《12.3 一次函數(shù)與二元一次方程》知識清單

《12.3一次函數(shù)與二元一次方程》知識清單初中滬科版（2012）八年級上冊第12章12.3一次函數(shù)與二元一次方程知識清單一、一次函數(shù)與二元一次方程的聯(lián)系1、從方程到函數(shù)我們先來看一個二元一次方程，比如說2x＋y=5。我們可以把這個方程變形為y＝2x+5。這時候你發(fā)現(xiàn)沒，這個式子就變成了一次函數(shù)的形式。就好像把一個藏在幕后的演員拉到了臺前，換了個身份一樣。真實體驗：我有一次在整理舊書的時候，發(fā)現(xiàn)一本數(shù)學練習冊，里面有很多這種二元一次方程的題目。我就突發(fā)奇想，把這些方程都試著變成函數(shù)形式，就像給它們換了一身新衣服。結果發(fā)現(xiàn)這樣看問題的角度完全不一樣了，以前覺得很復雜的方程，變成函數(shù)后好像變得更直觀了。2、解的聯(lián)系二元一次方程的解呢，就和一次函數(shù)圖象上的點是對應的。比如說方程xy＝3，它的一個解是x＝4,y＝1。那在一次函數(shù)y=x3的圖象上，點（4,1)就在這個圖象上。這就像是一對對的小伙伴，方程的解和函數(shù)圖象上的點手拉手。舉個例子，就像我們在教室里給每個同學安排座位一樣。方程的解就像是同學的名字，函數(shù)圖象上的點就像是座位的坐標。一個同學只能坐在一個對應的座位上，方程的一個解也只能對應函數(shù)圖象上的一個點。二、一次函數(shù)圖象與二元一次方程組1、方程組的解與圖象交點對于二元一次方程組，比如說＼（＼begin{cases}y＝2x+1\＼y=x＋4\end{cases}＼），這個方程組的解就是這兩個一次函數(shù)y＝2x+1和y=x＋4圖象的交點坐標。你可以想象成兩條小路在某個地方交匯了，這個交匯點的坐標就是方程組的解。我記得有一次去爬山，山上有很多小路。我從一條小路往上走，我的朋友從另一條小路往上走，最后我們在一個觀景臺相遇了。這個觀景臺就像是函數(shù)圖象的交點，我們的出發(fā)點和路線就像是兩個不同的函數(shù)，而我們相遇的這個點就是方程組的解。2、用圖象法解方程組我們先畫出兩個一次函數(shù)的圖象。比如上面那個方程組，畫出y＝2x+1和y=x＋4的圖象。然后找到它們的交點。這個交點的橫縱坐標就是方程組的解。不過呢，這種方法有時候不太精確，就像你用眼睛估計距離一樣，可能會有一點小誤差。就像我們在做手工的時候，想要把兩根紙條交叉粘在一起，我們得先找到它們交叉的位置。畫函數(shù)圖象解方程組就有點像這個過程，我們要在坐標紙上找到兩個函數(shù)圖象交叉的那個小方格的坐標。三、一次函數(shù)與二元一次方程（組）的應用1、實際問題中的方程與函數(shù)在實際生活中，很多問題既可以用二元一次方程來解決，也可以用一次函數(shù)來解決。比如說，有個商店賣兩種文具，鉛筆和筆記本。鉛筆每支2元，筆記本每本5元。我們知道一共賣了30元，設鉛筆賣了x支，筆記本賣了y本，那么就可以列出方程2x＋5y=30。如果我們把這個方程變形為y=＼frac{302x}｛5}，這就成了一次函數(shù)。我曾經(jīng)去文具店買東西，就遇到類似的情況。我想買一些筆和本子，我知道我?guī)Я硕嗌馘X，也知道筆和本子的單價，我就在心里算著，怎么搭配才能把錢正好花完呢。這就像在解那個二元一次方程一樣。2、用函數(shù)圖象解決實際問題還是上面文具店的例子，我們可以把這個函數(shù)y=＼frac{302x}｛5}的圖象畫出來。然后根據(jù)圖象來分析不同情況下鉛筆和筆記本的銷售數(shù)量。比如說，從圖象上我們可以很直觀地看到，當x＝0時，y＝6，這就表示如果不買鉛筆，可以買6本筆記本。就像看地圖一樣，圖象就像是一張?zhí)厥獾牡貓D，上面標記著不同情況下的信息。我們可以通過看這張“地圖”，找到我們想要的答案。四、重點知識點總結1、方程與函數(shù)的轉換二元一次方程可以通過變形轉化為一次函數(shù)。這個過程很重要哦，就像變形金剛一樣，一個東西可以變成另一個樣子，但本質(zhì)還是有聯(lián)系的。重點記住變形的方法，把方程中的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的式子表示出來，就得到了函數(shù)形式。例如，對于方程3x2y＝6，我們可以變形為y=＼frac{3x6}｛2}。2、解的對應關系二元一次方程（組）的解與一次函數(shù)圖象上的點（交點）是一一對應的。這就像鑰匙和鎖的關系，一把鑰匙只能開一把鎖。在解題的時候，要能靈活地在方程的解和函數(shù)圖象的點之間轉換思維。比如，對于方程組＼（＼begin{cases}y＝3x1\＼y=－2x＋4\end{cases}＼），先求出函數(shù)y＝3x1和y=－2x＋4的交點，這個交點的坐標就是方程組的解。3、圖象法解題用圖象法解二元一次方程組的時候，要準確地畫出函數(shù)圖象。這就需要我們掌握好一次函數(shù)圖象的畫法，比如確定兩個點就能畫出一條直線。但是要注意圖象法可能存在誤差，有時候需要用代數(shù)法來精確求解。像畫y＝x+2和y＝2x+5的圖象來解方程組，我們可以先找到y(tǒng)＝x+2上的兩個點，比如當x＝0時，y＝2；當x＝2時，y＝0。然后畫出直線，同樣畫出y＝2x+5的圖象，找到交點。五、相關習題1、已知二元一次方程4x3y＝9，將其轉化為一次函數(shù)形式。2、對于方程組＼（＼begin{cases}y＝2x3\＼y=x＋3\end{cases}＼），用圖象法求解，并與代數(shù)法求解的結果進行對比。3、在一個應用題中，甲種商品單價為3元，乙種商品單價為4元，一共花費50元，設甲種商品買了x件，乙種商品買了y件。列出二元一次方程并轉化為一次函數(shù)形式，然后畫出函數(shù)圖象，分析當x＝10時，y的值是多少。習題答案：1、對于方程4x3y＝9，變形為一次函數(shù)形式為y=＼frac{4x9}｛3}。2、代數(shù)法：將方程組＼（＼begin{cases}y＝2x3\＼y=x＋3\end{cases}＼）中的兩個方程聯(lián)立，即2x3=x＋3，移項可得2x+x＝3＋3，3x＝6，解得x＝2，把x＝2代入y=x＋3得y＝1。圖象法：先畫出y＝2x3和y=x＋3的圖象。對于y＝2x3，當x＝0時，y=－3；當y＝0時，x=＼frac{3}｛2}。對于y=x＋3，當x＝0時，y＝3；當y＝0時