2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布理第一講分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理學(xué)案理含解析新人教版

PAGE第十章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布(理)第一講分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理(理)學(xué)問(wèn)梳理·雙基自測(cè)eq\x(知)eq\x(識(shí))eq\x(梳)eq\x(理)學(xué)問(wèn)點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有n類不同的方案，在第一類方案中有m1種不同的方法，在其次類方案中有m2種不同的方法，……，在第n類方案中有mn種不同的方法，則完成這件事共有N＝__m1＋m2＋…＋mn__種不同的方法．學(xué)問(wèn)點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事須要分成n個(gè)不同的步驟，完成第一步有m1種不同的方法，完成其次步有m2種不同的方法，……，完成第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝__m1·m2·…·mn__種不同的方法．eq\x(歸)eq\x(納)eq\x(拓)eq\x(展)分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的區(qū)分分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分類”問(wèn)題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分步”問(wèn)題，各個(gè)步驟相互聯(lián)系、相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了才算完成這件事．eq\x(雙)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(測(cè))題組一走出誤區(qū)1．推斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．(×)(2)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能干脆完成這件事．(√)(3)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都不能完成這件事，只有每個(gè)步驟都完成后，這件事情才算完成．(√)(4)假如完成一件事情有n個(gè)不同步驟，在每一步中都有若干種不同的方法mi(i＝1,2,3，…，n)，那么完成這件事共有m1m2m3…m(5)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的．(√)題組二走進(jìn)教材2．(P10練習(xí)T4)已知某公園有4個(gè)門，從一個(gè)門進(jìn)，另一個(gè)門出，則不同的走法的種數(shù)為(C)A．16 B．13C．12 D．10[解析]將4個(gè)門編號(hào)為1,2,3,4，從1號(hào)門進(jìn)入后，有3種出門的方式，共3種走法，從2,3,4號(hào)門進(jìn)入，同樣各有3種走法，共有不同走法3×4＝12(種)．另解：Aeq\o\al(2,4)＝12(種)．完成這件事需分成2個(gè)步驟進(jìn)4種、出3種，∴共有4×3＝12．3．(教材習(xí)題改編)從0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字中，任取兩個(gè)不同數(shù)字，①其和為偶數(shù)的不同取法種數(shù)為__6__；②能排成的兩位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為__13__．[解析]①和為偶數(shù)的取法可分為兩類：取兩奇數(shù)或取兩偶數(shù)，各有3種取法，故共有6種取法；②排成的兩位偶數(shù)可分成三類：個(gè)位是0或2或4，明顯個(gè)位為0的有5個(gè)，個(gè)位為2或4的各有4個(gè)，故共有13個(gè)．題組三走向高考4．(2024·新課標(biāo)Ⅱ)4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參與垃圾分類宣揚(yáng)活動(dòng)，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少支配1名同學(xué)，則不同的支配方法共有__36__種．[解析]因?yàn)橛幸恍^(qū)有兩人，則不同的支配方式共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36種．5．(2024·天津)用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有__1_080__個(gè)．(用數(shù)字作答)[解析]依據(jù)題意，分2種狀況探討：①四位數(shù)中沒(méi)有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字，即在1、3、5、7、9種任選4個(gè)，組成一個(gè)四位數(shù)即可，有Aeq\o\al(4,5)＝120種狀況，即有120個(gè)沒(méi)有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字四位數(shù)；②四位數(shù)中只有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字，在1、3、5、7、9種選出3個(gè)，在2、4、6、8中選出1個(gè)，有Ceq\o\al(3,5)·Ceq\o\al(1,4)＝40種取法，將取出的4個(gè)數(shù)字全排列，有Aeq\o\al(4,4)＝24種依次，則有40×24＝960個(gè)只有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字的四位數(shù)；則至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)有120＋960＝1080個(gè)．考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究考點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理——自主練透例1(1)(2024·常州模擬)已知I＝{1,2,3}，A，B是集合I的兩個(gè)非空子集，且A中全部元素的和大于B中全部元素的和，則集合A，B共有(D)A．12對(duì) B．15對(duì)C．18對(duì) D．20對(duì)(2)(2024·山東濟(jì)寧模擬)6人分乘兩輛不同的出租車，每輛車最多乘4人，則不同的乘車方案數(shù)為(C)A．70 B．60C．50 D．40(3)(2024·山東日照聯(lián)考)要將甲、乙、丙、丁4名同學(xué)分別到A，B，C三個(gè)班級(jí)中，要求每個(gè)班級(jí)至少分到一人，則甲被分到A班的分法種數(shù)為__12__．(用數(shù)字作答)[解析](1)依題意，當(dāng)A，B中均有一個(gè)元素時(shí)，有3對(duì)；當(dāng)B中有一個(gè)元素，A中有兩個(gè)元素時(shí)，有Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(1,2)＝8(對(duì))；當(dāng)B中有一個(gè)元素，A中有三個(gè)元素時(shí)，有3對(duì)；當(dāng)B中有兩個(gè)元素，A中有三個(gè)元素時(shí)，有3對(duì)；當(dāng)A，B中均有兩個(gè)元素時(shí)，有3對(duì)．所以共有3＋8＋3＋3＋3＝20(對(duì))，選D．(2)Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(2,6)＝50或Ceq\o\al(4,6)·Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(3,6)＝50．故選C．(3)由題意可分兩類，第一類，甲與另一人一同分到A，有6種；其次類，甲單獨(dú)在A，則兩人在B有Ceq\o\al(2,3)＝3種或兩人在C有Ceq\o\al(2,3)＝3種，共有6種，共12種．名師點(diǎn)撥分類標(biāo)準(zhǔn)是運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理的難點(diǎn)所在，應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞，關(guān)鍵元素，關(guān)鍵位置．(1)依據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)．(2)分類時(shí)應(yīng)留意完成這件事情的任何一種方法必需屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復(fù)．(3)分類時(shí)除了不能交叉重復(fù)外，還不能有遺漏．考點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理——師生共研例2(1)如圖，小明從街道的E處動(dòng)身，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參與志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為(B)A．24 B．18C．12 D．9(2)有六名同學(xué)報(bào)名參與三個(gè)智力項(xiàng)目，每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參與一項(xiàng)，則共有__120__種不同的報(bào)名方法．[解析](1)從E點(diǎn)到F點(diǎn)的最短路徑有6條，從F點(diǎn)到G點(diǎn)的最短路徑有3條，所以從E點(diǎn)到G點(diǎn)的最短路徑有6×3＝18(條)，故選B．(2)每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參與一項(xiàng)，因此可由項(xiàng)目選人，第一個(gè)項(xiàng)目有6種選法，其次個(gè)項(xiàng)目有5種選法，第三個(gè)項(xiàng)目有4種選法，依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法共有6×5×4＝120(種)．[引申1]本例(2)中若將條件“每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參與一項(xiàng)”改為“每人恰好參與一項(xiàng)，每項(xiàng)人數(shù)不限”，則有多少種不同的報(bào)名方法？[解析]每人都可以從這三個(gè)競(jìng)賽項(xiàng)目中選報(bào)一項(xiàng)，各有3種不同的報(bào)名方法，依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法共有36＝729(種)．[引申2]本例(2)中若將條件“每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參與一項(xiàng)”改為“每項(xiàng)限報(bào)一人，但每人參與的項(xiàng)目不限”，則有多少種不同的報(bào)名方法？[解析]每人參與的項(xiàng)目不限，因此每一個(gè)項(xiàng)目都可以從這六人中選出一人參賽，依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法共有63＝216(種)．[引申3]本例(1)中若去掉“先到F處與小紅會(huì)合”，則最短路徑的條數(shù)為__35__．[解析]Ceq\o\al(3,7)＝35(條)．名師點(diǎn)撥(1)利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題要按事務(wù)發(fā)生的過(guò)程合理分步，即分步是有先后依次的，并且分步必需滿意：完成一件事的各個(gè)步驟是相互依存的，只有各個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事．(2)分步必需滿意兩個(gè)條件：一是步驟相互獨(dú)立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成．〔變式訓(xùn)練1〕(1)(2024·廈門模擬)從班委會(huì)5名成員中選出3名，分別擔(dān)當(dāng)班級(jí)學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔(dān)當(dāng)文娛委員，則不同的選法共有__36__種(用數(shù)字作答)．(2)(2024·湖南永州模擬)某縣政府為了加大對(duì)一貧困村的扶貧力度，探討確定將6名優(yōu)秀干部支配到該村進(jìn)行督導(dǎo)巡察，周一至周四這四天各支配1名，周五支配2名，則不同的支配方法共有(B)A．320種 B．360種C．370種 D．390種[解析](1)第一步，先選出文娛委員，因?yàn)榧住⒁也荒軗?dān)當(dāng)，所以從剩下的3人中選1人當(dāng)文娛委員，有3種選法．其次步，從剩下的4人中選學(xué)習(xí)委員和體育委員，又可分兩步進(jìn)行：先選學(xué)習(xí)委員有4種選法，再選體育委員有3種選法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，不同的選法共有3×4×3＝36(種)．(2)第一步支配周五2名，有Ceq\o\al(2,6)＝15(種)方法；其次步支配周一至周四，有Aeq\o\al(4,4)＝24(種)方法，故不同的支配方法共有15×24＝360種，故選B．考點(diǎn)三,兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用——多維探究角度1與數(shù)字有關(guān)的問(wèn)題例3(2024·天津和平區(qū)二模)在由數(shù)字0,1,2,3,4,5所組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，能被5整除的個(gè)數(shù)有(D)A．512 B．192C．240 D．108[解析]能被5整除的四位數(shù)末位是0或5的數(shù)，因此分兩類，第一類，末位為0時(shí)，其它三位從剩下的數(shù)中隨意排3個(gè)即可，有Aeq\o\al(3,5)＝60個(gè)，其次類，末位為5時(shí)，首位不能排0，則首位只能從1,2,3,4選1個(gè)，其次位和第三位從剩下的4個(gè)數(shù)中任選2個(gè)即可，有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,4)＝48個(gè)，依據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得可以組成60＋48＝108個(gè)不同的能被5整除的四位數(shù)，故選D．[引申](1)若將本例中“沒(méi)有”改為“有”，則結(jié)果為__252__；(2)本例組成的四位數(shù)中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為__156__個(gè)，其中比2310大的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為__109__個(gè)．[解析](1)Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,2)＝360,360－108＝252．(2)個(gè)位為0時(shí)有Aeq\o\al(3,5)＝60個(gè)；個(gè)位非0時(shí)有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2)＝96個(gè)，故四位偶數(shù)有156個(gè)；其中比2310大的數(shù)中①前三位為231的有1個(gè)；②前兩位為23第三位為4或5的有3個(gè)；③前一位為2其次位為4或5的有9個(gè)；④前一位為4的有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝24個(gè)；⑤前一位為3或5的各有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,4)＝36個(gè)，故共有109個(gè)．角度2與涂色有關(guān)的問(wèn)題例4將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上1種顏色，并使同一條棱的兩個(gè)端點(diǎn)異色，若只有4種顏色可供運(yùn)用，則不同的染色方法有(B)A．48種 B．72種C．96種 D．108種[解析]如圖四棱柱P－ABCD，涂P有4種方法?涂A有3種方法?涂B有2種方法?涂Ceq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C與A同色有1種方法,C與A不同色有1種方法))?涂Deq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(有2種方法,有1種方法))，則不同的涂法共有4×3×2×(1×2＋1×1)＝72種，故選B．角度3與幾何有關(guān)的問(wèn)題例5(2024·上海)《九章算術(shù)》中，稱底面為矩形而有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽(yáng)馬，設(shè)AA1是正六棱柱的一條側(cè)棱，如圖，若陽(yáng)馬以該正六棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)、以AA1為底面矩形的一邊，則這樣的陽(yáng)馬的個(gè)數(shù)是(D)A．4 B．8C．12 D．16[解析]依據(jù)正六邊形的性質(zhì)，則D1－A1ABB1，D1－A1AFF1滿意題意，而C1，E1，C，D，E和D1一樣，有2×4＝8，當(dāng)A1ACC為底面矩形，有4個(gè)滿意題意，當(dāng)A1AEE1為底面矩形，有4個(gè)滿意題意，故有8＋4＋4＝16，故選D．[引申]①本例中若去掉“以AA1為底面矩形的一邊”，則陽(yáng)馬的個(gè)數(shù)為__72__個(gè)．②以六棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四棱錐有__300__個(gè)．[解析]①矩形在棱柱底面上的陽(yáng)馬有24個(gè)；矩形為棱柱側(cè)面的陽(yáng)馬有24個(gè)；矩形為棱柱對(duì)角面的陽(yáng)馬有24個(gè)；故共有72個(gè)．②底面在棱柱底面上的四棱錐有2Ceq\o\al(4,6)Ceq\o\al(1,6)＝180個(gè)；底面四邊形含兩條側(cè)棱的有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,8)＝120個(gè)；故共有300個(gè)．名師點(diǎn)撥利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決應(yīng)用問(wèn)題的一般思路1．弄清完成一件事是做什么．2．確定是先分類后分步，還是先分步后分類．3．弄清分步、分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么．4．利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解．留意：(1)相同元素不加區(qū)分；(2)數(shù)字問(wèn)題中0不能排在數(shù)的首位．〔變式訓(xùn)練2〕(1)(角度2)(2024·寧波模擬)如圖所示的五個(gè)區(qū)域中，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，要求每一個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為(C)A．24種 B．48種C．72種 D．96種(2)(角度1)(2024·四川成都青羊區(qū)模擬)由數(shù)字0,1,2,3組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的4位數(shù)，比2019大的有()個(gè)(B)A．10 B．11C．12 D．13(3)(角度3)假如一條直線與一個(gè)平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“平行線面組”．在一個(gè)長(zhǎng)方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)是(B)A．60 B．48C．36 D．24[解析](1)區(qū)域ABECD涂法432(與A同色)12與A不同色11∴不同的涂色方法共有4×3×2×1×(2＋1)＝72(種)，故選C．(2)千位數(shù)字為3時(shí)滿意題意的數(shù)字個(gè)數(shù)為：3?。?．千位數(shù)字為2時(shí)，只有2013不滿意題意，則滿意題意的數(shù)字的個(gè)數(shù)為3?。?＝5，綜上可得：比2019大的有6＋5＝11個(gè)．(3)長(zhǎng)方體的6個(gè)表面構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)為6×6＝36，另含4個(gè)頂點(diǎn)的6個(gè)面(非表面)構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)為6×2＝12，故符合條件的“平行線面組”的個(gè)數(shù)是36＋12＝48．名師講壇·素養(yǎng)提升巧用圖表法、間接法求解計(jì)數(shù)問(wèn)題例6(1)將編號(hào)為1,2,3,4,5,6的六個(gè)小球放入編號(hào)為1,2,3,4,5,6的六個(gè)盒子中，每個(gè)盒子放一個(gè)小球，若有且只有兩個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球編號(hào)相同，則不同的放法總數(shù)是__135__．(2)(2024·吉林模擬)一只螞蟻從正四面體A－BCD的頂點(diǎn)A動(dòng)身，沿著正四面體A－BCD的棱爬行，每秒爬一條棱，每次爬行的方向是隨機(jī)的，則螞蟻第1秒后到點(diǎn)B，第4秒后又回到A點(diǎn)的不同爬行路途有(B)A．6條 B．7條C．8條 D．9條(3)(2024·濟(jì)南模擬)如圖，某電子器件由3個(gè)電阻串聯(lián)而成，形成回路，其中有6個(gè)焊接點(diǎn)A、B、C、D、E、F，假如焊接點(diǎn)脫落，整個(gè)電路就會(huì)不通．現(xiàn)發(fā)覺(jué)電路不通，那么焊接點(diǎn)脫落的可能狀況共有__63__種．[解析](1)(圖表法)兩個(gè)小球放入編號(hào)相同的盒子中有Ceq\o\al(2,