE4【優(yōu)化方案】2014-2015學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明（第4課時(shí)）課時(shí)作業(yè)新人教A版選修2-2[學(xué)業(yè)水平訓(xùn)練]1．用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n＞n2＋1對于n≥n0的自然數(shù)n都成立”時(shí)，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取()A．2 B．3C．5 D．6解析：選C．當(dāng)n取1、2、3、4時(shí)2n＞n2＋1不成立，當(dāng)n＝5時(shí)，25＝32＞52＋1＝26，第一個(gè)能使2n＞n2＋1的n值為5，故選C．2．若k棱柱有f(k)個(gè)對角面，則k＋1棱柱的對角面的個(gè)數(shù)為()A．f(k)＋k－1 B．f(k)＋kC．f(k)＋k＋1 D．f(k)＋k－2解析：選A.由k棱柱到k＋1棱柱，底面對角線增加k－2＋1＝k－1條，∴增加了(k－1)個(gè)對角面．3．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是()A．假設(shè)n＝2k＋1時(shí)正確，再推n＝2k＋3時(shí)正確(k∈N*)B．假設(shè)n＝2k－1時(shí)正確，再推n＝2k＋1時(shí)正確(k∈N*)C．假設(shè)n＝k時(shí)正確，再推n＝k＋1時(shí)正確(k∈N*)D．假設(shè)n≤k(k≥1)時(shí)正確，再推n＝k＋2時(shí)正確(k∈N*)解析：選B.正奇數(shù)的第一個(gè)值為1，應(yīng)假設(shè)n＝2k－1時(shí)正確，其后面的正奇數(shù)為2k＋1，應(yīng)再推n＝2k＋1時(shí)正確．故選B.4．(2014·濟(jì)南高二檢測)用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝eq\f(n4＋n2,2)，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上()A．k2＋1B．(k＋1)2C．eq\f(k＋14＋k＋12,2)D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2解析：選D．當(dāng)n＝k時(shí)，左端＝1＋2＋3＋…＋k2，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故選D．5．已知在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝eq\f(an,3an＋1)(n∈N*)，依次計(jì)算出a2，a3，a4后，歸納、猜想，得出an＝()A.eq\f(2,6n－5)(n∈N*) B.eq\f(2,6n－7)(n∈N*)C．6n－5(n∈N*) D．6n＋5(n∈N*)解析：選A.a1＝2，a2＝eq\f(2,7)，a3＝eq\f(2,13)，a4＝eq\f(2,19)，分母規(guī)律為等差數(shù)列，公差為6，則an＝eq\f(2,6n－5).6．用數(shù)學(xué)歸納法證明eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n＋12)＞eq\f(1,2)－eq\f(1,n＋2)(n∈N*)，假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)不等式成立，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是________．答案：eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,k＋12)＋eq\f(1,k＋22)＞eq\f(1,2)－eq\f(1,k＋3)7．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)＜n(n∈N*，且n＞1)，第二步證明從“k到k＋1”時(shí)，左端增加的項(xiàng)數(shù)是________．解析：當(dāng)n＝k時(shí)左端為1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k－1).當(dāng)n＝k＋1時(shí)左端為1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k－1)＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋…＋eq\f(1,2k＋1－1)，故增加的項(xiàng)數(shù)為2k項(xiàng)．答案：2k8．(2014·高考陜西卷)已知f(x)＝eq\f(x,1＋x)，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，則f2014(x)的表達(dá)式為________．解析：觀察分析、歸納推理．f1(x)＝eq\f(x,1＋x)，f2(x)＝eq\f(\f(x,1＋x),1＋\f(x,1＋x))＝eq\f(x,1＋2x)，f3(x)＝eq\f(\f(x,1＋2x),1＋\f(x,1＋2x))＝eq\f(x,1＋3x)，…，由數(shù)學(xué)歸納法得f2014(x)＝eq\f(x,1＋2014x).答案：f2014(x)＝eq\f(x,1＋2014x)9．用數(shù)學(xué)歸納法證明：eq\f(1,2×4)＋eq\f(1,4×6)＋eq\f(1,6×8)＋…＋eq\f(1,2n2n＋2)＝eq\f(n,4n＋1)(n∈N*)．證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，等式左邊＝eq\f(1,2×1×2×1＋2)＝eq\f(1,8)，等式右邊＝eq\f(1,4×1＋1)＝eq\f(1,8).等式左邊＝等式右邊，所以等式成立．(2)假設(shè)n＝k(k∈N*)時(shí)等式成立，即有eq\f(1,2×4)＋eq\f(1,4×6)＋eq\f(1,6×8)＋…＋eq\f(1,2k2k＋2)＝eq\f(k,4k＋1)，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，eq\f(1,2×4)＋eq\f(1,4×6)＋eq\f(1,6×8)＋…＋eq\f(1,2k2k＋2)＋eq\f(1,2k＋1[2k＋1＋2])＝eq\f(k,4k＋1)＋eq\f(1,4k＋1k＋2)＝eq\f(kk＋2＋1,4k＋1k＋2)＝eq\f(k＋12,4k＋1k＋2)＝eq\f(k＋1,4k＋2)＝eq\f(k＋1,4k＋1＋1).所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立，由(1)，(2)可知，對于一切n∈N*，等式都成立．10．證明：凸n邊形的對角線的條數(shù)為f(n)＝eq\f(1,2)n(n－3)(n≥4，n∈N*)．證明：(1)當(dāng)n＝4時(shí)，四邊形有兩條對角線，f(4)＝eq\f(1,2)×4×(4－3)＝2，命題成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥4，k∈N*)時(shí)命題成立，即f(k)＝eq\f(1,2)k(k－3)，那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，增加一個(gè)頂點(diǎn)，凸多邊形的對角線增加k－1條，則f(k＋1)＝eq\f(1,2)k(k－3)＋k－1＝eq\f(1,2)(k2－k－2)＝eq\f(1,2)(k＋1)(k－2)＝eq\f(1,2)(k＋1)[(k＋1)－3]，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立．根據(jù)①②，可知命題對任意的n≥4，n∈N*都成立．[高考水平訓(xùn)練]1．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋eq\f(1,4)對一切n∈N*都成立，那么a，b的值為()A．a(chǎn)＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,4) B．a(chǎn)＝b＝eq\f(1,4)C．a(chǎn)＝0，b＝eq\f(1,4) D．a(chǎn)＝eq\f(1,4)，b＝eq\f(1,2)解析：選A.法一：特值驗(yàn)證法，將各選項(xiàng)中a，b的值代入原式，令n＝1,2驗(yàn)證，易知選A.法二：∵1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋eq\f(1,4)對一切n∈N*都成立，∴當(dāng)n＝1,2時(shí)有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝3a－b＋\f(1,4)，,1＋2×3＝322a－b＋\f(1,4)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝3a－3b＋\f(1,4)，,7＝18a－9b＋\f(1,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝\f(1,4).))2．用數(shù)學(xué)歸納法證明34n＋2＋52n＋1能被14整除的過程中，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1應(yīng)變形為________．解析：當(dāng)n＝k＋1時(shí)，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81·34k＋2＋25·52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2.答案：25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋23．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且對任意n∈N*，都有：(Sn－1)2＝anSn.(1)求S1，S2，S3.(2)猜想Sn的表達(dá)式并證明．解：(1)(Sn－1)2＝(Sn－Sn－1)Sn，所以Sn＝eq\f(1,2－Sn－1).又(S1－1)2＝Seq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2,1))，所以S1＝eq\f(1,2)，S2＝eq\f(2,3)，S3＝eq\f(3,4).(2)猜想Sn＝eq\f(n,n＋1).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝eq\f(1,2)，eq\f(n,n＋1)＝eq\f(1,2)，猜想正確；②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，猜想正確，即Sk＝eq\f(k,k＋1).那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由Sk＋1＝eq\f(1,2－Sk)＝eq\f(1,2－\f(k,k＋1))＝eq\f(k＋1,k＋1＋1)，猜想也成立，綜上知，Sn＝eq\f(n,n＋1)對任意n∈N*均成立．4．證明不等式1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(n))＜2eq\r(n)(n∈N*)．證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝2.左邊＜右邊，不等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，不等式成立，即1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(k))＜2eq\r(k).則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1