專題7切比雪夫函數(shù)（教師版）-2022高考數(shù)學(xué)滿分突破之函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

專題7切比雪夫函數(shù)一、考情分析縱觀近幾年的高考真題，出現(xiàn)了一類題目。看似是一道有關(guān)二次函數(shù)的題目；二次函數(shù)的定義域和值域相同。大多數(shù)學(xué)生或老師，第一眼看過去，以為是定軸動(dòng)區(qū)間或定區(qū)間動(dòng)軸的問題，然后就進(jìn)入討論的誤區(qū)。深入討論，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，計(jì)算復(fù)雜，討論紛擾。最后就是不了了之。然后，再次審視題目，就會(huì)發(fā)現(xiàn)我們陷入誤區(qū)。切比雪夫函數(shù)或切比雪夫不等式，在此時(shí)的應(yīng)用，就可以讓我們秒解這類題目。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，就是要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)，秒殺數(shù)學(xué)。二、考點(diǎn)梳理1.切比雪夫不等式①馬爾科夫不等式：；②切比雪夫不等式是馬爾科夫不等式的特殊情況：.切比雪夫函數(shù)與切比雪夫不等式的意義馬爾科夫不等式和切比雪夫不等式，是高等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)的內(nèi)容，是概率與統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一個(gè)定理。主要意思：事情的大多會(huì)集中在平均值附近或者事情的發(fā)生大多在平均值上的概率最大。也就說，馬爾科夫不等式或者切比雪夫不等式只是對(duì)概率的一個(gè)估計(jì)，既然是估計(jì)，就有可能正確，也有可能不正確。但是按照這兩個(gè)不等式來看，在概率學(xué)的角度上。發(fā)生的概率是最大。但在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)初等函數(shù)，用這個(gè)兩個(gè)不等式解題，就會(huì)有出奇制勝，秒殺的快感。三、題型突破（一）切比雪夫函數(shù)的巧解例1.已知函數(shù)，若時(shí)，，則的最大值是．【傳統(tǒng)解法】【切比雪夫不等式解法】【解析】根據(jù)切比雪夫不等式：，若時(shí)，對(duì)稱軸為壓軸，所以，，當(dāng)，,故此次的最大值【變式訓(xùn)練11】已知函數(shù)，若時(shí)，恒成立，則=【切比雪夫不等式解法】【解析】根據(jù)切比雪夫不等式：若時(shí)，恒成立，也就是對(duì)稱軸應(yīng)該是；，解之得：，,故此；故此,所以..

（二）其他類型函數(shù)的例2．（1）、【2019年高考浙江】已知，函數(shù)，若存在，使得，則實(shí)數(shù)的最大值是___________.【答案】【解析】存在，使得，即有，化為，可得，即，由，可得.則實(shí)數(shù)的最大值是.【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的解析式及二次函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的解析式可得，去絕對(duì)值化簡(jiǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的最值及不等式的性質(zhì)可求解.（2）、（2020·浙江杭州市·高一期末）若對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____.【答案】【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化求解.【詳解】對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即恒成立，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，只需對(duì)恒成立，且，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查不等式恒成立求參數(shù)取值范圍，關(guān)鍵在于熟練掌握不等式性質(zhì)和函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合恒成立求解參數(shù).【變式訓(xùn)練21】（2019·新源縣第二中學(xué)高二期末（文））對(duì)任意實(shí)數(shù)，若不等式恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用絕對(duì)值三角不等式求出的最小值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由絕對(duì)值三角不等式可得，.故選：B.【變式訓(xùn)22】、（2021·浙江紹興·高二期末）存在，使時(shí)恒有，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意令，則上恒成立，上恒成立，討論、、，上述兩區(qū)間內(nèi)的絕對(duì)值不等式是否同時(shí)成立，即可求參數(shù)的范圍.【詳解】令，∴在上恒有，在上恒有，∴上恒成立，上恒成立，∴令，即時(shí)，；上；∴當(dāng)時(shí)，上，上，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，上，上，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，上，在上，有：①時(shí)，；②時(shí)，，當(dāng).此時(shí)，不能在和上同時(shí)成立.綜上，有.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由題意易得上恒成立，上恒成立，令，討論參數(shù)a，并確認(rèn)在和上絕對(duì)值不等式是否可以同時(shí)成立，求參數(shù)范圍.四、遷移應(yīng)用一、單選題1．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為A． B．C． D．【答案】A【解析】函數(shù)，則或，故函數(shù)的定義域?yàn)榛?，由是單調(diào)遞增函數(shù)，可知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間即的單調(diào)減區(qū)間，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，結(jié)合的定義域，可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.故選A.【名師點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，要注意的是必須在定義域的前提下，去找單調(diào)區(qū)間.2．已知函數(shù)，若函數(shù)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A． B．C． D．【答案】D【解析】函數(shù)的圖象如圖：若函數(shù)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，+∞）．故選D．【名師點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)，函數(shù)的零點(diǎn)，考查數(shù)形結(jié)合思想以及計(jì)算能力．已知函數(shù)的定義域?yàn)?為偶函數(shù)，且對(duì)，滿足.若，則不等式的解集為A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)閷?duì)，滿足，所以當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞減函數(shù)，又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以關(guān)于直線對(duì)稱，所以函數(shù)當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞增函數(shù)，又因?yàn)?，所以有，?dāng)，即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，，綜上所述：不等式的解集為.故選A．【名師點(diǎn)睛】本題考查了抽象函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性、分類討論思想.對(duì)于來說，設(shè)定義域?yàn)椋?，，若，則是上的增函數(shù)；若，則是上的減函數(shù).4．已知函數(shù)，，設(shè)為實(shí)數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則的取值范圍為A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，綜上可得，f(x)∈[2,+∞).又因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)a，使得g(b)+f(a)=2成立，所以只需g(b)≤2?f(a)min，即解得?1≤b≤2.故選A.5．（2020·紅橋·天津三中高三月考）設(shè)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】解絕對(duì)值不等式、一元二次不等式，然后判斷充分、必要條件.【詳解】或或.或.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A6．（2021·寧夏吳忠中學(xué)高二月考（文））已知集合，，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先化簡(jiǎn)集合A與B，再利用集合的交集運(yùn)算求解.【詳解】∵，，∴.故選：A.7．（2021·黑龍江哈爾濱市·哈爾濱三中高一月考）命題“，”為真命題的一個(gè)必要不充分條件是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出命題為真的充要條件，然后根據(jù)必要不充分條件的定義判斷．【詳解】命題“，”為真命題，，，時(shí)，取得最大值，由是，這是命題為真的充要條件，因此只有D是必要不充分條件．故選：D．8．（2021·沈陽(yáng)市第十中學(xué)高一月考）若，不等式恒成立，則a的取值范圍是（）A． B． C．{a|a＞1} D．【答案】D【分析】將已知轉(zhuǎn)化為，，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值即可得解.【詳解】由于，不等式恒成立所以，恒成立，即恒成立令，顯然在上單調(diào)遞減，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立問題，不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結(jié)合(圖像在上方即可)；③討論最值或恒成立.9．（2021·上海高一期中）一元二次不等式的解集是，則的值是（）A．10 B．10 C．14 D．14【答案】D【分析】根據(jù)題意，由不等式的解集分析可得方程的兩根為和，且，由根與系數(shù)的關(guān)系分析可得，解可得、的值，將其值相加即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，一元二次不等式的解集是，且，則方程的兩根為和，則有，解可得，，則，故選：D．10．（2021·河南高二期末（文））已知，若存在，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分析函數(shù)的單調(diào)性，解出不等式，再根據(jù)條件列出不等式即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則在上遞減，當(dāng)時(shí)，，則在上遞減，于是得在上是減函數(shù)，因此，不等式等價(jià)于，解得，依題意，存在，使成立，從而得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A11．（2019·浙江學(xué)軍中學(xué)）若關(guān)于的不等式無解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先得到當(dāng)時(shí)，滿足題意，再當(dāng)時(shí)，根據(jù)絕對(duì)值三角不等式，得到的最小值，要使不等式無解，則最小值需大于等于，從而得到關(guān)于的不等式，解得的范圍【詳解】關(guān)于的不等式無解，當(dāng)時(shí)，可得此時(shí)不等式無解，當(dāng)時(shí)，，所以要使不等式無解，則，平方整理后得，解得，所以，綜上可得的范圍為，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值的三角不等式的應(yīng)用，根據(jù)不等式的解集情況求參數(shù)的范圍，屬于中檔題.12．（2019·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）若不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【分析】將不等式去掉絕對(duì)值符號(hào)，然后變量分離轉(zhuǎn)為求函數(shù)的最值問題.【詳解】不等式去掉絕對(duì)值符號(hào)得，即對(duì)任意恒成立，變量分離得，只需，即所以a的取值范圍是故選B二、填空題13．（2021·北京人大附中高三月考）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍為______．【答案】【分析】等價(jià)于，對(duì)分兩種情況討論，結(jié)合基本不等式求解.【詳解】由題得，當(dāng)時(shí)，恒成立，；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）所以，所以.綜上，的取值范圍為.故答案為：14．（2022·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_______【答案】【分析】問題等價(jià)于不等式在區(qū)間上有解，設(shè)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最值可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：由題意得：關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，等價(jià)于不等式在區(qū)間上有解，設(shè)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.15．（2022·全國(guó)高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】或．【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)镽，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立進(jìn)行求解即可．【詳解】∵的定義域?yàn)镽，∴恒成立，當(dāng)，即或，若，不等式等價(jià)為，此時(shí)，不恒成立，不滿足條件．若，不等式等價(jià)為，恒成立，滿足條件．當(dāng)時(shí)，要使不等式恒成立，則，即或，解得或，綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是或．故答案為：或．16．（2021·全國(guó)）已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)，函數(shù)值恒大于零，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______________.【答案】【分析】分類討論考慮二次項(xiàng)的系數(shù)為0和不為0，當(dāng)二次項(xiàng)的系數(shù)為0時(shí)，滿足題意；當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為0時(shí)，且，解不等式即可得解.【詳解】①當(dāng)時(shí)，或.若，則函數(shù)化為，其對(duì)任意實(shí)數(shù)不可能恒大于；若，則恒成立；②當(dāng)時(shí)，根據(jù)題意得，綜上可知實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題以函數(shù)為載體，考慮恒成立問題，解題的關(guān)鍵是分類討論及利用二次函數(shù)的圖像求解，考查學(xué)生的分類討論思想與運(yùn)算求解能力，屬于一般題.17．（2021·上海市建平中學(xué)高三月考）若對(duì)于任意，都存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式得到，進(jìn)而對(duì)分類討論求出的最小值即可求出結(jié)果.【詳解】解：設(shè)，，易得，，∴，∴當(dāng)時(shí)，，∵對(duì)于任意，都存在，使得，∴，故的取值范圍為.故答案為：.18．（2020·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一期中）若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________【答案】【分析】由題可知，利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可以求出的最大值，進(jìn)而可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：由于不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，則大于等于的最大值，即，，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則的最大值為7，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是：.故答案為：.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查含有兩個(gè)絕對(duì)值的函數(shù)的最值及恒成立問