專題12求圓錐曲線的離心率（教師版）

專題12求橢圓的離心率或離心率的范圍一、考情分析離心率的范圍問題是高考的熱點(diǎn)問題,各種題型均有涉及,因聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn)較多,且處理的思路和方法比較靈活,關(guān)鍵在于如何找到不等關(guān)系式,從而得到關(guān)于離心率的不等式,進(jìn)而求其范圍.很多同學(xué)掌握起來比較困難,本文就解決本類問題常用的處理方法和技巧加以歸納.二、考點(diǎn)梳理1、離心率是橢圓的重要幾何性質(zhì)，是高考重點(diǎn)考查的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，這類問題一般有兩類：一類是根據(jù)一定的條件求橢圓的離心率；另一類是根據(jù)一定的條件求離心率的取值范圍，無論是哪類問題，其難點(diǎn)都是建立關(guān)于a，b，c的關(guān)系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的關(guān)系式，這是化解有關(guān)橢圓的離心率問題難點(diǎn)的根本方法．2、.在求橢圓離心率范圍時(shí)常用的不等關(guān)系：，，（P為橢圓上一點(diǎn)）3、在雙曲線中，，三、題型突破(一)借助平面幾何圖形中的不等關(guān)系根據(jù)平面圖形的關(guān)系,如三角形兩邊之和大于第三邊、折線段大于或等于直線段、對稱的性質(zhì)中的最值等得到不等關(guān)系,然后將這些量結(jié)合曲線的幾何性質(zhì)用進(jìn)行表示,進(jìn)而得到不等式,從而確定離心率的范圍.【例1】、（1）已知兩定點(diǎn)和,動(dòng)點(diǎn)在直線上移動(dòng),橢圓以為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn),則橢圓的離心率的最大值為（）A．B．C.D．【答案】A【解析】關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為,連接交直線于點(diǎn),則橢圓的長軸長的最小值為,所以橢圓的離心率的最大值為,故選A.【點(diǎn)評】求解本題的關(guān)鍵是利用對稱性求距離的最小值（2）．（2021·江蘇省如皋中學(xué)）焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)，短軸的一個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)相連構(gòu)成一個(gè)三角形，該三角形內(nèi)切圓的半徑為，則橢圓的離心率為___________.【答案】【分析】根據(jù)三角形的面積建立有關(guān)的關(guān)系，得到，即可求出離心率.【詳解】由題意，如圖：由橢圓的性質(zhì)可知，AB＝2c，AC＝BC＝a，OC＝b，，所以，故橢圓離心率．故答案為：.【小試牛刀】（1）．（2021·全國高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓與圓，若在橢圓上存在點(diǎn)，使得過點(diǎn)所作的圓的兩條切線互相垂直，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】若長軸端點(diǎn)，由橢圓性質(zhì)：過的兩條切線互相垂直可得，結(jié)合求橢圓離心率的范圍.【詳解】在橢圓的長軸端點(diǎn)處向圓引兩條切線，，若橢圓上存在點(diǎn)，使過的兩條切線互相垂直，則只需，即，∴，得，∴，又，∴，即．故選：C（2）．（2021·湖南永州·高三）已知橢圓的方程為，?為橢圓的左右焦點(diǎn)，為橢圓上在第一象限的一點(diǎn)，為的內(nèi)心，直線與軸交于點(diǎn)，若，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接?，是的內(nèi)心，得到為的角平分線，即到直線?的距離相等，利用三角形的面積比，得到，結(jié)合橢圓的離心率的定義，即可求解.【詳解】如圖所示，連接?，是的內(nèi)心，可得?分別是和的角平分線，由于經(jīng)過點(diǎn)與的內(nèi)切圓圓心的直線交軸于點(diǎn)，則為的角平分線，則到直線?的距離相等，所以，同理可得，，由比例關(guān)系性質(zhì)可知.又因?yàn)?，所以橢圓的離心率.故選：A.【點(diǎn)睛】求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；2、齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.(二)借助題目中給出的不等信息根據(jù)試題本身給出的不等條件,如已知某些量的范圍,存在點(diǎn)或直線使方程成立,的范圍等,進(jìn)一步得到離心率的不等關(guān)系式,從而求解.【例2】、（1）已知橢圓上一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為為其右焦點(diǎn),若設(shè)且則橢圓離心率的取值范圍是.【答案】【點(diǎn)評】本題的關(guān)鍵是利用橢圓的定義建立等量關(guān)系式,然后借助已知條件利用三角函數(shù)的圖象求解離心率的范圍.（2）已知平行四邊形內(nèi)接于橢圓，且，斜率之積的范圍為，則橢圓離心率的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由題意，關(guān)于原點(diǎn)對稱，設(shè)，，，故選A.【小試牛刀】．（1）設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，為橢圓的右焦點(diǎn)，且，若，則該橢圓離心率的取值范圍為（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)左焦點(diǎn)為，根據(jù)橢圓定義，可得，設(shè)，則由可得，整理得，根據(jù)可求.【詳解】為橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，則也在橢圓上，設(shè)左焦點(diǎn)為，則根據(jù)橢圓定義，又，，是的斜邊中點(diǎn)，，設(shè)，則，，，，即，，，，.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查橢圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是將離心率表示為關(guān)于的函數(shù).（2）．（2021·全國高二單元測試）已知橢圓，，分別為橢圓的左?右頂點(diǎn)，若在橢圓上存在一點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，得到，結(jié)合，得到，結(jié)合離心率的定義，即可求解.【詳解】由題意，橢圓，可得，，設(shè)，代入橢圓的方程，可得，則，即，即.又因?yàn)?，所?故選：A.(三)借助函數(shù)的值域求解范圍根據(jù)題設(shè)條件,如曲線的定義、等量關(guān)系等條件建立離心率和其他一個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系式,通過確定函數(shù)的定義域后,利用函數(shù)求值域的方法求解離心率的范圍.【例3】、（1）（2021·廣東廣州市第二中學(xué)高二月考）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，過右焦點(diǎn)F2且斜率為的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若滿足，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，同時(shí)由條件可得，與根與系數(shù)的關(guān)系聯(lián)立消元可得，求得橢圓的離心率.【詳解】設(shè)直線方程為，設(shè)，，與橢圓方程聯(lián)立得，，①，，得②，由①②聯(lián)立可得，即，得，橢圓的離心率.故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合問題，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化和計(jì)算能力，屬于中檔題型，求離心率是圓錐曲線?？碱}型，涉及的方法包含1.根據(jù)直接求，2.根據(jù)條件建立關(guān)于的齊次方程求解，3.根據(jù)幾何關(guān)系找到的等量關(guān)系求解.（2）．（2021·浙江高一期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上、下頂點(diǎn)分別是，，點(diǎn)C在橢圓上，且，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，得到，得出，代入橢圓的方程，求得，即可求解.【詳解】由題意，可得，設(shè)，因?yàn)?，則，可得，即，因?yàn)镃在橢圓上，所以，即，所以離心率為.故選：B.【點(diǎn)睛】求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；2、齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.【小試牛刀】．（1）（2021·合肥百花中學(xué)（理））已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作圓的切線，若兩條切線互相垂直，則C的離心率為_________．【答案】【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，得到，兩邊平方，結(jié)合離心率的定義，即可求解.【詳解】由題意，橢圓，可得右焦點(diǎn)為，因?yàn)檫^點(diǎn)作圓的切線，可得，則，即，即，可得，所以.故答案為：.(2)．（2022·浙江高三專題練習(xí)）設(shè),分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，，若，則橢圓的離心率為___________.【答案】【分析】求橢圓的離心率，要列出關(guān)于的等量關(guān)系式，設(shè)，根據(jù)橢圓的定義以及，可以表示出三角形各邊的長度，通過余弦定理得到各邊關(guān)于的表達(dá)式，根據(jù)幾何關(guān)系可以列出關(guān)于的等量關(guān)系式，從而求出離心率【詳解】設(shè)，則，，，.，在中，由余弦定理得，，，化簡可得，而，故，，，，，是等腰直角三角形，，橢圓的離心率，故答案為：.【點(diǎn)睛】題目考察比較綜合，需要根據(jù)圖形列出各邊之間的關(guān)系式，找到關(guān)于之間的關(guān)系，進(jìn)而求解離心率，涉及到了以下考點(diǎn)：（1）橢圓的第一定義（2）三角形的余弦定理（3）離心率的計(jì)算(四)根據(jù)橢圓自身的性質(zhì)或基本不等式求范圍在求離心率的范圍時(shí)有時(shí)常用橢圓或雙曲線自身的性質(zhì),如橢圓中,,P是橢圓上任意一點(diǎn),則等.例4．（1）（2022·江蘇高三專題練習(xí)）已知F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，若直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且，則橢圓離心率的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知結(jié)合橢圓對稱性有為平行四邊形且，由余弦定理可得，應(yīng)用基本不等式有，即可求橢圓離心率的范圍.【詳解】連接A，B與左右焦點(diǎn)F，的連線，由，由橢圓及直線的對稱性知：四邊形為平行四邊形，且，在△中，，∴，可得，即，則，∴橢圓的離心率，故選：C．（2）【2016屆河北省正定中學(xué)高三上第五次月考】設(shè)為橢圓的左、右焦點(diǎn),且,若橢圓上存在點(diǎn)使得,則橢圓的離心率的最小值為（）A．B．C．D．【答案】D【點(diǎn)評】為橢圓上的一點(diǎn)是本題的關(guān)鍵條件,根據(jù)圓錐曲線的共同特征把轉(zhuǎn)化成基本量,,與的關(guān)系式,結(jié)合橢圓的范圍,即可得到的不等式,從而求出其最小值．【小試牛刀】（1）已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn),若的最小值為8,則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】本題以雙曲線為素材,綜合考查雙曲線的離心率和函數(shù)的最值,難度中等．設(shè),則,．又,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立．所以,所以．故選A．（2）．（2021·浙江溫州市·高二期末）如圖，點(diǎn)為橢圓：的左焦點(diǎn)，直線分別與橢圓交于、兩點(diǎn)，且滿足，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則橢圓的離心率______．【答案】【分析】設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為，則為平行四邊形，由條件可得，然后由橢圓的定義可得，再在用勾股定理，進(jìn)而求出離心率．【詳解】如圖，設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為，連接，根據(jù)橢圓的對稱性可得，為平行四邊形，由FA⊥AB，在中,∠ABF＝∠AFO，，得，在中有，,得，，，由橢圓的定義有：，在中：，即化簡整理得:,兩邊同時(shí)除以化為：，解得：.所以橢圓的離心率為：故答案為：.四、遷移應(yīng)用一、選擇題1．（2021·陜西高三開學(xué)考試（文））已知橢圓為C的左?右焦點(diǎn)，為C上一點(diǎn)，且的內(nèi)心，若的面積為2b，則n的值為（）A． B． C． D．3【答案】C【分析】利用焦點(diǎn)三角形的面積公式，建立等量關(guān)系，可得，結(jié)合橢圓的性質(zhì)，計(jì)算橢圓的離心率，再結(jié)合焦點(diǎn)三角形的面積公式，求的值.【詳解】由題意可得，的內(nèi)心到x軸的距離就是內(nèi)切圓的半徑.又點(diǎn)P在橢圓C上，.又，，即，解得或（舍），.又，解得.故選：C.2．（2022·北京石景山區(qū)·高三專題練習(xí)）兩數(shù)1、9的等差中項(xiàng)是，等比中項(xiàng)是，則曲線的離心率為（）A． B． C． D．與【答案】C【分析】求出等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)后確定方程表示的曲線，再根據(jù)方程求得離心率．【詳解】兩數(shù)1、9的等差中項(xiàng)是，等比中項(xiàng)是，，，曲線為橢圓，且，，，故選：C3．（2021·全國高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，且，，則橢圓的離心率等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】在中，得出直角邊與斜邊的關(guān)系，再結(jié)合橢圓的定義易得離心率．【詳解】由題設(shè)知是直角三角形，，，，，．又由橢圓的定義，得，，故．故選：B．4．（2021·陜西省洛南中學(xué)（理））橢圓（）的左右焦點(diǎn)分別為，，過垂直于軸的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且，求橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意，可得，將代入橢圓可得，兩點(diǎn)坐標(biāo)，用參數(shù)表示，即得解【詳解】由橢圓方程，可知：過垂直于軸的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，因此將代入橢圓，可得（舍負(fù)）故選：A5．（2021·江蘇省蘇州中學(xué)園區(qū)校高三月考）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，過的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，若的周長為，則橢圓C的方程為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得到，再解方程組即可.【詳解】由題知：，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故選：B6．（2019·長沙市南雅中學(xué)高二月考）橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為?，是橢圓上的一點(diǎn)，，且，垂足為，若四邊形為平行四邊形，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題設(shè)有，可得，結(jié)合橢圓的有界性，列不等式求橢圓的離心率的范圍.【詳解】若，又四邊形為平行四邊形，，∴，即，∴，解得.故選：D7．（2021·全國高三）已知橢圓：（）的半截距為，是上異于短軸端點(diǎn)的一點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得的齊次式，轉(zhuǎn)化后可得離心率．【詳解】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入的方程得，所以，整理得．又，所以，所以，即，所以橢圓的離心率，故選：D．8．（2021·河南高二期中（理））已知平行四邊形內(nèi)接于橢圓：（），且，斜率之積的取值范圍為，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先表示出直線，斜率，利用，斜率之積的范圍為，得到的范圍，進(jìn)而構(gòu)造出關(guān)于的不等式，最后解出的范圍.【詳解】平行四邊形內(nèi)接于橢圓，假設(shè)不關(guān)于原點(diǎn)對稱，過點(diǎn)作互相平行的兩條直線，分別交橢圓于兩點(diǎn)，則由橢圓的對稱性，,這與條件不符合.所以由橢圓的對稱性可得關(guān)于原點(diǎn)對稱，關(guān)于原點(diǎn)對稱.設(shè)，，，，直線的斜率，直線的斜率，則，又，都在橢圓上，則，，，，，又，，故選：.9．（2021·南昌市第三中學(xué)高三月考（理））已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，，是軸正半軸上一點(diǎn)，線段交橢圓于點(diǎn)，若，且的內(nèi)切圓半徑為，則橢圓的離心率是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由焦距得，則直角三角形內(nèi)切圓半徑得，結(jié)合勾股定理求得，求得后可得離心率．【詳解】由已知，，直角的內(nèi)切圓半徑為，則，又由對稱性知，所以，由，所以，即，．所以離心率為．故選：C．10．（2021·浙江嘉興·高二期中）已知點(diǎn)是橢圓上的三點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)是的重心，若點(diǎn)，直線的斜率恒為，則橢圓的離心率為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)，由重心公式可得的橫縱坐標(biāo)的和，再由“點(diǎn)差法”結(jié)合斜率公式可得，進(jìn)一步可求得橢圓的離心率.【詳解】設(shè)，又由原點(diǎn)是的重心，得，即，又是橢圓上的點(diǎn)，，作差可得：，即，即，，故選：D11．（2021·江蘇南京市第二十九中學(xué)）設(shè)，為橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，，成等比數(shù)列，則的離心率的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由橢圓定義得，再結(jié)合基本不等式可建立的不等關(guān)系可得答案.【詳解】設(shè)，，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，由得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以橢圓C的離心率的最大值為.故選：B.12．（2021·江蘇南通市·高二期末）設(shè)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且成等比數(shù)列，則的離心率的最大值為（）A． B． C． D．1【答案】A【分析】由橢圓定義得，再結(jié)合基本不等式可建立的不等關(guān)系可得答案.【詳解】設(shè)，，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，由得，即，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，所以橢圓C的離心率最大值為.故選：A.13．（2021·四川廣元·高二期末（文））橢圓的左右焦點(diǎn)分別是，，以為圓心的圓過橢圓的中心，且與橢圓交于點(diǎn)，若直線恰好與圓相切于點(diǎn)，則橢圓的離心率為（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由圓的切線及橢圓定義可得出的等式，從而求得離心率．【詳解】由題意，，所以，所以，所以離心率為．故選：C．14．（2022·浙江高三專題練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，A，C是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)O對稱的兩點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為B，若，則橢圓M的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】作為橢圓M的左焦點(diǎn)，連接．設(shè)，則，，則，根據(jù)題意可得從而可求出離心率【詳解】如圖，作為橢圓M的左焦點(diǎn)，連接．設(shè)，則，，，因?yàn)锳，C是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)O對稱的兩點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為B，，所以所以可得．故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查橢圓的定義的應(yīng)用和橢圓離心率的求法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作為橢圓M的左焦點(diǎn)，連接，從而可由已知可得，然后在兩個(gè)直角三角形和中利用勾股定理列方程可求出離心率，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于中檔題15．（2022·全國高三專題練習(xí)（理））已知，分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，過原點(diǎn)O且傾斜角為60°的直線l與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)為M，若，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意可得，的值，由橢圓的定義可得a，c的關(guān)系，即求出離心率的值．【詳解】解：依題意可得．

又

，，，．

故選：D．

16．（2021·全國高二專題練習(xí)）橢圓的焦點(diǎn)為，是上一點(diǎn)，若，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，則根據(jù)平面幾何知識(shí)可求，再結(jié)合橢圓定義可求離心率.【詳解】在中，設(shè)，則，又由橢圓定義可知?jiǎng)t離心率，故選：D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面：一是判斷平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的軌跡是否為橢圓，二是利用定義求焦點(diǎn)三角形的周長、面積、橢圓的弦長及最值和離心率問題等；“焦點(diǎn)三角形”是橢圓問題中的?？贾R(shí)點(diǎn)，在解決這類問題時(shí)經(jīng)常會(huì)用到正弦定理，余弦定理以及橢圓的定義.17．（2021·黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)（理））大慶體育場由于形似國家體育場，被大慶人稱為“大慶鳥巢”，國家體育場（鳥巢）是第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)開、閉幕式的場館．第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，將在2022年2月4日在中華人民共和國北京市和張家口市聯(lián)合舉行．這是中國歷史上第一次舉辦冬季奧運(yùn)會(huì)，北京成為奧運(yùn)史上第一個(gè)舉辦夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)和冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)的城市．同時(shí)中國也成為第一個(gè)實(shí)現(xiàn)奧運(yùn)“全滿貫”（先后舉辦奧運(yùn)會(huì)、殘奧會(huì)、青奧會(huì)、冬奧會(huì)、冬殘奧會(huì)）國家．國家體育場“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，若由外層橢圓長軸一端點(diǎn)A和短軸一端點(diǎn)分別向內(nèi)層橢圓引切線，（如圖），且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別設(shè)內(nèi)外層橢圓方程為、，進(jìn)而設(shè)切線、分別為、，再聯(lián)立方程組整理并結(jié)合求、關(guān)于a、b、m的關(guān)系式，再結(jié)合已知得到a、b的齊次方程求離心率即可.【詳解】若內(nèi)層橢圓方程為，由離心率相同，可設(shè)外層橢圓方程為，∴，設(shè)切線為，切線為，∴，整理得，由知：，整理得，同理，，可得，∴，即，故.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)內(nèi)外橢圓的離心率相同設(shè)橢圓方程，并寫出切線方程，聯(lián)立方程結(jié)合及已知條件，得到橢圓參數(shù)的齊次方程求出離心率，突破難點(diǎn).18．（2021·浙江高二單元測試）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若為正三角形，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)是正三角形，此時(shí)軸，結(jié)合橢圓定義，求得三邊長，再由，求得a，b間的關(guān)系，從而求得離心率.【詳解】因?yàn)槭钦切危?，軸.設(shè)，則，，故，解得，從而.將代入橢圓方程可得，因此，得，故橢圓的離心率，故選：D.19．（2021·全國高三專題練習(xí)）橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，已知，，則橢圓C的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量運(yùn)算和橢圓的定義可得關(guān)于的方程，由橢圓的離心率的定義可得選項(xiàng).【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，設(shè)中點(diǎn)為H，則，，，代入數(shù)據(jù)并整理得：，等式兩邊同除以得：，解得：或(舍).故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求橢圓離心率或其范圍的方法（1）根據(jù)題意求出的值，再由離心率的定義直接求解．（2）由題意列出含有的方程(或不等式)，借助于消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解．解題時(shí)要注意橢圓本身所含的一些范圍的應(yīng)用，如橢圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)等．20．（2021·江西科技學(xué)院附屬中學(xué)高一期末（文））設(shè)是橢圓的左?右焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)P，使（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由向量的關(guān)系可得，由橢圓的定義及，可得，的值，在直角三角形中，由勾股定理可得，的關(guān)系，進(jìn)而求出橢圓的離心率．【詳解】解：設(shè)的中點(diǎn)為，由，即，所以，連接可得，所以，可得，又因?yàn)椋?，，在中，，即，可得：，解得，故選：．21．（2021·山東菏澤·高二期末）國家體育場“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖1所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓；某校體育館的鋼結(jié)構(gòu)與“鳥巢”相同，其平面圖如圖2所示，若由外層橢圓長軸一端點(diǎn)和短軸一端點(diǎn)分別向內(nèi)層橢圓引切線，，且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)內(nèi)層橢圓方程為，由題可知外層橢圓可設(shè)成，再根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系可求出，即可利用求出離心率．【詳解】設(shè)內(nèi)層橢圓方程為,因?yàn)閮?nèi)外橢圓離心率相同，外層橢圓可設(shè)成，設(shè)切線AC的方程為,與聯(lián)立得：，由,則,同理可得,,則,因此．故選：D.25．（2022·全國（理））“蒙日圓”涉及幾何學(xué)中的一個(gè)著名定理，該定理的內(nèi)容為：橢圓上任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)，必在一個(gè)與橢圓同心的圓上.該圓稱為橢圓的“蒙日圓”若橢圓的離心率為，則橢圓的“蒙日圓”方程為（）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【分析】分類討論和，當(dāng)時(shí)，根據(jù)離心率求出，然后在橢圓上取兩點(diǎn)，并寫出對應(yīng)的切線方程求出交點(diǎn)，進(jìn)而求出圓半徑即可；對于的情況與的方法步驟一致.【詳解】若，則，即，所以，由于橢圓上任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)，必在一個(gè)與橢圓同心的圓上，不妨取兩點(diǎn)，則兩條切線為和，所以兩條切線的交點(diǎn)為，且點(diǎn)在蒙日圓上，所以半徑為，所以蒙日圓為；若，則，即，所以，由于橢圓上任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)，必在一個(gè)與橢圓同心的圓上，不妨取兩點(diǎn)，則兩條切線為和，所以兩條切線的交點(diǎn)為，且點(diǎn)在蒙日圓上，所以半徑為，所以蒙日圓為；綜上：橢圓的“蒙日圓”方程為或故選：C.26．（2021·全國高三專題練習(xí)（文））已知分別是橢圓的左?右頂點(diǎn)，是橢圓上兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，若的斜率之積為，則橢圓的離心率是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)出橢圓的左右頂點(diǎn)，以及利用橢圓的對稱性設(shè)出的坐標(biāo)，運(yùn)用橢圓方程和直線的斜率公式，化簡變形，即可求解.【詳解】分別是橢圓的左?右頂點(diǎn)，又是橢圓上關(guān)于軸對稱的兩點(diǎn)，設(shè)則且，即.故的斜率之積為所以橢圓離心率是故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查求橢圓的離心率，求解離心率在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出；②構(gòu)造的齊次式，求出；③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解；④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解．27．（2021·重慶高二期末）已知橢圓在第一象限上的一點(diǎn)與橢圓的左、右焦點(diǎn)、恰好構(gòu)成頂角為的等腰三角形，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得出，，利用余弦定理可求得，利用橢圓的定義可得出關(guān)于、的等式，進(jìn)而可求得該橢圓的離心率的值.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓上位于第一象限的點(diǎn)，，所以，為銳角，因?yàn)槭琼斀菫榈牡妊切?，但，故，所以，，由余弦定理可得，由橢圓定理可得，故.故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.28．（2020·四川川大附中（理））已知，分別是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)滿足，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量加法的幾何意義，結(jié)合橢圓的范圍、離心率的公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由為的邊的中線，可得，由在橢圓上存在點(diǎn)滿足，可得.當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在橫軸上時(shí)，，可得，即，則，所以.當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在縱軸上時(shí)，，可得，即，則，所以.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用平面向量加法的幾何意義得到是解題的關(guān)鍵，橢圓的范圍也是一個(gè)重要隱含條件.二、填空題29．（2021·廣東廣州市·高三月考）已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且傾斜角為45°的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在x軸上方），且，則橢圓的離心率為___________.【答案】【分析】利用橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)，求解直線方程，利用且轉(zhuǎn)化求解橢圓的離心率即可．【詳解】解：設(shè)，由題意知，的斜率為，則直線方程為，設(shè)，聯(lián)立直線和橢圓的方程得，整理得，則，，且，可得，則，，所以，可得，所以故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:本題的關(guān)鍵是由向量的關(guān)系得兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理進(jìn)行求解．30．（2021·全國高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的離心率，則橢圓的方程為______．【答案】【分析】由已知等式得出關(guān)系式，再由可求得值．得橢圓方程．【詳解】由，得，化簡得．又，所以，所以，所以橢圓的方程為．故答案為：．31．（2022·全國高三專題練習(xí)）與橢圓有相同離心率且經(jīng)過點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為________．【答案】或【分析】分焦點(diǎn)在軸上兩種情況，結(jié)合基本量間的關(guān)系計(jì)算求解即可【詳解】方法一∵，若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)所求橢圓方程為，則，從而，又，∴m2＝8，n2＝6.∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓的方程為，則，且，解得故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為故答案為：或32．（2021·江蘇省溧水高級(jí)中學(xué)）已知，分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，過的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為___________.【答案】【分析】由題意畫出圖形，設(shè)，由余弦定理求得，再由橢圓定義求解與的關(guān)系，在中，再由余弦定理列式求得橢圓的離心率.【詳解】如圖,設(shè)又,由橢圓定義知,,可得：即，在中,由余弦定理可得,，即.即,解得:.故答案為:33．（2022·全國高三專題練習(xí)（理））已知橢圓的右焦點(diǎn)為，直線與交于，兩點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為_______.【答案】【分析】先不妨設(shè)的坐標(biāo)，再求出到直線的距離為，利用等腰三角形的性質(zhì)，列出，解出即可.【詳解】根據(jù)題意，把代入中，得，不妨設(shè)，且，則到直線的距離為，由，得，則，平方計(jì)算得.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：1.不妨設(shè)的坐標(biāo)，再求出到直線的距離為，2.為等腰三角形，且，列出，解出.34．（2021·安徽省舒城中學(xué)高三（理））若橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，該圓的圓心是橢圓中心，則稱這個(gè)圓為蒙日圓.若橢圓的蒙日圓的半徑為，則橢圓的離心率為___________.【答案】【分析】由蒙日圓定義可知在蒙日圓上，由此可根據(jù)半徑構(gòu)造方程求得，由此可求得橢圓離心率.【詳解】過可作橢圓的兩條互相垂直的切線和，在蒙日圓上，，解得：，橢圓的離心率.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解圓錐曲線離心率或離心率取值范圍問題的基本思路有兩種：（1）根據(jù)已知條件，求解得到的值或取值范圍，由求得結(jié)果；（2）根據(jù)已知的等量關(guān)系或不等關(guān)系，構(gòu)造關(guān)于的齊次方程或齊次不等式，配湊出離心率，從而得到結(jié)果.35．（2021·全國高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，斜率為的直線過，且與橢圓的交點(diǎn)為，，與軸的交點(diǎn)為，為線段的中點(diǎn)．若，則橢圓的離心率的取值范圍為______．【答案】【分析】設(shè)直線為結(jié)合已知，求坐標(biāo)，將其代入橢圓方程整理得，再由題設(shè)k的范圍求橢圓的離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)直線的方程為，則，．又在橢圓上，∴，即，變形得，于是，∴，解得．又，∴，從而得，故橢圓的離心率的取值范圍為．故答案為：36．（2021·黑龍江哈爾濱市第六中學(xué)校高三月考（文））已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線過與橢圓交于，兩點(diǎn)，當(dāng)為正三角形時(shí)，該橢圓的離心率為________；【答案】【分析】根據(jù)橢圓的定義及可知，由橢圓對稱性知垂直于軸，即可求解.【詳解】不妨設(shè)橢圓的方程為，根據(jù)橢圓定義，，，因?yàn)闉檎切?，，所以，即為線段的中點(diǎn)，所以根據(jù)橢圓的對稱性知垂直于軸.設(shè)，則，.所以，即，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率的求解，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知條件，并結(jié)合橢圓的對稱性得垂直于軸，進(jìn)而求解.37．（2021·浙江高三）橢圓：的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)，在橢圓上，點(diǎn)到直線的距離為，且的內(nèi)心恰好是點(diǎn)，則橢圓的離心率___________【答案】【分析】設(shè)PQ交x軸于點(diǎn),分析得到點(diǎn)是橢圓的左焦點(diǎn)，再求出，再根據(jù)即得解.【詳解】如圖所示，的內(nèi)心恰好是點(diǎn)，由對稱性可知，,所以關(guān)于軸對稱，所以軸，設(shè)PQ交x軸于點(diǎn),則，所以點(diǎn)是橢圓的左焦點(diǎn)，將代入橢圓的方程得，所以，過點(diǎn)M作ME⊥PF，垂足為E，則，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求橢圓的離心率常用的方法有：（1）公式法（求出代入離心率公式即得解）；（2）方程法（找到離心率的方程解方程即得解）.要根據(jù)已知靈活選擇方法求解.38．（2021·全國高三專題練習(xí)）已知橢圓，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓的下頂點(diǎn)，直線交橢圓于另一點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為______【答案】【分析】由題意結(jié)合橢圓定義可得，在中，由余弦定理可得，再利用二倍角的余弦公式可得，從而求出橢圓的離心率.【詳解】如圖，點(diǎn)在橢圓上，所以，由，代入上式得，在，，又，所以，即故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查求橢圓的離心率，求解離心率在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出；②構(gòu)造的齊次式，求出；③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解；④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解．39．（2021·山東威?！じ叨谀┮阎狝，B是橢圓的左、右頂點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，設(shè)直線PA，PB的斜率分別為，若，則橢圓的離心率為_________.【答案】【分析】設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)的坐標(biāo)表示出的結(jié)果，由此求得的關(guān)系式，結(jié)合可求得離心率的值.【詳解】設(shè)，，所以，又，所以，所以，所以，所以，故答案為：.40．（2021·天津?yàn)I海新·）已知橢圓：的右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，線段與圓相切于點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為_______.【答案】【分析】根據(jù)數(shù)形結(jié)合分析，可得，并根據(jù)勾股定理，可得，計(jì)算離心率.【詳解】如圖，首先畫出函數(shù)圖象，，，又，，且，且，，，根據(jù)橢圓的定義可知，由勾股定理可知，即整理為，即，.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查橢圓離心率的取值范圍，求橢圓離心率是?？碱}型，涉及的方法包含1.根據(jù)直接求，2.根據(jù)條件建立關(guān)于的齊次方程求解，3.根據(jù)幾何關(guān)系找到的等量關(guān)系求解.41．（2020·安慶市白澤湖中學(xué)高二月考）設(shè)點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為的內(nèi)心，若，則該橢圓的離心率是_______．【答案】【分析】設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)，結(jié)合三角形面積公式將已知條件化簡可得，由此結(jié)合離心率公式即可求解.【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則，，，因?yàn)椋?，可得，所以該橢圓的離心率是，故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求橢圓離心率的方法（1）直接利用公式；（2）利用變形公式；（3）根據(jù)條件列出關(guān)于的齊次式，兩邊同時(shí)除以，化為關(guān)于離心率的方程即可求解.42．（2021·江西高安中學(xué)高二期末（理））橢圓上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為B，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，若，設(shè)，且，則該橢圓離心率的最大值為______．【答案】【分析】設(shè)左焦點(diǎn)為，根據(jù)橢圓的定義有，，且O是直角三角形斜邊的中點(diǎn)，所以，離心率，由角的范圍可求得離心率的最大值.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，所以B也在橢圓上，設(shè)左焦點(diǎn)為，根據(jù)橢圓的定義：，又因?yàn)?，所以，O是直角三角形斜邊的中點(diǎn)，所以，所以，所以，由于，所以當(dāng)時(shí)，離心率的最大值為：,故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求橢圓的離心率關(guān)鍵在于由橢圓的定義，善于利用平面幾何中的邊、角關(guān)系建立關(guān)于的等式或不等式.三、解答題43．（2021·北京房山區(qū)·高三開學(xué)考試）已知橢圓：過點(diǎn)和點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；（2）斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（不與重合），直線與軸分別交于兩點(diǎn)，證明.【答案】（1），；（2）證明見解