專題02 三角恒等變換與解三角形（重難點(diǎn)突破）（解析版）-【教育機(jī)構(gòu)專用】2021年暑期高一升高二數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義（人教A版）

專題02三角恒等變換與解三角形

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

重難點(diǎn)突破

知識(shí)點(diǎn)一同角三角函數(shù)關(guān)系與誘導(dǎo)公式

471貝Ijcos(萬(wàn)一a)+2sin(/+a)=()

例1.(1)已知sina=—,且一＜&＜乃，

52

3、3C.lD.2

A.-B.--

5555

【答案】B

【分析】

利用平方關(guān)系和誘導(dǎo)公式求解.

【詳解】

471

因?yàn)閟in。=一且一<a<?,

52

所以cosa--Vl-sin2a---|

(71

故cosO—a)+2sin15+a

-cosa+2cosa=cosa=--

5

故選：B

⑵.已知sin(?_“=(,則cos(等+2"=()

7-4764V6-7

1818

【答案】B

【分析】

找到問(wèn)題中的角和條件中的角的關(guān)系，利用余弦的二倍角公式求得結(jié)果.

【詳解】

cos(夸+2g]=cos]萬(wàn)一((-28))=-cos(y-20)=2sin=

故選：B

【變式訓(xùn)練1-1】.若sinS+a)=-3cos(—a),貝IJsin2c+cos?a=()

B-C.一D

-io3--i

【答案】A

【分析】

先對(duì)sin(4+2)=-3(?05(-。)化簡(jiǎn)，可得tana的值，再變形

.822sinacosa+cos2a2tana+l"/士日一由

sin2a+cos-a=-----------------------=——-------,代值求解可得結(jié)果

sin5a+cos~atana+1

【詳解】

解：由sin(乃+a)=-3cos(-a),得一sina=-3cosa.得tana=3

2sinacosa+cos2a2tana+17

所以sin2a+cos2a=

si?n2~a+cos2~atan2cr+110

故選：A

sin(2〃-a)cos("一a

3

【變式訓(xùn)練1-2】.已知aw(4,2乃),且tana=——,則71的值為()

4sin——a

2

A-4c-1Di

【答案】C

【分析】

先根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)原式，然后根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解出sina的值，則結(jié)果可求.

【詳解】

sin(-a)(-cosa)(-sina)(-cosa

/樂(lè)lx,=----------=----------sina.

cosacosa

sina3

3cosa4

2(2解得-』

因?yàn)閠ana=-；,ae(萬(wàn),2%),所以，sinz+cosa=l,sina=

5

S1n?<0

所以原式=一巳3,

5

故選：C.

知識(shí)點(diǎn)二和差公式與二倍角公式的應(yīng)用

/xcos20_7>/2

例2.(1)已知且S《勺=―一5-'則tan2G=().

C.±—D.±—

247

【答案】D

【分析】

7

由余弦的二倍角公式和兩角差正弦公式可得cose+sin6=—,

5

結(jié)合cos2e+sin2￡=1求出tan。的值，再根據(jù)正切的二倍角公式即可.

【詳解】

=笠Hsin冶=_&(cose+sin。)?苧

(sin8-cos。)

I4J21)

7

故cos8+sin6=一、

5

又因?yàn)橄Α?0,5]且cc^e+sin/ul.

344343

故cos8=—,sin。=—或cos。=—,sin6=—,貝Ijtan6=一或一，

555534

故選：。.

(2).已知sina=[,aw1],"),cos(3=^,(3G

(1)計(jì)算sin2a?cos2尸;

(2)計(jì)算時(shí)言一夕

285631V10

【答案】(1)■y-TT，l々--------

【分析】

(1)利用同角三角函數(shù)關(guān)系式先求cosa的值，再結(jié)合二倍角公式求sin2a和cos2用的值，從而求

sin2a?cos26的值;

(2)結(jié)合二倍角公式及兩角差的余弦公式即可直接求解.

【詳解】

(1)因?yàn)閟ina=1,717所以cosc=-4

25

24

所以sin2a=2sinacosa-2x—x

25

51IQ

因?yàn)镃OS〃=K，所以cos2/7=2cos?-1,

所以sin2a?cos2/3卜郢(嗡卜鬻

⑵因?yàn)閏os￡=\,萬(wàn)］所以sin￡=-j|.

e、i4.,,2a1+cosa1

因?yàn)閏os。二一一，所cr以cos—=-----------=一，

52210

、(兀、—一。

又因E為Iae|j，2所以清［(了71571所以cost=?,疝4=亞,

210210

cosf--/?l=cos-cos^+sin-sin^=-X—31V10

\2)22101310L13

所以130

知識(shí)點(diǎn)三三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)(平移、伸縮)

例3.⑴函數(shù)/(x)=Asin(@x+e)(4>0,0>0,|如<^|)的圖象如圖所示，則函數(shù)/(x)的解析式為

()

B./(x)=2sinfy71

X------

3

7171「/、c?()冗

C./(%)=2sin一X----D./(%)=2sin—x+—

36(33；

【答案】A

【分析】

由圖象求得A最小正周期T.函數(shù)/（X）過(guò)點(diǎn)。，2）,代入可得選項(xiàng).

【詳解】

由圖可知，A=2,T=[l—（—2）]x2=6=w，所以啰=（,

又函數(shù)“X）過(guò)點(diǎn)（1,2）,所以&xl+°=2版■+工，解得0=2版'+2（^2）,

326

又l9l<J，所以夕=gJ（x）=2sin（gx+g].

2o13b，

故選：A.

（2）.要得到函數(shù)y=sinx的圖像，只需將函數(shù)y=sin（2x-11的圖像上所有的點(diǎn)（）

A.橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移四個(gè)單位長(zhǎng)度

6

B,橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度

C.橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的5倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移三個(gè)單位長(zhǎng)度

D,橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的g倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移二個(gè)單位長(zhǎng)度

26

【答案】B

【分析】

由題意利用函數(shù)，=Asin（s+°）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論.

【詳解】

TT

解：只需將函數(shù)〉=5足（2%-§）的圖象上所有的點(diǎn)，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），可得

TTTT

y=sin（x—§）的圖象；再向左平移亍個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)'=疝》的圖象，

故選：B.

（3）.已知函數(shù)/（x）=sin2x—JJcos2x-l,貝U（）

A.仆）的最小正周期為2萬(wàn)

B.胡）在區(qū)間（0,工）上單調(diào)遞增

C.仆)的圖象關(guān)于點(diǎn)1年,0)對(duì)稱

54

D.要得到函數(shù)y=2cos2x-l的圖象，只需將y二仆)的圖象向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度

12

【答案】D

【分析】

將函數(shù)轉(zhuǎn)化為f(x)=2sin2x-1-1,再逐項(xiàng)判斷.

【詳解】

/(x)=sin2x-5/3cos2x-l=2sinl一L所以0)的最小正周期T=U24="，A不正確.

77r71.7157T

當(dāng)0<x<—時(shí),---<2x----<——，《X)不單調(diào)，B不正確.

12336

令2x—nX=解得x=&為+竺k兀丘Z.且一仔+”1=一1，所以偽圖象的對(duì)稱中心為

362162

71k7T八_尸八

—1J,C不正確.

小+髭2sin2(x+=5兀-y-1=2sin^2x+y71J-l=2cos2x-l,D正確.

1272

故選：D

例4.已知函數(shù)/(x)=2/"sinBcos：+26/ncos?(/〃H0).

(1)當(dāng)加=—2時(shí)，求/(x)的單調(diào)遞咸區(qū)間；

JI

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=V-2x+2,若對(duì)于任意的為e0,—、%2e[0,2]都有/(xjHgU),求加的取

值范圍.

57r

【答案】(1)2^--2k兀+巴(2eZ);(2)(-oo,0)u(0,2-V3)u(x/3-l,+ooj.

6

【分析】

71

(1)當(dāng)加=一2時(shí)，化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為〃x)=-4sinX+—-2A/3,然后解不等式

3

2k7i-<x+-<2k7i+^(keZy可求得函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)求得函數(shù)g(x)在區(qū)間［0,2］上的值域?yàn)椋?,2］,對(duì)實(shí)數(shù)機(jī)的取值進(jìn)行分類討論，求出函數(shù)/(x)在區(qū)

間°5f上的值域，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于實(shí)數(shù)〃？的不等式組，綜合可求得實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【詳解】

n

(1)/(x)=msinx+y[3m(1+cosJ;)=2〃zsinx+—+

3J

.71

-44sinx+—-26.

當(dāng)m=-2時(shí)，I3

令2左乃一(<x+(<2左〃'+(■(々eZ),解得2%乃一葛左乃+(■(左eZ).

故小)的單調(diào)遞減區(qū)間為2版■一系,2依r+看(ZeZ);

(2)當(dāng)xe[0,2]時(shí)，g(x)e[l,2].

717157Tul一?八7V

當(dāng)xe0,—時(shí)，x+—e一,—.所以smx-\—G1

2333633r

當(dāng)相>0時(shí)，/(x)wm+y/3m,2m+

因?yàn)?(石)#g(w)，所以m+根<2或2m+6m>1，解得加>&-1或0<加<2-6；

/(x)e[2，〃++,所以/(x)<0.

當(dāng)〃2<0時(shí),

因?yàn)間(x)>0,所以/(%)。8(W)恒成立，所以加<0符合題意.

綜上，加的取值范圍是(-8,0)。e,2-6”伊-1,詞.

知識(shí)點(diǎn)四三角恒等變換

例5.⑴函數(shù)/(x)=sin2x+cos|2x-5的最大值為

【答案】百

【分析】

根據(jù)差的余弦公式和輔助角公式化簡(jiǎn)可得.

【詳解】

/(x)=sin2x+cos2x----=sin2x+cos2xcos—+sin2xsin—

\6J66

=—sin2x+cos2x=V3sinf2%+-^-,

22k6J

則當(dāng)sin(2x+小=1時(shí)，/(x)取得最大值為力.

故答案為：6

⑵.將函數(shù)/(x)=cos(4x-：^)的圖象向左平移卷個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)

g(x)圖象的一條對(duì)稱軸方程是()

_TV八37r_57r

AA.x=----B.x=-C.X—D.x=—

881616

【答案】C

【分析】

根據(jù)三角函數(shù)平移變換法則可得函數(shù)g(x)的解析式g(x)=cos(4x+令4x-?='+而,&eZ,

即可求出.

【詳解】

(萬(wàn)、「(乃、"](

依題意可知，g(x)=/]x+—=cos4x+----------=cos4%+—,

k12y_\12112_I4J

令4x+&=攵孫女eZ,解得x=-三+工/(兀，keZ.所以k=1時(shí)，尤=%.

故選：C.

例6.已知三角形力8。中，tanA、tanB是方程/+依+4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

(1)若。=-8,求tanC的值；

(2)求tanC的最小值，并指出此時(shí)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)a的值.

84

【答案】(1)；;(2)a=T.最小值為一

33

【分析】

(1)根據(jù)韋達(dá)定理，可得tanA+tanB.tanAtanB的值，根據(jù)誘導(dǎo)公式及兩角和的正切公式，化簡(jiǎn)整

理，即可得答案.

(2)根據(jù)題意及韋達(dá)定理，分析可得aWY,根據(jù)誘導(dǎo)公式及兩角和的正切公式，可得tanC的表達(dá)

式，根據(jù)a的范圍，即可得答案.

【詳解】

(1)根據(jù)韋達(dá)定理可得：tanA+tan8=-a=8.tanAtanS=4,

所以tanC=tan[乃一(A+B)]=-tan(A+8)tanA+tanB_8_8

1-tanAtanB1-43

(2)因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，所以△="—1620，解得或

又因?yàn)閠anAtan3=4,

所以tanA與tan8同號(hào)，而三角形中不可能有兩個(gè)鈍角.

所以tanA與tanB都大于0,所以tanA+tan=—?>()

解得

所以tanC=tan「萬(wàn)一(A+B)]=_tan(A+B)=--tan+tan__

L'〃')1-tanAtanB1-433

-4

當(dāng)且僅當(dāng)a=T,即tanA=tanB=2時(shí)，tanC取到最小值為一.

3

【變式訓(xùn)練6-1】.已知函數(shù)/(x)=cos2x+百sin2x+,〃+l.

(1)求函數(shù)/(x)的最小正周期；

(2)若/(x)的最小值為0,求常數(shù)"?的值.

【答案】(1)n；(2)m=1.

【分析】

⑴化簡(jiǎn)函數(shù)為〃x)=2cos(2x-()+機(jī)+1,結(jié)合最小正周期的公式，即可求解；

TT

(2)由(1)得到當(dāng)cos(2x—：)=-l時(shí)取得最小值，列出方程，即可求解.

【詳解】

(1)由函數(shù)/(x)=cos2A：+Gsin2x+ni+l=2cos(2x-g)+m+1,

所以函數(shù)/(X)的最小正周期為T=夸=7.

JT

(2)由⑴知函數(shù)/(x)=2cos(2x-])+m+1,

因?yàn)榈淖钚≈禐?,可得當(dāng)cos(2x-?)=-l時(shí)，取得最小值，

即2x(-1)+〃?+1=0,解得加=1.

知識(shí)點(diǎn)五正弦定理與余弦定理的應(yīng)用

例7.(1)在AABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、J若a=Z?cosC,則8=.

【答案】5

【分析】

本題可通過(guò)余弦定理得出結(jié)果.

【詳解】

由余弦定理易知：

a-bcosC=hx"+"———.BP6f2+c2=Z?2.

2ab

TT

則AABC是以角3為直角頂點(diǎn)的直角三角形，B=一,

2

TT

故答案為：

2

⑵.在AABC中，內(nèi)角4B,。所對(duì)的邊分別是a,b,C,若/+。2_。2=展/則角8的大小為

【答案】￡

【分析】

利用余弦定理結(jié)合已知條件求B的余弦值即得結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)?+02一6=缶°所以cosB=>+'—/=耳=也,

2ac2ac2

又△ABC中，Be(O,%).故8=?.

故答案為：一.

4

【變式訓(xùn)練7-1】.在AABC中,5C=15,AC=10,A=60,則cos8=()

AV6D&r2\/2門25/2

3333

【答案】B

【分析】

利用正弦定理直接求解正弦函數(shù)值，然后利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求解即可.

【詳解】

解：在AAbC中，fiC=15,AC=10,A=60°,所以3<60°.

可得cosB=\ll-sin2B=——.

3

故選：B

h

【變式訓(xùn)練7-2】.在AABC中，若cosA=—,則AABC是（）

c

A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形

C.等邊三角形D.等腰直角三角形

【答案】A

【分析】

由正弦定理及和角公式化簡(jiǎn)即可求得結(jié)果.

【詳解】

1

在△A6c中，cosA=—,由正弦定理可知，cosA=——,即sin8=cosAsinC,

csinC

?/8="一（A+C）,

sinjB=sin[^-（A+C）]=sin（A+C）,

/.sinAcosC+cosAsinC-cosAsinC

/.sinAcosC=0.

,/sinAw0,

IT

/.cosC=O,BPC--

2

所以△AHC是直角三角形.

故選：A.

【變式訓(xùn)練7-3】?設(shè)銳角小抽。的內(nèi)角A6,C所對(duì)的邊分別為a,4c,若陋g=2二2,C=1,則

cosCc

/+/+C仍的取值范圍為（）

A.(g,3B.(1,3]C1|，3D.(g,3

【答案】D

【分析】

由給定條件結(jié)合正弦定理邊化角，求出角C再利用正弦定理借助三角函數(shù)恒等變換即可作答.

【詳解】

cosB_2a-b_2sinA-sinB

△ABC中,由正弦定理得：

cosCcsinC

整理變形得：2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA,

1n

而sinA>0,則cosC=—,0<C<%,于是得C=—,

23

則4+8=區(qū)，令A(yù)=^+e,于是有8=工—e.因AAbc為銳角三角形，即一工<。〈工,

33366

__,csinA2./"八、，2./萬(wàn)八、

由正弦定理得a=——=-sin(-+0),Z?=-sin(--d),

sinCVr33Jr33

a2+b2+—sin2(—+^)+—sin2(--6^)+—sin(—+6)sin(--0)

3333333

=gl(~~cos6+；sin6)2+cos6-；sin6)2+(當(dāng)cos6+；sin6)?(曰cos6-；sin0)]

=-(-cos2^+-sin2-(8cos2+1),

3443

C71

而tccosdKl,則有7〈geos26+1<9.即：<;(geos26+1)?3.

233

7

所以/+從+出,的取值范圍為(一,3].

3

故選：D

512

【變式訓(xùn)練7-4].在AABC中，AB=5,AC=12,cosZABC=—,cosZACB=—,則BC的值

1313

為.

【答案】13

【分析】

由已知結(jié)合和差角及同角基本關(guān)系可求A=9()°.然后結(jié)合勾股定理可求.

【詳解】

512

解：由題意得，c=5.b=12、cosB=—,cosC=—,

1313

所以sinB-Vl-cos2B=一，sinC=Vl-cos2C=—,

1313

121255

所以sin4=sin(B+C)=sinBcosC+sinCeosB=—x—+—x—=1.

JI______

22

所以A=m，a-yjb+c_13.

故答案為：13.

知識(shí)點(diǎn)六解三角形

例8.(1)在AAHC中，角4B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,外接圓半徑為r,若

出4+再”=-b=2,a+c=3近,則△ABC的面積S=.

sinAsinC

【答案】旦

2

【分析】

根據(jù)題設(shè)條件化簡(jiǎn)得sin(A+C)=rsinAsinC,進(jìn)而得到以sinB=rsinAsinC利用正弦定理得到

b^-ac,求得ac=4,再由余弦定理和三角函數(shù)的關(guān)系式，求得sinB的值，結(jié)合面積公式，即可求解.

2

【詳解】

由c°sA+cosC='整理得cosAsinC+sinAcosC=rsinAsinC,

sinAsinC

即sin(A+C)=rsinAsinC,

因?yàn)锳+5+C=m可得sin(A+C)=sin(乃一A)=sinB.

所以sinS=rsinAsinC

ahc\

由正弦定理可得，——=——=——二2幾可得。=—

sinAsinBsinC2

因?yàn)椤?2,所以。。=4,且a+c=3j^，

又由余弦定理可得?osB-_(。+。)、2絲-，_-8一4_3

2aclac84

所以SAHC=—acsinB=—x4x^-=也^

“Be2242

故答案為：立

2

（2）.在AAbC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為。、b、JAABC的面積為S,且

2acosC-bcosC+ccosB,a+b-2,c=V3,則5=

【答案】旦

12

【分析】

本題首先可根據(jù)正弦定理得出2sinAcosC=sin3cosC+sinCcos8然后借助兩角和的正弦公式、誘

導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系得出cosC='、sinC=」3,再然后根據(jù)余弦定理得出ab=L,最后根據(jù)

223

解三角形面積公式即可得出結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)?acosC=bcosC+ccos3,

所以2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB2sinAcosC=sin（B+C）,

因?yàn)锳+5+C=TT,0<A<TT,

]G

所以2sinAcosC=sinA,COSC=—,sinC=——.

22

由余弦定理易知，cosC=即二3

2ab22ab

21

ab=a2+b2-3.3a力=（a+b）~-3=1,"=

故S=1a0sinC=」6p—.

223212

故答案為：且

12

,?sinAZ?sinB

【變式訓(xùn)練8-1】.在△ABC中，已知二~~~；一-則△ABC的形狀為（

a+c--b^b-+c-a

A.直角三角形B.等腰直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等邊三角形

【答案】C

【分析】

jr

首先根據(jù)題意得到sinAcosA=sinBcosB,從而得到A=B或A+5=—,即可得到答案.

2

【詳解】

tzsinAbsinB

因?yàn)?/p>

a2+c2-b2b1+C1-cr

sinAsin8sinAsinJB.44.八八

"

2-二------------=>sinAcosA=sin5cosB

9217一〃+，2_

所以a~+c-0一acosBcosA

lac2hc

TF

所以A=B或A+8=—，即AAHC為等腰三角形或直角三角.

2

故選：C

【變式訓(xùn)練8-2].南宋數(shù)學(xué)家秦九韶著有《數(shù)書九章》，創(chuàng)造了“大衍求一術(shù)”，被稱為“中國(guó)剩余定

理”.他所論的“正負(fù)開方術(shù)”，被稱為“秦九韶程序”.世界各國(guó)從小學(xué)、中學(xué)到大學(xué)的數(shù)學(xué)課程，幾

乎都接觸到他的定理、定律和解題原則.科學(xué)史家稱秦九韶：“他那個(gè)民族、他那個(gè)時(shí)代，并且確實(shí)也是

所有時(shí)代最偉大的數(shù)學(xué)家之一”.在《數(shù)書九章》中提出“三斜求積術(shù)”，即以小斜塞，并大斜器，減中

斜鬲，余半之，自乘于上：以小斜鬲乘大斜幫，減上，余四約之，為實(shí)：一為從隅，開平方得積可用公式

112

/T~99c+a—b9

S="-c2a2_（----------）2（其中a,b,c,S為三角形的三邊和面積）表示.在AABC中，a,

V42

2c2

b,c分別為角4B、。所對(duì)的邊，若。=3,且〃cosC—ccosB=—J則AABC面積的最大值為

3

【答案】述

4

【分析】

利用余弦定理化簡(jiǎn)已知條件得到仇。的關(guān)系式，將"c的關(guān)系式代入所給的面積公式中，將面積S轉(zhuǎn)化為

關(guān)于c的函數(shù)形式，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸求解出面積的最大值即可.

【詳解】

因?yàn)槿薱os。一ccosB=至，所以/+524/2+/2/二竺

32a2a3

所以彳=￥'所以

P--..cRc2/C?+9—3c~2R(2c\2

所以LBC=?[9C—(-)]=6[一卜-_9)+

所以當(dāng),2=9時(shí)，S^c有最大值為(S.C)3=居3=

故答案為：也.

4

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于余弦定理邊角互化的運(yùn)用以及對(duì)新的三角形面積公式的分析，先通過(guò)余

弦定理分析邊之間的關(guān)系，再根據(jù)二次函數(shù)模型求解最值.

例9.在AABC中，內(nèi)角A,5,c所對(duì)的邊分別為a,0,c.已知向量

—>=（siny,cos（5+C）TT3

=（2,-1）nn=—

2

(1)求角A的大?。?/p>

(2)若a=20，求〃+3/的最大值及取得最大值時(shí)的值.

【答案】(1)A=f；(2)最大值8救+32；si"J-近.

328

【分析】

A1

(1)由向量的坐標(biāo)形式數(shù)量積運(yùn)算求得sin；=；,從而求得角4

22

bca2A/3A

(2)由正弦定理知而^=總丘=彳/=詞=4,用角來(lái)表示邊，從而求得〃+3c2的三角函數(shù)表

T

達(dá)式，化簡(jiǎn)，利用輔助角公式求得最大值及取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的等號(hào)成立條件，求得結(jié)果.

【詳解】

—>—>AAAAQ

(1)由題知，m-n—2sin——cos(B+C)=2sin—+cosA=2sin—+1-2sin25=

A1

解得sin]=5,又A￡(0,TT),

則4=生.

3

bca2G彳

(2)由正弦定理知sinBsinCsin4■

T

27r

則力=4sinB,c=4sinC,且。=乃一4一3=------B,

3

24

則/+3C2=16sii?B+48sin2c=16sii?5+48sin2(y--B)

i

=16sin?B+48(^-cos/?+—sinB)2=16sin2B+36cos2B+12sin28+24百sinBcosB

=28xi0s2'+36*1+C°S28+]2氐g28

22

=32+4cos2B+12A/3sin2B=8近sin(2B+⑼+32

373

其中sin右麗,COS(D=―;=

2幣

故當(dāng)sin(25+⑼=1時(shí)，匕2+3c2取最大值為8J7+32,

此時(shí)28+0=工+2氏萬(wàn)，keZ.cos28=cos(工+2k7一e)=sin。=—j=,

222V7

【變式訓(xùn)練9-1】.在AAHC中，a、b、c分別為角A、B、C所對(duì)的邊，已知

2sinBcosC=2sin(B+C)-sinC.

(1)求角3的大??；

(2)若a=l,b=布,求仁

【答案】(1)B=1■7T；(2)c=3.

【分析】

(1)利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)可得cosB的值，結(jié)合角8的取值范圍可求得角8的大小；

(2)利用余弦定理可得出關(guān)于。的二次方程，由此可解得。的值.

【詳解】

(1):2sin3cosC=2sin(jB+C)—sinC=2sin3cosC+2cosBsinC—sinC,

所以，sinC(2cos5-l)=0,

!71

\*0<C<TT,則sinC〉0,故cos8=—,?.?0<5<萬(wàn)，故3=一；

23

(2)由余弦定理可得尸="+02—2〃ccos3，即o'-c-6=0，Qc>0,故c=3.

1-嘉14一萬(wàn)

228

知識(shí)點(diǎn)七綜合應(yīng)用

例10.(1)旅游區(qū)的玻璃棧道、玻璃橋、玻璃觀景臺(tái)等近年來(lái)熱搜不斷，因其驚險(xiǎn)刺激的體驗(yàn)備受追

捧.某景區(qū)順應(yīng)趨勢(shì)，為擴(kuò)大營(yíng)收，準(zhǔn)備在如圖所示的例山峰和A/山峰間建一座空中玻璃觀景橋.已知

7FTT

兩座山峰的高度都是300m,從8點(diǎn)測(cè)得例點(diǎn)的仰角A/點(diǎn)的仰角/C3N=—以及

46

萬(wàn)

cosNMBN,則兩座山峰之間的距離()

4

A.300mB.3000mC.600mD.600后m

【答案】C

【分析】

先在兩個(gè)直角三角形中利用銳角三角函數(shù)的定義求出BM,BN,然后在△BMN中利用余弦定理求解即可

【詳解】

解：由題意得AM=QV=300,

AM_300CN300

BM=300&m,5N=600m

所以sinZABM~.71

smsinZCBNsin

46

由余弦定理得MN=dBM?+BN?-2BM?BNcosZMBN=600m

故選：C

（2）.目前，中國(guó)已經(jīng)建成全球最大的5G網(wǎng)絡(luò)，無(wú)論是大山深處還是廣袤平原，處外都能見(jiàn)到5G基站

的身影.如圖，某同學(xué)正西方向山頂上的一座5G基站A8,已知基站高AB=50m,該同學(xué)眼高1.5m

（眼睛到地面的距離）.該同學(xué)在初始位置C處（眼睛所在位置）測(cè)得基站頂端A的仰角為45。，該同學(xué)

向南走1500米后到達(dá)尸處，此時(shí)測(cè)得基站頂端A的仰角為30。，則山高班=米.

【分析】

設(shè)=則CZ）=〃，F(xiàn)D=?、CF=150V2,在用ACOF中由勾股定理求出力得值，即可山

高.

【詳解】

由題意可得：AB=5()m,ZAC。=45°，CF=15072ZAFD=30°,

且ADLCDCDA.CF.

設(shè)A￡>=〃，則CD=/?.FD=回、

所以在R/ACD/中，82+。尸2=尸￡）2所以得r+050&

解得:h=150,所以山高等于150—50+1.5=101.5米.

故答案為：1015

【變式訓(xùn)練10-1].如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到力處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂。在

西偏北30。的方向上，仰角為30。，行駛300m后到達(dá)8處，測(cè)得此山頂在西偏北60。的方向上，則此山的

高度8=.

BA

【答案】300m

【分析】

在AA5C中，由正弦定理可得AC,然后在RtZXACD中可求得C￡).

【詳解】

在AASC中，A3=300,Na4C=3O°,NCB4=120。，ZBG4=30°

由正弦定理可得AC=300V3m

在中，NC4D=3O°,CD=ACtan300=300m

故答案為：300m.

例11.已知“B